Арктангенс и арккотангенс: определения, графики, основные значения

Арктангенс и арккотангенс — обратные функции для тангенса и котангенса. У них есть приятная особенность: они определены для любого числа, без ограничения $[-1;1]$, которое мучило арксинус и арккосинус. Это потому, что тангенс и котангенс пробегают всю числовую ось, и обратные к ним функции принимают любой аргумент.

Арктангенс: определение

$\mathrm{arctg}a=x⟺\{\begin{array}{l}\mathrm{tg}x=a\\ x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\end{array}$

Читается: «арктангенс $a$» — угол из открытого интервала $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, тангенс которого равен $a$. Как и у других обратных функций, приставка «арк» означает дугу: арктангенс возвращает угол по значению тангенса. Это операция, обратная к тангенсу: тангенс по углу даёт число, арктангенс по числу возвращает угол из своего интервала. Интервал выбран так, чтобы тангенс на нём был монотонным и проходил каждое значение ровно один раз.

Интервал открытый (без концов), потому что $\mathrm{tg}x$ не определён при $x=\pm \frac{\pi }{2}$. Это отличие от арксинуса и арккосинуса, у которых отрезки замкнутые. Граничные значения $\pm \frac{\pi }{2}$ арктангенс не достигает: он лишь стремится к ним, когда аргумент уходит в бесконечность.

Область определения: $\mathbb{R}$ (все действительные числа). Тангенс пробегает всю ось, поэтому арктангенс принимает любое число.

Область значений: $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ — открытый интервал.

Арккотангенс: определение

$\mathrm{arcctg}a=x⟺\{\begin{array}{l}\mathrm{ctg}x=a\\ x\in (0;\pi )\end{array}$

Читается: «арккотангенс $a$» — угол из открытого интервала $(0;\pi )$, котангенс которого равен $a$. Эта функция обратна к котангенсу: по значению котангенса она возвращает угол. Интервал $(0;\pi )$ выбран потому, что котангенс на нём монотонно убывает, проходя каждое значение ровно один раз. Заметь, что интервал тот же, что у арккосинуса, $(0;\pi )$ против $[0;\pi ]$ — отличие только в открытости концов, ведь котангенс на границах не определён.

Область определения: $\mathbb{R}$.

Область значений: $(0;\pi )$ — открытый интервал (без 0 и $\pi$). Концы не входят, потому что котангенс не определён при $x=0$ и $x=\pi$ (там синус обращается в ноль). Как и арктангенс, арккотангенс лишь приближается к границам своего интервала, но не достигает их.

Главное, что стоит уловить про эти две функции, — их область значений разная, как и у пары арксинус-арккосинус. Арктангенс лежит в симметричном относительно нуля интервале $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ и поэтому бывает отрицательным. Арккотангенс лежит в $(0;\pi )$ и отрицательным не бывает никогда. Из этого различия растут все формулы для отрицательных аргументов, и именно тут чаще всего путаются.

Сравнение всех обратных тригонометрических функций

Эта таблица собирает все четыре обратные функции в одном месте. По ней видно красивую симметрию: функции разбиваются на две пары. В первой паре (арксинус, арккосинус) область определения ограничена отрезком $[-1;1]$, потому что синус и косинус не выходят за эти пределы. Во второй паре (арктангенс, арккотангенс) область определения — все числа, ведь тангенс и котангенс пробегают всю ось. А внутри каждой пары одна функция возрастает, другая убывает.

Обрати внимание на тип скобок в области значений. У арксинуса и арккосинуса отрезки замкнутые: значения $\pm \frac{\pi }{2}$, $0$, $\pi$ достигаются. У арктангенса и арккотангенса интервалы открытые: граничные значения только в пределе, но не достигаются. Это различие важно при анализе графиков и решении неравенств с обратными функциями.

Таблица основных значений

В таблице заметна закономерность: в каждой строке сумма арктангенса и арккотангенса даёт ровно $\frac{\pi }{2}$. Например, при $a=\sqrt{3}$: $\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$. Это та самая связь $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$, видимая прямо в числах. Использовать таблицу можно с двух сторон: знаешь арктангенс — вычел из $\frac{\pi }{2}$ и получил арккотангенс. Особое внимание на строку $a=1$: там оба значения равны $\frac{\pi }{4}$, потому что $\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$. Это единственная точка, где арктангенс и арккотангенс совпадают.

Свойства арктангенса

Арктангенс ведёт себя как «родственник» арксинуса: тоже нечётный, тоже возрастающий.

1. Нечётность: $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}(a)$. Поменял знак аргумента — поменялся знак ответа. Это свойство экономит время: достаточно знать арктангенсы положительных чисел.

2. Основное тождество:

$\mathrm{tg}(\mathrm{arctg}a)=a\text{для любого }a\in \mathbb{R}$

Тангенс «отменяет» арктангенс всегда, без оговорок, потому что арктангенс по определению даёт угол с нужным тангенсом.

