Среднее арифметическое и геометрическое — формулы и неравенство

Неравенство о средних — один из самых компактных инструментов в школьной алгебре. Оно позволяет за одну строчку найти минимум суммы или максимум произведения там, где обычно берут производную, и часто экономит на экзамене несколько минут чистого времени. На ЕГЭ это особенно ценят в задании 18 (параметр) и при доказательствах неравенств, где аккуратное обоснование экстремума экономит силы. Разберём, что такое среднее арифметическое и среднее геометрическое, почему первое всегда не меньше второго, и как этим пользоваться в задачах.

Определения

Среднее арифметическое $n$ чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$:

$A = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$

Для двух чисел: $A = \dfrac{a + b}{2}$.

Среднее геометрическое $n$ положительных чисел:

$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}$

Для двух чисел: $G = \sqrt{ab}$.

Разница между ними наглядна на простом примере. Возьми числа $2$ и $8$. Среднее арифметическое — $\dfrac{2 + 8}{2} = 5$, среднее геометрическое — $\sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4$. Видно, что $5 > 4$: арифметическое больше геометрического. И только когда числа равны (например, $4$ и $4$), оба средних совпадают: $\dfrac{4 + 4}{2} = 4$ и $\sqrt{4 \cdot 4} = 4$.

Неравенство средних (AM ≥ GM)

Здесь AM (arithmetic mean) — среднее арифметическое, GM (geometric mean) — среднее геометрическое. Неравенство: для любых двух положительных чисел $a > 0$, $b > 0$:

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Или эквивалентно:

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b$.

Доказательство

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$

$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ — ч.т.д.

Доказательство держится на одном простом факте: квадрат любого выражения неотрицателен. Из $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$ всё и следует. Заодно видно, когда достигается равенство: только если $\sqrt{a} - \sqrt{b} = 0$, то есть при $a = b$. Этот момент — ключевой: в задачах на экстремум мало найти оценку, нужно ещё показать, что она достигается, иначе минимум/максимум не доказан.

Геометрический смысл

У неравенства есть наглядная картинка. Построй на отрезке длиной $a + b$ полуокружность как на диаметре. Радиус этой полуокружности равен $\dfrac{a + b}{2}$ — это среднее арифметическое. А перпендикуляр, восставленный из точки, делящей диаметр на части $a$ и $b$, до пересечения с окружностью, равен $\sqrt{ab}$ — это среднее геометрическое. Перпендикуляр-хорда не может быть длиннее радиуса, поэтому $\sqrt{ab} \le \dfrac{a + b}{2}$, и равенство — лишь когда перпендикуляр проходит через центр, то есть $a = b$. Эта картинка — хороший способ запомнить само неравенство и направление знака: радиус (арифметическое среднее) всегда не меньше полухорды (геометрического среднего).

Применение в задачах ЕГЭ

Идея во всех таких задачах одна: представить выражение как сумму слагаемых с постоянным произведением, и тогда неравенство средних сразу даёт оценку, а условие равенства — точку экстремума. Разберём три базовых сюжета — минимум суммы, максимум произведения и работу с тремя слагаемыми.

Минимум суммы при фиксированном произведении

Задача. Найти минимальное значение $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ при $x > 0$.

По неравенству AM ≥ GM:

$x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$

Минимум равен 4, достигается при $x = \dfrac{4}{x}$, то есть $x^2 = 4$, $x = 2$ (так как $x > 0$).

Проверка: $f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. ✓

Обрати внимание на логику: произведение слагаемых $x \cdot \dfrac{4}{x} = 4$ не зависит от $x$, поэтому сумма ограничена снизу числом $2\sqrt{4} = 4$. Если бы мы попробовали найти минимум перебором, то увидели бы: при $x = 1$ значение $5$, при $x = 4$ значение $5$, а ровно в $x = 2$ — наименьшее $4$. Неравенство средних даёт этот ответ без перебора и сразу с обоснованием, что меньше $4$ функция не опускается ни при каком $x > 0$.

Максимум произведения при фиксированной сумме

Задача. Найти максимум $P = xy$ при условии $x + y = 10$, $x, y > 0$.

По AM ≥ GM: $\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$, то есть $\dfrac{10}{2} \geq \sqrt{P}$, откуда $P \leq 25$.

Максимум $P = 25$ достигается при $x = y = 5$. Геометрический смысл этого факта прост: среди всех прямоугольников с фиксированным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Сумма $x + y$ — это половина периметра, произведение $xy$ — площадь, и максимум площади даёт именно равенство сторон $x = y$. Этот результат часто всплывает в прикладных задачах на «огородить максимальную площадь заданным забором».

