Системы неравенств: пересечение решений

Системы неравенств — естественное расширение одиночных. Если у тебя есть несколько условий, которые должны выполняться одновременно, ты записываешь систему. Решение — общее множество для всех.

Главная идея темы укладывается в одно слово: пересечение. Каждое неравенство задаёт своё множество решений на числовой прямой, а решение системы — это та часть, где все множества накладываются друг на друга. Поэтому ключевой навык здесь не алгебраический, а геометрический: умение аккуратно рисовать числовую прямую, отмечать на ней решения каждого неравенства и находить общую зону. Разберём определение, алгоритм, отличие системы от совокупности, роль ОДЗ и применение в заданиях 14 и 15. Сами неравенства внутри системы могут быть любого типа — линейные, квадратные, дробные, логарифмические — и решаются своими методами; система лишь связывает их требованием «всё одновременно».

Определение

Система неравенств — несколько неравенств с одной переменной, объединённых требованием «все одновременно». Записывается через фигурную скобку:

$\begin{cases} f_1(x) > 0 \\ f_2(x) \leq 5 \\ \cdots \end{cases}$

Решение системы — все значения $x$, при которых каждое неравенство выполнено.

Геометрически на числовой прямой решение — пересечение множеств решений отдельных неравенств.

Алгоритм решения

1. Решить каждое неравенство системы отдельно. Получить множество решений каждого (обычно интервал или объединение интервалов).
2. Изобразить все множества на одной числовой прямой друг под другом.
3. Найти пересечение — те участки, где все множества «совпадают».
4. Записать ответ в виде интервала или объединения интервалов.

Самый надёжный инструмент на шаге 3 — рисунок. Проведи горизонтальную числовую прямую и над ней, друг под другом, заштрихуй решение каждого неравенства отдельной линией. Там, где штриховки всех неравенств накладываются, и находится пересечение — решение системы. Для концов используй разные значки: закрашенный кружок для включённой точки (нестрогий знак), пустой для выколотой (строгий). Такой рисунок наглядно показывает и общую зону, и правильные скобки в ответе — без него легко ошибиться, особенно когда неравенств три или больше.

Простой пример

Условие. Решить систему: $\begin{cases} x \geq 2 \\ x < 5 \end{cases}$

Решение.

Первое неравенство: $x \in [2;\,+\infty)$. На прямой — луч от $2$ вправо, концом включён.

Второе неравенство: $x \in (-\infty;\,5)$. На прямой — луч до $5$ влево, конец не включён.

Пересечение: $x \in [2;\,5)$ — все числа от $2$ (включительно) до $5$ (не включая).

Ответ. $x \in [2;\,5)$.

Часто такой ответ короче записывают двойным неравенством: $2 \leq x < 5$.

Обрати внимание, как пересечение «съедает» лишнее. Первый луч $[2; +\infty)$ тянется бесконечно вправо, второй $(-\infty; 5)$ — бесконечно влево. Их общая часть — короткий отрезок между $2$ и $5$, потому что только там оба условия выполняются разом. Это типичная картина: пересечение двух лучей даёт отрезок (или пустое множество, если лучи не накладываются). Концы отрезка наследуются от исходных неравенств: левый $2$ закрашен (от нестрогого $x \ge 2$), правый $5$ выколот (от строгого $x < 5$).

Пример со сложными неравенствами

Условие. Решить систему: $\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ \log_2 (x + 3) \geq 0 \end{cases}$

Решение.

Неравенство 1. $x^2 - 4 < 0 \Leftrightarrow x^2 < 4 \Leftrightarrow -2 < x < 2$. Множество: $(-2;\,2)$.

Неравенство 2. ОДЗ: $x + 3 > 0$, то есть $x > -3$. Само: $\log_2 (x + 3) \geq 0 \Leftrightarrow x + 3 \geq 1 \Leftrightarrow x \geq -2$. С учётом ОДЗ: $x \geq -2$.

Пересечение. $(-2;\,2)$ И $[-2;\,+\infty)$. Результат: $[-2;\,2) \cap (-2;\,+\infty)$. Будь внимателен: точка $x = -2$ во втором решении — включена, в первом — не включена (там строгое неравенство). Значит, $-2$ не входит в общее множество.

Ответ. $x \in (-2;\,2)$.

Этот пример — отличная иллюстрация того, как важны концы интервалов. Точка $x = -2$ входит в решение второго неравенства (там $\ge$), но не входит в решение первого (там строгое $<$). Поскольку для системы нужно выполнение обоих условий, $-2$ не попадает в ответ: в одном из неравенств она запрещена. Правило простое: в пересечении конец включается только если он включён во всех неравенствах. Достаточно одного «выколотого» — и точка выпадает. Это место, где теряют баллы чаще всего: ответ по числам верный, а скобка не та.

