Арктангенс и арккотангенс: определения, графики, основные значения

Арктангенс и арккотангенс — обратные функции для тангенса и котангенса. У них есть приятная особенность: они определены для любого числа, без ограничения $[-1;\,1]$, которое мучило арксинус и арккосинус. Это потому, что тангенс и котангенс пробегают всю числовую ось, и обратные к ним функции принимают любой аргумент.

Арктангенс: определение

$\arctg a = x \iff \begin{cases} \tg x = a \\ x \in \left(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right) \end{cases}$

Читается: «арктангенс $a$» — угол из открытого интервала $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$. Как и у других обратных функций, приставка «арк» означает дугу: арктангенс возвращает угол по значению тангенса. Это операция, обратная к тангенсу: тангенс по углу даёт число, арктангенс по числу возвращает угол из своего интервала. Интервал выбран так, чтобы тангенс на нём был монотонным и проходил каждое значение ровно один раз.

Интервал открытый (без концов), потому что $\tg x$ не определён при $x = \pm\dfrac{\pi}{2}$. Это отличие от арксинуса и арккосинуса, у которых отрезки замкнутые. Граничные значения $\pm\dfrac{\pi}{2}$ арктангенс не достигает: он лишь стремится к ним, когда аргумент уходит в бесконечность.

Область определения: $\mathbb{R}$ (все действительные числа). Тангенс пробегает всю ось, поэтому арктангенс принимает любое число.

Область значений: $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ — открытый интервал.

Арккотангенс: определение

$\arcctg a = x \iff \begin{cases} \ctg x = a \\ x \in (0;\,\pi) \end{cases}$

Читается: «арккотангенс $a$» — угол из открытого интервала $(0;\,\pi)$, котангенс которого равен $a$. Эта функция обратна к котангенсу: по значению котангенса она возвращает угол. Интервал $(0;\,\pi)$ выбран потому, что котангенс на нём монотонно убывает, проходя каждое значение ровно один раз. Заметь, что интервал тот же, что у арккосинуса, $(0;\,\pi)$ против $[0;\,\pi]$ — отличие только в открытости концов, ведь котангенс на границах не определён.

Область определения: $\mathbb{R}$.

Область значений: $(0;\,\pi)$ — открытый интервал (без 0 и $\pi$). Концы не входят, потому что котангенс не определён при $x = 0$ и $x = \pi$ (там синус обращается в ноль). Как и арктангенс, арккотангенс лишь приближается к границам своего интервала, но не достигает их.

Главное, что стоит уловить про эти две функции, — их область значений разная, как и у пары арксинус-арккосинус. Арктангенс лежит в симметричном относительно нуля интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ и поэтому бывает отрицательным. Арккотангенс лежит в $(0;\,\pi)$ и отрицательным не бывает никогда. Из этого различия растут все формулы для отрицательных аргументов, и именно тут чаще всего путаются.

Сравнение всех обратных тригонометрических функций

Эта таблица собирает все четыре обратные функции в одном месте. По ней видно красивую симметрию: функции разбиваются на две пары. В первой паре (арксинус, арккосинус) область определения ограничена отрезком $[-1;\ 1]$, потому что синус и косинус не выходят за эти пределы. Во второй паре (арктангенс, арккотангенс) область определения — все числа, ведь тангенс и котангенс пробегают всю ось. А внутри каждой пары одна функция возрастает, другая убывает.

Обрати внимание на тип скобок в области значений. У арксинуса и арккосинуса отрезки замкнутые: значения $\pm\dfrac{\pi}{2}$, $0$, $\pi$ достигаются. У арктангенса и арккотангенса интервалы открытые: граничные значения только в пределе, но не достигаются. Это различие важно при анализе графиков и решении неравенств с обратными функциями.

Таблица основных значений

В таблице заметна закономерность: в каждой строке сумма арктангенса и арккотангенса даёт ровно $\dfrac{\pi}{2}$. Например, при $a = \sqrt{3}$: $\dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}$. Это та самая связь $\arctg a + \arcctg a = \dfrac{\pi}{2}$, видимая прямо в числах. Использовать таблицу можно с двух сторон: знаешь арктангенс — вычел из $\dfrac{\pi}{2}$ и получил арккотангенс. Особое внимание на строку $a = 1$: там оба значения равны $\dfrac{\pi}{4}$, потому что $\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$. Это единственная точка, где арктангенс и арккотангенс совпадают.

Свойства арктангенса

Арктангенс ведёт себя как «родственник» арксинуса: тоже нечётный, тоже возрастающий.

1. Нечётность: $\arctg(-a) = -\arctg(a)$. Поменял знак аргумента — поменялся знак ответа. Это свойство экономит время: достаточно знать арктангенсы положительных чисел.

