Системы неравенств: пересечение решений

Системы неравенств — естественное расширение одиночных. Если у тебя есть несколько условий, которые должны выполняться одновременно, ты записываешь систему. Решение — общее множество для всех.

Определение

Система неравенств — несколько неравенств с одной переменной, объединённых требованием «все одновременно». Записывается через фигурную скобку:

$\begin{cases} f_1(x) > 0 \\ f_2(x) \leq 5 \\ \cdots \end{cases}$

Решение системы — все значения $x$, при которых каждое неравенство выполнено.

Геометрически на числовой прямой решение — пересечение множеств решений отдельных неравенств.

Алгоритм решения

1. Решить каждое неравенство системы отдельно. Получить множество решений каждого (обычно интервал или объединение интервалов).
2. Изобразить все множества на одной числовой прямой друг под другом.
3. Найти пересечение — те участки, где все множества «совпадают».
4. Записать ответ в виде интервала или объединения интервалов.

Простой пример

Условие. Решить систему: $\begin{cases} x \geq 2 \\ x < 5 \end{cases}$

Решение.

Первое неравенство: $x \in [2;\,+\infty)$. На прямой — луч от $2$ вправо, концом включён.

Второе неравенство: $x \in (-\infty;\,5)$. На прямой — луч до $5$ влево, конец не включён.

Пересечение: $x \in [2;\,5)$ — все числа от $2$ (включительно) до $5$ (не включая).

Ответ. $x \in [2;\,5)$.

Часто такой ответ короче записывают двойным неравенством: $2 \leq x < 5$.

Пример со сложными неравенствами

Условие. Решить систему: $\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ \log_2 (x + 3) \geq 0 \end{cases}$

Решение.

Неравенство 1. $x^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2$. Множество: $(-2;\,2)$.

Неравенство 2. ОДЗ: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$. Само: $\log_2 (x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow x + 3 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq -2$. С учётом ОДЗ: $x \geq -2$.

Пересечение. $(-2;\,2)$ И $[-2;\,+\infty)$. Результат: $[-2;\,2) \cap (-2;\,+\infty)$. Будь внимателен: точка $x = -2$ во втором решении — включена, в первом — не включена (там строгое неравенство). Значит, $-2$ не входит в общее множество.

Ответ. $x \in (-2;\,2)$.

Системы и совокупности

В задаче типа «найти $x$, удовлетворяющие $|x| < 3$ или $x > 10$» — это совокупность. Ответ: $(-3;\,3) \cup (10;\,+\infty)$.

Метод интервалов в системе

Когда в системе встречаются неравенства типа $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$ или $P(x) \cdot Q(x) > 0$ — каждое решается методом интервалов.

Кратко: находишь корни числителя и знаменателя (или сомножителей), наносишь на прямую, расставляешь знаки на интервалах, выбираешь те, где знак подходит.

Подробный разбор — на странице Метод интервалов.

ОДЗ системы

Прежде чем решать, выпиши общее ОДЗ системы — пересечение ОДЗ каждого неравенства. Это удобно: все полученные решения автоматически проверяются на ОДЗ.

Пример. $\begin{cases} \log_3 (x - 1) \leq 2 \\ \sqrt{4 - x} \geq 1 \end{cases}$

ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $4 - x \geq 0$ → $x > 1$ и $x \leq 4$ → $x \in (1;\,4]$.

Дальше каждое неравенство решается на этом множестве.

Применение в задаче 15 ЕГЭ

Задание 15 — неравенство (часто логарифмическое или показательное). Часто после раскрытия логарифма / возведения в степень получается система, в которой одно условие — основное, другие — ОДЗ.

Пример. $\log_2 (x - 1) \cdot \log_2 (3 - x) > 0$. После анализа знаков получаем систему:

$\begin{cases} (x - 1) > 1 \text{ И } (3 - x) > 1 \\ \text{или} \\ 0 < (x - 1) < 1 \text{ И } 0 < (3 - x) < 1 \end{cases}$

(То есть оба логарифма одного знака.) Каждый случай — система, потом объединение случаев — совокупность.

Графический подход

Для двух неравенств с одной переменной можно нарисовать обе функции и посмотреть, где обе выполнены.

Пример. Решить: $\begin{cases} x^2 \leq 4 \\ |x - 1| > 1 \end{cases}$

Первое: $x \in [-2;\,2]$.

Второе: $|x - 1| > 1 \Leftrightarrow x - 1 > 1$ или $x - 1 < -1$ → $x > 2$ или $x < 0$.

Пересечение: $[-2;\,2] \cap ((-\infty;\,0) \cup (2;\,+\infty)) = [-2;\,0) \cup \emptyset = [-2;\,0)$.

(Точка $x = 2$ во втором — не входит, $x = 0$ — не входит.)

Ответ. $x \in [-2;\,0)$.

Распространённые ошибки

1. Брать объединение вместо пересечения. Это самая частая ошибка. В системе — пересечение (что общее), не объединение.

2. Не учитывать ОДЗ. Если есть логарифм или корень — обязательно. Без ОДЗ можно получить «решения», которые не имеют смысла.

3. Невнимательно работать с концами интервалов. Открытый или закрытый? Если в одном неравенстве конец включён, а в другом — нет, в пересечении конец не включён.

4. Путать систему и совокупность. Фигурная скобка — система (И), квадратная — совокупность (ИЛИ).

5. Решать систему «глобально», не разбираясь с каждым неравенством. Сначала каждое отдельно, потом — пересечение. «Глобальный» подход обычно ведёт к ошибкам.

Разобранный пример (задание 15 ЕГЭ)

Условие. Решить систему: $\begin{cases} 2^x \geq 8 \\ \log_3 (5 - x) > 0 \end{cases}$

Решение.

Неравенство 1. $2^x \geq 8 = 2^3$. Так как $2 > 1$, можно сравнить показатели: $x \geq 3$. Множество: $[3;\,+\infty)$.

Неравенство 2. ОДЗ: $5 - x > 0$, то есть $x < 5$. Само: $\log_3 (5 - x) > 0 = \log_3 1 \Leftrightarrow 5 - x > 1 \Leftrightarrow x < 4$. С ОДЗ: $x < 4$.

Пересечение. $[3;\,+\infty) \cap (-\infty;\,4) = [3;\,4)$.

Ответ. $x \in [3;\,4)$.

Что запомнить

• Система — все условия одновременно (И, пересечение).
• Совокупность — хотя бы одно (ИЛИ, объединение).
• Сначала каждое неравенство отдельно, потом пересекать.
• Концы — внимательно: открытый/закрытый.
• Общее ОДЗ — выписать в начале.

Связь с другими темами

• Квадратные неравенства — частый компонент системы.
• Метод интервалов — для дробных и произведений.
• Логарифмические неравенства — частый компонент.