Логарифмические уравнения — методы решения и задачи ЕГЭ

Логарифмические уравнения — основной блок задания 13 ЕГЭ. Главная сложность не в технике, а в ОДЗ: потерять область определения — потерять балл. Разберём все типы: простейшие, с одной заменой, с разными основаниями, с модулем.

Что такое логарифмическое уравнение

Логарифмическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная стоит под знаком логарифма. Примеры:

• $\log_2 x = 3$;
• $\log_3(x + 1) = \log_3(2x - 5)$;
• $\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0$.

Все они решаются одним подходом: сначала ОДЗ, потом упрощение, потом решение, потом проверка корней.

ОДЗ — обязательный шаг

Область допустимых значений для логарифмического уравнения состоит из трёх ограничений:

1. Каждый аргумент логарифма строго положителен: $f(x) > 0$ для всех $\log_a f(x)$.
2. Основание каждого логарифма строго положительно: $a > 0$.
3. Основание не равно 1: $a \ne 1$.

Если основание в уравнении фиксированное число (например, 2 или 10), условия 2 и 3 выполняются автоматически. Если основание зависит от $x$ — придётся ограничивать.

Свойства логарифмов (краткая памятка)

Пять ключевых свойств, которые нужны для решения уравнений.

Логарифм произведения. $\log_a(x y) = \log_a x + \log_a y$ при $x > 0$, $y > 0$.

Логарифм частного. $\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ при $x > 0$, $y > 0$.

Логарифм степени. $\log_a x^n = n \log_a x$ при $x > 0$.

Переход к другому основанию. $\log_a x = \dfrac{\log_c x}{\log_c a}$ при $c > 0$, $c \ne 1$.

Основное логарифмическое тождество. $a^{\log_a x} = x$ при $x > 0$.

При применении свойств обязательно следи за ОДЗ. Например, свойство логарифма степени $\log_a x^n = n\log_a x$ требует $x > 0$, а без ограничения работает только $\log_a x^n = n\log_a |x|$.

Простейшее уравнение

Уравнение вида $\log_a x = b$ решается напрямую. По определению логарифма:

$x = a^b$

Пример. $\log_2 x = 5$. Тогда $x = 2^5 = 32$.

Проверка ОДЗ: $x = 32 > 0$ — входит. Ответ: $x = 32$.

Уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$

При одинаковых основаниях уравнение сводится к алгебраическому:

$f(x) = g(x)$

Но обязательно при условиях $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ (ОДЗ).

Алгоритм:

1. Выпиши ОДЗ: $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.
2. Реши $f(x) = g(x)$.
3. Проверь каждый корень: входит ли он в ОДЗ.
4. В ответе — только те корни, что прошли проверку.

Замена переменной

Уравнение вида $\log_a^2 x + p \log_a x + q = 0$ становится квадратным после замены $t = \log_a x$:

$t^2 + p t + q = 0$

Решаешь квадратное уравнение, получаешь $t_1$ и $t_2$. Для каждого $t_i$ возвращаешься к $x$:

$\log_a x = t_i \quad \Longrightarrow \quad x = a^{t_i}$

Не забывай проверить ОДЗ для каждого $x$.

Разные основания

Если в уравнении логарифмы с разными основаниями — приводи к одному через формулу перехода.

Пример. $\log_2 x + \log_4 x = 3$.

Перепиши $\log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{\log_2 x}{2}$. Подставь:

$\log_2 x + \frac{\log_2 x}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3\log_2 x}{2} = 3 \quad \Longrightarrow \quad \log_2 x = 2$

Значит $x = 4$.

Алгоритм решения

1. Выпиши ОДЗ (все условия на положительность аргументов и основания).
2. Упрости: применяй свойства логарифмов, приводи к одному основанию.
3. Если можно — сведи к одному из двух шаблонов: простейшее $\log_a x = b$ или $\log_a f = \log_a g$.
4. Если шаблоны не видны — попробуй замену $t = \log_a x$.
5. Реши полученное алгебраическое уравнение.
6. Проверь каждый корень по ОДЗ.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $\log_2(x + 3) = 4$.

Решение. ОДЗ: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$.

По определению логарифма: $x + 3 = 2^4 = 16$. Значит $x = 13$.

Проверка ОДЗ: $13 > -3$ — входит.

Ответ: $x = 13$.

Типичная ошибка. Написать $x + 3 = 4$, путая определение логарифма. $\log_a x = b$ означает $x = a^b$, а не $x = b$.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $\log_3^2 x - 5\log_3 x + 6 = 0$.

Решение. ОДЗ: $x > 0$.

Замена: $t = \log_3 x$. Уравнение превращается в $t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 5$, $t_1 t_2 = 6$. Корни $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Возвращаемся к $x$:

• $\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9$;
• $\log_3 x = 3 \Rightarrow x = 27$.

Оба корня положительны — входят в ОДЗ.

Ответ: $x = 9$ и $x = 27$.

Типичная ошибка. Забыть ОДЗ и не проверить, что оба корня положительные. В этой задаче оба подходят, но в других замена может дать отрицательный $t$ с корнем вида $x = a^t$ — положительным, — а другой корень уравнения может оказаться отрицательным. Всегда проверяй.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $\log_2(x^2 - 1) = \log_2(3x - 3)$.

Решение. ОДЗ: $x^2 - 1 > 0$ и $3x - 3 > 0$.

Первое условие: $x^2 > 1$, то есть $x < -1$ или $x > 1$. Второе: $x > 1$. Пересечение: $x > 1$.

При одинаковых основаниях: $x^2 - 1 = 3x - 3$. Переносим всё в одну сторону:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

По Виета: корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Проверка ОДЗ: $x = 1$ не входит (нужно $x > 1$, строго), $x = 2$ входит.

Ответ: $x = 2$.

Типичная ошибка. Принять $x = 1$ в ответ, забыв что ОДЗ требует $x > 1$ строго. Потеря балла гарантирована.

Типичные ошибки

1. Забыть ОДЗ. Самая частая ошибка. Перед решением всегда выписывай систему на положительность аргументов.
2. Применять $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$ без проверки знаков. Свойство работает при $x > 0$ и $y > 0$. Если одно из них отрицательно, правильная формула — через модуль или через раздельный знак.
3. Путать основание и аргумент. $\log_2 3$ — логарифм числа 3 по основанию 2 (это число около $1{,}58$), а не наоборот.
4. Забывать об ограничении на основание. $a > 0$, $a \ne 1$. Если в задаче основание зависит от параметра — проверяй эти условия отдельно.
5. Не проверять корни в исходном уравнении. После преобразований могут появиться посторонние решения. Подстановка в исходное уравнение — обязательна.

Связь с другими темами

• Показательные уравнения — логарифмические и показательные уравнения взаимно обратны: логарифмирование превращает показательное в логарифмическое, потенцирование — наоборот.
• Квадратные уравнения — после замены $t = \log_a x$ логарифмическое уравнение часто становится квадратным. Без уверенного владения квадратными уравнениями — к логарифмам не подступиться.
• Метод интервалов — для логарифмических неравенств (родственная тема) метод интервалов применяется в обобщённой форме.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — простейшие логарифмические уравнения вида $\log_a x = b$ встречаются здесь.
• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — основной номер для логарифмических уравнений. Часто комбинируются с тригонометрическими через замену или с показательными через потенцирование. 2 балла за полное решение.