2. Основное тождество:

$\tg(\arctg a) = a \quad \text{для любого } a \in \mathbb{R}$

Тангенс «отменяет» арктангенс всегда, без оговорок, потому что арктангенс по определению даёт угол с нужным тангенсом.

3. Обратное тождество с ограничением:

$\arctg(\tg x) = x \quad \text{только если } x \in \left(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right)$

А вот тут оговорка обязательна. Для углов вне интервала сначала приводят с учётом периода тангенса $\pi$.

4. Предельные значения: при больших аргументах арктангенс приближается к границам, но не достигает их:

$\lim_{a \to +\infty} \arctg a = \frac{\pi}{2}, \quad \lim_{a \to -\infty} \arctg a = -\frac{\pi}{2}$

На графике это горизонтальные асимптоты $y = \pm\dfrac{\pi}{2}$. График арктангенса — пологая S-образная кривая, которая проходит через начало координат и сглаживается к асимптотам по краям. Эта форма объясняет важное практическое следствие: при больших по модулю аргументах арктангенс почти не меняется, прижимаясь к $\pm\dfrac{\pi}{2}$. Поэтому $\arctg 100$ и $\arctg 1000$ почти неотличимы — оба близки к $\dfrac{\pi}{2}$. А вот около нуля кривая «активна»: там малое изменение аргумента заметно меняет угол.

Свойства арккотангенса

Арккотангенс — «родственник» арккосинуса: не нечётный, а с формулой отражения, и убывающий.

1. Формула отражения (главное отличие от арктангенса):

$\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$

Это не нечётность. Для отрицательного аргумента значение «отражается» от $\dfrac{\pi}{2}$ в верхнюю половину интервала $(0;\,\pi)$, оставаясь положительным.

2. Основное тождество:

$\ctg(\arcctg a) = a \quad \text{для любого } a \in \mathbb{R}$

3. Предельные значения: арккотангенс убывает от $\pi$ к $0$:

$\lim_{a \to +\infty} \arcctg a = 0, \quad \lim_{a \to -\infty} \arcctg a = \pi$

Горизонтальные асимптоты $y = 0$ и $y = \pi$. График арккотангенса — убывающая кривая, зеркально похожая на арктангенс, но сдвинутая в положительную область. Поскольку вся кривая лежит выше оси абсцисс, между нулём и $\pi$, арккотангенс никогда не бывает отрицательным. Это прямое следствие выбранного интервала значений, и именно поэтому отрицательные аргументы обрабатываются формулой отражения, а не выносом минуса, как у арктангенса. Держи эту разницу в голове, и две функции не перепутаются.

Связь между arctg и arcctg

$\arctg a + \arcctg a = \frac{\pi}{2} \quad \text{для всех } a \in \mathbb{R}$

Сумма арктангенса и арккотангенса одного числа всегда равна $\dfrac{\pi}{2}$. Это полный аналог связи $\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}$. Формула удобна для перехода: зная арктангенс, мгновенно находишь арккотангенс вычитанием из $\dfrac{\pi}{2}$. Если на экзамене попался неудобный арккотангенс, посчитай через него арктангенс, который может оказаться табличным.

Формулы общих решений

Главное применение этих функций — запись решений уравнений с тангенсом и котангенсом. Обе формулы устроены одинаково, с периодом $\pi$.

Уравнение $\tg x = a$ имеет решение при любом $a$:

$x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Уравнение $\ctg x = a$ тоже при любом $a$:

$x = \arcctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

В обеих формулах серия одна, а не две, как у синуса и косинуса. Причина — период тангенса и котангенса равен $\pi$, и все корни укладываются в одну серию с этим шагом. Это делает уравнения с тангенсом и котангенсом самыми простыми по структуре ответа.

Разбор примеров

Примеры с нарастающей самостоятельностью: первые разбираем целиком, в последних ты дописываешь ключевые шаги.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди $\arctg\sqrt{3}$.

Решение. Ищем угол $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Это $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Типичная ошибка. Дают $\dfrac{4\pi}{3}$, ведь там тоже тангенс равен $\sqrt{3}$. Но $\dfrac{4\pi}{3}$ вне интервала арктангенса.

Ответ: $\dfrac{\pi}{3}$ (60°).

Пример 2 (уровень А, один шаг свёрнут). Найди $\arcctg(-1)$.

Решение. Аргумент отрицательный. Попробуй сам применить формулу отражения для арккотангенса: $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$.

Раскрытие: $\arcctg(-1) = \pi - \arcctg 1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$.

Типичная ошибка. Пишут $-\dfrac{\pi}{4}$ по аналогии с нечётным арктангенсом. Арккотангенс не нечётный, у него формула отражения.

Ответ: $\dfrac{3\pi}{4}$ (135°).

Пример 3 (уровень В, faded). Найди $\cos(\arctg 2)$.

