Когда применять метод интервалов?

Для неравенств вида $f(x) \gtrless 0$, где $f(x)$ — произведение или частное множителей. Если неравенство не в такой форме — сначала переноси всё в одну часть и раскладывай на множители.

Что такое кратность корня?

Сколько раз множитель $(x - a)$ входит в разложение функции. В выражении $(x - 2)^3 (x + 1)^2$ корень $x = 2$ имеет кратность 3, а $x = -1$ — кратность 2. Кратность определяет, меняется ли знак функции при переходе через корень.

Почему на точке чётной кратности знак не меняется?

В окрестности корня чётной кратности функция ведёт себя как $(x - a)^{2k}$ — неотрицательная величина, касающаяся оси OX в точке $a$, но не пересекающая её. Знак остаётся тем же, что и слева от корня.

Что делать с точкой разрыва?

Если множитель стоит в знаменателе — соответствующий корень является точкой разрыва. Эта точка выкалывается из ответа (не может входить, даже если неравенство нестрогое) и меняет знак функции при переходе, если кратность корня в знаменателе нечётная.

Как проверить знак пробной точкой?

Бери любое удобное число из нужного интервала и подставляй в исходное выражение. Знак подстановки — знак выражения на всём интервале. Часто удобные пробные точки — 0, 1, $\pm 10$ (главное, чтобы они не совпали с нулями или разрывами).

Можно ли применять метод к логарифмическим неравенствам?

Да, через обобщённый метод интервалов. Множители вида $\log_a f(x)$ заменяются на эквивалентные по знаку выражения $(a - 1)(f(x) - 1)$. Это работает при $f(x) > 0$ (ОДЗ логарифма).

Что такое равносильный переход в обобщённом методе?

Замена знаковой части множителя на более простое выражение, не меняющее знак. Для логарифмов $\log_a f \equiv (a - 1)(f - 1)$ в знаке; для показательных $a^{f} - a^{g} \equiv (a - 1)(f - g)$. Эти переходы работают только при учёте ОДЗ исходных функций.

Почему иногда корень закрашен, а иногда нет?

Закрашен (входит в ответ) — если он даёт равенство в нестрогом неравенстве и находится в ОДЗ. Выколот — если неравенство строгое или если корень находится в знаменателе (точка разрыва). На числовой оси закрашенные точки обозначают $\bullet$, выколотые — $\circ$.

Какая самая частая ошибка?

Забыть про чётную кратность и начать менять знак на каждом корне. В результате получается чередование «плюс-минус-плюс-минус», хотя реальная картина может быть «плюс-минус-минус-плюс». Всегда проверяй кратность каждого корня перед расстановкой знаков.

В каком задании ЕГЭ используется метод интервалов?

Прежде всего в неравенствах части 2: задание 16 по проекту ЕГЭ-2027 (в 2026 году — задание 15), 2 балла. Метод интервалов — основной инструмент для рациональных, логарифмических и показательных неравенств этого номера. Документы ФИПИ на 2027 год пока опубликованы как проект.

Метод интервалов — алгоритм, чертёж и задачи ЕГЭ

Метод интервалов — главный инструмент для решения неравенств, от школьных рациональных до показательных и логарифмических в части 2 профильного ЕГЭ. Суть простая: найти точки, где выражение меняет знак, и аккуратно расставить плюсы и минусы на числовой прямой.

Что такое метод интервалов

Метод интервалов — приём решения неравенств, основанный на непрерывности функции. Ключевая идея:

Непрерывная функция сохраняет знак на любом интервале, не содержащем её нулей и точек разрыва.

Значит, чтобы узнать знак выражения $f (x)$ на всей числовой прямой, достаточно найти все нули (точки, где $f (x) = 0$ ) и разрывы (точки, где функция не определена), разбить ими прямую на интервалы и определить знак на каждом интервале отдельно.

Метод работает для любых неравенств, которые можно привести к виду $f (x) > 0$ или $f (x) < 0$ , где $f (x)$ — произведение или частное.

Алгоритм из 6 шагов

Приведи неравенство к виду $f (x) ≷ 0$ . Перенеси всё в одну часть, разложи на множители.
Найди нули функции. Реши $f (x) = 0$ . Каждое решение — корень неравенства.
Найди точки разрыва. Нули знаменателя, точки, где логарифм не определён, и т.д.
Отметь корни и разрывы на числовой прямой. Нули — закрашенные точки (если неравенство нестрогое) или выколотые (если строгое). Разрывы — всегда выколотые.
Определи знаки на интервалах. Подставь пробную точку из самого правого интервала — узнаешь знак. Дальше двигайся влево, меняя знак в точках нечётной кратности и сохраняя в точках чётной.
Запиши ответ. Выбери интервалы с нужным знаком.

Простейший случай: рациональные неравенства

Разберём на примере: $\frac{( x - 1 ) ( x + 2 )}{x - 3} > 0$ .