Системы и совокупности

В задаче типа «найти $x$, удовлетворяющие $|x| < 3$ или $x > 10$» — это совокупность. Ответ: $(-3;\,3) \cup (10;\,+\infty)$.

Различие между системой и совокупностью — фундаментальное, и его путают чаще всего. Система (фигурная скобка) требует одновременного выполнения всех условий — это логическое «И», и геометрически это пересечение множеств, то есть общая часть. Совокупность (квадратная скобка) требует выполнения хотя бы одного условия — это логическое «ИЛИ», и геометрически это объединение, то есть всё вместе взятое. Простая проверка: спроси себя, нужно ли, чтобы условия выполнялись разом (тогда система, пересечение) или достаточно одного (тогда совокупность, объединение). Перепутаешь — и вместо узкой общей зоны получишь широкое объединение, или наоборот. Совокупности часто возникают при раскрытии модуля и при решении неравенств вида «модуль больше числа».

Метод интервалов в системе

Когда в системе встречаются неравенства типа $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \geq 0$ или $P(x) \cdot Q(x) > 0$ — каждое решается методом интервалов.

Кратко: находишь корни числителя и знаменателя (или сомножителей), наносишь на прямую, расставляешь знаки на интервалах, выбираешь те, где знак подходит.

Подробный разбор — на странице Метод интервалов. Важно понимать разделение труда: метод интервалов решает одно неравенство (находит, где дробь или произведение имеет нужный знак), а пересечение собирает решения всех неравенств системы вместе. То есть в системе с дробными неравенствами ты сначала прогоняешь каждое через метод интервалов по отдельности, получаешь для каждого своё множество, и только потом ищешь их общую часть. Не пытайся «совместить» метод интервалов сразу для всей системы — это путь к ошибкам. Один инструмент — для одного неравенства, пересечение — для связки.

ОДЗ системы

Прежде чем решать, выпиши общее ОДЗ системы — пересечение ОДЗ каждого неравенства. Это удобно: все полученные решения автоматически проверяются на ОДЗ.

Пример. $\begin{cases} \log_3 (x - 1) \leq 2 \\ \sqrt{4 - x} \geq 1 \end{cases}$

ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $4 - x \geq 0$ → $x > 1$ и $x \leq 4$ → $x \in (1;\,4]$.

Дальше каждое неравенство решается на этом множестве. Преимущество такого подхода в том, что ОДЗ всей системы — это уже одно из условий пересечения. Записав его в начале, ты гарантируешь, что ни одно решение не выйдет за пределы допустимых значений: финальное пересечение автоматически учтёт ОДЗ. Это особенно важно в системах с логарифмами и корнями, где каждое слагаемое накладывает своё ограничение, и легко потерять одно из них, если не собрать ОДЗ заранее в отдельную строку.

Применение в задаче 15 ЕГЭ

Задание 15 — неравенство (часто логарифмическое или показательное). Часто после раскрытия логарифма / возведения в степень получается система, в которой одно условие — основное, другие — ОДЗ. Это важная мысль: даже если в условии задачи 15 стоит одно неравенство, в процессе решения почти всегда возникает система. Логарифм требует положительности аргумента, корень — неотрицательности подкоренного, дробь — ненулевого знаменателя. Все эти ограничения собираются в систему вместе с основным преобразованным неравенством, и финальный ответ — их пересечение. Поэтому умение работать с системами неравенств — не отдельная узкая тема, а базовый навык для всей второй части, где почти каждое неравенство «обрастает» условиями ОДЗ.

Пример. $\log_2 (x - 1) \cdot \log_2 (3 - x) > 0$. После анализа знаков получаем систему:

$\begin{cases} (x - 1) > 1 \text{ И } (3 - x) > 1 \\ \text{или} \\ 0 < (x - 1) < 1 \text{ И } 0 < (3 - x) < 1 \end{cases}$

(То есть оба логарифма одного знака.) Каждый случай — система, потом объединение случаев — совокупность.

Этот пример показывает, как системы и совокупности комбинируются в реальной задаче 15. Произведение двух множителей положительно, когда оба положительны или оба отрицательны — это и есть совокупность из двух случаев. Внутри каждого случая два условия должны выполняться разом — это система. Получается «совокупность систем»: решаешь каждую систему пересечением, потом объединяешь результаты. Такая двухуровневая структура — типичная для логарифмических неравенств с произведением, и умение раскладывать её на системы и совокупность напрямую конвертируется в баллы задания 15. Главное — не запутаться, где «И» (пересечение внутри случая), а где «ИЛИ» (объединение случаев).

