Теорема Безу: остаток от деления многочлена

Многочлен степени 3 и выше встречается в уравнениях высших степеней, при отборе корней и в задачах с параметром. Общей школьной формулы для кубического уравнения нет. Зато есть приём, который превращает кубическое уравнение в квадратное: подобрать один корень, разделить на соответствующую скобку и понизить степень. Инструмент для этого — теорема Безу и схема Горнера.

Ниже связка «корень → множитель → понижение степени» разобрана на примерах от простого к сложному: теорема и её следствие, схема Горнера, подбор кандидатов в корни, алгоритм для уравнений высших степеней и применение теоремы к остаткам и делимости.

Зачем это на экзамене. Умение быстро разложить многочлен на множители экономит минуты и спасает от тупика, когда дискриминант «не считается», потому что уравнение на самом деле не квадратное, а третьей степени.

Теорема Безу

Теорема Безу: остаток $r$ от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $r=P(a)$:

$P(x)=(x-a)\cdot Q(x)+P(a)$

Здесь $Q(x)$ — частное (многочлен на одну степень ниже, чем $P$), а $P(a)$ — число-остаток.

Почему так? Подставим в это равенство $x=a$. Слева — $P(a)$. Справа первое слагаемое $(a-a)\cdot Q(a)=0$ обнуляется, остаётся ровно $P(a)$. Значит, остаток и есть $P(a)$ — без всякого деления столбиком.

Следствие (главное для ЕГЭ): если $P(a)=0$, то остаток равен нулю, и $(x-a)$ делит $P(x)$ нацело. То есть число $a$ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда $(x-a)$ — его множитель. Это мост между «корнями» и «разложением на множители».

Пример 1: проверка корня (уровень А, полный разбор)

Является ли $x=2$ корнем $P(x)=x^3-3x^2+x+2$?

По теореме Безу достаточно вычислить $P(2)$ — делить ничего не нужно:

$P(2)=2^3-3\cdot 2^2+2+2=8-12+2+2=0$

Остаток равен нулю, значит $x=2$ — корень, и $(x-2)$ делит $P(x)$. Это первый шаг к разложению: теперь $P(x)$ можно записать как $(x-2)\cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — квадратный трёхчлен. Найдём $Q(x)$ схемой Горнера в следующем разделе.

Схема Горнера

Схема Горнера — компактный способ разделить многочлен $a_n{x}^n+\dots +a_0$ на $(x-c)$ и заодно вычислить $P(c)$. Это та же теорема Безу, только в виде удобной таблицы.

Алгоритм:

1. Выпиши коэффициенты по убыванию степеней: $a_n,a_{n-1},\dots ,a_0$. Пропущенные степени — это коэффициент $0$, не забывай их.
2. Снеси первый коэффициент вниз без изменений: $b_n=a_n$.
3. Каждое следующее число: умножь предыдущий результат на $c$ и прибавь очередной коэффициент — $b_k=a_k+c\cdot b_{k+1}$.
4. Последнее число $b_0$ — это остаток, то есть $P(c)$. Остальные числа $b_n,\dots ,b_1$ — коэффициенты частного $Q(x)$.

Пример. Разделим $P(x)=x^3-3x^2+x+2$ на $(x-2)$, то есть $c=2$.

Читаем результат: коэффициенты частного — $1,-1,-1$, то есть $Q(x)=x^2-x-1$; остаток (последнее число) — $0$, что подтверждает: $x=2$ — корень.

Значит, $P(x)=(x-2)(x^2-x-1)$. Дальше квадратный трёхчлен $x^2-x-1$ решается через дискриминант: $D=1+4=5$, корни $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Так кубическое уравнение полностью решено.

Нахождение рациональных корней

Чтобы подобрать корень, не нужно гадать наугад. Есть теорема, резко сужающая список кандидатов.

Теорема о рациональных корнях: для многочлена с целыми коэффициентами $P(x)=a_n{x}^n+\dots +a_0$, если несократимая дробь $\frac{p}{q}$ — корень, то:

• $p$ — делитель свободного члена $a_0$;
• $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.

Для унитарного многочлена (старший коэффициент $a_n=1$) знаменатель $q=1$, поэтому рациональные корни — только целые делители свободного члена. Это самый частый случай на ЕГЭ: перебираем $\pm$ делители $a_0$ и проверяем каждый через $P(x_0)$.

Пример 2: полное разложение (уровень Б, faded)

Разложить $P(x)=x^3+x^2-4x-4$ на множители.

Старший коэффициент $1$ — значит ищем целые корни среди делителей свободного члена $-4$: это $\pm 1,\pm 2,\pm 4$.

Проверяем по теореме Безу, начиная с малых:

• $P(1)=1+1-4-4=-6\ne 0$ — не корень;
• $P(-1)=-1+1+4-4=0$ — корень! Значит $(x+1)$ — множитель.

