Свойства модуля числа

Модуль (или абсолютная величина) — простое понятие, но с несколькими тонкостями. Шесть свойств, которые ниже, покрывают подавляющее большинство задач ЕГЭ. Освоив их, ты будешь решать уравнения и неравенства с модулем уверенно.

Главная идея, которую стоит держать в голове на всём протяжении темы: модуль — это расстояние от числа до нуля, а расстояние всегда неотрицательно. Из этой одной мысли вытекают все шесть свойств и все правила раскрытия. Когда сомневаешься, как поступить с модулем, возвращайся к расстоянию — и ответ станет очевидным. Разберём определение, шесть ключевых свойств, правила раскрытия модуля по кускам и применение в заданиях 5 и 12.

Определение

Модуль числа $a$ — расстояние от $a$ до $0$ на числовой прямой. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому модуль всегда $\ge 0$ — это первое и главное свойство, из которого вытекает всё остальное. Кусочное определение:

$|a| = \begin{cases} a, & a \geq 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$

Базовые следствия:

• $|a| \geq 0$ для любого $a$;
• $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$;
• $|a| = |-a|$ — модуль не различает число и противоположное ему.

Свойство 1: модуль произведения

$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$

Модуль произведения равен произведению модулей. Работает для любого количества множителей подряд.

Пример. $|(-3) \cdot 4 \cdot (-2)| = |-3| \cdot |4| \cdot |-2| = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$. (Без свойства: $(-3) \cdot 4 \cdot (-2) = 24$, $|24| = 24$. То же.) Это свойство удобно тем, что позволяет «разнести» модуль по множителям: вместо того чтобы считать произведение целиком и потом брать модуль, можно взять модуль каждого множителя по отдельности. Особенно полезно, когда множители — выражения с переменной: например, $|x(x-1)| = |x| \cdot |x-1|$, что иногда упрощает анализ знаков.

Свойство 2: модуль частного

$\left| \frac{a}{b} \right| = \frac{|a|}{|b|}, \quad b \neq 0$

Модуль частного равен частному модулей.

Пример. $\left| \dfrac{-7}{3} \right| = \dfrac{|-7|}{|3|} = \dfrac{7}{3}$. Как и для произведения, модуль можно «разнести» по числителю и знаменателю по отдельности. Единственное ограничение — знаменатель не равен нулю (иначе дробь не определена). Это свойство удобно при упрощении дробей с модулями: можно работать с модулем числителя и знаменателя независимо, не вычисляя сначала всю дробь.

Свойство 3: неравенство треугольника

$|a + b| \leq |a| + |b|$

Модуль суммы не превосходит суммы модулей. Равенство достигается, когда $a$ и $b$ — одного знака (или один из них ноль).

Когда полезно. Неравенство треугольника — основной инструмент для оценки выражений с модулями сверху. Оно говорит: модуль суммы не больше суммы модулей. Геометрический смысл — «путь по прямой не длиннее ломаного»: расстояние от $0$ до $a + b$ не превосходит сумму расстояний $|a|$ и $|b|$. Равенство достигается, только когда $a$ и $b$ направлены в одну сторону (одного знака или один из них ноль) — тогда «ломаная» выпрямляется.

Аналог снизу: $|a + b| \geq \big||a| - |b|\big|$. Это оценка снизу: модуль суммы не меньше, чем модуль разности модулей. Вместе две оценки зажимают $|a + b|$ между $\big||a| - |b|\big|$ и $|a| + |b|$.

Свойство 4: квадратный корень из квадрата

$\sqrt{a^2} = |a|$

Это очень важное свойство. Школьники часто пишут $\sqrt{a^2} = a$ — это ошибка. Корень всегда даёт неотрицательное число, поэтому если $a < 0$, то $\sqrt{a^2} \neq a$. Почему именно модуль? Возведение в квадрат «теряет» знак: и $3^2$, и $(-3)^2$ дают $9$. Поэтому, извлекая корень из $9$, мы не можем восстановить, было исходное число положительным или отрицательным, — и берём неотрицательный вариант, то есть модуль. Это свойство — мост между корнями и модулями: оно превращает иррациональное выражение $\sqrt{(\ldots)^2}$ в выражение с модулем, которое раскрывается по кускам. Именно через него многие задачи с корнями сводятся к задачам с модулем.

Пример. $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Не $-5$.

Применение. При решении уравнения $\sqrt{x^2 - 4x + 4} = 3$: упрощаем $\sqrt{(x-2)^2} = |x - 2|$. Уравнение становится $|x - 2| = 3$. Дальше по шаблону «модуль равен числу»: $x - 2 = 3$ или $x - 2 = -3$, откуда $x = 5$ или $x = -1$. Без распознавания полного квадрата и модуля эта задача выглядела бы куда сложнее.

Свойство 5: модуль степени

$|a^n| = |a|^n, \quad n \in \mathbb{N}$

Модуль натуральной степени равен степени модуля. Это следствие свойства произведения: степень — это многократное умножение, а модуль произведения равен произведению модулей. Полезное частное наблюдение: при чётной степени результат и так неотрицателен, поэтому $|a^{2k}| = a^{2k}$ (модуль можно убрать). А при нечётной степени знак сохраняется, и модуль реально работает: $|a^3| = |a|^3$.

