Теорема Безу: остаток от деления многочлена

Теорема Безу

Теорема Безу: остаток $r$ от деления многочлена $P(x)$ на $(x - a)$ равен $P(a)$:

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + P(a)$

Следствие: если $P(a) = 0$, то $(x - a)$ делит $P(x)$ без остатка, то есть $a$ — корень $P(x)$.

Пример 1: проверка корня

Является ли $x = 2$ корнем $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$?

$P(2) = 8 - 12 + 2 + 2 = 0$.

Да, $x = 2$ — корень. Значит, $(x - 2)$ делит $P(x)$.

Схема Горнера

Схема Горнера — способ быстрого деления многочлена $a_nx^n + \ldots + a_0$ на $(x - c)$.

Алгоритм:

1. Запиши коэффициенты: $a_n,\ a_{n-1},\ \ldots,\ a_0$.
2. Опусти первый коэффициент $b_n = a_n$.
3. Каждый следующий: $b_k = a_k + c \cdot b_{k+1}$.
4. Последнее число $b_0 = P(c)$ — остаток.

Пример. Разделим $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$ на $(x - 2)$.

Результат: частное $x^2 - x - 1$, остаток $0$.

Значит: $P(x) = (x-2)(x^2 - x - 1)$.

Нахождение рациональных корней

Для многочлена с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$:

Теорема о рациональных корнях: если $\dfrac{p}{q}$ (несократимая дробь) — корень, то:

• $p$ — делитель $a_0$ (свободного члена),
• $q$ — делитель $a_n$ (старшего коэффициента).

Для унитарного многочлена ($a_n = 1$): рациональные корни — только целые делители $a_0$.

Пример 2: полное разложение

Разложить $P(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ на множители.

Свободный член: $-4$. Делители: $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$.

Проверяем:

• $P(1) = 1 + 1 - 4 - 4 = -6 \neq 0$.
• $P(-1) = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$. ✓

Делим на $(x + 1)$ схемой Горнера (с $c = -1$):

Частное: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Ответ: $P(x) = (x+1)(x-2)(x+2)$.

Пример 3: кратный корень

Задача. При каком $k$ число $x = 1$ является двукратным корнем $P(x) = x^3 - kx + k - 1$?

Двукратный корень: $P(1) = 0$ и $P'(1) = 0$.

$P(1) = 1 - k + k - 1 = 0$ ✓ (выполнено при любом $k$).

$P'(x) = 3x^2 - k$, $P'(1) = 3 - k = 0 \Rightarrow k = 3$.

Проверка: $P(x) = x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$.

Применение в ЕГЭ

В задании 19 (теория чисел / уравнения) может потребоваться:

• Установить при каком параметре $a$ уравнение $P(x) = 0$ имеет целый корень.
• Найти все корни многочлена, разложив его через теорему Безу.
• Доказать что $P(a)$ делится на конкретное число.

Подход: перебирай делители свободного члена, проверяй через $P(x_0) = 0$, потом схема Горнера для понижения степени.

Что запомнить

1. Остаток от деления $P(x)$ на $(x - a)$ равен $P(a)$.
2. $P(a) = 0$ ↔ $(x - a)$ — множитель $P(x)$.
3. Схема Горнера: последовательный счёт коэффициентов частного.
4. Рациональные корни $p/q$: $p$ — делитель свободного члена, $q$ — делитель старшего коэффициента.