Делим $P(x)$ на $(x+1)$ схемой Горнера, $c=-1$:

Частное: $x^2+0\cdot x-4=x^2-4$. Дальше попробуй сам закончить разложение квадратного множителя.

Ответ: $P(x)=(x+1)(x-2)(x+2)$.

Пример 3: кратный корень (уровень В, skeleton)

При каком $k$ число $x=1$ является двукратным корнем $P(x)=x^3-kx+k-1$?

Двукратный корень — это корень кратности два: множитель $(x-1{)}^2$ входит в разложение. Признак: число $a$ — двукратный корень тогда и только тогда, когда одновременно $P(a)=0$ и $P^{\prime }(a)=0$ (значение и производная обнуляются).

Шаг 1. Запиши условие $P(1)=0$.

Шаг 2. Запиши условие $P^{\prime }(1)=0$ и найди $k$.

Проверка. При $k=3$: $P(x)=x^3-3x+2$. Разложим: $x=1$ — корень, делим на $(x-1)$, получаем $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$. Итого $P(x)=(x-1{)}^2(x+2)$ — корень $x=1$ действительно двойной.

Ответ: $k=3$.

Пример 4: подбор целого корня при параметре (уровень Б)

При каком целом значении параметра $a$ уравнение $x^3-x^2+ax-2=0$ имеет целый корень? Найди этот корень.

Это учебная задача на одну идею: параметр стоит при $x$, и просят целый корень. Настоящая задача с параметром (задание 19 по проекту ЕГЭ-2027, в 2026 году — 18) обычно сложнее: там нужно исследовать, сколько корней и при каких $a$. Здесь мы только подбираем целый корень. Рассуждаем так. Если у уравнения есть целый корень $x_0$, то по теореме о рациональных корнях он делит свободный член $-2$. Значит, кандидаты — только $\pm 1,\pm 2$. Это и есть сила теоремы: вместо бесконечного перебора у нас всего четыре числа.

Подставим каждого кандидата в уравнение и выразим $a$:

• $x_0=1$: $1-1+a-2=0⟹a=2$;
• $x_0=-1$: $-1-1-a-2=0⟹a=-4$;
• $x_0=2$: $8-4+2a-2=0⟹2a=-2⟹a=-1$;
• $x_0=-2$: $-8-4-2a-2=0⟹2a=-14⟹a=-7$.

Каждое из четырёх значений параметра даёт свой целый корень. Например, при $a=2$ корень $x_0=1$, и уравнение становится $x^3-x^2+2x-2=0$. Проверим разложением: $x=1$ — корень, делим на $(x-1)$, получаем $x^2+2$, у которого действительных корней нет. То есть при $a=2$ целый корень ровно один — $x=1$.

Ответ: $a\in \{-7,-4,-1,2\}$; соответствующие целые корни — $-2,-1,2,1$.

Главная идея примера: целый корень обязан делить свободный член, и «бесконечная» задача превращается в перебор нескольких чисел.

Геометрический смысл корня

Корень многочлена — это абсцисса точки, в которой график $y=P(x)$ пересекает ось $Ox$. Если у кубического многочлена три действительных корня, его график трижды пересекает горизонтальную ось. Кратный корень виден иначе: в точке двукратного корня график не пересекает ось, а касается её и возвращается на ту же сторону — как у параболы в вершине. В точке трёхкратного корня график проходит через ось с перегибом, «приплюснуто».

Это даёт быструю прикидку. Если у кубического многочлена ровно один простой действительный корень, то после понижения степени остаётся квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом. Но «ровно один действительный корень» может быть и у многочлена с кратным корнем, например $(x-1{)}^3$ или $(x-1{)}^2(x^2+1)$: там после выделения множителя остаются другие корни, совпадающие с найденным. Поэтому условие «ровно один корень» нужно разбирать с учётом кратности. Связь «кратность корня ↔ поведение графика» помогает не потерять решения и проверить себя.

Алгоритм решения уравнения высшей степени

Собирём всё в один рабочий маршрут — он закрывает большинство уравнений степени 3 и выше на ЕГЭ:

1. Перенеси всё в одну сторону, чтобы получить $P(x)=0$ с целыми (или приведёнными к целым) коэффициентами.
2. Выпиши делители свободного члена — это все кандидаты в целые корни.
3. Подбери первый корень через теорему Безу: считай $P(x_0)$ для кандидатов, пока не получишь ноль. Начинай с малых по модулю чисел — $\pm 1,\pm 2$.
4. Понизь степень схемой Горнера: раздели на $(x-x_0)$, получи частное на одну степень ниже.
5. Повтори для частного, если его степень больше двух.
6. Добей квадратный множитель через дискриминант или теорему Виета.
7. Собери все корни и запиши ответ.

Этот алгоритм механический: на каждом шаге понятно, что делать дальше. Самое узкое место — шаг 3, подбор первого корня. Но именно теорема о рациональных корнях гарантирует, что искать его нужно только среди делителей свободного члена, а не наугад.

