Что такое среднее геометрическое?

Среднее геометрическое двух чисел a и b — это √(ab). Для n чисел — корень n-й степени из их произведения.

Равенство AM = GM достигается только когда все числа равны: a = b (для двух чисел).

Зачем неравенство AM ≥ GM нужно на ЕГЭ?

Для быстрого нахождения минимума суммы a + b при фиксированном произведении a·b, или максимума произведения при фиксированной сумме.

Среднее арифметическое и геометрическое — неравенство и ЕГЭ

Неравенство о средних — один из самых компактных инструментов в школьной алгебре. Оно позволяет за одну строчку найти минимум суммы или максимум произведения там, где обычно берут производную, и часто экономит на экзамене несколько минут чистого времени. На ЕГЭ это особенно ценят в задании 18 (параметр) и при доказательствах неравенств, где аккуратное обоснование экстремума экономит силы. Разберём, что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое, почему первое всегда не меньше второго, и как этим пользоваться в задачах.

Определения

Среднее арифметическое $n$ чисел $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ :

$A = \frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n}$

Для двух чисел: $A = \frac{a + b}{2}$ .

Среднее геометрическое $n$ положительных чисел:

$G = n a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots \cdot a_{n}$

Для двух чисел: $G = ab$ .

Разница между ними наглядна на простом примере. Возьми числа $2$ и $8$ . Среднее арифметическое — $\frac{2 + 8}{2} = 5$ , среднее геометрическое — $2 \cdot 8 = 16 = 4$ . Видно, что $5 > 4$ : арифметическое больше геометрического. И только когда числа равны (например, $4$ и $4$ ), оба средних совпадают: $\frac{4 + 4}{2} = 4$ и $4 \cdot 4 = 4$ .

Неравенство средних (AM ≥ GM)

Здесь AM (arithmetic mean) — среднее арифметическое, GM (geometric mean) — среднее геометрическое. Неравенство: для любых двух положительных чисел $a > 0$ , $b > 0$ :

$\frac{a + b}{2} \geq ab$

Или эквивалентно:

$a + b \geq 2 ab$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b$ .

Доказательство

$(a - b)^{2} \geq 0$

$a - 2 ab + b \geq 0$

$a + b \geq 2 ab$

$\frac{a + b}{2} \geq ab$ — ч.т.д.

Доказательство держится на одном простом факте: квадрат любого выражения неотрицателен. Из $(a - b)^{2} \geq 0$ всё и следует. Заодно видно, когда достигается равенство: только если $a - b = 0$ , то есть при $a = b$ . Этот момент — ключевой: в задачах на экстремум мало найти оценку, нужно ещё показать, что она достигается, иначе минимум/максимум не доказан.

Геометрический смысл

У неравенства есть наглядная картинка. Построй на отрезке длиной $a + b$ полуокружность как на диаметре. Радиус этой полуокружности равен $\frac{a + b}{2}$ — это среднее арифметическое. А перпендикуляр, восставленный из точки, делящей диаметр на части $a$ и $b$ , до пересечения с окружностью, равен $ab$ — это среднее геометрическое. Перпендикуляр-хорда не может быть длиннее радиуса, поэтому $ab \leq \frac{a + b}{2}$ , и равенство — лишь когда перпендикуляр проходит через центр, то есть $a = b$ . Эта картинка — хороший способ запомнить само неравенство и направление знака: радиус (арифметическое среднее) всегда не меньше полухорды (геометрического среднего).

Применение в задачах ЕГЭ

Идея во всех таких задачах одна: представить выражение как сумму слагаемых с постоянным произведением, и тогда неравенство средних сразу даёт оценку, а условие равенства — точку экстремума. Разберём три базовых сюжета — минимум суммы, максимум произведения и работу с тремя слагаемыми.

Минимум суммы при фиксированном произведении

Задача. Найти минимальное значение $f (x) = x + \frac{4}{x}$ при $x > 0$ .

По неравенству AM ≥ GM:

$x + \frac{4}{x} \geq 2 x \cdot \frac{4}{x} = 24 = 4$

Минимум равен 4, достигается при $x = \frac{4}{x}$ , то есть $x^{2} = 4$ , $x = 2$ (так как $x > 0$ ).

Проверка: $f (2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$ . ✓

Обрати внимание на логику: произведение слагаемых $x \cdot \frac{4}{x} = 4$ не зависит от $x$ , поэтому сумма ограничена снизу числом $24 = 4$ . Если бы мы попробовали найти минимум перебором, то увидели бы: при $x = 1$ значение $5$ , при $x = 4$ значение $5$ , а ровно в $x = 2$ — наименьшее $4$ . Неравенство средних даёт этот ответ без перебора и сразу с обоснованием, что меньше $4$ функция не опускается ни при каком $x > 0$ .

Максимум произведения при фиксированной сумме

Задача. Найти максимум $P = x y$ при условии $x + y = 10$ , $x, y > 0$ .

По AM ≥ GM: $\frac{x + y}{2} \geq x y$ , то есть $\frac{10}{2} \geq P$ , откуда $P \leq 25$ .

