Теорема Безу: остаток от деления многочлена

Многочлен степени 3 и выше — постоянный гость в уравнениях высших степеней и в задании 19. Решать их «в лоб» нельзя: общей формулы для кубического уравнения в школе нет. Зато есть приём, который превращает кубику в квадратное уравнение: подобрать один корень, разделить на соответствующую скобку и понизить степень. Инструмент для этого — теорема Безу и схема Горнера.

Эта страница объясняет связку «корень → множитель → понижение степени» и разбирает её на примерах от простого к сложному. Если квадратные уравнения через дискриминант ты уже решаешь автоматически — теорема Безу даст тебе ключ ко всем многочленам выше второй степени. Сначала разберём саму теорему и её следствие, потом схему Горнера как практический инструмент, затем способ быстро находить кандидатов в корни, и в конце соберём всё в готовый алгоритм для уравнений высших степеней и задания 19.

Важно понимать, зачем это нужно именно на экзамене. Кубические и более высокие уравнения сами по себе в задании 6 не встречаются, но они постоянно возникают как промежуточный шаг: при отборе корней, в уравнениях с заменой переменной, в задачах с параметром. Умение быстро разложить многочлен на множители экономит минуты и спасает от тупика, когда дискриминант «не считается», потому что уравнение на самом деле не квадратное, а третьей степени.

Теорема Безу

Теорема Безу: остаток $r$ от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению многочлена в точке $a$, то есть $r = P(a)$:

$P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + P(a)$

Здесь $Q(x)$ — частное (многочлен на одну степень ниже, чем $P$), а $P(a)$ — число-остаток.

Почему так? Подставим в это равенство $x = a$. Слева — $P(a)$. Справа первое слагаемое $(a - a)\cdot Q(a) = 0$ обнуляется, остаётся ровно $P(a)$. Значит, остаток и есть $P(a)$ — без всякого деления столбиком.

Следствие (главное для ЕГЭ): если $P(a) = 0$, то остаток равен нулю, и $(x - a)$ делит $P(x)$ нацело. То есть число $a$ является корнем многочлена тогда и только тогда, когда $(x - a)$ — его множитель. Это мост между «корнями» и «разложением на множители».

Пример 1: проверка корня (уровень А, полный разбор)

Является ли $x = 2$ корнем $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$?

По теореме Безу достаточно вычислить $P(2)$ — делить ничего не нужно:

$P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 + 2 = 8 - 12 + 2 + 2 = 0$

Остаток равен нулю, значит $x = 2$ — корень, и $(x - 2)$ делит $P(x)$. Это первый шаг к разложению: теперь $P(x)$ можно записать как $(x - 2) \cdot Q(x)$, где $Q(x)$ — квадратный трёхчлен. Найдём $Q(x)$ схемой Горнера в следующем разделе.

Схема Горнера

Схема Горнера — компактный способ разделить многочлен $a_n x^n + \ldots + a_0$ на $(x - c)$ и заодно вычислить $P(c)$. Это та же теорема Безу, только в виде удобной таблицы.

Алгоритм:

1. Выпиши коэффициенты по убыванию степеней: $a_n,\ a_{n-1},\ \ldots,\ a_0$. Пропущенные степени — это коэффициент $0$, не забывай их.
2. Снеси первый коэффициент вниз без изменений: $b_n = a_n$.
3. Каждое следующее число: умножь предыдущий результат на $c$ и прибавь очередной коэффициент — $b_k = a_k + c \cdot b_{k+1}$.
4. Последнее число $b_0$ — это остаток, то есть $P(c)$. Остальные числа $b_n, \ldots, b_1$ — коэффициенты частного $Q(x)$.

Пример. Разделим $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 2$ на $(x - 2)$, то есть $c = 2$.

Читаем результат: коэффициенты частного — $1,\ -1,\ -1$, то есть $Q(x) = x^2 - x - 1$; остаток (последнее число) — $0$, что подтверждает: $x = 2$ — корень.

Значит, $P(x) = (x - 2)(x^2 - x - 1)$. Дальше квадратный трёхчлен $x^2 - x - 1$ решается через дискриминант: $D = 1 + 4 = 5$, корни $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Так кубическое уравнение полностью решено.

Нахождение рациональных корней

Чтобы подобрать корень, не нужно гадать наугад. Есть теорема, резко сужающая список кандидатов.

Теорема о рациональных корнях: для многочлена с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + \ldots + a_0$, если несократимая дробь $\dfrac{p}{q}$ — корень, то:

• $p$ — делитель свободного члена $a_0$;
• $q$ — делитель старшего коэффициента $a_n$.