Шаг 1. Уже в нужном виде.

Шаг 2. Нули числителя: $x = 1$ и $x = - 2$ .

Шаг 3. Точка разрыва: $x = 3$ (нуль знаменателя).

Шаг 4. Отмечаем на прямой: $- 2$ , $1$ , $3$ — все три точки выколотые (строгое неравенство).

Шаг 5. Пробная точка $x = 10$ справа:

$\frac{( 10 - 1 ) ( 10 + 2 )}{10 - 3} = \frac{9 \cdot 12}{7} > 0$

Знак «плюс» на интервале $(3; + \infty)$ . Все корни имеют кратность 1 (нечётная), значит при переходе через каждый знак меняется:

$(3; + \infty)$ — плюс;
$(1; 3)$ — минус;
$(- 2; 1)$ — плюс;
$(- \infty; - 2)$ — минус.

Шаг 6. Ответ — интервалы со знаком плюс: $x \in (- 2; 1) \cup (3; + \infty)$ .

Это простейший случай. Кратные корни, нестрогие неравенства и ОДЗ разобраны в примерах ниже; числовая ось для этого примера и для примера 2 нарисована в разделе «Разбор примеров».

Определение знака на интервале

Есть два способа.

Метод пробной точки. Подставляешь любое удобное число из интервала в исходное выражение и смотришь знак. Надёжный, но требует арифметики.

Метод чередования. Начинаешь справа с плюса (если старший коэффициент положителен) и двигаешься влево. В точках нечётной кратности меняешь знак, в точках чётной — сохраняешь.

Метод чередования работает только если все множители раскрыты в виде $(x - a_{i})^{k_{i}}$ . Если коэффициент при $x$ отрицательный — меняй знаки наоборот.

Обобщённый метод интервалов

Для неравенств с логарифмами, показательными функциями и модулями прямое чередование не работает — но работает идея замены знаковой части. Ключевые правила:

Логарифм. $lo g_{a} f (x) \equiv (a - 1) (f (x) - 1)$ по знаку, при $f (x) > 0$ (ОДЗ).

Показательная разность. $a^{f (x)} - a^{g (x)} \equiv (a - 1) (f (x) - g (x))$ по знаку.

Модуль. $∣ f (x) ∣ - ∣ g (x) ∣ \equiv (f (x) - g (x)) (f (x) + g (x))$ по знаку.

Эти замены не меняют само выражение, а только упрощают анализ его знака. После замены применяешь стандартный метод интервалов.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши неравенство $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ .

Решение. Нули: $x = 1$ и $x = - 3$ . Кратность обоих — 1.

Точек разрыва нет. Отмечаем $- 3$ и $1$ закрашенными (нестрогое неравенство).

Пробная точка $x = 10$ : $(10 - 1) (10 + 3) = 9 \cdot 13 > 0$ . На интервале $(1; + \infty)$ знак плюс.

Оба корня нечётной кратности — знаки чередуются:

$(1; + \infty)$ — плюс;
$(- 3; 1)$ — минус;
$(- \infty; - 3)$ — плюс.

В ответ берём плюсы и включаем сами нули.

Ответ: $x \in (- \infty; - 3] \cup [1; + \infty)$ .

Типичная ошибка. Выколоть сами точки при нестрогом неравенстве. При $\geq$ нули входят в ответ.

Пример 2 (уровень Б). Реши неравенство $\frac{x - 2}{( x + 1 ) ^{2}} < 0$ .

Решение. Нуль числителя: $x = 2$ , кратность 1.

Точка разрыва: $x = - 1$ (знаменатель нуль), кратность 2.

На прямой отмечаем $- 1$ (выколотая, разрыв) и $2$ (выколотая, строгое неравенство).

Пробная точка $x = 10$ : $\frac{10 - 2}{( 10 + 1 ) ^{2}} = \frac{8}{121} > 0$ . Интервал $(2; + \infty)$ — плюс.

Через $x = 2$ (кратность 1) знак меняется: $(- 1; 2)$ — минус.

Через $x = - 1$ (кратность 2, чётная) знак НЕ меняется: $(- \infty; - 1)$ — тоже минус.

Ответ: $x \in (- \infty; - 1) \cup (- 1; 2)$ , или короче $x \in (- \infty; 2) ∖ {- 1}$ .

Типичная ошибка. Сменить знак при переходе через $x = - 1$ и получить « $(- \infty; - 1)$ плюс, $(- 1; 2)$ минус». Это неверно: чётная кратность знак не меняет.

Так выглядят на числовой оси простейший случай и пример 2. Закрашенная полоса — интервалы, которые входят в ответ:

Две числовые оси со знаками на интервалах. Первая: выколотые точки -2, 1, 3, знаки минус, плюс, минус, плюс. Вторая: выколотые точки -1 и 2, знаки минус, минус, плюс.