Деление столбиком и схема Горнера: в чём разница

Многочлены можно делить и «столбиком» — как обычные числа. Идея та же, что в арифметике: на каждом шаге смотрим на старший член делимого, подбираем множитель, вычитаем. Но у столбика два минуса: запись громоздкая, и легко потерять знак при вычитании многочленов.

Схема Горнера — это тот же алгоритм, свёрнутый в одну строку чисел, и работает она только для делителя вида $(x-c)$ (линейного со старшим коэффициентом $1$). Поскольку в задачах на корни мы почти всегда делим именно на $(x-c)$, Горнер покрывает почти все нужды ЕГЭ. Деление столбиком остаётся для редких случаев, когда делитель — квадратный трёхчлен.

Практический совет: освой именно схему Горнера и доводи её до автоматизма. Один проход по коэффициентам — и ты сразу видишь и остаток (проверка корня), и частное (понижение степени). Это две операции в одной таблице.

Остаток и делимость без деления

Теорема Безу работает и тогда, когда нужен только остаток или факт делимости.

Пример 5. Найди остаток от деления $P(x)=x^{10}-2x^7+3x-5$ на $(x+1)$.

Делитель $(x+1)=(x-(-1))$, значит $a=-1$ и остаток равен $P(-1)$:

$P(-1)=(-1{)}^{10}-2\cdot (-1{)}^7+3\cdot (-1)-5=1+2-3-5=-5.$

Остаток равен $-5$. Делить многочлен десятой степени не пришлось.

Пример 6. Докажи, что $2^{30}-1$ делится на $7$.

Возьми многочлен $P(x)=x^{10}-1$. Он обращается в нуль при $x=1$, поэтому по теореме Безу делится на $(x-1)$ нацело: $P(x)=(x-1)Q(x)$, где $Q$ — многочлен с целыми коэффициентами. Подставим $x=8$. Получится $8^{10}-1=7\cdot Q(8)$, где $Q(8)$ — целое число. Но $8^{10}=2^{30}$, значит $2^{30}-1$ делится на $7$.

Тот же приём даёт общий факт: для целых $a$ и $b$ разность $a^n-b^n$ делится на $a-b$. Такие рассуждения встречаются в задачах на делимость, где нужно доказывать, что выражение делится на число при всех целых значениях переменной.

Где это нужно в заданиях ЕГЭ

По проекту ЕГЭ-2027 (документы ФИПИ опубликованы как проект): уравнения с отбором корней — задание 14, параметр — задание 19, теория чисел и логика — задание 20 (в 2026 году — 13, 18 и 19). Теорема Безу и схема Горнера помогают в таких случаях:

• Целый корень при параметре. Установить, при каком целом $a$ уравнение $P(x)=0$ имеет целый корень. Подход: целый корень обязан делить свободный член — это резко ограничивает перебор.
• Разложение для понижения степени. Найти все корни многочлена: подобрать один через делители $a_0$, разделить схемой Горнера, добить квадратный множитель.
• Делимость значений. Показать, что выражение делится на число: здесь полезно представление $P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)$.

Общий рабочий алгоритм: перебирай делители свободного члена → проверяй через $P(x_0)=0$ → найдя корень, понижай степень схемой Горнера → повторяй, пока не дойдёшь до квадратного множителя.

Частые ошибки

1. Пропустить нулевой коэффициент в схеме Горнера. Для $x^3-4x$ коэффициенты — это $1,0,-4,0$, а не $1,-4,0$. Пропуск нулей сдвигает всю таблицу и ломает ответ.
2. Искать рациональные корни не там. Для неунитарного многочлена корни ищутся как $p/q$, а не только целые. Например, у $2x^2-3x+1$ корень $x=\frac{1}{2}$ — целым перебором его не поймать.
3. Считать корень двойным только по $P(a)=0$. Кратность проверяется ещё и через производную: для двукратного корня нужно $P^{\prime }(a)=0$.
4. Делить на $(x+a)$ с тем же знаком $c$. Деление на $(x+1)$ означает $c=-1$ (корень $-1$), а не $c=1$. Знак $c$ — это сам корень.

Связь с другими темами

• Биквадратные уравнения — частный случай уравнения четвёртой степени, который решается заменой.
• Дробно-рациональные уравнения — разложение числителя и знаменателя на множители опирается на корни многочлена.
• Метод интервалов — после разложения многочлена на множители знак выражения определяют по корням и их кратности.

Что запомнить

1. Остаток от деления $P(x)$ на $(x-a)$ равен $P(a)$ — считать делением не нужно.
2. $P(a)=0$ ⟺ $(x-a)$ — множитель $P(x)$ ⟺ $a$ — корень.
3. Схема Горнера: на каждом шаге «умножь на $c$ и прибавь коэффициент»; последнее число — остаток, остальные — коэффициенты частного.
4. Рациональные корни $p/q$: $p$ делит свободный член, $q$ делит старший коэффициент. Для унитарного многочлена — только целые делители свободного члена.

Проверено: 2026-10-08.