Для унитарного многочлена (старший коэффициент $a_n = 1$) знаменатель $q = 1$, поэтому рациональные корни — только целые делители свободного члена. Это самый частый случай на ЕГЭ: перебираем $\pm$ делители $a_0$ и проверяем каждый через $P(x_0)$.

Пример 2: полное разложение (уровень Б, faded)

Разложить $P(x) = x^3 + x^2 - 4x - 4$ на множители.

Старший коэффициент $1$ — значит ищем целые корни среди делителей свободного члена $-4$: это $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$.

Проверяем по теореме Безу, начиная с малых:

• $P(1) = 1 + 1 - 4 - 4 = -6 \neq 0$ — не корень;
• $P(-1) = -1 + 1 + 4 - 4 = 0$ — корень! Значит $(x + 1)$ — множитель.

Делим $P(x)$ на $(x + 1)$ схемой Горнера, $c = -1$:

Частное: $x^2 + 0\cdot x - 4 = x^2 - 4$. Дальше попробуй сам закончить разложение квадратного множителя.

Ответ: $P(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$.

Пример 3: кратный корень (уровень В, skeleton)

При каком $k$ число $x = 1$ является двукратным корнем $P(x) = x^3 - kx + k - 1$?

Двукратный корень — это корень кратности два: множитель $(x - 1)^2$ входит в разложение. Признак: число $a$ — двукратный корень тогда и только тогда, когда одновременно $P(a) = 0$ и $P'(a) = 0$ (значение и производная обнуляются).

Шаг 1. Запиши условие $P(1) = 0$.

Шаг 2. Запиши условие $P'(1) = 0$ и найди $k$.

Проверка. При $k = 3$: $P(x) = x^3 - 3x + 2$. Разложим: $x = 1$ — корень, делим на $(x - 1)$, получаем $x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$. Итого $P(x) = (x - 1)^2(x + 2)$ — корень $x = 1$ действительно двойной.

Ответ: $k = 3$.

Пример 4: подбор корня в задаче с параметром (уровень В)

При каком целом значении параметра $a$ уравнение $x^3 - x^2 + ax - 2 = 0$ имеет целый корень? Найди этот корень.

Это типичный сюжет задания 19: параметр стоит при $x$, и просят целый корень. Рассуждаем так. Если у уравнения есть целый корень $x_0$, то по теореме о рациональных корнях он делит свободный член $-2$. Значит, кандидаты — только $\pm 1,\ \pm 2$. Это и есть сила теоремы: вместо бесконечного перебора у нас всего четыре числа.

Подставим каждого кандидата в уравнение и выразим $a$:

• $x_0 = 1$: $1 - 1 + a - 2 = 0 \implies a = 2$;
• $x_0 = -1$: $-1 - 1 - a - 2 = 0 \implies a = -4$;
• $x_0 = 2$: $8 - 4 + 2a - 2 = 0 \implies 2a = -2 \implies a = -1$;
• $x_0 = -2$: $-8 - 4 - 2a - 2 = 0 \implies 2a = -14 \implies a = -7$.

Каждое из четырёх значений параметра даёт свой целый корень. Например, при $a = 2$ корень $x_0 = 1$, и уравнение становится $x^3 - x^2 + 2x - 2 = 0$. Проверим разложением: $x = 1$ — корень, делим на $(x - 1)$, получаем $x^2 + 2$, у которого действительных корней нет. То есть при $a = 2$ целый корень ровно один — $x = 1$.

Ответ: $a \in \{-7,\ -4,\ -1,\ 2\}$; соответствующие целые корни — $-2,\ -1,\ 2,\ 1$.

Главная идея, которую забирают из этого примера: целый корень обязан делить свободный член, и это превращает «бесконечную» задачу в перебор нескольких чисел. На этом стоит половина «целочисленных» подзадач задания 19.

Геометрический смысл корня

Корень многочлена — это абсцисса точки, в которой график $y = P(x)$ пересекает ось $Ox$. Если у кубического многочлена три действительных корня, его график трижды пересекает горизонтальную ось. Кратный корень виден иначе: в точке двукратного корня график не пересекает ось, а касается её и возвращается на ту же сторону — как у параболы в вершине. В точке трёхкратного корня график проходит через ось с перегибом, «приплюснуто».

Это даёт быструю прикидку: если в условии сказано, что у многочлена ровно один действительный корень, значит, остальные множители после понижения степени дают квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом (действительных корней не даёт). Связь «кратность корня ↔ поведение графика» помогает не потерять решения в задаче 19 и проверить себя на здравый смысл.

