Задание 15 ЕГЭ профиль: неравенства

Задание 15 — 4 балла за неравенство. Это одно из самых объёмных заданий части 2 по числу техник: нужно уметь работать с логарифмическими, показательными, иррациональными и дробно-рациональными неравенствами. Разбираем все типы.

Что проверяет задание 15

Решение неравенств методом интервалов
Учёт ОДЗ (особенно в логарифмических и иррациональных)
Умение упрощать (замены, логарифмирование, возведение в степень)
Запись ответа в виде числового промежутка / объединения промежутков

Баллы: 4 (2 за правильный метод + запись, 2 за правильный ответ).

Тип 1: Логарифмические неравенства

Ключевые правила:

Логарифм монотонно возрастает при основании $a > 1$ : $\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) > g(x)$
Логарифм монотонно убывает при $0 < a < 1$ : $\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff f(x) < g(x)$
ОДЗ: аргументы логарифмов > 0.

Пример. $\log_2(x-1) > 3$ .

Решение: ОДЗ: $x - 1 > 0$ → $x > 1$ . $\log_2(x-1) > 3 = \log_2 8$ $x - 1 > 8 \iff x > 9$

Ответ с учётом ОДЗ: $x \in (9; +\infty)$ .

Пример с основанием < 1. $\log_{0.5}(2x-3) \geq \log_{0.5}(x+1)$ .

ОДЗ: $2x - 3 > 0$ и $x + 1 > 0$ → $x > \frac{3}{2}$ .

Так как основание 0,5 < 1, знак неравенства меняется: $2x - 3 \leq x + 1 \iff x \leq 4$

Ответ: $x \in \left(\frac{3}{2}; 4\right]$ .

Тип 2: Показательные неравенства

Основание $a > 1$ : монотонно возрастает (знак сохраняется). Основание $0 < a < 1$ : монотонно убывает (знак меняется при приведении).

Пример. $3^{2x-1} < 9$ .

$3^{2x-1} < 3^2 \iff 2x - 1 < 2 \iff x < 1{,}5$

Пример. $\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} \geq \frac{1}{4}$ .

$\left(\frac{1}{2}\right)^{x+1} \geq \left(\frac{1}{2}\right)^2 \iff x + 1 \leq 2 \iff x \leq 1$

Тип 3: Иррациональные неравенства

Правило для $\sqrt{f(x)} > g(x)$ :

Если $g(x) < 0$ : ОДЗ $f(x) \geq 0$ , тогда решение = $f(x) \geq 0$
Если $g(x) \geq 0$ : возводи в квадрат обе части (знак сохраняется), не забудь ОДЗ

Правило для $\sqrt{f(x)} < g(x)$ :

Нужно $g(x) > 0$ И $f(x) < [g(x)]^2$ , и ОДЗ $f(x) \geq 0$

Пример. $\sqrt{x+3} > x - 1$ .

Два случая:

Случай 1: $x - 1 < 0$ (т.е. $x < 1$ ). Тогда неравенство выполняется при ОДЗ: $x + 3 \geq 0$ , т.е. $x \geq -3$ . Решение: $x \in [-3; 1)$ .

Случай 2: $x - 1 \geq 0$ (т.е. $x \geq 1$ ). Возводим в квадрат: $x + 3 > (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ $0 > x^2 - 3x - 2$ Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ . Квадратный трёхчлен < 0 между корнями. $\frac{3 - \sqrt{17}}{2} \approx -0{,}56$ (но мы на $x \geq 1$ ), $\frac{3 + \sqrt{17}}{2} \approx 3{,}56$ . Решение: $x \in [1; \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

Объединение: $x \in [-3; \frac{3+\sqrt{17}}{2})$ .

Тип 4: Дробно-рациональные неравенства — метод интервалов

Алгоритм:

Перенести всё в одну часть
Привести к виду $\frac{f(x)}{g(x)} \gtrless 0$
Найти нули числителя и знаменателя
Отметить на оси, определить знак на каждом промежутке
Выбрать промежутки нужного знака с учётом строгости

Пример. $\frac{x^2 - 4}{x - 3} \leq 0$ .

Нули: $x = 2$ , $x = -2$ (числитель), $x = 3$ (знаменатель, точка исключается).

Разложение: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-3} \leq 0$ .

Метод интервалов: $(-\infty; -2]: \frac{(-)(-)}{(-)} = \frac{(+)}{(-)} < 0 \quad \checkmark$ $(-2; 2]: \frac{(+)(-)}{(-)} = \frac{(-)}{(-)} > 0$ $[2; 3): \frac{(+)(+)}{(-)} < 0 \quad \checkmark$ $(3; +\infty): > 0$

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; 3)$ .

Комбинированные неравенства

В реальном ЕГЭ часто встречаются смешанные: логарифм от иррационального выражения, показатель с параметром в показателе. Алгоритм:

Записать ОДЗ (все ограничения)
Решить неравенство (замены, метод интервалов)
Пересечь с ОДЗ

Типичные ошибки в задании 15

Ошибка 1. Забыть ОДЗ в логарифмических неравенствах — потерять или прибавить лишний промежуток.

Ошибка 2. При $0 < a < 1$ не изменить знак неравенства.

Ошибка 3. В иррациональных — возвести в квадрат, не проверив знак правой части.

Ошибка 4. В методе интервалов неправильно расставить знаки (ошибиться в нечётности/чётности корня).

Ошибка 5. Включить или исключить граничную точку неверно (строгое/нестрогое).

Чек-лист по заданию 15

Знаю правила логарифмических неравенств (основание > 1 и < 1)
Умею работать с ОДЗ логарифмов
Знаю правила иррациональных неравенств (два случая)
Владею методом интервалов для дробно-рациональных
Умею записывать ответ в виде промежутков

Связанные темы

В Сотах задание 15 начинается с чистых логарифмических и показательных, потом идут смешанные. Система фиксирует, где пропадает знак или забывается ОДЗ.