Рациональные неравенства: метод интервалов с дробью

Рациональные неравенства — неравенства, в которых переменная стоит в числителе и/или знаменателе дроби. Главный инструмент — метод интервалов, применённый правильно с учётом ОДЗ. На этой странице разберём базовый алгоритм по шагам, покажем его на примерах нарастающей сложности и отдельно остановимся на двух местах, где чаще всего теряют баллы: на запрете умножать на знаменатель неизвестного знака и на работе с кратными корнями.

Зачем это нужно. Рациональные неравенства — это «рабочая лошадка» задания 15. Более того, к ним сводятся почти все остальные неравенства из этого задания: логарифмические — после замены, показательные — после приведения к общему основанию, дробные с корнями — после возведения в степень. Освоив метод интервалов для дробей, ты получаешь универсальный финальный шаг для большинства неравенств второй части.

Что такое рациональное неравенство

Рациональное неравенство — это неравенство вида: $\frac{P(x)}{Q(x)} > 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \geq 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} < 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0$

где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены. Ключевое отличие от обычных неравенств: $Q(x) \neq 0$ (нули знаменателя не входят в ОДЗ).

Идея метода интервалов проста: дробь $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ меняет знак только в тех точках, где числитель или знаменатель обращается в ноль. Между этими точками знак постоянен, поэтому достаточно проверить его один раз на каждом промежутке. Числовая прямая разбивается критическими точками на куски, и на каждом куске дробь либо всюду положительна, либо всюду отрицательна. Остаётся выбрать те куски, где знак совпадает с условием неравенства.

Алгоритм решения методом интервалов

Шаг 1. Перенеси всё в левую часть: $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$. Это самый недооценённый шаг — если справа стоит число (не ноль), его обязательно нужно перенести влево и привести всё к одной дроби. Сравнивать дробь с числом «крест-накрест» нельзя: знаменатель может быть отрицательным.

Шаг 2. Разложи числитель и знаменатель на множители (если возможно). Каждый множитель должен быть линейным $(x - a)$ или квадратным с известными корнями. Именно множители, а не «общий вид», позволяют увидеть нули и их кратности.

Шаг 3. Найди все корни $P(x) = 0$ и $Q(x) = 0$ — это критические точки. Отметь на числовой оси, сразу различая два типа: нули числителя (могут входить в ответ) и нули знаменателя (выколоты всегда). Удобно сразу рисовать выколотые точки кружком, а закрашенные — точкой, чтобы при записи ответа не перепутать скобки.

Шаг 4. Определи знак выражения на крайнем правом промежутке (подставь любое большое $x$, например $x = 1000$). На крайнем правом промежутке все множители вида $(x - a)$ положительны, поэтому знак дроби легко определить по знакам коэффициентов. Далее знак чередуется при переходе через каждую простую критическую точку (кратность 1) и сохраняется через точки чётной кратности.

Шаг 5. Запиши ответ: промежутки с нужным знаком. Точки нулей числителя включай при $\geq$ или $\leq$ (но не нули знаменателя!).

Примеры

Пример 1 (уровень А). Реши $\dfrac{x - 3}{x + 1} > 0$.

Критические точки: числитель $= 0 \Rightarrow x = 3$; знаменатель $= 0 \Rightarrow x = -1$.

Знак на $(3;\,+\infty)$: возьмём $x = 4$: $\dfrac{1}{5} > 0$ — плюс. Можно и не подставлять число: при больших $x$ и числитель $(x - 3)$, и знаменатель $(x + 1)$ положительны, значит дробь положительна.

Знак чередуется: $(-1;\,3)$ — минус; $(-\infty;\,-1)$ — плюс. Оба корня простые, поэтому при каждом переходе знак переключается.

Нужен «> 0»: промежутки с плюсом — $(-\infty;\,-1)$ и $(3;\,+\infty)$.

ОДЗ: $x \neq -1$. Нули числителя $x = 3$ не включаем (строгое неравенство).

Ответ: $x \in (-\infty;\,-1) \cup (3;\,+\infty)$.

Это самый базовый случай: и числитель, и знаменатель линейны, корни простые. Заметь, что точка $x = -1$ выколота, хотя дробь в ней не определена (деление на ноль), а $x = 3$ выколота из-за строгого знака. Если бы неравенство было $\ge 0$, то $x = 3$ вошёл бы в ответ, а $x = -1$ всё равно остался бы выколотым — нуль знаменателя запрещён при любом знаке. Это фундаментальное различие между нулями числителя и знаменателя.

Пример 2 (уровень А). Реши $\dfrac{2x - 1}{x^2 - 4} \leq 0$.

Разложим: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Критические точки: $x = \frac{1}{2}$ (числитель), $x = 2$ и $x = -2$ (знаменатель).

Упорядочим: $-2, \frac{1}{2}, 2$.

Знак на $(2;\,+\infty)$: возьмём $x = 3$: $\dfrac{5}{5} = 1 > 0$ — плюс.

