Свойства модуля числа

Модуль (абсолютная величина) — простое понятие с несколькими тонкостями. Главная идея: модуль — это расстояние от числа до нуля, а расстояние неотрицательно. Из неё вытекают все шесть свойств и правила раскрытия. Когда сомневаешься, возвращайся к расстоянию.

Определение

Модуль числа $a$ — расстояние от $a$ до $0$ на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда $\ge 0$. Кусочное определение:

$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}$

Базовые следствия:

• $|a|\ge 0$ для любого $a$;
• $|a|=0\iff a=0$;
• $|a|=|-a|$ — модуль не различает число и противоположное ему.

Свойство 1: модуль произведения

$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$

Модуль произведения равен произведению модулей. Работает для любого количества множителей подряд.

Пример. $|(-3)\cdot 4\cdot (-2)|=|-3|\cdot |4|\cdot |-2|=3\cdot 4\cdot 2=24$. (Без свойства: $(-3)\cdot 4\cdot (-2)=24$, $|24|=24$. То же.) Модуль можно «разнести» по множителям и в выражениях с переменной: $|x(x-1)|=|x|\cdot |x-1|$.

Свойство 2: модуль частного

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},b\ne 0$

Модуль частного равен частному модулей.

Пример. $\left|\frac{-7}{3}\right|=\frac{|-7|}{|3|}=\frac{7}{3}$.

Свойство 3: неравенство треугольника

$|a+b|\le |a|+|b|$

Модуль суммы не превосходит суммы модулей. Равенство достигается, когда $a$ и $b$ — одного знака (или один из них ноль).

Геометрический смысл: путь по прямой не длиннее ломаной. Расстояние от $0$ до $a+b$ не превосходит сумму расстояний $|a|$ и $|b|$. Равенство достигается, когда $a$ и $b$ направлены в одну сторону.

Аналог снизу: $|a+b|\ge ||a|-|b||$. Это оценка снизу: модуль суммы не меньше, чем модуль разности модулей. Вместе две оценки зажимают $|a+b|$ между $||a|-|b||$ и $|a|+|b|$.

Свойство 4: квадратный корень из квадрата

$\sqrt{a^2}=|a|$

Это очень важное свойство. Школьники часто пишут $\sqrt{a^2}=a$ — это ошибка. Корень всегда даёт неотрицательное число, поэтому если $a<0$, то $\sqrt{a^2}\ne a$. Возведение в квадрат «теряет» знак: и $3^2$, и $(-3{)}^2$ дают $9$, а корень берёт неотрицательное значение, то есть модуль. Так выражение $\sqrt{(\dots {)}^2}$ превращается в выражение с модулем.

Пример. $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$. Не $-5$.

Применение. При решении уравнения $\sqrt{x^2-4x+4}=3$: упрощаем $\sqrt{(x-2{)}^2}=|x-2|$. Уравнение становится $|x-2|=3$. Дальше по шаблону «модуль равен числу»: $x-2=3$ или $x-2=-3$, откуда $x=5$ или $x=-1$.

Свойство 5: модуль степени

$|a^n|=|a{|}^n,n\in \mathbb{N}$

Модуль натуральной степени равен степени модуля. Это следствие свойства произведения. При чётной степени результат и так неотрицателен: $|a^{2k}|=a^{2k}$. При нечётной знак сохраняется, и модуль работает: $|a^3|=|a{|}^3$.

Пример. $|(-2{)}^4|=|-2{|}^4=16$. И сразу: $(-2{)}^4=16$ — чётная степень дала положительное число, модуль ничего не изменил.

Свойство 6: связь с расстоянием

$|a-b|\text{— расстояние между точками }a\text{ и }b\text{ на числовой прямой}$

Это геометрическая интерпретация. Пример: $|x-1|+|x-5|$ — сумма расстояний от точки $x$ до точек $1$ и $5$. Для любой точки между ними она равна расстоянию между точками, то есть $4$, поэтому $|x-1|+|x-5|=4$ выполняется на всём отрезке $[1;5]$ без раскрытия модулей. Чтобы сумма равнялась $6$ (на $2$ больше минимума), точка должна отойти от отрезка на $1$: $x=0$ или $x=6$.

Раскрытие модуля

Выражение $|f(x)|$ раскрывают по кускам:

$|f(x)|=\{\begin{array}{ll}f(x),& f(x)\ge 0\\ -f(x),& f(x)<0\end{array}$

Граница между кусками — точка, где подмодульное выражение обращается в ноль. Алгоритм: найти нули подмодульных выражений, разбить прямую на интервалы, раскрыть модуль на каждом, решить и проверить, что корень лежит в своём интервале. Подробный разбор с несколькими модулями: Уравнения с модулем: подробный разбор.

