Свойства логарифмов: формулы и примеры применения

Логарифм — это обратная операция к возведению в степень. Если степень отвечает на вопрос «что получится, если число умножить само на себя несколько раз», то логарифм отвечает на обратный вопрос: «в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить заданное число». Именно поэтому все свойства логарифмов — прямое зеркало свойств степеней, и если ты понимаешь эту связь, тебе не придётся зубрить формулы: ты будешь выводить их на ходу.

Зачем это вообще нужно на экзамене? В задании 6 профильного ЕГЭ почти всегда есть выражение с логарифмами, которое нужно вычислить — получить конкретное число. Без свойств ты застрянешь: $\log_2 24$ «в лоб» не считается, потому что $24$ не является степенью двойки. А вот если разложить $24 = 8 \cdot 3$ и применить свойство произведения, выражение мгновенно упрощается. Поэтому пять формул ниже — это твой рабочий инструмент, а не абстрактная теория.

Ещё одна причина разобраться основательно: логарифмические уравнения и неравенства почти всегда сводятся к сворачиванию нескольких логарифмов в один. Пока выражение «многоэтажное», уравнение не решить. А свернёшь — и дальше всё как в обычном уравнении. Так что свойства логарифмов работают на тебя сразу в нескольких типах задач.

Определение и базовые факты

Запись $\log_a b$ читается так: «логарифм числа $b$ по основанию $a$». По определению это такое число $c$, что:

$\log_a b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b$

Чтобы логарифм имел смысл, нужны три условия (это область допустимых значений, ОДЗ): основание $a > 0$ и $a \neq 1$, а аргумент $b > 0$. Запомни их сразу — нарушение ОДЗ это самая частая причина потери балла в задании с логарифмами.

Из определения сразу вытекают три факта, которые ты будешь использовать постоянно:

$\log_a 1 = 0 \quad (\text{ведь } a^0 = 1)$

$\log_a a = 1 \quad (\text{ведь } a^1 = a)$

$a^{\log_a b} = b \quad (\text{логарифм и степень «отменяют» друг друга})$

Третье тождество называется основным логарифмическим тождеством. Оно говорит: если возвести основание в степень, равную логарифму, ты вернёшься к исходному числу. Это и есть формальное выражение того, что логарифм — обратная операция к степени.

Полезно сразу понять, откуда вообще берётся логарифм и зачем его придумали. Представь, что тебе известно, во сколько раз выросла величина, и нужно узнать, сколько было «шагов удвоения» или «утроения». Например, бактерии делятся надвое каждый час, и за какое-то время их стало в восемь раз больше. Сколько прошло часов? Ответ — это логарифм: число делений, после которых получится восьмикратный рост. По основанию два восьмёрка даёт ровно три, потому что три удвоения превращают единицу в восемь. Так логарифм отвечает на вопрос «сколько раз», а не «сколько получится» — и именно поэтому он удобен везде, где речь идёт о росте, затухании, громкости звука или кислотности раствора. На экзамене эта интуиция помогает не теряться: если ты понимаешь логарифм как «счётчик степеней», ты редко ошибёшься в знаке или порядке действий.

Ещё держи в уме разницу между логарифмом и обычным корнем. Корень отвечает на вопрос «какое число нужно возвести в известную степень», а логарифм — «в какую степень нужно возвести известное число». Это две разные обратные операции к одной и той же степени, и путать их нельзя. Когда в выражении есть и то, и другое, разбирайся сначала с тем, что внутри, а потом двигайся наружу.

Пять ключевых свойств

Свойство 1. Логарифм произведения

$\log_a (m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов с тем же основанием. Это прямое следствие правила умножения степеней: когда перемножаешь степени с одинаковым основанием, показатели складываются, — а логарифм как раз и есть показатель.

Например: $\log_2 24 = \log_2 (8 \cdot 3) = \log_2 8 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$.

Свойство 2. Логарифм частного

$\log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$

Логарифм частного равен разности логарифмов. Логика та же, что и с произведением, только при делении степеней показатели вычитаются.

Например: $\log_3 \dfrac{27}{9} = \log_3 27 - \log_3 9 = 3 - 2 = 1$. Проверим напрямую: $\dfrac{27}{9} = 3$, а $\log_3 3 = 1$. Сходится.

Свойство 3. Логарифм степени

$\log_a m^k = k \cdot \log_a m$

Показатель степени, стоящий под логарифмом, выносится вперёд как обычный множитель. Это, пожалуй, самое полезное свойство для упрощения: оно превращает степень в умножение.

