Свойства логарифмов: формулы и примеры применения

Логарифм — обратная операция к возведению в степень. Свойства логарифмов — прямое следствие свойств степеней, поэтому их легче запомнить, если понимать эту связь. На ЕГЭ свойства логарифмов нужны для упрощения выражений и решения логарифмических уравнений.

Определение и основные факты

$\log_a b = c \quad \Leftrightarrow \quad a^c = b$

Условия ОДЗ: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$.

Частные случаи:

$\log_a 1 = 0 \quad (\text{так как } a^0 = 1)$

$\log_a a = 1 \quad (\text{так как } a^1 = a)$

$a^{\log_a b} = b \quad (\text{степень и логарифм — обратные})$

5 ключевых свойств

1. Логарифм произведения

$\log_a (m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$

Пример: $\log_2 24 = \log_2 (8 \cdot 3) = \log_2 8 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$.

2. Логарифм частного

$\log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$

Пример: $\log_3 \dfrac{27}{9} = \log_3 27 - \log_3 9 = 3 - 2 = 1$.

Проверка: $\log_3 \dfrac{27}{9} = \log_3 3 = 1$. ✓

3. Логарифм степени

$\log_a m^k = k \cdot \log_a m$

Показатель степени «выносится» вперёд как множитель.

Пример: $\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5 \cdot \log_2 2 = 5 \cdot 1 = 5$.

Важный частный случай: $\log_a \sqrt{m} = \dfrac{1}{2} \log_a m$ (корень = степень $1/2$).

4. Логарифм по основанию степени

$\log_{a^k} m = \frac{1}{k} \log_a m$

Степень в основании «выходит» как $1/k$.

Пример: $\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \dfrac{3}{2}$.

Проверка: $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. ✓

5. Формула перехода к другому основанию

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Особенно полезны частные случаи:

$\log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} = \frac{\lg b}{\lg a}$

$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Последнее используется, когда в уравнении стоят «перевёрнутые» логарифмы.

Разбор примеров ЕГЭ

Пример 1 (уровень А). Вычисли: $\log_3 27 + \log_3 3$.

Решение.

$\log_3 27 = 3$, $\log_3 3 = 1$.

$3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$.

Пример 2 (уровень Б). Упрости: $2\log_5 10 - \log_5 4$.

Решение.

$2\log_5 10 = \log_5 10^2 = \log_5 100$.

$\log_5 100 - \log_5 4 = \log_5 \dfrac{100}{4} = \log_5 25 = \log_5 5^2 = 2$.

Ответ: $2$.

Пример 3 (уровень В). Вычисли: $\log_2 5 \cdot \log_5 8$.

Решение.

Применяем формулу перехода: $\log_5 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 5} = \dfrac{3}{\log_2 5}$.

$\log_2 5 \cdot \frac{3}{\log_2 5} = 3$

Ответ: $3$.

Пример 4 (уровень В). Реши уравнение $\log_2 x + \log_2 (x - 2) = 3$.

Решение.

ОДЗ: $x > 0$ и $x - 2 > 0$ → $x > 2$.

Объединяем: $\log_2 [x(x-2)] = 3$.

$x(x-2) = 2^3 = 8 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.

$D = 4 + 32 = 36$. Корни: $x = 4$ или $x = -2$.

$x = -2 \notin$ ОДЗ (нужно $x > 2$).

Ответ: $x = 4$.

Таблица свойств

Частые ошибки

1. Логарифм суммы ≠ сумма логарифмов. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. Это фундаментальная ошибка, которая встречается очень часто.
2. Основание меняется при свойстве произведения. Объединять $\log_2 m + \log_3 n$ нельзя — основания разные.
3. Забывать ОДЗ. Логарифм определён только при положительных аргументах. После решения — обязательная проверка.
4. Перепутать знаки при частном. $\log_a (m/n) = \log_a m - \log_a n$, а не $+ \log_a n$.

Связь с другими темами

• Свойства степеней — логарифм и степень — взаимообратные операции.
• Логарифмические уравнения — свойства логарифмов — ключевой инструмент решения.
• Показательные уравнения — иногда логарифмируют для нахождения показателя.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 — вычисление логарифмических выражений и решение логарифмических уравнений.