Что такое ФСУ и где они применяются?

ФСУ — формулы сокращённого умножения: готовые тождества, которые позволяют раскрывать скобки или, наоборот, разложить многочлен на множители без длинных перемножений. Применяются в упрощении выражений, решении уравнений, доказательстве неравенств. В ЕГЭ профиля — в заданиях 6, 7, 13 и 15.

Как запомнить все 7 основных формул?

Лучший способ — вывести их один раз самому (перемножить скобки вручную), а потом закрепить на 10–15 примерах. Формулы квадратов запомнятся быстро. Для кубов помогает мнемоника: в $a^3 + b^3$ знаки в скобке $a^2 - ab + b^2$ чередуются: плюс-минус-плюс.

В чём разница между $(a+b)^2$ и $a^2 + b^2$?

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — здесь обязательно присутствует двойное произведение $2ab$. Выражение $a^2 + b^2$ — это просто сумма квадратов без среднего слагаемого. Равны они только когда $ab = 0$, то есть $a = 0$ или $b = 0$.

Как использовать ФСУ для упрощения выражений?

Смотришь на выражение и ищешь знакомый «узор». Например, $x^2 - 9$ — это $x^2 - 3^2$, то есть разность квадратов: $(x-3)(x+3)$. Или $4x^2 + 4x + 1$ — это $(2x+1)^2$. Главное: научиться узнавать форму, а не зазубривать формулу.

Формула куба суммы — как не путать знаки?

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ — все знаки плюс. В кубе разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ знаки чередуются: плюс-минус-плюс-минус. Запомни: в разности нечётные по счёту слагаемые (1-е и 3-е) стоят с плюсом, чётные (2-е и 4-е) — с минусом.

Как раскладывать $a^3 + b^3$ и $a^3 - b^3$?

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ — сумма кубов. $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ — разность кубов. Знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении. Знак перед $ab$ в квадратной скобке — противоположный.

Где встречаются ФСУ в ЕГЭ?

Чаще всего в задании 7 (вычисления и преобразования) — здесь ФСУ применяются напрямую для упрощения алгебраических выражений. В задании 6 (уравнения и неравенства простые) ФСУ помогают упрощать выражение перед решением. В заданиях 13 (уравнения с отбором) и 15 (неравенства части 2) ФСУ нужны при раскрытии сложных выражений.

Есть ли формула для $(a+b+c)^2$?

Да: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$. Это квадрат суммы трёх слагаемых: квадраты каждого плюс удвоенные попарные произведения. В ЕГЭ профиля встречается в задачах на упрощение и в геометрии через теорему косинусов.

Когда формула разности квадратов даёт 0?

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = 0$ когда $a = b$ или $a = -b$. Это прямо используется в задачах: если нужно найти, при каких значениях выражение обращается в ноль, раскладываешь в произведение и приравниваешь каждый множитель к нулю.

Как проверить себя после применения ФСУ?

Проверка числовая: подставь конкретные числа в исходное выражение и в результат. Например, для $(a+b)^2$ при $a=2$, $b=3$: исходное $(2+3)^2 = 25$, результат $4 + 12 + 9 = 25$. Сошлось — формула применена верно.

Формулы сокращённого умножения — полный справочник с примерами ЕГЭ

Знаешь ли ты, почему $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ ? Многие допускают эту ошибку на ЕГЭ — и теряют баллы на задании 7, где нужно просто применить формулу сокращённого умножения. Разберём все семь основных ФСУ: выведем их, запомним и покажем, как они работают в реальных задачах профиля.

Что такое формулы сокращённого умножения

Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это алгебраические тождества, которые позволяют раскрывать скобки или разложить многочлен на множители быстро, без длинного перемножения.