Пример. $|(-2)^4| = |-2|^4 = 16$. И сразу: $(-2)^4 = 16$ — чётная степень дала положительное число, модуль ничего не изменил.

Свойство 6: связь с расстоянием

$|a - b| \quad \text{— расстояние между точками } a \text{ и } b \text{ на числовой прямой}$

Это геометрическая интерпретация. Часто помогает решать задачи: «найти $x$, для которых сумма расстояний от $x$ до $1$ и до $5$ равна $6$» сводится к $|x - 1| + |x - 5| = 6$. Геометрический взгляд иногда решает задачу быстрее алгебры. Например, $|x - 1| + |x - 5|$ — это сумма расстояний от точки $x$ до точек $1$ и $5$. Для любой точки между $1$ и $5$ эта сумма равна расстоянию между ними, то есть $4$. Значит, уравнение $|x - 1| + |x - 5| = 4$ выполняется для всего отрезка $[1; 5]$ сразу — без раскрытия модулей. А чтобы сумма равнялась $6$ (на $2$ больше минимума), точка должна отойти от отрезка на $1$ в любую сторону: $x = 0$ или $x = 6$. Умение видеть модуль как расстояние — мощный приём для задач, где иначе пришлось бы перебирать несколько случаев.

Раскрытие модуля

Если в выражении есть $|f(x)|$, его раскрывают по кускам:

$|f(x)| = \begin{cases} f(x), & f(x) \geq 0 \\ -f(x), & f(x) < 0 \end{cases}$

Это и есть универсальный способ работы с любым модулем: вместо одного выражения с модулем мы получаем два «обычных» выражения на двух интервалах. Граница между интервалами — точка, где подмодульное выражение обращается в ноль и меняет знак. Слева от неё модуль раскрывается с минусом, справа — без минуса. Если модулей в задаче несколько, точек смены знака тоже несколько, и они делят прямую на больше чем два интервала.

Алгоритм для уравнений с модулем:

1. Найти точку, где подмодульное выражение меняет знак (приравнять к нулю).
2. Разбить числовую прямую на интервалы.
3. На каждом интервале раскрыть модуль (с правильным знаком).
4. Решить полученное уравнение на каждом интервале.
5. Проверить, что найденный корень принадлежит соответствующему интервалу.

Пятый шаг критичен и его часто забывают. Раскрывая модуль на интервале $x \ge a$, мы фактически «договариваемся», что работаем только с этими значениями. Если решение уравнения вышло за пределы интервала, оно не годится для этого случая — это посторонний корень. Поэтому каждый найденный корень обязательно проверяют на принадлежность тому интервалу, на котором его получили.

Пример. $|x - 2| + x = 5$.

Подмодульное: $x - 2 = 0$ при $x = 2$.

Случай 1: $x \geq 2$. $|x - 2| = x - 2$. Уравнение: $(x - 2) + x = 5 \Rightarrow 2x = 7 \Rightarrow x = 3{,}5$. Проверка: $3{,}5 \geq 2$. ✓

Случай 2: $x < 2$. $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Уравнение: $(2 - x) + x = 5 \Rightarrow 2 = 5$. Нет решений.

Ответ: $x = 3{,}5$.

Обрати внимание на финальную проверку в каждом случае — это обязательный шаг. В случае 1 мы предположили $x \ge 2$ и получили $x = 3{,}5$, что этому условию удовлетворяет, — корень засчитан. В случае 2 предполагали $x < 2$, но уравнение свелось к ложному $2 = 5$ — значит, на этом интервале решений нет. Пропустить проверку принадлежности корня интервалу — частая ошибка: можно получить «корень», который на самом деле выпадает из своего случая. Поэтому правило железное: нашёл корень — сразу сверь его с условием интервала, на котором раскрывал модуль.

Уравнения вида |f| = a

Эта таблица — готовый шаблон для простейших уравнений с модулем. Логика прямо следует из определения модуля как расстояния. Модуль не может равняться отрицательному числу, поэтому при $a < 0$ решений нет — это первое, что нужно проверить, увидев $|f(x)| = a$. При $a = 0$ расстояние ноль означает само число ноль: $f(x) = 0$. При $a > 0$ есть ровно две точки на одинаковом расстоянии $a$ от нуля — это $a$ и $-a$, отсюда два уравнения. Запомнив этот шаблон, ты решаешь уравнения вида $|f(x)| = a$ мгновенно, без раскрытия модуля по кускам.

Неравенства вида |f| < a и |f| > a

$\|f(x)\| < a$:

• $a \leq 0$: нет решений.
• $a > 0$: $-a < f(x) < a$.