Например: $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5 \cdot \log_2 2 = 5 \cdot 1 = 5$.

Особенно важен частный случай с корнем: корень — это дробная степень, поэтому $\log_a \sqrt{m} = \log_a m^{1/2} = \dfrac{1}{2} \log_a m$. Аналогично $\log_a \sqrt[3]{m} = \dfrac{1}{3}\log_a m$.

Свойство 4. Логарифм по основанию-степени

$\log_{a^k} m = \frac{1}{k} \log_a m$

Если степень стоит не под логарифмом, а в его основании, она выходит как множитель $\dfrac{1}{k}$ — то есть переворачивается. Это легко перепутать со свойством 3, поэтому держи в голове: степень аргумента выносится как $k$, степень основания — как $\dfrac{1}{k}$.

Например: $\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \dfrac{3}{2} \cdot \log_2 2 = \dfrac{3}{2}$. Проверим: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. Верно.

Свойство 5. Переход к другому основанию

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Эта формула позволяет переписать логарифм через любое удобное основание $c$. На практике переходят к основанию 2, 10 или $e$ — туда, где числа считаются легче. Из неё вытекают два очень полезных частных случая:

$\log_a b = \frac{\lg b}{\lg a} = \frac{\ln b}{\ln a}, \qquad \log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Последнее равенство (логарифм «переворачивается») спасает, когда в уравнении встречаются взаимно обратные логарифмы вроде $\log_2 x$ и $\log_x 2$.

Как держать формулы в голове, не зазубривая

Самый надёжный способ не путать свойства — помнить, что каждое из них зеркалит свойство степени. Умножение чисел под логарифмом превращается в сложение логарифмов, потому что при перемножении степеней показатели складываются. Деление — в вычитание. Степень аргумента — в множитель спереди. А переход к другому основанию — это просто «пересчёт показателя в новой системе мер».

Если ты разберёшься в этой логике один раз, тебе не нужно будет вспоминать, плюс там или минус, выносится показатель целиком или переворачивается. Ты будешь восстанавливать формулу из смысла. Именно так логарифмы и понимают сильные ребята: не как набор значков, а как операцию, обратную степени.

Полезно ещё держать в голове несколько «опорных» значений, которые встречаются почти в каждом задании 6: $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$, $\log_3 9 = 2$, $\log_3 27 = 3$, $\log_5 25 = 2$, $\lg 10 = 1$, $\lg 100 = 2$. Когда такие числа узнаются мгновенно, на вычисление выражения уходят секунды.

Есть и удобный порядок действий, который почти всегда срабатывает. Сначала смотришь, нельзя ли каждое число под логарифмом представить как степень основания: если да — выражение часто сворачивается в целое число прямо на этом шаге. Если основания у логарифмов разные, первым делом приводишь их к общему через формулу перехода, и только потом считаешь. Дальше выносишь все показатели вперёд, объединяешь произведения в суммы, частные в разности — и собираешь то, что осталось. Этот порядок защищает от хаотичных перестановок, в которых легко потерять знак или множитель. Привыкни идти по нему всегда, и большинство выражений из задания 6 ты будешь решать почти автоматически, не задумываясь, с какого конца взяться.

Отдельно стоит привыкнуть проверять себя прикидкой. Логарифм по основанию больше единицы растёт вместе с аргументом: чем больше число под знаком, тем больше логарифм. Если аргумент между нулём и единицей — логарифм отрицателен. Если аргумент равен единице — логарифм ноль. Эти три ориентира позволяют на глаз понять, разумен ли полученный ответ. Скажем, если ты считаешь $\log_2$ от числа, которое чуть больше четырёх, ответ обязан быть чуть больше двойки — и если у тебя вышло, например, семь, ищи ошибку. Такая привычка к грубой проверке отлавливает большинство арифметических промахов ещё до того, как ты запишешь ответ в бланк.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью: в первом всё показано, во втором один шаг оставлен тебе, в третьем — почти весь разбор за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Вычисли $\log_3 27 + \log_5 \dfrac{1}{25}$.

Решение. Считаем каждый логарифм отдельно. Первый: $27 = 3^3$, поэтому $\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$. Второй: $\dfrac{1}{25} = 5^{-2}$, поэтому $\log_5 \dfrac{1}{25} = \log_5 5^{-2} = -2$.

Складываем: $3 + (-2) = 1$.

Ответ: $1$.

Типичная ошибка. Записать $\log_5 \dfrac{1}{25} = 2$, забыв про минус. Дробь меньше единицы даёт отрицательный логарифм при основании больше единицы — следи за знаком.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Упрости выражение $2\log_5 10 - \log_5 4$.

