Квадратные уравнения — как решать через дискриминант и теорему Виета

Квадратные уравнения встречаются в задании 6 ЕГЭ профиля напрямую, а ещё — скрыто — почти во всех более сложных задачах: при замене переменной в задании 13, при отборе корней, внутри неравенств задания 15, в параметрических конструкциях задания 18. Если фундамент шаткий, посыпется всё выше. Разберём три способа решения и покажем, когда какой быстрее.

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида

$a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$

где $a$, $b$, $c$ — произвольные числа (коэффициенты), а $x$ — неизвестное. Условие $a\ne 0$ обязательно: иначе уравнение превращается в линейное.

Коэффициенты называют так:

• $a$ — старший коэффициент (при $x^2$),
• $b$ — средний коэффициент (при $x$),
• $c$ — свободный член.

Если $a=1$, уравнение называется приведённым и записывается как $x^2+px+q=0$. С ним особенно удобно работать через теорему Виета.

Полное квадратное уравнение — все три коэффициента отличны от нуля. Неполное — когда $b=0$ или $c=0$ (но $a$, напомним, всегда не равен нулю).

Неполные случаи — решаем без дискриминанта

Неполные квадратные уравнения решаются быстрее, чем полные, и нужно сразу распознавать их по виду.

Случай 1. $c=0$: уравнение вида $a{x}^2+bx=0$

Выносим $x$ за скобку:

$x(ax+b)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два корня:

$x_1=0,x_2=-\frac{b}{a}$

Случай 2. $b=0$: уравнение вида $a{x}^2+c=0$

Переносим $c$ и делим на $a$:

$x^2=-\frac{c}{a}$

Если $-c/a>0$, корни $x_{1,2}=\pm \sqrt{-c/a}$. Если $-c/a<0$, корней нет. Если $-c/a=0$, корень один: $x=0$.

Полное уравнение — формула дискриминанта

Для полного уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ число корней определяется выражением

$D=b^2-4ac$

которое называется дискриминантом. Расшифровка: $D$ «различает» случаи — два корня, один или ни одного.

Правило количества корней:

• если $D>0$ — два разных корня,
• если $D=0$ — один корень (точнее, два совпадающих),
• если $D<0$ — действительных корней нет.

Сами корни считаются по формуле:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

где $\pm$ значит, что один корень берётся с плюсом перед корнем, другой — с минусом.

Сокращённая формула для чётного $b$

Если $b$ — чётное число, удобнее представить его как $b=2k$ и использовать сокращённый вариант:

$x_{1,2}=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a}$

Здесь $D_1=k^2-ac$ — приведённый дискриминант, который в 4 раза меньше обычного. Числа выходят компактнее, и вероятность ошибиться в арифметике ниже. На ЕГЭ это заметная экономия.

Теорема Виета — обратный ход

Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ действует теорема Виета: если $x_1$ и $x_2$ — корни, то

$x_1+x_2=-p$ $x_1\cdot x_2=q$

Для общего вида $a{x}^2+bx+c=0$:

$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

Теорема даёт два варианта использования. Первый — подбор корней: если коэффициенты целые, можно угадать пару чисел с нужной суммой и произведением. Например, для $x^2-5x+6=0$ ищем два числа с суммой $5$ и произведением $6$. Это $2$ и $3$. Готово, дискриминант не нужен.

Второй — проверка решения. Нашёл корни через дискриминант? Подставь в теорему Виета: сошлось — значит не ошибся в арифметике.

Алгоритм: как решать любое квадратное уравнение

1. Проверь, что уравнение квадратное: старший коэффициент $a\ne 0$.
2. Если $b=0$ или $c=0$ — решай как неполное, дискриминант не нужен.
3. Если приведённое ($a=1$) и коэффициенты целые — попробуй подбор по Виету (не больше 10 секунд).
4. Подбор не сработал или уравнение общего вида — считаешь $D=b^2-4ac$.
5. Анализируешь знак $D$: $>0$, $=0$ или $<0$.
6. Пишешь корни по формуле.
7. Проверяешь ответ через теорему Виета.

