Квадратные уравнения — как решать через дискриминант и теорему Виета

Квадратные уравнения встречаются в задании 6 ЕГЭ профиля напрямую, а ещё — скрыто — почти во всех более сложных задачах: при замене переменной в задании 13, при отборе корней, внутри неравенств задания 15, в параметрических конструкциях задания 18. Если фундамент шаткий, посыпется всё выше. Разберём три способа решения и покажем, когда какой быстрее.

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

$ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0$

где $a$, $b$, $c$ — произвольные числа (коэффициенты), а $x$ — неизвестное. Условие $a \neq 0$ обязательно: иначе уравнение превращается в линейное.

Коэффициенты называют так:

• $a$ — старший коэффициент (при $x^2$),
• $b$ — средний коэффициент (при $x$),
• $c$ — свободный член.

Если $a = 1$, уравнение называется приведённым и записывается как $x^2 + px + q = 0$. С ним особенно удобно работать через теорему Виета.

Полное квадратное уравнение — все три коэффициента отличны от нуля. Неполное — когда $b = 0$ или $c = 0$ (но $a$, напомним, всегда не равен нулю).

Неполные случаи — решаем без дискриминанта

Неполные квадратные уравнения решаются быстрее, чем полные, и нужно сразу распознавать их по виду.

Случай 1. $c = 0$: уравнение вида $ax^2 + bx = 0$

Выносим $x$ за скобку:

$x(ax + b) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

$x_1 = 0, \quad x_2 = -\frac{b}{a}$

Случай 2. $b = 0$: уравнение вида $ax^2 + c = 0$

Переносим $c$ и делим на $a$:

$x^2 = -\frac{c}{a}$

Если $-c/a > 0$, корни $x_{1,2} = \pm\sqrt{-c/a}$. Если $-c/a < 0$, корней нет. Если $-c/a = 0$, корень один: $x = 0$.

Полное уравнение — формула дискриминанта

Для полного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ число корней определяется выражением

$D = b^2 - 4ac$

которое называется дискриминантом. Расшифровка: $D$ «различает» случаи — два корня, один или ни одного.

Правило количества корней:

• если $D > 0$ — два разных корня,
• если $D = 0$ — один корень (точнее, два совпадающих),
• если $D < 0$ — действительных корней нет.

Сами корни считаются по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

где $\pm$ значит, что один корень берётся с плюсом перед корнем, другой — с минусом.

Сокращённая формула для чётного $b$

Если $b$ — чётное число, удобнее представить его как $b = 2k$ и использовать сокращённый вариант:

$x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{k^2 - ac}}{a}$

Здесь $D_1 = k^2 - ac$ — приведённый дискриминант, который в 4 раза меньше обычного. Числа выходят компактнее, и вероятность ошибиться в арифметике ниже. На ЕГЭ это заметная экономия.

Теорема Виета — обратный ход

Для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ действует теорема Виета: если $x_1$ и $x_2$ — корни, то

$x_1 + x_2 = -p$ $x_1 \cdot x_2 = q$

Для общего вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Теорема даёт два варианта использования. Первый — подбор корней: если коэффициенты целые, можно угадать пару чисел с нужной суммой и произведением. Например, для $x^2 - 5x + 6 = 0$ ищем два числа с суммой $5$ и произведением $6$. Это $2$ и $3$. Готово, дискриминант не нужен.

Второй — проверка решения. Нашёл корни через дискриминант? Подставь в теорему Виета: сошлось — значит не ошибся в арифметике.

Алгоритм: как решать любое квадратное уравнение

1. Проверь, что уравнение квадратное: старший коэффициент $a \neq 0$.
2. Если $b = 0$ или $c = 0$ — решай как неполное, дискриминант не нужен.
3. Если приведённое ($a = 1$) и коэффициенты целые — попробуй подбор по Виету (не больше 10 секунд).
4. Подбор не сработал или уравнение общего вида — считаешь $D = b^2 - 4ac$.
5. Анализируешь знак $D$: $>0$, $=0$ или $<0$.
6. Пишешь корни по формуле.
7. Проверяешь ответ через теорему Виета.

