Логарифмические уравнения — методы решения и задачи ЕГЭ

Логарифмические уравнения — основной блок задания 13 ЕГЭ. Главная сложность не в технике, а в ОДЗ: потерять область определения — потерять балл. Разберём все типы: простейшие, с одной заменой, с разными основаниями, с модулем.

Что такое логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма. Примеры:

• ${\log }_{2}x=3$;
• ${\log }_3(x+1)={\log }_3(2x-5)$;
• ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2=0$.

Все они решаются одним подходом: сначала ОДЗ, потом упрощение, потом решение, потом проверка корней.

ОДЗ — обязательный шаг

Область допустимых значений для логарифмического уравнения состоит из трёх ограничений:

1. Каждый аргумент логарифма строго положителен: $f(x)>0$ для всех ${\log }_{a}f(x)$.
2. Основание каждого логарифма строго положительно: $a>0$.
3. Основание не равно 1: $a\ne 1$.

Если основание в уравнении фиксированное число (например, 2 или 10), условия 2 и 3 выполняются автоматически. Если основание зависит от $x$ — придётся ограничивать.

Свойства логарифмов (краткая памятка)

Пять ключевых свойств, которые нужны для решения уравнений.

Логарифм произведения. ${\log }_a(xy)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ при $x>0$, $y>0$.

Логарифм частного. ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ при $x>0$, $y>0$.

Логарифм степени. ${\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x$ при $x>0$.

Переход к другому основанию. ${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{c}x}{{\log }_{c}a}$ при $c>0$, $c\ne 1$.

Основное логарифмическое тождество. $a^{{\log }_{a}x}=x$ при $x>0$.

При применении свойств обязательно следи за ОДЗ. Например, свойство логарифма степени ${\log }_a{x}^n=n{\log }_{a}x$ требует $x>0$, а без ограничения работает только ${\log }_a{x}^n=n{\log }_a|x|$.

Простейшее уравнение

Уравнение вида ${\log }_{a}x=b$ решается напрямую. По определению логарифма:

$x=a^b$

Пример. ${\log }_{2}x=5$. Тогда $x=2^5=32$.

Проверка ОДЗ: $x=32>0$ — входит. Ответ: $x=32$.

Уравнение ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)$

При одинаковых основаниях уравнение сводится к алгебраическому:

$f(x)=g(x)$

Но обязательно при условиях $f(x)>0$ и $g(x)>0$ (ОДЗ).

Алгоритм:

1. Выпиши ОДЗ: $f(x)>0$ и $g(x)>0$.
2. Реши $f(x)=g(x)$.
3. Проверь каждый корень: входит ли он в ОДЗ.
4. В ответе — только те корни, что прошли проверку.

Замена переменной

Уравнение вида ${\log }_a^{2}x+p{\log }_{a}x+q=0$ становится квадратным после замены $t={\log }_{a}x$:

$t^2+pt+q=0$

Решаешь квадратное уравнение, получаешь $t_1$ и $t_2$. Для каждого $t_i$ возвращаешься к $x$:

${\log }_{a}x=t_i⟹x=a^{t_i}$

Не забывай проверить ОДЗ для каждого $x$.

Разные основания

Если в уравнении логарифмы с разными основаниями — приводи к одному через формулу перехода.

Пример. ${\log }_{2}x+{\log }_{4}x=3$.

Перепиши ${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}=\frac{{\log }_{2}x}{2}$. Подставь:

${\log }_{2}x+\frac{{\log }_{2}x}{2}=3⟹\frac{3{\log }_{2}x}{2}=3⟹{\log }_{2}x=2$

Значит $x=4$.

Алгоритм решения

1. Выпиши ОДЗ (все условия на положительность аргументов и основания).
2. Упрости: применяй свойства логарифмов, приводи к одному основанию.
3. Если можно — сведи к одному из двух шаблонов: простейшее ${\log }_{a}x=b$ или ${\log }_{a}f={\log }_{a}g$.
4. Если шаблоны не видны — попробуй замену $t={\log }_{a}x$.
5. Реши полученное алгебраическое уравнение.
6. Проверь каждый корень по ОДЗ.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение ${\log }_2(x+3)=4$.

Решение. ОДЗ: $x+3>0$, то есть $x>-3$.

По определению логарифма: $x+3=2^4=16$. Значит $x=13$.

Проверка ОДЗ: $13>-3$ — входит.

Ответ: $x=13$.

Типичная ошибка. Написать $x+3=4$, путая определение логарифма. ${\log }_{a}x=b$ означает $x=a^b$, а не $x=b$.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение ${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6=0$.

Решение. ОДЗ: $x>0$.

Замена: $t={\log }_{3}x$. Уравнение превращается в $t^2-5t+6=0$.

По теореме Виета: $t_1+t_2=5$, $t_1{t}_2=6$. Корни $t_1=2$, $t_2=3$.

Возвращаемся к $x$:

• ${\log }_{3}x=2\Rightarrow x=9$;
• ${\log }_{3}x=3\Rightarrow x=27$.

Оба корня положительны — входят в ОДЗ.

Ответ: $x=9$ и $x=27$.

Типичная ошибка. Забыть ОДЗ и не проверить, что оба корня положительные. В этой задаче оба подходят, но в других замена может дать отрицательный $t$ с корнем вида $x=a^t$ — положительным, — а другой корень уравнения может оказаться отрицательным. Всегда проверяй.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение ${\log }_2(x^2-1)={\log }_2(3x-3)$.

Решение. ОДЗ: $x^2-1>0$ и $3x-3>0$.

Первое условие: $x^2>1$, то есть $x<-1$ или $x>1$. Второе: $x>1$. Пересечение: $x>1$.

При одинаковых основаниях: $x^2-1=3x-3$. Переносим всё в одну сторону:

$x^2-3x+2=0$

По Виета: корни $x_1=1$, $x_2=2$.

Проверка ОДЗ: $x=1$ не входит (нужно $x>1$, строго), $x=2$ входит.

Ответ: $x=2$.

Типичная ошибка. Принять $x=1$ в ответ, забыв что ОДЗ требует $x>1$ строго. Потеря балла гарантирована.

Типичные ошибки

1. Забыть ОДЗ. Самая частая ошибка. Перед решением всегда выписывай систему на положительность аргументов.
2. Применять ${\log }_{a}xy={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$ без проверки знаков. Свойство работает при $x>0$ и $y>0$. Если одно из них отрицательно, правильная формула — через модуль или через раздельный знак.
3. Путать основание и аргумент. ${\log }_{2}3$ — логарифм числа 3 по основанию 2 (это число около $1,58$), а не наоборот.
4. Забывать об ограничении на основание. $a>0$, $a\ne 1$. Если в задаче основание зависит от параметра — проверяй эти условия отдельно.
5. Не проверять корни в исходном уравнении. После преобразований могут появиться посторонние решения. Подстановка в исходное уравнение — обязательна.

Связь с другими темами

• Показательные уравнения — логарифмические и показательные уравнения взаимно обратны: логарифмирование превращает показательное в логарифмическое, потенцирование — наоборот.
• Квадратные уравнения — после замены $t={\log }_{a}x$ логарифмическое уравнение часто становится квадратным. Без уверенного владения квадратными уравнениями — к логарифмам не подступиться.
• Метод интервалов — для логарифмических неравенств (родственная тема) метод интервалов применяется в обобщённой форме.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — простейшие логарифмические уравнения вида ${\log }_{a}x=b$ встречаются здесь.
• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — основной номер для логарифмических уравнений. Часто комбинируются с тригонометрическими через замену или с показательными через потенцирование. 2 балла за полное решение.