Пример. $|x-2|+x=5$.

Подмодульное: $x-2=0$ при $x=2$.

Случай 1: $x\ge 2$. $|x-2|=x-2$. Уравнение: $(x-2)+x=5\Rightarrow 2x=7\Rightarrow x=3,5$. Проверка: $3,5\ge 2$. ✓

Случай 2: $x<2$. $|x-2|=-(x-2)=2-x$. Уравнение: $(2-x)+x=5\Rightarrow 2=5$. Нет решений.

Ответ: $x=3,5$.

Проверка принадлежности корня интервалу обязательна: в случае 1 корень $3,5\ge 2$ подошёл, в случае 2 уравнение свелось к ложному $2=5$.

Уравнения вида |f| = a

Эта таблица — готовый шаблон для простейших уравнений с модулем. При $a<0$ решений нет: модуль не бывает отрицательным. При $a>0$ на расстоянии $a$ от нуля лежат две точки, $a$ и $-a$.

Неравенства вида |f| < a и |f| > a

$|f(x)|<a$:

• $a\le 0$: нет решений.
• $a>0$: $-a<f(x)<a$.

$|f(x)|>a$:

• $a<0$: выполнено всегда.
• $a=0$: $f(x)\ne 0$.
• $a>0$: $f(x)>a$ или $f(x)<-a$.

«$|f|<a$» при $a>0$ даёт двойное неравенство $-a<f<a$ (логическое «И», один интервал). «$|f|>a$» даёт совокупность $f>a$ или $f<-a$ («ИЛИ», два луча). Подробный разбор: неравенства с модулем.

Где пригодится на ЕГЭ

Номера даны по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ), итоговые документы могут отличаться.

• Свойство $\sqrt{x^2}=|x|$ нужно в иррациональных уравнениях, в том числе простых (№7): $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{(x-3{)}^2}=|x-3|$, а не $x-3$ при $x<3$.
• В части 2 модуль встречается в неравенствах (№16) и задачах с параметром (№19). Минимум модуля равен нулю и достигается там, где подмодульное выражение обращается в ноль.

Распространённые ошибки

1. $|a+b|=|a|+|b|$ как равенство. Только неравенство: $|a+b|\le |a|+|b|$. Равенство только если знаки совпадают.

2. $\sqrt{a^2}=a$ без модуля. Правильно: $\sqrt{a^2}=|a|$.

3. $|a-b|=a-b$ автоматически. Только если $a\ge b$. Иначе — наоборот.

4. Раскрывать $|f(x)|$ как $\pm f(x)$ без проверки. Правильно: разбить на случаи и проверить, какой случай реализуется. Знак определяется знаком подмодульного выражения на интервале, и корень надо проверить на принадлежность этому интервалу.

5. Не учитывать $|a|\ge 0$. Уравнение $|f(x)|=-3$ — нет решений (правая часть отрицательна, левая — нет). Если модуль приравнен к отрицательному числу или должен быть меньше отрицательного, решений нет сразу.

Разобранный пример

Условие. Решить уравнение $|2x+1|=|x-3|$ (модуль равен модулю).

Решение. Используем свойство $|a|=|b|\iff a=b$ или $a=-b$.

Случай 1: $2x+1=x-3\Rightarrow x=-4$.

Случай 2: $2x+1=-(x-3)=-x+3\Rightarrow 3x=2\Rightarrow x=2/3$.

Проверка: подставим в исходное уравнение.

$x=-4$: $|2(-4)+1|=|-7|=7$; $|-4-3|=|-7|=7$. ✓

$x=2/3$: $|4/3+1|=|7/3|=7/3$; $|2/3-3|=|-7/3|=7/3$. ✓

Ответ. $x_1=-4$, $x_2=2/3$.

Для $|a|=|b|$ достаточно двух уравнений вместо четырёх случаев: расстояния до нуля равны, если числа совпадают или противоположны. Посторонних корней этот приём не даёт, в отличие от возведения в квадрат.

Что запомнить

• $|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$.
• $|a/b|=|a|/|b|$.
• $|a+b|\le |a|+|b|$ (неравенство треугольника).
• $\sqrt{a^2}=|a|$, не $a$.
• $|a^n|=|a{|}^n$.
• $|a-b|$ = расстояние между $a$ и $b$.

Связь с другими темами

• Уравнения с модулем — практика.
• Функция модуля y=|x| — графический подход.
• Свойства корней — связаны через свойство $\sqrt{a^2}=|a|$.
• Неравенства с модулем — как «модуль меньше/больше» превращается в систему или совокупность.

Проверено: 2026-10-08.