Метод интервалов — алгоритм, чертёж и задачи ЕГЭ

Метод интервалов — главный инструмент для решения неравенств любой сложности, от школьных рациональных до показательных и логарифмических в задании 15. Суть простая: найти точки, где выражение меняет знак, и аккуратно расставить плюсы и минусы на числовой прямой.

Что такое метод интервалов

Метод интервалов — приём решения неравенств, основанный на непрерывности функции. Ключевая идея:

Непрерывная функция сохраняет знак на любом интервале, не содержащем её нулей и точек разрыва.

Значит, чтобы узнать знак выражения $f(x)$ на всей числовой прямой, достаточно найти все нули (точки, где $f(x) = 0$) и разрывы (точки, где функция не определена), разбить ими прямую на интервалы и определить знак на каждом интервале отдельно.

Метод работает для любых неравенств, которые можно привести к виду $f(x) > 0$ или $f(x) < 0$, где $f(x)$ — произведение или частное.

Алгоритм из 6 шагов

1. Приведи неравенство к виду $f(x) \gtrless 0$. Перенеси всё в одну часть, разложи на множители.
2. Найди нули функции. Реши $f(x) = 0$. Каждое решение — корень неравенства.
3. Найди точки разрыва. Нули знаменателя, точки, где логарифм не определён, и т.д.
4. Отметь корни и разрывы на числовой прямой. Нули — закрашенные точки (если неравенство нестрогое) или выколотые (если строгое). Разрывы — всегда выколотые.
5. Определи знаки на интервалах. Подставь пробную точку из самого правого интервала — узнаешь знак. Дальше двигайся влево, меняя знак в точках нечётной кратности и сохраняя в точках чётной.
6. Запиши ответ. Выбери интервалы с нужным знаком.

Простейший случай: рациональные неравенства

Разберём на примере: $\dfrac{(x - 1)(x + 2)}{x - 3} > 0$.

Шаг 1. Уже в нужном виде.

Шаг 2. Нули числителя: $x = 1$ и $x = -2$.

Шаг 3. Точка разрыва: $x = 3$ (нуль знаменателя).

Шаг 4. Отмечаем на прямой: $-2$, $1$, $3$ — все три точки выколотые (строгое неравенство).

Шаг 5. Пробная точка $x = 10$ справа:

$\frac{(10 - 1)(10 + 2)}{10 - 3} = \frac{9 \cdot 12}{7} > 0$

Знак «плюс» на интервале $(3; +\infty)$. Все корни имеют кратность 1 (нечётная), значит при переходе через каждый знак меняется:

• $(3; +\infty)$ — плюс;
• $(1; 3)$ — минус;
• $(-2; 1)$ — плюс;
• $(-\infty; -2)$ — минус.

Шаг 6. Ответ — интервалы со знаком плюс: $x \in (-2; 1) \cup (3; +\infty)$.

Определение знака на интервале

Есть два способа.

Метод пробной точки. Подставляешь любое удобное число из интервала в исходное выражение и смотришь знак. Надёжный, но требует арифметики.

Метод чередования. Начинаешь справа с плюса (если старший коэффициент положителен) и двигаешься влево. В точках нечётной кратности меняешь знак, в точках чётной — сохраняешь.

Метод чередования работает только если все множители раскрыты в виде $(x - a_i)^{k_i}$. Если коэффициент при $x$ отрицательный — меняй знаки наоборот.

Обобщённый метод интервалов

Для неравенств с логарифмами, показательными функциями и модулями прямое чередование не работает — но работает идея замены знаковой части. Ключевые правила:

Логарифм. $\log_a f(x) \equiv (a - 1)(f(x) - 1)$ по знаку, при $f(x) > 0$ (ОДЗ).

Показательная разность. $a^{f(x)} - a^{g(x)} \equiv (a - 1)(f(x) - g(x))$ по знаку.

Модуль. $|f(x)| - |g(x)| \equiv (f(x) - g(x))(f(x) + g(x))$ по знаку.

Эти замены не меняют само выражение, а только упрощают анализ его знака. После замены применяешь стандартный метод интервалов.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши неравенство $(x - 1)(x + 3) \ge 0$.

Решение. Нули: $x = 1$ и $x = -3$. Кратность обоих — 1.

Точек разрыва нет. Отмечаем $-3$ и $1$ закрашенными (нестрогое неравенство).

Пробная точка $x = 10$: $(10 - 1)(10 + 3) = 9 \cdot 13 > 0$. На интервале $(1; +\infty)$ знак плюс.