Максимум $P = 25$ достигается при $x = y = 5$ . Геометрический смысл этого факта прост: среди всех прямоугольников с фиксированным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Сумма $x + y$ — это половина периметра, произведение $x y$ — площадь, и максимум площади даёт именно равенство сторон $x = y$ . Этот результат часто всплывает в прикладных задачах на «огородить максимальную площадь заданным забором».

Для трёх чисел

$\frac{a + b + c}{3} \geq 3 ab c$

Равенство при $a = b = c$ .

Задача. Найти минимум $f = x + y + \frac{1}{x y}$ при $x, y > 0$ .

По AM ≥ GM для трёх слагаемых:

$x + y + \frac{1}{x y} \geq 3 3 x \cdot y \cdot \frac{1}{x y} = 331 = 3$

Минимум 3 достигается при $x = y = \frac{1}{x y}$ , откуда $x = y = 1$ . Здесь снова сработал главный принцип: три слагаемых подобраны так, что их произведение $x \cdot y \cdot \frac{1}{x y} = 1$ — константа, не зависящая от переменных. Именно постоянство произведения и позволяет неравенству средних дать точную оценку снизу.

Пример задания 18 ЕГЭ (задача с параметром)

Неравенство AM ≥ GM используют в задании 18 для нахождения экстремума, когда производная неудобна.

Задача. Доказать, что для всех $a > 0, b > 0$ с условием $a + b = 1$ выполняется $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4$ .

Решение.

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{ab}$ .

По AM ≥ GM: $\frac{a + b}{2} \geq ab$ , то есть $\frac{1}{2} \geq ab$ , откуда $ab \leq \frac{1}{4}$ .

Значит $\frac{1}{ab} \geq 4$ .

При $a = b = \frac{1}{2}$ : $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 + 2 = 4$ — равенство достигается.

Как распознать, что задача «на AM ≥ GM»

Неравенство средних применимо не всегда, и важно научиться видеть его сигнатуру. Маркеры такие:

В выражении есть сумма слагаемых, произведение которых сокращается до константы. Классика — $x + \frac{c}{x}$ : произведение $x \cdot \frac{c}{x} = c$ не зависит от $x$ . Значит, сумма имеет минимум $2 c$ .
Задано фиксированное произведение, спрашивают минимум суммы; или задана фиксированная сумма, спрашивают максимум произведения.
Нужно доказать неравенство с положительными переменными, где справа стоит число, а слева — симметричное выражение.

Если ни один маркер не подходит — скорее всего, экстремум проще искать через производную (экстремумы функции). AM ≥ GM — не универсальный молоток, а точечный инструмент для симметричных конструкций.

Пример 5: разбор «ловушки» с тремя слагаемыми

Когда слагаемых не два, а три, важно правильно сгруппировать, чтобы произведение стало константой. Разберём подробно.

Найди минимум $f (x) = x^{2} + \frac{2}{x}$ при $x > 0$ .

Соблазн — применить AM ≥ GM к двум слагаемым: $x^{2} + \frac{2}{x} \geq 2 x^{2} \cdot \frac{2}{x} = 2 2 x$ . Но справа осталось $x$ — оценка зависит от переменной, минимум так не найти. Это типичная ошибка: для двух слагаемых произведение должно сократиться полностью, а здесь $x^{2} \cdot \frac{2}{x} = 2 x$ — не константа.

Правильный приём — разбить дробь на два одинаковых слагаемых, чтобы получить три члена с постоянным произведением:

$x^{2} + \frac{2}{x} = x^{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x}$

Теперь произведение трёх слагаемых: $x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{x ^{2}}{x ^{2}} = 1$ — константа. Применяем AM ≥ GM для трёх чисел:

$x^{2} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \geq 3 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = 331 = 3$

Равенство при $x^{2} = \frac{1}{x}$ , то есть $x^{3} = 1$ , $x = 1$ . Проверка: $f (1) = 1 + 2 = 3$ . Минимум равен $3$ .

Вывод. Чтобы AM ≥ GM сработало, слагаемые надо подобрать так, чтобы их произведение не зависело от $x$ . Иногда для этого одно слагаемое делят на несколько равных частей.

AM ≥ GM или производная: что выбрать

Оба метода ищут экстремум, но у каждого своя зона комфорта. Производная универсальна: берёшь $f^{'} (x)$ , приравниваешь к нулю, исследуешь знак — работает для любой гладкой функции. Минус — больше выкладок и риск арифметической ошибки.

Неравенство средних мгновенно даёт ответ, но только для специальных конструкций: суммы с постоянным произведением слагаемых. Зато оно сразу выдаёт и значение экстремума, и точку, и обоснование — без производной. На ЕГЭ в задании 12 (наибольшее/наименьшее значение) чаще ждут производную, а в задании 18 при доказательстве неравенства AM ≥ GM часто короче и элегантнее. Имей в арсенале оба и выбирай по форме выражения.

Связь с прогрессиями

Если $a$ и $b$ — соседние члены арифметической прогрессии, то их среднее арифметическое равно среднему члену между ними. А средним геометрическим связаны соседние члены геометрической прогрессии: $b_{n} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ . Неравенство AM ≥ GM гарантирует, что при положительных членах среднее арифметическое не меньше среднего геометрического — это используют в задачах, где прогрессии сравнивают между собой или оценивают суммы и произведения членов.

