Среднее арифметическое и геометрическое — формулы и неравенство

Определения

Среднее арифметическое $n$ чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$:

$A = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}$

Для двух чисел: $A = \dfrac{a + b}{2}$.

Среднее геометрическое $n$ положительных чисел:

$G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n}$

Для двух чисел: $G = \sqrt{ab}$.

Неравенство средних (AM ≥ GM)

Здесь AM (arithmetic mean) — среднее арифметическое, GM (geometric mean) — среднее геометрическое. Неравенство: для любых двух положительных чисел $a > 0$, $b > 0$:

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

Или эквивалентно:

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $a = b$.

Доказательство

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0$

$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

$a + b \geq 2\sqrt{ab}$

$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ — ч.т.д.

Применение в задачах ЕГЭ

Минимум суммы при фиксированном произведении

Задача. Найти минимальное значение $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ при $x > 0$.

По неравенству AM ≥ GM:

$x + \frac{4}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2\sqrt{4} = 4$

Минимум равен 4, достигается при $x = \dfrac{4}{x}$, то есть $x^2 = 4$, $x = 2$ (так как $x > 0$).

Проверка: $f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4$. ✓

Максимум произведения при фиксированной сумме

Задача. Найти максимум $P = xy$ при условии $x + y = 10$, $x, y > 0$.

По AM ≥ GM: $\dfrac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$, то есть $\dfrac{10}{2} \geq \sqrt{P}$, откуда $P \leq 25$.

Максимум $P = 25$ достигается при $x = y = 5$.

Для трёх чисел

$\frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$

Равенство при $a = b = c$.

Задача. Найти минимум $f = x + y + \dfrac{1}{xy}$ при $x, y > 0$.

По AM ≥ GM для трёх слагаемых:

$x + y + \frac{1}{xy} \geq 3\sqrt[3]{x \cdot y \cdot \frac{1}{xy}} = 3\sqrt[3]{1} = 3$

Минимум 3 достигается при $x = y = \dfrac{1}{xy}$, откуда $x = y = 1$.

Пример задания 18 ЕГЭ (задача с параметром)

Неравенство AM ≥ GM используют в задании 18 для нахождения экстремума, когда производная неудобна.

Задача. Доказать, что для всех $a > 0, b > 0$ с условием $a + b = 1$ выполняется $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq 4$.

Решение.

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{a+b}{ab} = \dfrac{1}{ab}$.

По AM ≥ GM: $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$, то есть $\dfrac{1}{2} \geq \sqrt{ab}$, откуда $ab \leq \dfrac{1}{4}$.

Значит $\dfrac{1}{ab} \geq 4$.

При $a = b = \dfrac{1}{2}$: $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2 + 2 = 4$ — равенство достигается.

Связь с прогрессиями

Если $a$ и $b$ — члены арифметической прогрессии с разностью $d$, а $G$ — среднее геометрическое, то неравенство AM ≥ GM гарантирует: «среднее арифметическое прогрессии ≥ среднего геометрического» при положительных членах.

Это используют в задачах про прогрессии совместно с теоремами про сумму и произведение.

Типичные ошибки

Что запомнить

1. $\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ — неравенство средних для двух положительных чисел.
2. Равенство: $a = b$.
3. Минимум суммы $a + b/a$: применяй AM ≥ GM к слагаемым.
4. Максимум произведения при фиксированной сумме: AM ≥ GM в другую сторону.