Все они следуют из обычных правил умножения. Возьмём, например, $(a + b)^{2}$ : это просто $(a + b) (a + b)$ . Перемножаем по правилу каждый член первой скобки на каждый член второй:

(a + b) (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Вот и вся «магия»: ФСУ — не заклинания, которые нужно зазубрить. Это сокращённая запись результата, который ты можешь вывести сам.

В ЕГЭ профиля ФСУ нужны прежде всего в задании 7 (вычисления и преобразования) — это главный номер для этой темы. Дополнительно они работают в задании 6 (уравнения и неравенства простые), когда нужно упростить выражение перед решением.

Семь основных формул

Все семь ФСУ можно разбить на три группы: квадраты суммы и разности, разность квадратов, кубы.

Квадрат суммы и разности

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Здесь $a$ и $b$ — любые выражения (числа, одночлены, многочлены). Слагаемое $2 ab$ — это «двойное произведение», которое так часто забывают.

Разница между формулами: в квадрате разности среднее слагаемое стоит с минусом, а крайние квадраты — всегда с плюсом.

Разность квадратов

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Сумма квадратов $a^{2} + b^{2}$ не раскладывается на множители над вещественными числами. Только разность.

Формулу удобно применять в обе стороны: слева направо — раскладываешь на множители (сокращаешь дроби, находишь нули), справа налево — возводишь произведение в «квадратный» вид.

Куб суммы и куб разности

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}

Коэффициенты $1, 3, 3, 1$ — строчка треугольника Паскаля. В кубе разности знаки чередуются: плюс-минус-плюс-минус.

Сумма и разность кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Обрати внимание: в скобке $a^{2} \mp ab + b^{2}$ знак перед $ab$ — противоположный знаку в исходном выражении. Это помогает не запутаться.

Как применять ФСУ: алгоритм

Посмотри на выражение и попробуй узнать «узор» одной из семи формул.
Выдели, что у тебя стоит на месте $a$ , а что на месте $b$ .
Проверь: нет ли перед каждым членом коэффициентов, которые нужно учесть. Например, $9 x^{2} = (3 x)^{2}$ , то есть здесь $a = 3 x$ .
Применяй формулу подстановкой.
Проверь результат: подставь числа в исходное выражение и в результат — должны совпасть.

Рассмотрим пример распознавания: выражение $25 x^{2} - 16$ .

$25 x^{2} = (5 x)^{2}$ — квадрат, значит $a = 5 x$ .
$16 = 4^{2}$ — тоже квадрат, $b = 4$ .
Между ними знак минус — это разность квадратов.

25 x^{2} - 16 = (5 x)^{2} - 4^{2} = (5 x - 4) (5 x + 4)

Готов попробовать?

Диагностика за 15 минут покажет твои пробелы и построит персональный план подготовки

Попробовать бесплатно

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Вычисли $10 3^{2}$ без калькулятора.

Решение. Представим $103 = 100 + 3$ и применим формулу квадрата суммы:

10 3^{2} = (100 + 3)^{2} = 10 0^{2} + 2 \cdot 100 \cdot 3 + 3^{2} = 10000 + 600 + 9 = 10609

Здесь $a = 100$ , $b = 3$ .

Типичная ошибка. Написать $10 0^{2} + 3^{2} = 10009$ , забыв про $2 ab = 600$ . Это классическое «потеряли среднее слагаемое».

Пример 2 (уровень Б). Упрости выражение $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$ при $x \neq = 3$ .

Решение. Числитель $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$ — разность квадратов. По формуле:

x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)

Подставляем в дробь:

\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3 (x \neq = 3)

Типичная ошибка. Сократить $x - 3$ без оговорки $x \neq = 3$ . При $x = 3$ исходное выражение не определено, и «результат» $x + 3 = 6$ некорректен для этой точки. На ЕГЭ ОДЗ всегда нужно учитывать.

Пример 3 (уровень В). Докажи, что $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ .

Решение. Раскроем правую часть непосредственным умножением:

(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

Умножаем $a$ на каждый член второй скобки, затем $(- b)$ :

= a \cdot a^{2} + a \cdot ab + a \cdot b^{2} - b \cdot a^{2} - b \cdot ab - b \cdot b^{2}

= a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}

Слагаемые $+ a^{2} b$ и $- a^{2} b$ уничтожают друг друга, так же как $+ a b^{2}$ и $- a b^{2}$ :

= a^{3} - b^{3}

Что и требовалось доказать.

Типичная ошибка. Путать формулу разности кубов с формулой куба разности. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ — это разложение разности на множители. $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ — это раскрытие куба. Разные формулы, разные ситуации применения.

Типичные ошибки

«Квадрат суммы равен сумме квадратов». $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ — неверно. Правильно: $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ . Проверяй: при $a = 1$ , $b = 1$ левая часть даёт $4$ , правая без $2 ab$ — только $2$ .
Потеря знака в кубе разности. $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ , а не $a^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} + b^{3}$ . Третье слагаемое стоит с плюсом — нечётный номер по счёту.
Путаница суммы кубов и куба суммы. $a^{3} + b^{3} \neq = (a + b)^{3}$ . Сумма кубов раскладывается: $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ . Куб суммы: $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ . Это два совершенно разных выражения.
Неверное выделение $a$ и $b$ . В выражении $4 x^{2} - 25$ нужно видеть $(2 x)^{2} - 5^{2}$ , то есть $a = 2 x$ , $b = 5$ . Ошибка — взять $a = 4 x^{2}$ и применить формулу некорректно.
Деление на $a - b$ без оговорки ОДЗ. После сокращения дроби, где в знаменателе или числителе стоит $a - b$ , обязательно указывай $a \neq = b$ .

Геометрический смысл ФСУ

Формулу $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ легко представить наглядно. Возьми квадрат со стороной $a + b$ и разбей его на четыре части: квадрат $a \times a$ , квадрат $b \times b$ и два прямоугольника $a \times b$ . Площадь целого квадрата равна сумме площадей четырёх частей.

Для иллюстрации запланировано SVG-изображение (ТЗ для методиста — см. раздел SVG-заявки ниже).

Разность квадратов $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ тоже имеет геометрическое объяснение: из квадрата $a \times a$ вырезаем квадрат $b \times b$ и перекладываем оставшееся в прямоугольник со сторонами $(a - b)$ и $(a + b)$ .

Связь с другими темами

Формулы сокращённого умножения — не изолированный инструмент, а связующее звено между разными темами алгебры.

Квадратные уравнения: трёхчлен $x^{2} - 6 x + 9$ — это $(x - 3)^{2}$ , что сразу даёт единственный корень $x = 3$ без дискриминанта.
Упрощение выражений: сокращение дробей, вынесение общего множителя — всё это часто требует ФСУ как первого шага.
Многочлены: разложение на множители через ФСУ — один из основных методов, особенно для степеней 2 и 3.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 7 (вычисления и преобразования) — главный номер для ФСУ. Упрощение алгебраических выражений, преобразование дробей, вычисление по «хитрым» числам — все это требует прямого применения формул. Один балл части 1.
Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — ФСУ нужны для упрощения выражения до решения уравнения. Например, уравнение $(x + 1)^{2} - 4 = 0$ раскрывается в $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ через квадрат суммы, а потом решается через дискриминант или разложение.
Задание 13 (уравнения с отбором корней) — часть 2, 2 балла. В тригонометрических и показательных уравнениях ФСУ применяются при раскрытии и упрощении выражений внутри. Например, $sin^{2} x - cos^{2} x$ через формулу разности квадратов.
Задание 15 (неравенства части 2) — сложные неравенства нередко требуют разложения выражения на множители через ФСУ как промежуточного шага.

Закрой пробелы до ЕГЭ

Сотик покажет, где ты теряешь баллы, и построит персональный маршрут к уверенным ответам

Начать бесплатно