Для трёх чисел

$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$

Равенство при $a = b = c$.

Задача. Найти минимум $f = x + y + \dfrac{1}{xy}$ при $x, y > 0$.

По AM ≥ GM для трёх слагаемых:

$x + y + \frac{1}{xy} \geq 3\sqrt[3]{x \cdot y \cdot \frac{1}{xy}} = 3\sqrt[3]{1} = 3$

Минимум 3 достигается при $x = y = \dfrac{1}{xy}$, откуда $x = y = 1$. Здесь снова сработал главный принцип: три слагаемых подобраны так, что их произведение $x \cdot y \cdot \dfrac{1}{xy} = 1$ — константа, не зависящая от переменных. Именно постоянство произведения и позволяет неравенству средних дать точную оценку снизу.

Пример задания 18 ЕГЭ (задача с параметром)

Неравенство AM ≥ GM используют в задании 18 для нахождения экстремума, когда производная неудобна.

Задача. Доказать, что для всех $a > 0, b > 0$ с условием $a + b = 1$ выполняется $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq 4$.

Решение.

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{1}{ab}$.

По AM ≥ GM: $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$, то есть $\dfrac{1}{2} \geq \sqrt{ab}$, откуда $ab \leq \dfrac{1}{4}$.

Значит $\dfrac{1}{ab} \geq 4$.

При $a = b = \dfrac{1}{2}$: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2 + 2 = 4$ — равенство достигается.

Как распознать, что задача «на AM ≥ GM»

Неравенство средних применимо не всегда, и важно научиться видеть его сигнатуру. Маркеры такие:

• В выражении есть сумма слагаемых, произведение которых сокращается до константы. Классика — $x + \dfrac{c}{x}$: произведение $x \cdot \dfrac{c}{x} = c$ не зависит от $x$. Значит, сумма имеет минимум $2\sqrt{c}$.
• Задано фиксированное произведение, спрашивают минимум суммы; или задана фиксированная сумма, спрашивают максимум произведения.
• Нужно доказать неравенство с положительными переменными, где справа стоит число, а слева — симметричное выражение.

Если ни один маркер не подходит — скорее всего, экстремум проще искать через производную (экстремумы функции). AM ≥ GM — не универсальный молоток, а точечный инструмент для симметричных конструкций.

Пример 5: разбор «ловушки» с тремя слагаемыми

Когда слагаемых не два, а три, важно правильно сгруппировать, чтобы произведение стало константой. Разберём подробно.

Найди минимум $f(x) = x^2 + \dfrac{2}{x}$ при $x > 0$.

Соблазн — применить AM ≥ GM к двум слагаемым: $x^2 + \dfrac{2}{x} \ge 2\sqrt{x^2 \cdot \dfrac{2}{x}} = 2\sqrt{2x}$. Но справа осталось $x$ — оценка зависит от переменной, минимум так не найти. Это типичная ошибка: для двух слагаемых произведение должно сократиться полностью, а здесь $x^2 \cdot \dfrac{2}{x} = 2x$ — не константа.

Правильный приём — разбить дробь на два одинаковых слагаемых, чтобы получить три члена с постоянным произведением:

$x^2 + \frac{2}{x} = x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x}$

Теперь произведение трёх слагаемых: $x^2 \cdot \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{x^2}{x^2} = 1$ — константа. Применяем AM ≥ GM для трёх чисел:

$x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \ge 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} = 3\sqrt[3]{1} = 3$

Равенство при $x^2 = \dfrac{1}{x}$, то есть $x^3 = 1$, $x = 1$. Проверка: $f(1) = 1 + 2 = 3$. Минимум равен $3$.

Вывод. Чтобы AM ≥ GM сработало, слагаемые надо подобрать так, чтобы их произведение не зависело от $x$. Иногда для этого одно слагаемое делят на несколько равных частей.

AM ≥ GM или производная: что выбрать

Оба метода ищут экстремум, но у каждого своя зона комфорта. Производная универсальна: берёшь $f'(x)$, приравниваешь к нулю, исследуешь знак — работает для любой гладкой функции. Минус — больше выкладок и риск арифметической ошибки.

Неравенство средних мгновенно даёт ответ, но только для специальных конструкций: суммы с постоянным произведением слагаемых. Зато оно сразу выдаёт и значение экстремума, и точку, и обоснование — без производной. На ЕГЭ в задании 12 (наибольшее/наименьшее значение) чаще ждут производную, а в задании 18 при доказательстве неравенства AM ≥ GM часто короче и элегантнее. Имей в арсенале оба и выбирай по форме выражения.