3. Обратное тождество с ограничением:

$\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x\text{только если }x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$

А вот тут оговорка обязательна. Для углов вне интервала сначала приводят с учётом периода тангенса $\pi$.

4. Предельные значения: при больших аргументах арктангенс приближается к границам, но не достигает их:

${\lim }_{a\to +\infty }\mathrm{arctg}a=\frac{\pi }{2},{\lim }_{a\to -\infty }\mathrm{arctg}a=-\frac{\pi }{2}$

На графике это горизонтальные асимптоты $y=\pm \frac{\pi }{2}$. График арктангенса — пологая S-образная кривая, которая проходит через начало координат и сглаживается к асимптотам по краям. Эта форма объясняет важное практическое следствие: при больших по модулю аргументах арктангенс почти не меняется, прижимаясь к $\pm \frac{\pi }{2}$. Поэтому $\mathrm{arctg}100$ и $\mathrm{arctg}1000$ почти неотличимы — оба близки к $\frac{\pi }{2}$. А вот около нуля кривая «активна»: там малое изменение аргумента заметно меняет угол.

Свойства арккотангенса

Арккотангенс — «родственник» арккосинуса: не нечётный, а с формулой отражения, и убывающий.

1. Формула отражения (главное отличие от арктангенса):

$\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}(a)$

Это не нечётность. Для отрицательного аргумента значение «отражается» от $\frac{\pi }{2}$ в верхнюю половину интервала $(0;\pi )$, оставаясь положительным.

2. Основное тождество:

$\mathrm{ctg}(\mathrm{arcctg}a)=a\text{для любого }a\in \mathbb{R}$

3. Предельные значения: арккотангенс убывает от $\pi$ к $0$:

${\lim }_{a\to +\infty }\mathrm{arcctg}a=0,{\lim }_{a\to -\infty }\mathrm{arcctg}a=\pi$

Горизонтальные асимптоты $y=0$ и $y=\pi$. График арккотангенса — убывающая кривая, зеркально похожая на арктангенс, но сдвинутая в положительную область. Поскольку вся кривая лежит выше оси абсцисс, между нулём и $\pi$, арккотангенс никогда не бывает отрицательным. Это прямое следствие выбранного интервала значений, и именно поэтому отрицательные аргументы обрабатываются формулой отражения, а не выносом минуса, как у арктангенса. Держи эту разницу в голове, и две функции не перепутаются.

Связь между arctg и arcctg

$\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}\text{для всех }a\in \mathbb{R}$

Сумма арктангенса и арккотангенса одного числа всегда равна $\frac{\pi }{2}$. Это полный аналог связи $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$. Формула удобна для перехода: зная арктангенс, мгновенно находишь арккотангенс вычитанием из $\frac{\pi }{2}$. Если на экзамене попался неудобный арккотангенс, посчитай через него арктангенс, который может оказаться табличным.

Формулы общих решений

Главное применение этих функций — запись решений уравнений с тангенсом и котангенсом. Обе формулы устроены одинаково, с периодом $\pi$.

Уравнение $\mathrm{tg}x=a$ имеет решение при любом $a$:

$x=\mathrm{arctg}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Уравнение $\mathrm{ctg}x=a$ тоже при любом $a$:

$x=\mathrm{arcctg}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

В обеих формулах серия одна, а не две, как у синуса и косинуса. Причина — период тангенса и котангенса равен $\pi$, и все корни укладываются в одну серию с этим шагом. Это делает уравнения с тангенсом и котангенсом самыми простыми по структуре ответа.

Разбор примеров

Примеры с нарастающей самостоятельностью: первые разбираем целиком, в последних ты дописываешь ключевые шаги.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди $\mathrm{arctg}\sqrt{3}$.

Решение. Ищем угол $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Это $x=\frac{\pi }{3}$.

Типичная ошибка. Дают $\frac{4\pi }{3}$, ведь там тоже тангенс равен $\sqrt{3}$. Но $\frac{4\pi }{3}$ вне интервала арктангенса.

Ответ: $\frac{\pi }{3}$ (60°).

Пример 2 (уровень А, один шаг свёрнут). Найди $\mathrm{arcctg}(-1)$.

Решение. Аргумент отрицательный. Попробуй сам применить формулу отражения для арккотангенса: $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$.

Раскрытие: $\mathrm{arcctg}(-1)=\pi -\mathrm{arcctg}1=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$.

Типичная ошибка. Пишут $-\frac{\pi }{4}$ по аналогии с нечётным арктангенсом. Арккотангенс не нечётный, у него формула отражения.

Ответ: $\frac{3\pi }{4}$ (135°).

Пример 3 (уровень В, faded). Найди $\cos (\mathrm{arctg}2)$.