Графический подход

Для двух неравенств с одной переменной можно нарисовать обе функции и посмотреть, где обе выполнены. Но чаще удобнее работать не с графиками функций, а прямо с числовой прямой решений — это быстрее и нагляднее для одномерного случая.

Пример. Решить: $\begin{cases} x^2 \leq 4 \\ |x - 1| > 1 \end{cases}$

Первое: $x \in [-2;\,2]$.

Второе: $|x - 1| > 1 \Leftrightarrow x - 1 > 1$ или $x - 1 < -1$ → $x > 2$ или $x < 0$.

Пересечение: $[-2;\,2] \cap ((-\infty;\,0) \cup (2;\,+\infty)) = [-2;\,0) \cup \emptyset = [-2;\,0)$.

(Точка $x = 2$ во втором — не входит, $x = 0$ — не входит.)

Ответ. $x \in [-2;\,0)$.

Разберём пересечение подробно, потому что здесь второе неравенство дало объединение двух лучей. Первое неравенство — отрезок $[-2; 2]$. Второе — два луча $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$. Накладываем: отрезок пересекается с левым лучом по куску $[-2; 0)$, а с правым лучом — не пересекается вовсе (отрезок заканчивается в $2$, а правый луч начинается после $2$). Поэтому в ответе остаётся только $[-2; 0)$. Левый конец $-2$ входит (он от нестрогого $x^2 \le 4$), правый $0$ выколот (он от строгого $x < 0$). Этот пример учит важному: когда одно из неравенств системы само даёт объединение, пересекать нужно аккуратно с каждым куском по отдельности.

Распространённые ошибки

1. Брать объединение вместо пересечения. Это самая частая ошибка. В системе — пересечение (что общее), не объединение.

2. Не учитывать ОДЗ. Если есть логарифм или корень — обязательно. Без ОДЗ можно получить «решения», которые не имеют смысла.

3. Невнимательно работать с концами интервалов. Открытый или закрытый? Если в одном неравенстве конец включён, а в другом — нет, в пересечении конец не включён.

4. Путать систему и совокупность. Фигурная скобка — система (И), квадратная — совокупность (ИЛИ).

5. Решать систему «глобально», не разбираясь с каждым неравенством. Сначала каждое отдельно, потом — пересечение. «Глобальный» подход обычно ведёт к ошибкам.

6. Не нарисовать числовую прямую. Пересечение «в уме» при трёх и более неравенствах почти всегда даёт ошибку. Рисунок с разными уровнями штриховки — самый надёжный способ не потерять кусок ответа и правильно расставить скобки.

7. Забыть, что пустое пересечение — тоже ответ. Если множества решений не накладываются ни в одной точке, система не имеет решений ($\varnothing$). Это корректный ответ, а не признак ошибки.

Разобранный пример (задание 15 ЕГЭ)

Условие. Решить систему: $\begin{cases} 2^x \geq 8 \\ \log_3 (5 - x) > 0 \end{cases}$

Решение.

Неравенство 1. $2^x \geq 8 = 2^3$. Так как $2 > 1$, можно сравнить показатели: $x \geq 3$. Множество: $[3;\,+\infty)$.

Неравенство 2. ОДЗ: $5 - x > 0$, то есть $x < 5$. Само: $\log_3 (5 - x) > 0 = \log_3 1 \Leftrightarrow 5 - x > 1 \Leftrightarrow x < 4$. С ОДЗ: $x < 4$.

Пересечение. $[3;\,+\infty) \cap (-\infty;\,4) = [3;\,4)$.

Ответ. $x \in [3;\,4)$.

Этот разбор — образец полного решения системы для задания 15. Обрати внимание на структуру: первое неравенство (показательное) свелось к сравнению показателей через монотонность, второе (логарифмическое) потребовало записать ОДЗ ($x < 5$) и затем само условие ($x < 4$). ОДЗ здесь оказалось «слабее» основного условия и не сузило ответ, но записать его всё равно обязательно — эксперт ждёт явного указания области допустимых значений. Финальное пересечение $[3; 4)$ собрало оба результата: левый конец $3$ закрашен (от нестрогого $2^x \ge 8$), правый $4$ выколот (от строгого $\log_3(5-x) > 0$). Так выглядит аккуратное оформление, за которое ставят полный балл.

Что запомнить

• Система — все условия одновременно (И, пересечение).
• Совокупность — хотя бы одно (ИЛИ, объединение).
• Сначала каждое неравенство отдельно, потом пересекать.
• Концы — внимательно: открытый/закрытый.
• Общее ОДЗ — выписать в начале.

Связь с другими темами

• Квадратные неравенства — частый компонент системы.
• Метод интервалов — для дробных и произведений.
• Логарифмические неравенства — частый компонент системы, особенно в задании 15.
• Уравнения с модулем — раскрытие модуля часто порождает системы и совокупности.