Связь с прогрессиями

Если $a$ и $b$ — соседние члены арифметической прогрессии, то их среднее арифметическое равно среднему члену между ними. А средним геометрическим связаны соседние члены геометрической прогрессии: $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$. Неравенство AM ≥ GM гарантирует, что при положительных членах среднее арифметическое не меньше среднего геометрического — это используют в задачах, где прогрессии сравнивают между собой или оценивают суммы и произведения членов.

Подробнее про сами прогрессии — на страницах арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия.

Где средние встречаются в части 1

Не вся работа со средними — это оптимизация. В заданиях 7 и 11 средние нужны для прямого вычисления и для чтения смысла. Среднее арифметическое — это привычное «среднее значение»: средний балл, средняя цена, средняя температура. Среднее геометрическое появляется там, где величины перемножаются, а не складываются: средний темп роста, средний коэффициент. Например, если за два года цена выросла сначала в $2$ раза, потом в $8$ раз, то «средний» коэффициент роста за год — это не $\dfrac{2+8}{2} = 5$, а именно среднее геометрическое $\sqrt{2 \cdot 8} = 4$: ведь $4 \cdot 4 = 16 = 2 \cdot 8$, то есть рост в $4$ раза каждый год даёт тот же итог. Это частая логическая ловушка: для процессов с умножением «усреднять» нужно геометрически.

Понимание этой разницы помогает не только считать, но и правильно выбирать формулу в текстовых задачах. Если величины складываются (расстояния, количества) — среднее арифметическое. Если перемножаются (коэффициенты, разы, проценты роста за несколько периодов) — среднее геометрическое.

Цепочка средних: гармоническое ≤ геометрическое ≤ арифметическое

Кроме арифметического и геометрического, есть ещё среднее гармоническое двух положительных чисел:

$H = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}$

Эти три средних всегда выстроены в одну цепочку: $H \le G \le A$, то есть

$\frac{2ab}{a + b} \le \sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$

Все три совпадают только при $a = b$. На ЕГЭ среднее гармоническое явно почти не спрашивают, но оно встречается в текстовых задачах на среднюю скорость: если половину пути ехать со скоростью $v_1$, а вторую половину — со скоростью $v_2$, то средняя скорость на всём пути равна именно гармоническому среднему $\dfrac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$, а не арифметическому. Из неравенства $H \le A$ сразу следует, что средняя скорость в такой поездке всегда меньше «наивного» среднего арифметического скоростей.

Пример 6: оценка снизу в задании 18

Докажи, что для всех положительных $x, y, z$ выполняется $\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{x} \ge 3$.

Это классическая симметричная оценка. Слева — сумма трёх положительных слагаемых, а их произведение красиво сокращается:

$\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x} = \frac{xyz}{xyz} = 1$

Произведение равно $1$ — константа, значит работает AM ≥ GM для трёх чисел:

$\frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \ge 3\sqrt[3]{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x}} = 3\sqrt[3]{1} = 3$

Равенство достигается, когда все три дроби равны: $\dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{x}$, то есть при $x = y = z$. Неравенство доказано, и оценка точная. Такой приём — увидеть сокращающееся произведение — и есть суть применения неравенства средних в доказательствах.

Типичные ошибки

Разберём первую строку подробнее, потому что она встречается чаще всего. Если в задаче переменная может быть отрицательной, неравенство $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ просто не имеет смысла — под корнем оказывается отрицательное число. В таких случаях либо область сразу ограничена условием $x > 0$, либо нужно отдельно рассмотреть отрицательную ветвь (часто через симметрию или замену $x \to -x$).

Что запомнить

1. $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ — неравенство средних для двух положительных чисел; для $n$ чисел — $\dfrac{a_1 + \ldots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1 \cdots a_n}$.
2. Равенство достигается только при равенстве всех чисел: $a = b$ (для двух), $a = b = c$ (для трёх).
3. Минимум суммы вида $x + \dfrac{c}{x}$: произведение слагаемых постоянно, поэтому сумма $\ge 2\sqrt{c}$, минимум при $x = \sqrt{c}$.
4. Максимум произведения при фиксированной сумме: применяй AM ≥ GM в обратную сторону, $xy \le \left(\dfrac{x+y}{2}\right)^2$.
5. Применяй только к положительным числам и всегда проверяй, что точка равенства достижима — иначе экстремум не доказан.