Пример 3 (уровень Б). Реши неравенство $\frac{( x - 1 ) ^{2} ( x + 2 )}{x - 3} \leq 0$ .

Решение. Нули числителя: $x = 1$ (кратность 2) и $x = - 2$ (кратность 1). Точка разрыва: $x = 3$ .

Пробная точка $x = 10$ : $\frac{81 \cdot 12}{7} > 0$ . Интервал $(3; + \infty)$ — плюс.

Через $x = 3$ (кратность 1) знак меняется: $(1; 3)$ — минус. Через $x = 1$ (кратность 2) знак не меняется: $(- 2; 1)$ — тоже минус. Через $x = - 2$ знак меняется: $(- \infty; - 2)$ — плюс.

Нужен знак «минус» или ноль. Минус на $(- 2; 1)$ и $(1; 3)$ . Нули $x = - 2$ и $x = 1$ входят в ответ (неравенство нестрогое), а $x = 3$ — нет (разрыв).

Ответ: $x \in [- 2; 3)$ . Точка $x = 1$ лежит внутри этого промежутка: она нуль числителя, и значение выражения в ней равно $0$ .

Типичная ошибка. Решить, что $x = 1$ нужно «выкинуть», раз в ней знак не меняется. Знак не меняется, но сама точка в нестрогом неравенстве в ответ входит.

Пример 4 (уровень В). Реши неравенство $lo g_{2} (x - 1) > lo g_{2} (5 - x)$ .

Решение. ОДЗ: $x - 1 > 0$ и $5 - x > 0$ , то есть $x > 1$ и $x < 5$ . Пересечение: $x \in (1; 5)$ .

Переносим всё в одну часть: $lo g_{2} (x - 1) - lo g_{2} (5 - x) > 0$ , или $lo g_{2} \frac{x - 1}{5 - x} > 0$ .

Применяем обобщённую замену: $lo g_{a} f \equiv (a - 1) (f - 1)$ . Здесь $a = 2$ , значит $a - 1 = 1 > 0$ , и знак определяется выражением $\frac{x - 1}{5 - x} - 1$ .

Приводим к общему: $\frac{x - 1 - ( 5 - x )}{5 - x} = \frac{2 x - 6}{5 - x}$ .

Получаем: $\frac{2 x - 6}{5 - x} > 0$ , или $\frac{x - 3}{5 - x} > 0$ (сократили 2).

Нули: числитель $x = 3$ , знаменатель $x = 5$ . Обе — выколотые.

Пробная точка $x = 4$ : $\frac{4 - 3}{5 - 4} = 1 > 0$ . Интервал $(3; 5)$ — плюс.

Чередование: $(5; + \infty)$ — минус, $(- \infty; 3)$ — минус.

Остаётся $(3; 5)$ . Пересекаем с ОДЗ $(1; 5)$ : получаем $(3; 5)$ .

Ответ: $x \in (3; 5)$ .

Типичная ошибка. Забыть учесть ОДЗ и получить лишние корни.

Типичные ошибки

Забывать о чётной кратности. Самая частая ошибка. Если множитель возведён в чётную степень — знак при переходе через корень не меняется.
Закрашивать корень знаменателя при нестрогом неравенстве. Точка разрыва всегда выколота, даже если неравенство нестрогое. Включать её в ответ нельзя: в ней функция не определена.
Не учитывать ОДЗ в обобщённом методе. Замена $lo g_{a} f \equiv (a - 1) (f - 1)$ работает только при $f > 0$ . Все $x$ , нарушающие ОДЗ, в ответ не входят, даже если знаковое выражение положительно.
Путать знаки при отрицательном старшем коэффициенте. В $- (x - 1) (x - 2) > 0$ умножение на $- 1$ меняет знак: на самом деле решение — где $(x - 1) (x - 2) < 0$ , то есть на интервале $(1; 2)$ .
Забывать решить саму исходную задачу. После метода интервалов обязательно перечитай условие — где нужен плюс, а где минус? Легко запутаться.

Связь с другими темами

Неравенства с модулем — раскрытие модуля сводит неравенство к набору, где работает метод интервалов.
Дробно-рациональные уравнения — те же нули числителя и знаменателя и ОДЗ.
Иррациональные уравнения — ОДЗ с корнями часто находят именно методом интервалов.

Логарифмические и показательные неравенства решаются обобщённым методом интервалов: логарифм или разность степеней заменяют знакоравным выражением (формулы выше), а затем применяют обычную расстановку знаков.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Неравенства — задание 16 части 2 по проекту ЕГЭ-2027 (в 2026 году — задание 15), 2 балла. Рациональные, логарифмические и показательные неравенства решают методом интервалов. Документы ФИПИ на 2027 год пока опубликованы как проект: https://doc.fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory/2027/ma_11_2027.zip.

Отработай метод интервалов

Адаптивный тренажёр Соты даст задания под твой уровень и разберёт каждую ошибку

Начать бесплатно

Проверено: 2026-10-08.