Арктангенс и арккотангенс: определения, графики, основные значения

Арктангенс и арккотангенс — обратные функции для тангенса и котангенса. Главное отличие от arcsin и arccos: их область определения — все вещественные числа, без ограничения $[-1;\,1]$.

Арктангенс: определение

$\arctg a = x \iff \begin{cases} \tg x = a \\ x \in \left(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right) \end{cases}$

Читается: «арктангенс $a$» — угол из открытого интервала $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$, тангенс которого равен $a$.

Интервал открытый (без концов), потому что $\tg x$ не определён при $x = \pm\dfrac{\pi}{2}$.

Область определения: $\mathbb{R}$ (все действительные числа).

Область значений: $\left(-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ — открытый интервал.

Арккотангенс: определение

$\arcctg a = x \iff \begin{cases} \ctg x = a \\ x \in (0;\,\pi) \end{cases}$

Читается: «арккотангенс $a$» — угол из открытого интервала $(0;\,\pi)$, котангенс которого равен $a$.

Область определения: $\mathbb{R}$.

Область значений: $(0;\,\pi)$ — открытый интервал (без 0 и $\pi$).

Сравнение всех обратных тригонометрических функций

Таблица основных значений

Свойства арктангенса

1. Нечётная функция: $\arctg(-a) = -\arctg(a)$

2. Основное тождество: $\tg(\arctg a) = a \quad \text{для любого } a \in \mathbb{R}$

3. Обратное тождество: $\arctg(\tg x) = x \quad \text{только если } x \in \left(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right)$

4. Предельные значения: $\lim_{a \to +\infty} \arctg a = \frac{\pi}{2}, \quad \lim_{a \to -\infty} \arctg a = -\frac{\pi}{2}$

Горизонтальные асимптоты: $y = \pm\dfrac{\pi}{2}$.

Свойства арккотангенса

1. Аналог отражения: $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$

2. Основное тождество: $\ctg(\arcctg a) = a \quad \text{для любого } a \in \mathbb{R}$

3. Предельные значения: $\lim_{a \to +\infty} \arcctg a = 0, \quad \lim_{a \to -\infty} \arcctg a = \pi$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$ и $y = \pi$.

Связь между arctg и arcctg

$\arctg a + \arcctg a = \frac{\pi}{2} \quad \text{для всех } a \in \mathbb{R}$

Аналогично: $\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}$.

Формулы общих решений

Уравнение $\tg x = a$: $x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Уравнение $\ctg x = a$: $x = \arcctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Примеры задач

Пример 1 (уровень А). Найти $\arctg\sqrt{3}$.

Ищем $x \in (-\pi/2;\,\pi/2)$: $\tg x = \sqrt{3} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3}$.

Ответ: $\dfrac{\pi}{3}$ (60°).

Пример 2 (уровень А). Найти $\arcctg(-1)$.

По формуле: $\arcctg(-1) = \pi - \arcctg(1) = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\dfrac{3\pi}{4}$ (135°).

Пример 3 (уровень Б). Найти $\cos(\arctg 2)$.

Пусть $\varphi = \arctg 2$. Тогда $\tg\varphi = 2$.

Из $\tg\varphi = \dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi} = 2$ и $\sin^2\varphi + \cos^2\varphi = 1$:

Пусть $\sin\varphi = 2\cos\varphi$ (из тангенса). Подставим: $4\cos^2\varphi + \cos^2\varphi = 1 \Rightarrow \cos^2\varphi = \dfrac{1}{5}$.

Так как $\varphi \in (-\pi/2;\,\pi/2)$, косинус положителен: $\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$.

Ответ: $\cos(\arctg 2) = \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$.

Пример 4 (уровень Б). Реши уравнение $\tg x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ на $\left[-\pi;\,\pi\right]$.

$\arctg\!\left(-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\dfrac{\pi}{6}$.

Общее решение: $x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

На $[-\pi;\,\pi]$: $n = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6}$; $n = 1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$; $n = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} - \pi = -\dfrac{7\pi}{6} < -\pi$ — не входит.

Ответ: $x = -\dfrac{\pi}{6}$ и $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

Частые ошибки

1. Путать открытость интервала у arctg/arcctg. У $\arcsin$/$\arccos$ — замкнутые отрезки. У $\arctg$/$\arcctg$ — открытые интервалы (граничные значения недостижимы).

2. Применять $\arctg(\tg x) = x$ без проверки промежутка. Только при $x \in (-\pi/2;\,\pi/2)$.

3. Путать $\arcctg a$ с $\dfrac{1}{\arctg a}$. Это разные вещи: $\arcctg a$ — угол, $\dfrac{1}{\arctg a}$ — число.

4. Не использовать связь $\arctg a + \arcctg a = \pi/2$ когда она упрощает вычисление.

Связь с другими темами

• Арксинус — обратная функция для синуса.
• Арккосинус — обратная функция для косинуса.
• Тригонометрические уравнения — формулы общих решений через arctg.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с тангенсом, отбор корней.