Задание 15 ЕГЭ профиль: неравенства

Задание 15 — 4 балла за неравенство. Это одно из самых объёмных заданий части 2 по числу техник: нужно уметь работать с логарифмическими, показательными, иррациональными и дробно-рациональными неравенствами. Разбираем все типы.

Что проверяет задание 15

Решение неравенств методом интервалов
Учёт ОДЗ (особенно в логарифмических и иррациональных)
Умение упрощать (замены, логарифмирование, возведение в степень)
Запись ответа в виде числового промежутка / объединения промежутков

Баллы: 4 (2 за правильный метод + запись, 2 за правильный ответ).

Тип 1: Логарифмические неравенства

Ключевые правила:

Логарифм монотонно возрастает при основании $a > 1$ : $lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) > g (x)$
Логарифм монотонно убывает при $0 < a < 1$ : $lo g_{a} f (x) > lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) < g (x)$
ОДЗ: аргументы логарифмов > 0.

Пример. $lo g_{2} (x - 1) > 3$ .

Решение: ОДЗ: $x - 1 > 0$ → $x > 1$ . $lo g_{2} (x - 1) > 3 = lo g_{2} 8$ $x - 1 > 8 ⟺ x > 9$

Ответ с учётом ОДЗ: $x \in (9; + \infty)$ .

Пример с основанием < 1. $lo g_{0.5} (2 x - 3) \geq lo g_{0.5} (x + 1)$ .

ОДЗ: $2 x - 3 > 0$ и $x + 1 > 0$ → $x > \frac{3}{2}$ .

Так как основание 0,5 < 1, знак неравенства меняется: $2 x - 3 \leq x + 1 ⟺ x \leq 4$

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; 4]$ .

Тип 2: Показательные неравенства

Основание $a > 1$ : монотонно возрастает (знак сохраняется). Основание $0 < a < 1$ : монотонно убывает (знак меняется при приведении).

Пример. $3^{2 x - 1} < 9$ .

$3^{2 x - 1} < 3^{2} ⟺ 2 x - 1 < 2 ⟺ x < 1, 5$

Пример. $(\frac{1}{2})^{x + 1} \geq \frac{1}{4}$ .

$(\frac{1}{2})^{x + 1} \geq (\frac{1}{2})^{2} ⟺ x + 1 \leq 2 ⟺ x \leq 1$

Тип 3: Иррациональные неравенства

Правило для $f (x) > g (x)$ :

Если $g (x) < 0$ : ОДЗ $f (x) \geq 0$ , тогда решение = $f (x) \geq 0$
Если $g (x) \geq 0$ : возводи в квадрат обе части (знак сохраняется), не забудь ОДЗ

Правило для $f (x) < g (x)$ :

Нужно $g (x) > 0$ И $f (x) < [g (x)]^{2}$ , и ОДЗ $f (x) \geq 0$

Пример. $x + 3 > x - 1$ .

Два случая:

Случай 1: $x - 1 < 0$ (т.е. $x < 1$ ). Тогда неравенство выполняется при ОДЗ: $x + 3 \geq 0$ , т.е. $x \geq - 3$ . Решение: $x \in [- 3; 1)$ .

Случай 2: $x - 1 \geq 0$ (т.е. $x \geq 1$ ). Возводим в квадрат: $x + 3 > (x - 1)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$ $0 > x^{2} - 3 x - 2$ Корни: $x = \frac{3 \pm 17}{2}$ . Квадратный трёхчлен < 0 между корнями. $\frac{3 - 17}{2} \approx - 0, 56$ (но мы на $x \geq 1$ ), $\frac{3 + 17}{2} \approx 3, 56$ . Решение: $x \in [1; \frac{3 + 17}{2})$ .

Объединение: $x \in [- 3; \frac{3 + 17}{2})$ .

Тип 4: Дробно-рациональные неравенства — метод интервалов

Алгоритм:

Перенести всё в одну часть
Привести к виду $\frac{f ( x )}{g ( x )} ≷ 0$
Найти нули числителя и знаменателя
Отметить на оси, определить знак на каждом промежутке
Выбрать промежутки нужного знака с учётом строгости

Пример. $\frac{x ^{2} - 4}{x - 3} \leq 0$ .

Нули: $x = 2$ , $x = - 2$ (числитель), $x = 3$ (знаменатель, точка исключается).

Разложение: $\frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 3} \leq 0$ .

Метод интервалов: $(- \infty; - 2] : \frac{( - ) ( - )}{( - )} = \frac{( + )}{( - )} < 0 ✓$ $(- 2; 2] : \frac{( + ) ( - )}{( - )} = \frac{( - )}{( - )} > 0$ $[2; 3) : \frac{( + ) ( + )}{( - )} < 0 ✓$ $(3; + \infty) :> 0$

Ответ: $x \in (- \infty; - 2] \cup [2; 3)$ .

Комбинированные неравенства

В реальном ЕГЭ часто встречаются смешанные: логарифм от иррационального выражения, показатель с параметром в показателе. Алгоритм:

Записать ОДЗ (все ограничения)
Решить неравенство (замены, метод интервалов)
Пересечь с ОДЗ

Типичные ошибки в задании 15

Ошибка 1. Забыть ОДЗ в логарифмических неравенствах — потерять или прибавить лишний промежуток.

Ошибка 2. При $0 < a < 1$ не изменить знак неравенства.

Ошибка 3. В иррациональных — возвести в квадрат, не проверив знак правой части.

Ошибка 4. В методе интервалов неправильно расставить знаки (ошибиться в нечётности/чётности корня).

Ошибка 5. Включить или исключить граничную точку неверно (строгое/нестрогое).

Чек-лист по заданию 15

Знаю правила логарифмических неравенств (основание > 1 и < 1)
Умею работать с ОДЗ логарифмов
Знаю правила иррациональных неравенств (два случая)
Владею методом интервалов для дробно-рациональных
Умею записывать ответ в виде промежутков

Связанные темы

В Сотах задание 15 начинается с чистых логарифмических и показательных, потом идут смешанные. Система фиксирует, где пропадает знак или забывается ОДЗ.