Алгоритм решения уравнения высшей степени

Собирём всё в один рабочий маршрут — он закрывает большинство уравнений степени 3 и выше на ЕГЭ:

1. Перенеси всё в одну сторону, чтобы получить $P(x) = 0$ с целыми (или приведёнными к целым) коэффициентами.
2. Выпиши делители свободного члена — это все кандидаты в целые корни.
3. Подбери первый корень через теорему Безу: считай $P(x_0)$ для кандидатов, пока не получишь ноль. Начинай с малых по модулю чисел — $\pm 1, \pm 2$.
4. Понизь степень схемой Горнера: раздели на $(x - x_0)$, получи частное на одну степень ниже.
5. Повтори для частного, если его степень больше двух.
6. Добей квадратный множитель через дискриминант или теорему Виета.
7. Собери все корни и запиши ответ.

Этот алгоритм механический: на каждом шаге понятно, что делать дальше. Самое узкое место — шаг 3, подбор первого корня. Но именно теорема о рациональных корнях гарантирует, что искать его нужно только среди делителей свободного члена, а не наугад.

Деление столбиком и схема Горнера: в чём разница

Многочлены можно делить и «столбиком» — как обычные числа. Идея та же, что в арифметике: на каждом шаге смотрим на старший член делимого, подбираем множитель, вычитаем. Но у столбика два минуса: запись громоздкая, и легко потерять знак при вычитании многочленов.

Схема Горнера — это тот же алгоритм, свёрнутый в одну строку чисел, и работает она только для делителя вида $(x - c)$ (линейного со старшим коэффициентом $1$). Поскольку в задачах на корни мы почти всегда делим именно на $(x - c)$, Горнер покрывает почти все нужды ЕГЭ. Деление столбиком остаётся для редких случаев, когда делитель — квадратный трёхчлен.

Практический совет: освой именно схему Горнера и доводи её до автоматизма. Один проход по коэффициентам — и ты сразу видишь и остаток (проверка корня), и частное (понижение степени). Это две операции в одной таблице.

Применение в задании 19 ЕГЭ

Задание 19 — теория чисел и нестандартные конструкции. Теорема Безу всплывает там, где нужно работать с целыми корнями уравнений и делимостью. Типичные сюжеты:

• Целый корень при параметре. Установить, при каком целом $a$ уравнение $P(x) = 0$ имеет целый корень. Подход: целый корень обязан делить свободный член — это резко ограничивает перебор.
• Разложение для понижения степени. Найти все корни многочлена: подобрать один через делители $a_0$, разделить схемой Горнера, добить квадратный множитель.
• Делимость значений. Доказать, что $P(n)$ делится на конкретное число для всех целых $n$ — здесь полезно представление $P(x)$ через $(x - a)Q(x) + P(a)$.

Общий рабочий алгоритм: перебирай делители свободного члена → проверяй через $P(x_0) = 0$ → найдя корень, понижай степень схемой Горнера → повторяй, пока не дойдёшь до квадратного множителя.

Частые ошибки

1. Пропустить нулевой коэффициент в схеме Горнера. Для $x^3 - 4x$ коэффициенты — это $1,\ 0,\ -4,\ 0$, а не $1,\ -4,\ 0$. Пропуск нулей сдвигает всю таблицу и ломает ответ.
2. Искать рациональные корни не там. Для неунитарного многочлена корни ищутся как $p/q$, а не только целые. Например, у $2x^2 - 3x + 1$ корень $x = \dfrac12$ — целым перебором его не поймать.
3. Считать корень двойным только по $P(a) = 0$. Кратность проверяется ещё и через производную: для двукратного корня нужно $P'(a) = 0$.
4. Делить на $(x + a)$ с тем же знаком $c$. Деление на $(x + 1)$ означает $c = -1$ (корень $-1$), а не $c = 1$. Знак $c$ — это сам корень.

Связь с другими темами

• Квадратные уравнения — после понижения степени многочлен сводится к квадратному.
• Уравнения высших степеней — теорема Безу и Горнер — основной инструмент их решения.
• Дробно-рациональные уравнения — разложение числителя и знаменателя на множители опирается на корни многочлена.

Что запомнить

1. Остаток от деления $P(x)$ на $(x - a)$ равен $P(a)$ — считать делением не нужно.
2. $P(a) = 0$ ⟺ $(x - a)$ — множитель $P(x)$ ⟺ $a$ — корень.
3. Схема Горнера: на каждом шаге «умножь на $c$ и прибавь коэффициент»; последнее число — остаток, остальные — коэффициенты частного.
4. Рациональные корни $p/q$: $p$ делит свободный член, $q$ делит старший коэффициент. Для унитарного многочлена — только целые делители свободного члена.