Рациональные неравенства: метод интервалов с дробью

Рациональные неравенства — неравенства, в которых переменная стоит в числителе и/или знаменателе дроби. Главный инструмент — метод интервалов, применённый правильно с учётом ОДЗ.

Что такое рациональное неравенство

Рациональное неравенство — это неравенство вида: $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Ключевое отличие от обычных неравенств: $Q(x) \neq 0$ (нули знаменателя не входят в ОДЗ).

Алгоритм решения методом интервалов

Шаг 1. Перенеси всё в левую часть: $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$.

Шаг 2. Разложи числитель и знаменатель на множители (если возможно).

Шаг 3. Найди все корни $P(x) = 0$ и $Q(x) = 0$ — это критические точки. Отметь на числовой оси.

Шаг 4. Определи знак выражения на крайнем правом промежутке (подставь любое большое $x$). Далее знак чередуется при переходе через каждую простую критическую точку (кратность 1).

Шаг 5. Запиши ответ: промежутки с нужным знаком. Точки нулей числителя включай при $\geq$ или $\leq$ (но не нули знаменателя!).

Примеры

Пример 1 (уровень А). Реши $\dfrac{x - 3}{x + 1} > 0$.

Критические точки: числитель $= 0 \Rightarrow x = 3$; знаменатель $= 0 \Rightarrow x = -1$.

Знак на $(3;\,+\infty)$: возьмём $x = 4$: $\dfrac{1}{5} > 0$ — плюс.

Знак чередуется: $(-1;\,3)$ — минус; $(-\infty;\,-1)$ — плюс.

Нужен «> 0»: промежутки с плюсом — $(-\infty;\,-1)$ и $(3;\,+\infty)$.

ОДЗ: $x \neq -1$. Нули числителя $x = 3$ не включаем (строгое неравенство).

Ответ: $x \in (-\infty;\,-1) \cup (3;\,+\infty)$.

Пример 2 (уровень А). Реши $\dfrac{2x - 1}{x^2 - 4} \leq 0$.

Разложим: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Критические точки: $x = \frac{1}{2}$ (числитель), $x = 2$ и $x = -2$ (знаменатель).

Упорядочим: $-2, \frac{1}{2}, 2$.

Знак на $(2;\,+\infty)$: возьмём $x = 3$: $\dfrac{5}{5} = 1 > 0$ — плюс.

Чередование: $(\frac{1}{2};\,2)$ — минус; $(-2;\,\frac{1}{2})$ — плюс; $(-\infty;\,-2)$ — минус.

Нужен «$\leq 0$»: минус-промежутки $(-\infty;\,-2)$ и $(\frac{1}{2};\,2)$.

Включаем ли концы? $x = \frac{1}{2}$: включаем (числитель, знак $\leq$). $x = -2$ и $x = 2$: не включаем (знаменатель, ОДЗ).

Ответ: $x \in (-\infty;\,-2) \cup \left[\dfrac{1}{2};\,2\right)$.

Пример 3 (уровень Б). Реши $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6} > 1$.

Переносим: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6} - 1 > 0$.

Общий знаменатель: $\dfrac{x^2 - 4 - (x^2 - x - 6)}{x^2 - x - 6} > 0 = \dfrac{x + 2}{x^2 - x - 6} > 0$.

Разложим знаменатель: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

Упрощаем дробь: при $x \neq -2$: $\dfrac{x+2}{(x-3)(x+2)} = \dfrac{1}{x-3}$.

Знак у $\dfrac{1}{x-3}$: положителен при $x > 3$, отрицателен при $x < 3$.

Но $x \neq -2$ и $x \neq 3$ (из исходного знаменателя).

Нужен «$> 0$»: $x > 3$.

Ответ: $x \in (3;\,+\infty)$.

Кратные корни и знакочередование

Если корень имеет кратность 2 — знак при переходе через него не меняется. Это важно учитывать.

Пример 4 (уровень В). Реши $\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-4} < 0$.

Критические точки: $x = 1$ (кратность 2, числитель), $x = -2$ (кратность 1, числитель), $x = 4$ (знаменатель).

Упорядочим: $-2, 1, 4$.

Знак на $(4;\,+\infty)$: берём $x = 5$: $\dfrac{16 \cdot 7}{1} > 0$ — плюс.

Переходим через $x = 4$: знак меняется → $(1;\,4)$ — минус.

Через $x = 1$ (кратность 2): знак не меняется → $(-2;\,1)$ — минус.

Через $x = -2$: знак меняется → $(-\infty;\,-2)$ — плюс.

Нужен «$< 0$»: промежутки с минусом — $(-2;\,1)$ и $(1;\,4)$.

Точку $x = 1$: выражение $= 0$ (числитель), строгое неравенство — не включаем.

Ответ: $x \in (-2;\,1) \cup (1;\,4)$.

Неравенство нельзя решить умножением на знаменатель

Типичная ошибка: $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ → умножить на $g(x)$ → $f(x) > 0$.

Это неверно: если $g(x) < 0$ на каком-то промежутке, знак неравенства должен поменяться. Правильно — всегда метод интервалов, не умножение.

Связь с другими темами

• Метод интервалов — базовый инструмент.
• Квадратные неравенства — частный случай рациональных.
• Логарифмические неравенства — после логарифмирования часто получается рациональное неравенство.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 14 — параметрическое неравенство с дробью.
• Задание 15 — сложное неравенство с рациональным выражением.