Подробнее про сами прогрессии — на страницах арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.

Где средние встречаются в части 1

Не вся работа со средними — это оптимизация. В заданиях 7 и 11 средние нужны для прямого вычисления и для чтения смысла. Среднее арифметическое — это привычное «среднее значение»: средний балл, средняя цена, средняя температура. Среднее геометрическое появляется там, где величины перемножаются, а не складываются: средний темп роста, средний коэффициент. Например, если за два года цена выросла сначала в $2$ раза, потом в $8$ раз, то «средний» коэффициент роста за год — это не $\frac{2 + 8}{2} = 5$ , а именно среднее геометрическое $2 \cdot 8 = 4$ : ведь $4 \cdot 4 = 16 = 2 \cdot 8$ , то есть рост в $4$ раза каждый год даёт тот же итог. Это частая логическая ловушка: для процессов с умножением «усреднять» нужно геометрически.

Понимание этой разницы помогает не только считать, но и правильно выбирать формулу в текстовых задачах. Если величины складываются (расстояния, количества) — среднее арифметическое. Если перемножаются (коэффициенты, разы, проценты роста за несколько периодов) — среднее геометрическое.

Цепочка средних: гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое

Кроме арифметического и геометрического, есть ещё среднее гармоническое двух положительных чисел:

$H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2 ab}{a + b}$

Эти три средних всегда выстроены в одну цепочку: $H \leq G \leq A$ , то есть

$\frac{2 ab}{a + b} \leq ab \leq \frac{a + b}{2}$

Все три совпадают только при $a = b$ . На ЕГЭ среднее гармоническое явно почти не спрашивают, но оно встречается в текстовых задачах на среднюю скорость: если половину пути ехать со скоростью $v_{1}$ , а вторую половину — со скоростью $v_{2}$ , то средняя скорость на всём пути равна именно гармоническому среднему $\frac{2 v _{1} v _{2}}{v _{1} + v _{2}}$ , а не арифметическому. Из неравенства $H \leq A$ сразу следует, что средняя скорость в такой поездке всегда меньше «наивного» среднего арифметического скоростей.

Пример 6: оценка снизу в задании 18

Докажи, что для всех положительных $x, y, z$ выполняется $\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3$ .

Это классическая симметричная оценка. Слева — сумма трёх положительных слагаемых, а их произведение красиво сокращается:

$\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x} = \frac{x y z}{x y z} = 1$

Произведение равно $1$ — константа, значит работает AM ≥ GM для трёх чисел:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq 3 3 \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x} = 331 = 3$

Равенство достигается, когда все три дроби равны: $\frac{x}{y} = \frac{y}{z} = \frac{z}{x}$ , то есть при $x = y = z$ . Неравенство доказано, и оценка точная. Такой приём — увидеть сокращающееся произведение — и есть суть применения неравенства средних в доказательствах.

Типичные ошибки

Ошибка	Правильно
Применяют AM ≥ GM к отрицательным числам	Только к положительным $a, b > 0$
Забывают условие равенства ( $a = b$ ) при нахождении экстремума	Нужно явно проверить, что точка равенства достижима — иначе экстремум не обоснован
Путают «минимум суммы» и «максимум произведения»	Разные задачи, но обе решаются через AM ≥ GM в свою сторону
Применяют к двум слагаемым, чьё произведение не константа	Сначала проверь, что произведение слагаемых не зависит от переменной; если нет — разбей на нужное число равных частей
Берут только положительный корень молча	Условие $x > 0$ нужно проговорить: оно отсекает второй корень при $x^{2} = c$

Разберём первую строку подробнее, потому что она встречается чаще всего. Если в задаче переменная может быть отрицательной, неравенство $\frac{a + b}{2} \geq ab$ просто не имеет смысла — под корнем оказывается отрицательное число. В таких случаях либо область сразу ограничена условием $x > 0$ , либо нужно отдельно рассмотреть отрицательную ветвь (часто через симметрию или замену $x \to - x$ ).

Что запомнить

$\frac{a + b}{2} \geq ab$ — неравенство средних для двух положительных чисел; для $n$ чисел — $\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} \geq n a_{1} \dots a_{n}$ .
Равенство достигается только при равенстве всех чисел: $a = b$ (для двух), $a = b = c$ (для трёх).
Минимум суммы вида $x + \frac{c}{x}$ : произведение слагаемых постоянно, поэтому сумма $\geq 2 c$ , минимум при $x = c$ .
Максимум произведения при фиксированной сумме: применяй AM ≥ GM в обратную сторону, $x y \leq (\frac{x + y}{2})^{2}$ .
Применяй только к положительным числам и всегда проверяй, что точка равенства достижима — иначе экстремум не доказан.

Отработай неравенство средних на задачах ЕГЭ

Сотик подберёт задачи на минимум суммы и максимум произведения под твой уровень и покажет, где применять AM ≥ GM, а где производную.

Начать бесплатно

Среднее арифметическое и геометрическое — формулы и неравенство