Свойства модуля числа

Модуль (или абсолютная величина) — простое понятие, но с несколькими тонкостями. Шесть свойств, которые ниже, покрывают подавляющее большинство задач ЕГЭ. Освоив их, ты будешь решать уравнения и неравенства с модулем уверенно.

Определение

Модуль числа $a$ — расстояние от $a$ до $0$ на числовой прямой. Кусочное определение:

$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$

Базовые следствия:

• $|a| \geq 0$ для любого $a$;
• $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$;
• $|a| = |-a|$.

Свойство 1: модуль произведения

$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$

Модуль произведения равен произведению модулей. Работает для любого количества множителей.

Пример. $|(-3) \cdot 4 \cdot (-2)| = |-3| \cdot |4| \cdot |-2| = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$. (Без свойства: $(-3) \cdot 4 \cdot (-2) = 24$, $|24| = 24$. То же.)

Свойство 2: модуль частного

$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}, \quad b \neq 0$

Модуль частного равен частному модулей.

Пример. $\left| \dfrac{-7}{3} \right| = \dfrac{|-7|}{|3|} = \dfrac{7}{3}$.

Свойство 3: неравенство треугольника

$|a + b| \leq |a| + |b|$

Модуль суммы не превосходит суммы модулей. Равенство достигается, когда $a$ и $b$ — одного знака (или один из них ноль).

Когда полезно. Для оценки выражений сверху. Например, $|2x - 3| + |x + 5| \geq |(2x - 3) - (x + 5) \cdot (-1)| = |3x + 2|$? Нет, по неравенству только сверху, не снизу. Снизу — $|a + b| \geq ||a| - |b||$.

Аналог снизу: $|a - b| \geq ||a| - |b||$.

Свойство 4: квадратный корень из квадрата

$\sqrt{a^2} = |a|$

Это очень важное свойство. Школьники часто пишут $\sqrt{a^2} = a$ — это ошибка. Корень всегда даёт неотрицательное число, поэтому если $a < 0$, то $\sqrt{a^2} \neq a$.

Пример. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Не $-5$.

Применение. При решении уравнения $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 3$: упрощаем $\sqrt{(x-2)^2} = |x - 2|$. Уравнение становится $|x - 2| = 3$.

Свойство 5: модуль степени

$|a^n| = |a|^n, \quad n \in \mathbb{N}$

Модуль натуральной степени равен степени модуля. Это следствие свойства произведения.

Пример. $|(-2)^4| = |-2|^4 = 16$.

Свойство 6: связь с расстоянием

$|a - b| \quad \text{— расстояние между точками } a \text{ и } b \text{ на числовой прямой}$

Это геометрическая интерпретация. Часто помогает решать задачи: «найти $x$, для которых сумма расстояний от $x$ до $1$ и до $5$ равна $6$» сводится к $|x - 1| + |x - 5| = 6$.

Раскрытие модуля

Если в выражении есть $|f(x)|$, его раскрывают по кускам:

$|f(x)| = \begin{cases} f(x), & f(x) \geq 0 \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{cases}$

Алгоритм для уравнений с модулем:

1. Найти точку, где подмодульное выражение меняет знак (приравнять к нулю).
2. Разбить числовую прямую на интервалы.
3. На каждом интервале раскрыть модуль (с правильным знаком).
4. Решить полученное уравнение на каждом интервале.
5. Проверить, что найденный корень принадлежит соответствующему интервалу.

Пример. $|x - 2| + x = 5$.

Подмодульное: $x - 2 = 0$ при $x = 2$.

Случай 1: $x \geq 2$. $|x - 2| = x - 2$. Уравнение: $(x - 2) + x = 5 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3{,}5$. Проверка: $3{,}5 \geq 2$. ✓

Случай 2: $x < 2$. $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Уравнение: $(2 - x) + x = 5 \Rightarrow 2 = 5$. Нет решений.

Ответ: $x = 3{,}5$.

Уравнения вида |f| = a

Неравенства вида |f| < a и |f| > a

$\|f(x)\| < a$:

• $a \leq 0$: нет решений.
• $a > 0$: $-a < f(x) < a$.

$\|f(x)\| > a$:

• $a < 0$: выполнено всегда.
• $a = 0$: $f(x) \neq 0$.
• $a > 0$: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Применение в задаче 5 ЕГЭ

Задание 5 — простые показательные/логарифмические/иррациональные уравнения. Иногда содержит выражения с модулем (например, $\sqrt{x^2}$). Свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ — единственное, что нужно знать.

Применение в задаче 12 ЕГЭ

Задача 12 — наибольшее/наименьшее значение. Если в функции есть $|f(x)|$, минимум модуля — там, где $f(x) = 0$ (значение модуля = $0$).

Распространённые ошибки

1. $|a + b| = |a| + |b|$ как равенство. Только неравенство: $|a + b| \leq |a| + |b|$. Равенство только если знаки совпадают.

2. $\sqrt{a^2} = a$ без модуля. Правильно: $\sqrt{a^2} = |a|$.

3. $|a - b| = a - b$ автоматически. Только если $a \geq b$. Иначе — наоборот.

4. Раскрывать $|f(x)|$ как $\pm f(x)$ без проверки. Правильно: разбить на случаи и проверить, какой случай реализуется.

5. Не учитывать $|a| \geq 0$. Уравнение $|f(x)| = -3$ — нет решений (правая часть отрицательна, левая — нет).

Разобранный пример

Условие. Решить уравнение $|2x + 1| = |x - 3|$.

Решение. Используем свойство $|a| = |b| \Leftrightarrow a = b$ или $a = -b$.

Случай 1: $2x + 1 = x - 3 \Rightarrow x = -4$.

Случай 2: $2x + 1 = -(x - 3) = -x + 3 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = 2/3$.

Проверка: подставим в исходное уравнение.

$x = -4$: $|2(-4) + 1| = |-7| = 7$; $|-4 - 3| = |-7| = 7$. ✓

$x = 2/3$: $|4/3 + 1| = |7/3| = 7/3$; $|2/3 - 3| = |-7/3| = 7/3$. ✓

Ответ. $x_1 = -4$, $x_2 = 2/3$.

Что запомнить

• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
• $|a/b| = |a|/|b|$.
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ (неравенство треугольника).
• $\sqrt{a^2} = |a|$, не $a$.
• $|a^n| = |a|^n$.
• $|a - b|$ = расстояние между $a$ и $b$.

Связь с другими темами

• Уравнения с модулем — практика.
• Функция модуля y=|x| — графический подход.
• Свойства корней — связан через свойство 4.