Если на любом шаге теряешь уверенность — практикуй на реальных задачах ЕГЭ в Сотах: адаптивная система сама подбирает темы по твоему уровню. Попробовать бесплатно →

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $2x^2-8x=0$.

Решение. Коэффициент $c=0$, значит уравнение неполное. Выносим $2x$ за скобку:

$2x(x-4)=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль: $2x=0$ или $x-4=0$. Получаем корни $x_1=0$, $x_2=4$.

Типичная ошибка. Сократить на $x$ и потерять корень $x=0$. Делить обе части на переменную нельзя — она может быть нулём.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $3x^2-7x+2=0$.

Решение. Считаем дискриминант:

$D=(-7{)}^2-4\cdot 3\cdot 2=49-24=25$

$D>0$, значит два корня. Применяем формулу:

$x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{25}}{2\cdot 3}=\frac{7\pm 5}{6}$

Получаем $x_1=\frac{7+5}{6}=2$, $x_2=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}$.

Проверка по Виета: сумма $2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$, что совпадает с $-b/a=7/3$. Произведение $2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$, совпадает с $c/a=2/3$. Всё верно.

Типичная ошибка. Забыть знак минус при $b$ в числителе: писать $\frac{-7\pm \dots }{6}$ вместо $\frac{7\pm \dots }{6}$. В формуле стоит $-b$, значит подставляем $-(-7)=7$.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $x^2-10x+21=0$ через теорему Виета.

Решение. Уравнение приведённое ($a=1$), коэффициенты целые. По Виета ищем два числа с суммой $10$ и произведением $21$. Перебираем пары: $1\cdot 21$ (сумма $22$, не подходит), $3\cdot 7$ (сумма $10$, подходит).

Значит корни $x_1=3$, $x_2=7$.

Проверим альтернативой через дискриминант: $D=100-84=16$, $x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{2}=7$ или $3$. Сошлось.

Типичная ошибка. Перепутать знаки: искать числа с суммой $-10$ (из-за $-p$ в формуле) вместо $+10$. Ещё раз: в приведённом $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$. Здесь $p=-10$, значит сумма корней $-p=10$.

Частые ошибки

1. Путать $-b$ и $b$ в формуле корней. В числителе стоит $-b$, поэтому при $b=-7$ в числитель идёт $+7$. Пиши формулу по шагам, не сокращай в уме.
2. Забывать проверку знака $D$. Если сразу писать корни по формуле, не проверив $D\ge 0$, можно получить «корни» там, где их нет. Всегда сначала знак, потом формула.
3. Сокращать на переменную в неполном уравнении. $2x^2=6x$ нельзя делить на $x$ — потеряешь корень $x=0$. Переноси всё в левую часть и выноси за скобку.
4. Забывать о случае $a=0$ в задачах с параметром. Если в условии $(k-1)x^2+bx+c=0$, проверь отдельно $k=1$: уравнение становится линейным, и правила другие.
5. Путать коэффициенты местами. В $5-3x+2x^2=0$ старший член стоит последним, но $a=2$, $b=-3$, $c=5$. Сначала приведи уравнение к стандартному виду $a{x}^2+bx+c=0$, потом выписывай коэффициенты.

Связь с другими темами

Квадратные уравнения — фундамент для многих разделов школьной алгебры. Напрямую связаны:

• Теорема Виета — подробный разбор теоремы и техники подбора корней.
• Формулы сокращённого умножения — помогают раскладывать квадратные трёхчлены на множители и проверять решения.
• Квадратичная функция — графический смысл: корни уравнения — это точки пересечения параболы с осью OX.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 (уравнения и неравенства простые) — основной номер, где встречаются квадратные уравнения напрямую. В части 1 — как самостоятельная форма или внутри преобразований.
• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — часть 2 профиля, 2 балла. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения часто сводятся к квадратным через замену переменной.
• Задание 18 (задачи с параметром) — часть 2, 4 балла. Квадратное уравнение лежит в основе графического метода и анализа числа решений.

Скрытым образом квадратные уравнения возникают и в заданиях 15 (неравенства с заменой переменной) и 17 (планиметрия, где уравнение на неизвестную сторону или координату часто оказывается квадратным).