$\|f(x)\| > a$:

• $a < 0$: выполнено всегда.
• $a = 0$: $f(x) \neq 0$.
• $a > 0$: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

Заметь принципиальную разницу между «модуль меньше» и «модуль больше». «$|f| < a$» при $a > 0$ даёт двойное неравенство $-a < f < a$ — это один интервал (логическое «И»). А «$|f| > a$» даёт совокупность $f > a$ или $f < -a$ — это объединение двух лучей (логическое «ИЛИ»). Геометрически понятно: «расстояние меньше $a$» — это точки вблизи нуля (полоса), «расстояние больше $a$» — точки далеко от нуля (всё, кроме полосы). Перепутать «И» и «ИЛИ» здесь — самая частая ошибка в неравенствах с модулем. Подробный разбор неравенств — на странице неравенства с модулем.

Применение в задаче 5 ЕГЭ

Задание 5 — простые показательные/логарифмические/иррациональные уравнения. Иногда содержит выражения с модулем (например, $\sqrt{x^2}$). Свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ — единственное, что нужно знать. Типичный сюжет: под корнем стоит полный квадрат, например $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = \sqrt{(x-3)^2} = |x - 3|$. Узнав полный квадрат под корнем, ты сразу превращаешь иррациональное выражение в модуль и дальше работаешь с ним по простым правилам. Это частая «ловушка» задания 5: тот, кто не знает про модуль, напишет $\sqrt{(x-3)^2} = x - 3$ и ошибётся при $x < 3$.

Применение в задаче 12 ЕГЭ

Задача 12 — наибольшее/наименьшее значение. Если в функции есть $|f(x)|$, минимум модуля — там, где $f(x) = 0$ (значение модуля = $0$). Это полезное наблюдение: модуль всегда неотрицателен, поэтому его наименьшее возможное значение — ноль, и достигается оно ровно тогда, когда подмодульное выражение обращается в ноль. Если же модуль входит в более сложную функцию, исследование наибольшего/наименьшего значения проводят по интервалам, раскрывая модуль на каждом из них и анализируя получившиеся «обычные» функции. Свойство $\sqrt{x^2} = |x|$ при этом помогает превращать иррациональные выражения в модульные и наоборот.

Распространённые ошибки

1. $|a + b| = |a| + |b|$ как равенство. Только неравенство: $|a + b| \leq |a| + |b|$. Равенство только если знаки совпадают.

2. $\sqrt{a^2} = a$ без модуля. Правильно: $\sqrt{a^2} = |a|$.

3. $|a - b| = a - b$ автоматически. Только если $a \geq b$. Иначе — наоборот.

4. Раскрывать $|f(x)|$ как $\pm f(x)$ без проверки. Правильно: разбить на случаи и проверить, какой случай реализуется. Знак при раскрытии модуля определяется не «как удобно», а знаком подмодульного выражения на конкретном интервале. Поэтому нельзя просто перебрать оба знака и оставить оба корня — нужно проверить, что корень лежит в том интервале, где раскрытие было выбрано.

5. Не учитывать $|a| \geq 0$. Уравнение $|f(x)| = -3$ — нет решений (правая часть отрицательна, левая — нет). Это первое, что нужно проверять в любом уравнении или неравенстве с модулем: если модуль приравнен к отрицательному числу или должен быть меньше отрицательного, решений нет сразу, без всяких преобразований.

Разобранный пример

Условие. Решить уравнение $|2x + 1| = |x - 3|$ (модуль равен модулю).

Решение. Используем свойство $|a| = |b| \Leftrightarrow a = b$ или $a = -b$.

Случай 1: $2x + 1 = x - 3 \Rightarrow x = -4$.

Случай 2: $2x + 1 = -(x - 3) = -x + 3 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = 2/3$.

Проверка: подставим в исходное уравнение.

$x = -4$: $|2(-4) + 1| = |-7| = 7$; $|-4 - 3| = |-7| = 7$. ✓

$x = 2/3$: $|4/3 + 1| = |7/3| = 7/3$; $|2/3 - 3| = |-7/3| = 7/3$. ✓

Ответ. $x_1 = -4$, $x_2 = 2/3$.

Этот пример демонстрирует мощный приём для уравнений вида $|a| = |b|$ (модуль равен модулю). Вместо того чтобы раскрывать оба модуля по кускам (что дало бы четыре случая), мы используем свойство: $|a| = |b|$ тогда и только тогда, когда $a = b$ или $a = -b$. Это всего два уравнения вместо четырёх. Логика проста: равенство расстояний от двух чисел до нуля означает, что числа либо совпадают, либо противоположны. Запомни этот приём — он экономит время в каждой задаче, где модуль равен модулю. Проверку всё равно полезно сделать, но здесь оба корня прошли, потому что приём $a = \pm b$ не порождает посторонних решений (в отличие от возведения в квадрат).

Что запомнить

• $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
• $|a/b| = |a|/|b|$.
• $|a + b| \leq |a| + |b|$ (неравенство треугольника).
• $\sqrt{a^2} = |a|$, не $a$.
• $|a^n| = |a|^n$.
• $|a - b|$ = расстояние между $a$ и $b$.

Связь с другими темами

• Уравнения с модулем — практика.
• Функция модуля y=|x| — графический подход.
• Свойства корней — связаны через свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.
• Неравенства с модулем — как «модуль меньше/больше» превращается в систему или совокупность.