Если на любом шаге теряешь уверенность — проверь, где у тебя пробелы. Диагностика за 15 минут покажет слабые темы и построит персональный план подготовки. Начать диагностику →

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $2x^2 - 8x = 0$.

Решение. Коэффициент $c = 0$, значит уравнение неполное. Выносим $2x$ за скобку:

$2x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль: $2x = 0$ или $x - 4 = 0$. Получаем корни $x_1 = 0$, $x_2 = 4$.

Типичная ошибка. Сократить на $x$ и потерять корень $x = 0$. Делить обе части на переменную нельзя — она может быть нулём.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $3x^2 - 7x + 2 = 0$.

Решение. Считаем дискриминант:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$

$D > 0$, значит два корня. Применяем формулу:

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$

Получаем $x_1 = \dfrac{7 + 5}{6} = 2$, $x_2 = \dfrac{7 - 5}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Проверка по Виета: сумма $2 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}$, что совпадает с $-b/a = 7/3$. Произведение $2 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, совпадает с $c/a = 2/3$. Всё верно.

Типичная ошибка. Забыть знак минус при $b$ в числителе: писать $\dfrac{-7 \pm \ldots}{6}$ вместо $\dfrac{7 \pm \ldots}{6}$. В формуле стоит $-b$, значит подставляем $-(-7) = 7$.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $x^2 - 10x + 21 = 0$ через теорему Виета.

Решение. Уравнение приведённое ($a = 1$), коэффициенты целые. По Виета ищем два числа с суммой $10$ и произведением $21$. Перебираем пары: $1 \cdot 21$ (сумма $22$, не подходит), $3 \cdot 7$ (сумма $10$, подходит).

Значит корни $x_1 = 3$, $x_2 = 7$.

Проверим альтернативой через дискриминант: $D = 100 - 84 = 16$, $x_{1,2} = \dfrac{10 \pm 4}{2} = 7$ или $3$. Сошлось.

Типичная ошибка. Перепутать знаки: искать числа с суммой $-10$ (из-за $-p$ в формуле) вместо $+10$. Ещё раз: в приведённом $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$. Здесь $p = -10$, значит сумма корней $-p = 10$.

Частые ошибки

1. Путать $-b$ и $b$ в формуле корней. В числителе стоит $-b$, поэтому при $b = -7$ в числитель идёт $+7$. Пиши формулу по шагам, не сокращай в уме.
2. Забывать проверку знака $D$. Если сразу писать корни по формуле, не проверив $D \geq 0$, можно получить «корни» там, где их нет. Всегда сначала знак, потом формула.
3. Сокращать на переменную в неполном уравнении. $2x^2 = 6x$ нельзя делить на $x$ — потеряешь корень $x = 0$. Переноси всё в левую часть и выноси за скобку.
4. Забывать о случае $a = 0$ в задачах с параметром. Если в условии $(k-1)x^2 + bx + c = 0$, проверь отдельно $k = 1$: уравнение становится линейным, и правила другие.
5. Путать коэффициенты местами. В $5 - 3x + 2x^2 = 0$ старший член стоит последним, но $a = 2$, $b = -3$, $c = 5$. Сначала приведи уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, потом выписывай коэффициенты.

Связь с другими темами

Квадратные уравнения — фундамент для многих разделов школьной алгебры. Напрямую связаны:

• Теорема Виета — подробный разбор теоремы и техники подбора корней.
• Формулы сокращённого умножения — помогают раскладывать квадратные трёхчлены на множители и проверять решения.
• Квадратичная функция — графический смысл: корни уравнения — это точки пересечения параболы с осью OX.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — основной номер, где встречаются квадратные уравнения напрямую. В части 1 — как самостоятельная форма или внутри преобразований.
• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — часть 2 профиля, 2 балла. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения часто сводятся к квадратным через замену переменной.
• Задание 18 (задачи с параметром) — часть 2, 4 балла. Квадратное уравнение лежит в основе графического метода и анализа числа решений.

Скрытым образом квадратные уравнения возникают и в заданиях 15 (неравенства с заменой переменной) и 17 (планиметрия, где уравнение на неизвестную сторону или координату часто оказывается квадратным).