Оба корня нечётной кратности — знаки чередуются:

• $(1; +\infty)$ — плюс;
• $(-3; 1)$ — минус;
• $(-\infty; -3)$ — плюс.

В ответ берём плюсы и включаем сами нули.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$.

Типичная ошибка. Выколоть сами точки при нестрогом неравенстве. При $\ge$ нули входят в ответ.

Пример 2 (уровень Б). Реши неравенство $\dfrac{x - 2}{(x + 1)^2} < 0$.

Решение. Нуль числителя: $x = 2$, кратность 1.

Точка разрыва: $x = -1$ (знаменатель нуль), кратность 2.

На прямой отмечаем $-1$ (выколотая, разрыв) и $2$ (выколотая, строгое неравенство).

Пробная точка $x = 10$: $\frac{10 - 2}{(10 + 1)^2} = \frac{8}{121} > 0$. Интервал $(2; +\infty)$ — плюс.

Через $x = 2$ (кратность 1) знак меняется: $(-1; 2)$ — минус.

Через $x = -1$ (кратность 2, чётная) знак НЕ меняется: $(-\infty; -1)$ — тоже минус.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 2)$, или короче $x \in (-\infty; 2) \setminus \{-1\}$.

Типичная ошибка. Сменить знак при переходе через $x = -1$ и получить «$(-\infty; -1)$ плюс, $(-1; 2)$ минус». Это неверно: чётная кратность знак не меняет.

Пример 3 (уровень В). Реши неравенство $\log_2(x - 1) > \log_2(5 - x)$.

Решение. ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $5 - x > 0$, то есть $x > 1$ и $x < 5$. Пересечение: $x \in (1; 5)$.

Переносим всё в одну часть: $\log_2(x - 1) - \log_2(5 - x) > 0$, или $\log_2 \dfrac{x - 1}{5 - x} > 0$.

Применяем обобщённую замену: $\log_a f \equiv (a - 1)(f - 1)$. Здесь $a = 2$, значит $a - 1 = 1 > 0$, и знак определяется выражением $\frac{x - 1}{5 - x} - 1$.

Приводим к общему: $\frac{x - 1 - (5 - x)}{5 - x} = \frac{2x - 6}{5 - x}$.

Получаем: $\dfrac{2x - 6}{5 - x} > 0$, или $\dfrac{x - 3}{5 - x} > 0$ (сократили 2).

Нули: числитель $x = 3$, знаменатель $x = 5$. Обе — выколотые.

Пробная точка $x = 4$: $\frac{4 - 3}{5 - 4} = 1 > 0$. Интервал $(3; 5)$ — плюс.

Чередование: $(5; +\infty)$ — минус, $(-\infty; 3)$ — минус.

Остаётся $(3; 5)$. Пересекаем с ОДЗ $(1; 5)$: получаем $(3; 5)$.

Ответ: $x \in (3; 5)$.

Типичная ошибка. Забыть учесть ОДЗ и получить лишние корни.

Типичные ошибки

1. Забывать о чётной кратности. Самая частая ошибка. Если множитель возведён в чётную степень — знак при переходе через корень не меняется.
2. Выколоть корень знаменателя при нестрогом неравенстве. Точка разрыва всегда выколота, даже если неравенство нестрогое. Включать её в ответ нельзя — в ней функция не определена.
3. Не учитывать ОДЗ в обобщённом методе. Замена $\log_a f \equiv (a - 1)(f - 1)$ работает только при $f > 0$. Все $x$, нарушающие ОДЗ, в ответ не входят, даже если знаковое выражение положительно.
4. Путать знаки при отрицательном старшем коэффициенте. В $-(x - 1)(x - 2) > 0$ умножение на $-1$ меняет знак: на самом деле решение — где $(x-1)(x-2) < 0$, то есть на интервале $(1; 2)$.
5. Забывать решить саму исходную задачу. После метода интервалов обязательно перечитай условие — где нужен плюс, а где минус? Легко запутаться.

Связь с другими темами

• Квадратные неравенства — частный случай метода интервалов для квадратных трёхчленов. Можно решать и параболой, и интервалами — результат один.
• Логарифмические уравнения — логарифмические неравенства решаются обобщённым методом интервалов через замену логарифма на знакоравное выражение.
• Показательные уравнения — показательные неравенства аналогично решаются через замену и обобщённый метод.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 15 (неравенства) — основной номер, где метод интервалов — обязательный инструмент. Рациональные, логарифмические, показательные неравенства, часто с модулем. 2 балла за полное решение.