Чередование (все корни простые): $(\frac{1}{2};\,2)$ — минус; $(-2;\,\frac{1}{2})$ — плюс; $(-\infty;\,-2)$ — минус.

Нужен «$\leq 0$»: минус-промежутки $(-\infty;\,-2)$ и $(\frac{1}{2};\,2)$.

Включаем ли концы? $x = \frac{1}{2}$: включаем (числитель, знак $\leq$). $x = -2$ и $x = 2$: не включаем (знаменатель, ОДЗ).

Ответ: $x \in (-\infty;\,-2) \cup \left[\dfrac{1}{2};\,2\right)$.

Здесь три критические точки и четыре промежутка, поэтому особенно важно не запутаться в чередовании. Знак справа — плюс, дальше он меняется при каждом переходе (все корни простые): плюс, минус, плюс, минус слева направо. Заметь асимметрию концов в ответе: $\dfrac12$ закрашена (нуль числителя при нестрогом знаке), а $2$ и $-2$ выколоты (нули знаменателя). Именно эта разница между «закрашенным» нулём числителя и «выколотым» нулём знаменателя — то, что отличает рациональное неравенство от обычного многочленного.

Пример 3 (уровень Б). Реши $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6} > 1$.

Переносим: $\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - x - 6} - 1 > 0$.

Общий знаменатель: $\dfrac{x^2 - 4 - (x^2 - x - 6)}{x^2 - x - 6} > 0 = \dfrac{x + 2}{x^2 - x - 6} > 0$.

Разложим знаменатель: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$.

Упрощаем дробь: при $x \neq -2$ множитель $(x + 2)$ сокращается в числителе и знаменателе: $\dfrac{x+2}{(x-3)(x+2)} = \dfrac{1}{x-3}$.

Знак у $\dfrac{1}{x-3}$: положителен при $x > 3$, отрицателен при $x < 3$.

Но $x \neq -2$ и $x \neq 3$ (из исходного знаменателя).

Нужен «$> 0$»: дробь $\dfrac{1}{x - 3}$ положительна там, где знаменатель положителен, то есть $x > 3$.

Ответ: $x \in (3;\,+\infty)$.

Этот пример показывает важнейший приём: неравенство со «свободным» числом справа нужно сначала привести к виду «дробь сравнивается с нулём». Нельзя решать $\dfrac{\ldots}{\ldots} > 1$, сравнивая с единицей напрямую — сначала переносим единицу влево и приводим к общему знаменателю. После упрощения дробь сократилась до $\dfrac{1}{x - 3}$, но осторожно: сокращение на $(x + 2)$ законно только при $x \neq -2$, поэтому точка $x = -2$ всё равно выколота из ОДЗ. В данном случае она не попала бы в ответ и так (там дробь отрицательна), но в других задачах «потерянная» при сокращении точка может оказаться внутри «хорошего» интервала — и тогда её обязательно надо выколоть отдельно.

Кратные корни и знакочередование

Если корень имеет кратность 2 — знак при переходе через него не меняется. Это важно учитывать. Кратность корня — это степень, в которой соответствующий множитель входит в разложение: в $(x - 1)^2$ корень $x = 1$ имеет кратность $2$, в $(x - 1)^3$ — кратность $3$. Правило простое: через корень нечётной кратности знак меняется, через чётную — сохраняется. Самая частая ошибка — машинально менять знак во всех точках, забыв про квадрат в числителе или знаменателе.

Пример 4 (уровень В). Реши $\dfrac{(x-1)^2(x+2)}{x-4} < 0$.

Критические точки: $x = 1$ (кратность 2, числитель), $x = -2$ (кратность 1, числитель), $x = 4$ (знаменатель).

Упорядочим критические точки по возрастанию на числовой прямой: $-2, 1, 4$.

Знак на $(4;\,+\infty)$: берём $x = 5$: $\dfrac{16 \cdot 7}{1} > 0$ — плюс.

Переходим через $x = 4$ (простой корень знаменателя): знак меняется → $(1;\,4)$ — минус.

Через $x = 1$ (кратность 2, двойной корень числителя): знак не меняется, остаётся минусом → $(-2;\,1)$ — минус.

Через $x = -2$ (простой корень числителя): знак меняется → $(-\infty;\,-2)$ — плюс.

Нужен «$< 0$»: выбираем промежутки с минусом — это $(-2;\,1)$ и $(1;\,4)$.

Точку $x = 1$: выражение $= 0$ (числитель), строгое неравенство — не включаем.

Ответ: $x \in (-2;\,1) \cup (1;\,4)$.

Этот пример объединяет всё сразу: простой корень в знаменателе ($x = 4$, знак меняется и точка выколота), двойной корень в числителе ($x = 1$, знак сохраняется, точка выколота из-за строгого знака), простой корень в числителе ($x = -2$, знак меняется, точка была бы закрашена при нестрогом знаке). Пройдя такой пример внимательно, ты отрабатываешь сразу три механизма метода интервалов.