Решение. Пусть $\varphi = \arctg 2$, тогда $\tg\varphi = 2$ и $\varphi \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$. Из определения тангенса $\sin\varphi = 2\cos\varphi$. Подставляем в основное тождество $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1$:

$4\cos^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 \Rightarrow 5\cos^2\varphi = 1 \Rightarrow \cos^2\varphi = \dfrac{1}{5}$

Так как $\varphi$ в интервале, где косинус положителен, берём $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.

Типичная ошибка. Берут косинус со знаком минус. В интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ косинус положителен.

Ответ: $\cos(\arctg 2) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

Пример 4 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\tg x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ и найди корни на $[-\pi;\,\pi]$.

Решение.

Шаг 1. Найди главное значение. Спроси себя: чему равен $\arctg\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$? По нечётности это $-\dfrac{\pi}{6}$. Общее решение $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi n$.

Шаг 2. Отбери корни на $[-\pi;\,\pi]$. Спроси себя: какие $n$ дают корень в отрезке? При $n = 0$: $x = -\dfrac{\pi}{6}$ — входит. При $n = 1$: $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$ — входит. При $n = -1$: $x = -\dfrac{7\pi}{6} < -\pi$ — не входит.

Типичная ошибка. Проверяют только $n = 0$ и теряют корень $\dfrac{5\pi}{6}$.

Ответ: $x = -\dfrac{\pi}{6}$ и $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

Частые ошибки

1. Путать открытость интервала у arctg/arcctg. У $\arcsin$ и $\arccos$ отрезки замкнутые, у $\arctg$ и $\arcctg$ — открытые интервалы. Граничные значения недостижимы, потому что тангенс и котангенс там не определены.
2. Применять $\arctg(\tg x) = x$ без проверки промежутка. Тождество верно только при $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$.
3. Брать $\arcctg(-a) = -\arcctg a$. Это ошибка. Арккотангенс не нечётный, правильная формула $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$.
4. Путать $\arcctg a$ с $\dfrac{1}{\arctg a}$. Это разные вещи: $\arcctg a$ — угол, $\dfrac{1}{\arctg a}$ — число.
5. Не использовать связь $\arctg a + \arcctg a = \dfrac{\pi}{2}$, когда она упрощает вычисление.

Все эти ошибки сводятся к одной путанице: ученик не различает свойства двух функций. Запомни простое: арктангенс нечётный (как арксинус), арккотангенс с отражением (как арккосинус). Эта аналогия с уже знакомой парой arcsin-arccos снимает большинство ошибок. Если усвоить её один раз, не придётся каждый раз вспоминать четыре отдельных набора правил — достаточно держать в голове две пары и переносить свойства внутри них.

Что запомнить

Арктангенс и арккотангенс определены для любого числа, без ограничения $[-1;\ 1]$. Их области значений — открытые интервалы: $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ у арктангенса и $(0;\,\pi)$ у арккотангенса. Арктангенс нечётный и возрастающий, арккотангенс с формулой отражения и убывающий. Связь между ними: $\arctg a + \arcctg a = \dfrac{\pi}{2}$. Оба дают общую формулу решения уравнений с тангенсом и котангенсом, серия одна с периодом $\pi$. Для отрицательного аргумента: $\arctg(-a) = -\arctg a$, но $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$.

Где встречаются на ЕГЭ

В задании 13 арктангенс и арккотангенс нужны для записи общего решения уравнений $\tg x = a$ и $\ctg x = a$. Чаще всего арктангенс появляется как финальный шаг более сложных задач: например, после деления однородного уравнения на $\cos^2 x$ ты приходишь к уравнению с тангенсом, и арктангенс даёт ответ. Если значение нетабличное, арктангенс так и остаётся в ответе — это законная форма записи, за неё не снимают баллов. Кроме того, эти функции возникают в составных выражениях вроде $\cos(\arctg a)$, где навык работы через основное тождество, показанный в Примере 3, решает задачу.

Связь с другими темами

Арктангенс и арккотангенс завершают четвёрку обратных тригонометрических функций. Понимать их лучше в связке с арксинусом и арккосинусом: структура одна, различаются только области значений. Удобная мнемоника — арктангенс копирует арксинус (нечётность, возрастание), а арккотангенс копирует арккосинус (отражение, убывание). Эта параллель помогает не учить четыре функции с нуля, а опереться на уже знакомые две.

• Арксинус — обратная функция для синуса, с которой арктангенс схож по свойствам.
• Арккосинус — обратная функция для косинуса, с которой схож арккотангенс.
• Обзор арксинуса, арккосинуса, арктангенса — сводная страница со сравнительной таблицей всех четырёх функций.
• Уравнение tg x = a — где арктангенс даёт общую формулу решения.
• Тригонометрические уравнения — общая методика решения уравнений.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с тангенсом, отбор корней.