Решение. Внеси двойку под логарифм по свойству степени: $2\log_5 10 = \log_5 10^2 = \log_5 100$. Теперь у тебя разность двух логарифмов с одинаковым основанием — сверни её по свойству частного и доведи до числа сам.

Типичная ошибка. Попытаться «сократить» $\dfrac{2\log_5 10}{\log_5 4}$ — но здесь не дробь, а разность, делить логарифмы нельзя.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Вычисли $\log_2 5 \cdot \log_5 8$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Преобразуй один из множителей по формуле перехода. Запиши $\log_5 8$ через основание $2$: $\log_5 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 5}$. Посчитай $\log_2 8$ сам.

Шаг 2. Подставь и сократи. После подстановки $\log_2 5$ из первого множителя сократится со знаменателем — останется чистое число.

Типичная ошибка. Пытаться вычислить $\log_2 5$ как «некрасивое» десятичное число и потерять точность. В таких произведениях иррациональные логарифмы обычно сокращаются — ищи, что с чем взаимно уничтожится.

Таблица свойств для быстрого повторения

Типовые задачи ЕГЭ

Тип 1 (задание 6). Вычисление логарифмического выражения. Самый частый формат: дано выражение из двух-трёх логарифмов, нужно получить число. Алгоритм всегда один — каждое число под логарифмом представить как степень основания, затем свернуть произведения и частные и вынести показатели. Если основания разные, сначала приводишь их к общему через формулу перехода.

Тип 2 (задание 6). Логарифмическое уравнение. Уравнения вроде $\log_2 x + \log_2(x-2) = 3$ решаются в три хода: выписываешь ОДЗ, сворачиваешь левую часть в один логарифм, приравниваешь аргумент к основанию в нужной степени. В конце обязательно отбрасываешь корни, не попавшие в ОДЗ. Например, здесь $x(x-2) = 8$, корни $x = 4$ и $x = -2$, но по ОДЗ остаётся только $x = 4$.

Тип 3 (задание 14). Логарифмическое неравенство. Здесь свойства логарифмов нужны на первом шаге — чтобы свернуть выражение, а дальше работает знак основания: при основании больше единицы знак неравенства сохраняется, при основании от нуля до единицы — меняется на противоположный.

Распространённые ошибки

1. Логарифм суммы путают с суммой логарифмов. $\log_a(m + n)$ упростить нельзя — это не равно $\log_a m + \log_a n$. Сумма логарифмов получается только из логарифма произведения.
2. Объединяют логарифмы с разными основаниями. $\log_2 m + \log_3 n$ свернуть нельзя: свойство произведения требует одинаковых оснований.
3. Забывают ОДЗ. Логарифм определён только при положительном аргументе и положительном основании, не равном единице. Найденные корни уравнения всегда проверяй по ОДЗ.
4. Путают свойства 3 и 4. Показатель аргумента выносится как $k$, показатель основания — как $\dfrac{1}{k}$. Спутаешь — получишь обратное число.
5. Теряют знак у дробей. Логарифм числа меньше единицы (при основании больше единицы) отрицателен: $\log_2 \dfrac{1}{8} = -3$, а не $3$.

Почти все эти ошибки объединяет одна причина — человек применяет свойство механически, не глядя, выполнены ли условия. Свойство произведения требует одинаковых оснований. Вынесение показателя требует, чтобы степень стояла именно под знаком логарифма, а не была множителем рядом. ОДЗ требует положительного аргумента. Если перед каждым шагом ты на секунду спрашиваешь себя «а имею ли я право это делать», большинство промахов отсеивается само собой. Это привычка аккуратности, и именно она отличает уверенное решение задания 6 от наугад собранной цепочки преобразований.

Что запомнить

• $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$, ОДЗ: $a>0$, $a\neq 1$, $b>0$.
• Произведение → сумма, частное → разность.
• Степень аргумента выносится как $k$; степень основания — как $\dfrac{1}{k}$.
• Переход к основанию: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$; перевёрнутый: $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$.
• $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$, $a^{\log_a b} = b$.
• Каждое свойство — зеркало свойства степени.

Связь с другими темами

• Свойства степеней — фундамент, из которого выводятся все свойства логарифмов.
• Логарифмические уравнения — свойства логарифмов это первый шаг решения.
• Логарифмические неравенства — сворачивание плюс работа со знаком основания.
• Показательные уравнения — иногда логарифмируют, чтобы вытащить показатель.