Обрати внимание на «выколотую точку внутри интервала»: $x = 1$ — это корень числителя чётной кратности, в нём дробь равна нулю, но из-за строгого знака $< 0$ он не входит в ответ. Поэтому интервал $(-2; 4)$ разрывается в точке $1$, и ответ записывается как два куска $(-2; 1) \cup (1; 4)$. Если бы знак был нестрогим ($\le 0$), то точка $1$ вошла бы (числитель ноль — дробь ноль, что удовлетворяет $\le 0$), и ответ слился бы в один отрезок $[-2; 4)$ без точки $4$. Тонкость с одной точкой внутри интервала — классический источник потери балла.

Пример 5: неравенство со сменой знака (уровень Б)

Реши $\dfrac{3 - x}{x + 5} \ge 0$.

В числителе стоит $3 - x$, а не $x - 3$ — это удобно сразу превратить в привычный вид, вынеся минус: $3 - x = -(x - 3)$. Тогда неравенство $\dfrac{-(x - 3)}{x + 5} \ge 0$ равносильно $\dfrac{x - 3}{x + 5} \le 0$ (умножили на $-1$, знак развернулся).

Критические точки: $x = 3$ (числитель, закрашен), $x = -5$ (знаменатель, выколот).

Знак справа ($x \to +\infty$): дробь положительна. Через $x = 3$ меняется на минус, через $x = -5$ снова на плюс.

Нужен «$\le 0$»: промежуток с минусом — $(-5; 3]$. Точка $3$ входит (числитель ноль, нестрогий знак), точка $-5$ выколота (знаменатель).

Ответ: $x \in (-5;\, 3]$.

Вывод. Когда переменная стоит «наоборот» ($a - x$ вместо $x - a$), сначала приведи множитель к стандартному виду $(x - a)$, аккуратно отслеживая знак. Иначе легко перепутать направление чередования.

Неравенство нельзя решить умножением на знаменатель

Главная ловушка рациональных неравенств заслуживает отдельного разбора, потому что на ней спотыкаются чаще всего.

Типичная ошибка: $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ → умножить на $g(x)$ → $f(x) > 0$.

Это неверно: если $g(x) < 0$ на каком-то промежутке, знак неравенства должен поменяться. Правильно — всегда метод интервалов, не умножение.

Можно умножать только на заведомо положительное выражение. Например, на $g(x)^2$ (квадрат всегда неотрицателен) умножать можно — это безопасный приём избавиться от знаменателя: неравенство $\dfrac{f(x)}{g(x)} > 0$ равносильно $f(x) \cdot g(x) > 0$ (умножили на $g(x)^2 > 0$), не забыв исключить $g(x) = 0$ из ОДЗ. Этот трюк иногда удобнее, чем работа с дробью напрямую, особенно когда знаменатель сложный.

Как не потерять ОДЗ

ОДЗ рационального неравенства — это всего лишь условие «знаменатель не равен нулю». Но именно его теряют чаще всего. Возьми за правило: первым делом выпиши нули знаменателя и сразу пометь их как выколотые, ещё до расстановки знаков. Тогда, какой бы знак ни вышел в этих точках, они уже исключены, и ты не включишь их в ответ по ошибке.

Особое внимание — задачам, где знаменатель сокращается с частью числителя. Сокращение упрощает дробь, но не отменяет запрета: точка, в которой исходный знаменатель обращался в ноль, остаётся вне ОДЗ навсегда, даже если в упрощённом выражении её «не видно». Поэтому ОДЗ всегда определяй по исходному неравенству, до всяких сокращений.

Что запомнить

1. Приведи к виду «дробь $\gtrless 0$»: перенеси всё влево, приведи к общему знаменателю. Не сравнивай с числом справа напрямую.
2. Раздели на множители числитель и знаменатель, найди все нули с указанием кратности.
3. Нули числителя входят в ответ при нестрогом знаке (закрашены), выколоты при строгом. Нули знаменателя всегда выколоты.
4. Знак чередуется через простые корни и сохраняется через корни чётной кратности.
5. Никогда не умножай на знаменатель неизвестного знака. Можно умножить на его квадрат (он положителен), исключив нули из ОДЗ.
6. ОДЗ определяй по исходному неравенству, до сокращений — иначе потеряешь выколотые точки.

Эти шесть пунктов закрывают подавляющее большинство рациональных неравенств задания 15. Более сложные конструкции — с кратными корнями высокой степени, дробями внутри дробей, модулями — разобраны на странице расширенный метод интервалов.

Связь с другими темами

• Метод интервалов — базовый инструмент.
• Квадратные неравенства — частный случай рациональных.
• Логарифмические неравенства — после логарифмирования часто получается рациональное неравенство.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 14 — параметрическое неравенство с дробью.
• Задание 15 — сложное неравенство с рациональным выражением.