Решение. Пусть $\phi =\mathrm{arctg}2$, тогда $\mathrm{tg}\phi =2$ и $\phi \in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Из определения тангенса $\sin \phi =2\cos \phi$. Подставляем в основное тождество ${\sin }^2\phi +{\cos }^2\phi =1$:

$4{\cos }^2\phi +{\cos }^2\phi =1\Rightarrow 5{\cos }^2\phi =1\Rightarrow {\cos }^2\phi =\frac{1}{5}$

Так как $\phi$ в интервале, где косинус положителен, берём $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{5}}$.

Типичная ошибка. Берут косинус со знаком минус. В интервале $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ косинус положителен.

Ответ: $\cos (\mathrm{arctg}2)=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

Пример 4 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\mathrm{tg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ и найди корни на $[-\pi ;\pi ]$.

Решение.

Шаг 1. Найди главное значение. Спроси себя: чему равен $\mathrm{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$? По нечётности это $-\frac{\pi }{6}$. Общее решение $x=-\frac{\pi }{6}+\pi n$.

Шаг 2. Отбери корни на $[-\pi ;\pi ]$. Спроси себя: какие $n$ дают корень в отрезке? При $n=0$: $x=-\frac{\pi }{6}$ — входит. При $n=1$: $x=-\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{5\pi }{6}$ — входит. При $n=-1$: $x=-\frac{7\pi }{6}<-\pi$ — не входит.

Типичная ошибка. Проверяют только $n=0$ и теряют корень $\frac{5\pi }{6}$.

Ответ: $x=-\frac{\pi }{6}$ и $x=\frac{5\pi }{6}$.

Частые ошибки

1. Путать открытость интервала у arctg/arcctg. У $\arcsin$ и $\arccos$ отрезки замкнутые, у $\mathrm{arctg}$ и $\mathrm{arcctg}$ — открытые интервалы. Граничные значения недостижимы, потому что тангенс и котангенс там не определены.
2. Применять $\mathrm{arctg}(\mathrm{tg}x)=x$ без проверки промежутка. Тождество верно только при $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.
3. Брать $\mathrm{arcctg}(-a)=-\mathrm{arcctg}a$. Это ошибка. Арккотангенс не нечётный, правильная формула $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$.
4. Путать $\mathrm{arcctg}a$ с $\frac{1}{\mathrm{arctg}a}$. Это разные вещи: $\mathrm{arcctg}a$ — угол, $\frac{1}{\mathrm{arctg}a}$ — число.
5. Не использовать связь $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$, когда она упрощает вычисление.

Все эти ошибки сводятся к одной путанице: ученик не различает свойства двух функций. Запомни простое: арктангенс нечётный (как арксинус), арккотангенс с отражением (как арккосинус). Эта аналогия с уже знакомой парой arcsin-arccos снимает большинство ошибок. Если усвоить её один раз, не придётся каждый раз вспоминать четыре отдельных набора правил — достаточно держать в голове две пары и переносить свойства внутри них.

Что запомнить

Арктангенс и арккотангенс определены для любого числа, без ограничения $[-1;1]$. Их области значений — открытые интервалы: $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ у арктангенса и $(0;\pi )$ у арккотангенса. Арктангенс нечётный и возрастающий, арккотангенс с формулой отражения и убывающий. Связь между ними: $\mathrm{arctg}a+\mathrm{arcctg}a=\frac{\pi }{2}$. Оба дают общую формулу решения уравнений с тангенсом и котангенсом, серия одна с периодом $\pi$. Для отрицательного аргумента: $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}a$, но $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}a$.

Где встречаются на ЕГЭ

В задании 13 арктангенс и арккотангенс нужны для записи общего решения уравнений $\mathrm{tg}x=a$ и $\mathrm{ctg}x=a$. Чаще всего арктангенс появляется как финальный шаг более сложных задач: например, после деления однородного уравнения на ${\cos }^{2}x$ ты приходишь к уравнению с тангенсом, и арктангенс даёт ответ. Если значение нетабличное, арктангенс так и остаётся в ответе — это законная форма записи, за неё не снимают баллов. Кроме того, эти функции возникают в составных выражениях вроде $\cos (\mathrm{arctg}a)$, где навык работы через основное тождество, показанный в Примере 3, решает задачу.

Связь с другими темами

Арктангенс и арккотангенс завершают четвёрку обратных тригонометрических функций. Понимать их лучше в связке с арксинусом и арккосинусом: структура одна, различаются только области значений. Удобная мнемоника — арктангенс копирует арксинус (нечётность, возрастание), а арккотангенс копирует арккосинус (отражение, убывание). Эта параллель помогает не учить четыре функции с нуля, а опереться на уже знакомые две.

• Арксинус — обратная функция для синуса, с которой арктангенс схож по свойствам.
• Арккосинус — обратная функция для косинуса, с которой схож арккотангенс.
• Обзор арксинуса, арккосинуса, арктангенса — сводная страница со сравнительной таблицей всех четырёх функций.
• Уравнение tg x = a — где арктангенс даёт общую формулу решения.
• Тригонометрические уравнения — общая методика решения уравнений.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с тангенсом, отбор корней.