Формулы сокращённого умножения — полный справочник с примерами ЕГЭ

Знаешь ли ты, почему $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$? Многие допускают эту ошибку на ЕГЭ — и теряют баллы на задании 7, где нужно просто применить формулу сокращённого умножения. Разберём все семь основных ФСУ: выведем их, запомним и покажем, как они работают в реальных задачах профиля.

Что такое формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это алгебраические тождества, которые позволяют раскрывать скобки или разложить многочлен на множители быстро, без длинного перемножения.

Все они следуют из обычных правил умножения. Возьмём, например, $(a+b)^2$: это просто $(a+b)(a+b)$. Перемножаем по правилу каждый член первой скобки на каждый член второй:

Вот и вся «магия»: ФСУ — не заклинания, которые нужно зазубрить. Это сокращённая запись результата, который ты можешь вывести сам.

В ЕГЭ профиля ФСУ нужны прежде всего в задании 7 (вычисления и преобразования) — это главный номер для этой темы. Дополнительно они работают в задании 6 (уравнения и неравенства простые), когда нужно упростить выражение перед решением.

Семь основных формул

Все семь ФСУ можно разбить на три группы: квадраты суммы и разности, разность квадратов, кубы.

Квадрат суммы и разности

Здесь $a$ и $b$ — любые выражения (числа, одночлены, многочлены). Слагаемое $2ab$ — это «двойное произведение», которое так часто забывают.

Разница между формулами: в квадрате разности среднее слагаемое стоит с минусом, а крайние квадраты — всегда с плюсом.

Разность квадратов

Сумма квадратов $a^2 + b^2$ не раскладывается на множители над вещественными числами. Только разность.

Формулу удобно применять в обе стороны: слева направо — раскладываешь на множители (сокращаешь дроби, находишь нули), справа налево — возводишь произведение в «квадратный» вид.

Куб суммы и куб разности

Коэффициенты $1, 3, 3, 1$ — строчка треугольника Паскаля. В кубе разности знаки чередуются: плюс-минус-плюс-минус.

Сумма и разность кубов

Обрати внимание: в скобке $a^2 \mp ab + b^2$ знак перед $ab$ — противоположный знаку в исходном выражении. Это помогает не запутаться.

Как применять ФСУ: алгоритм

1. Посмотри на выражение и попробуй узнать «узор» одной из семи формул.
2. Выдели, что у тебя стоит на месте $a$, а что на месте $b$.
3. Проверь: нет ли перед каждым членом коэффициентов, которые нужно учесть. Например, $9x^2 = (3x)^2$, то есть здесь $a = 3x$.
4. Применяй формулу подстановкой.
5. Проверь результат: подставь числа в исходное выражение и в результат — должны совпасть.

Рассмотрим пример распознавания: выражение $25x^2 - 16$.

• $25x^2 = (5x)^2$ — квадрат, значит $a = 5x$.
• $16 = 4^2$ — тоже квадрат, $b = 4$.
• Между ними знак минус — это разность квадратов.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Вычисли $103^2$ без калькулятора.

Решение. Представим $103 = 100 + 3$ и применим формулу квадрата суммы:

Здесь $a = 100$, $b = 3$.

Типичная ошибка. Написать $100^2 + 3^2 = 10009$, забыв про $2ab = 600$. Это классическое «потеряли среднее слагаемое».

Пример 2 (уровень Б). Упрости выражение $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ при $x \neq 3$.

Решение. Числитель $x^2 - 9 = x^2 - 3^2$ — разность квадратов. По формуле:

Подставляем в дробь:

Типичная ошибка. Сократить $x - 3$ без оговорки $x \neq 3$. При $x = 3$ исходное выражение не определено, и «результат» $x + 3 = 6$ некорректен для этой точки. На ЕГЭ ОДЗ всегда нужно учитывать.

Пример 3 (уровень В). Докажи, что $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Решение. Раскроем правую часть непосредственным умножением:

Умножаем $a$ на каждый член второй скобки, затем $(-b)$:

Слагаемые $+a^2b$ и $-a^2b$ уничтожают друг друга, так же как $+ab^2$ и $-ab^2$:

Что и требовалось доказать.

Типичная ошибка. Путать формулу разности кубов с формулой куба разности. $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ — это разложение разности на множители. $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ — это раскрытие куба. Разные формулы, разные ситуации применения.

Типичные ошибки

1. «Квадрат суммы равен сумме квадратов». $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ — неверно. Правильно: $a^2 + 2ab + b^2$. Проверяй: при $a=1$, $b=1$ левая часть даёт $4$, правая без $2ab$ — только $2$.

2. Потеря знака в кубе разности. $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, а не $a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + b^3$. Третье слагаемое стоит с плюсом — нечётный номер по счёту.

3. Путаница суммы кубов и куба суммы. $a^3 + b^3 \neq (a+b)^3$. Сумма кубов раскладывается: $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Куб суммы: $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Это два совершенно разных выражения.

4. Неверное выделение $a$ и $b$. В выражении $4x^2 - 25$ нужно видеть $(2x)^2 - 5^2$, то есть $a = 2x$, $b = 5$. Ошибка — взять $a = 4x^2$ и применить формулу некорректно.

5. Деление на $a-b$ без оговорки ОДЗ. После сокращения дроби, где в знаменателе или числителе стоит $a - b$, обязательно указывай $a \neq b$.

Геометрический смысл ФСУ

Формулу $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ легко представить наглядно. Возьми квадрат со стороной $a+b$ и разбей его на четыре части: квадрат $a \times a$, квадрат $b \times b$ и два прямоугольника $a \times b$. Площадь целого квадрата равна сумме площадей четырёх частей.

Для иллюстрации запланировано SVG-изображение (ТЗ для методиста — см. раздел SVG-заявки ниже).

Разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ тоже имеет геометрическое объяснение: из квадрата $a \times a$ вырезаем квадрат $b \times b$ и перекладываем оставшееся в прямоугольник со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$.

Связь с другими темами

Формулы сокращённого умножения — не изолированный инструмент, а связующее звено между разными темами алгебры.

• Квадратные уравнения: трёхчлен $x^2 - 6x + 9$ — это $(x-3)^2$, что сразу даёт единственный корень $x = 3$ без дискриминанта.
• Упрощение выражений: сокращение дробей, вынесение общего множителя — всё это часто требует ФСУ как первого шага.
• Многочлены: разложение на множители через ФСУ — один из основных методов, особенно для степеней 2 и 3.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 (вычисления и преобразования) — главный номер для ФСУ. Упрощение алгебраических выражений, преобразование дробей, вычисление по «хитрым» числам — все это требует прямого применения формул. Один балл части 1.

• Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — ФСУ нужны для упрощения выражения до решения уравнения. Например, уравнение $(x+1)^2 - 4 = 0$ раскрывается в $x^2 + 2x - 3 = 0$ через квадрат суммы, а потом решается через дискриминант или разложение.

• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — часть 2, 2 балла. В тригонометрических и показательных уравнениях ФСУ применяются при раскрытии и упрощении выражений внутри. Например, $\sin^2 x - \cos^2 x$ через формулу разности квадратов.

• Задание 15 (неравенства части 2) — сложные неравенства нередко требуют разложения выражения на множители через ФСУ как промежуточного шага.