Уравнение tg x = a: формула решения

Уравнение $\tg x = a$ — самое «дружелюбное» из тригонометрических. Одна формула, и она работает для любого $a$. На ЕГЭ встречается в задании 13.

Постановка задачи

Дано $a \in \mathbb{R}$. Найти все $x$, для которых $\tg x = a$.

В отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь нет ограничений на $a$: тангенс принимает все действительные значения.

Геометрическая интерпретация

Тангенс $\tg x$ можно изобразить на «оси тангенсов» — вертикальной касательной к единичной окружности в точке $(1;\,0)$. Значение $\tg x$ — координата $y$ точки пересечения этой оси с лучом, идущим из центра под углом $x$.

При повороте на угол $x = \pi$ луч возвращается в то же положение (но «обратно»), и тангенс снова принимает то же значение. Поэтому период тангенса — $\pi$, не $2\pi$.

Общая формула решения

$\boxed{x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$

где $\arctg a$ — арктангенс числа $a$.

Что такое $\arctg a$? Это угол $\varphi \in (-\pi/2;\,\pi/2)$, для которого $\tg \varphi = a$. То есть «обратный тангенс».

Значения арктангенса (must know)

Свойство: $\arctg(-a) = -\arctg(a)$ — арктангенс нечётный.

Разобранный пример 1

Условие. Решить $\tg x = 1$.

Решение. $\arctg 1 = \pi/4$. По формуле:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ. $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$.

Разобранный пример 2

Условие. Решить $\tg x = -\sqrt{3}$.

Решение. $\arctg(-\sqrt{3}) = -\arctg \sqrt{3} = -\pi/3$.

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$

Ответ. $x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi n$.

Уравнения вида tg(kx + b) = a

Если в уравнении не просто $\tg x$, а $\tg(kx + b)$, действуем так:

1. Сделать замену $y = kx + b$.
2. Решить $\tg y = a$ → $y = \arctg a + \pi n$.
3. Подставить обратно: $kx + b = \arctg a + \pi n$.
4. Выразить $x$.

Пример. $\tg(2x - \pi/4) = 1$.

$2x - \pi/4 = \pi/4 + \pi n \Rightarrow 2x = \pi/2 + \pi n \Rightarrow x = \pi/4 + \pi n/2$.

ОДЗ уравнения с тангенсом

$\tg x$ не определён, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \pi/2 + \pi n$. Если в задаче есть отбор корней, эти точки нужно исключить.

В уравнениях вида $\tg x = a$ автоматически: $\arctg a$ всегда лежит в $(-\pi/2;\,\pi/2)$, поэтому $\arctg a + \pi n$ никогда не совпадает с $\pi/2 + \pi k$. Нет проблем с ОДЗ.

Применение в задаче 13 ЕГЭ

Задача 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней на отрезке. Часто это уравнение типа $\tg x = a$ или сводится к нему.

Пример из реальной задачи.

«Решите уравнение $\tg x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Найдите все корни на отрезке $[-\pi;\,\pi/2]$.»

Шаг 1. $\arctg(-1/\sqrt{3}) = -\pi/6$. Общее решение: $x = -\pi/6 + \pi n$.

Шаг 2. Отбор:

• $n = 0$: $x = -\pi/6 \approx -0{,}52$. На $[-\pi;\,\pi/2]$? $-\pi \approx -3{,}14$, $\pi/2 \approx 1{,}57$. $-\pi/6$ входит. ✓
• $n = -1$: $x = -\pi/6 - \pi = -7\pi/6 \approx -3{,}66$. На отрезке? $-3{,}66 < -3{,}14$. Нет.
• $n = 1$: $x = -\pi/6 + \pi = 5\pi/6 \approx 2{,}62$. На отрезке? $2{,}62 > 1{,}57$. Нет.

Подходит только $x = -\pi/6$.

Распространённые ошибки

1. Писать $x = \arctg a + 2\pi n$ вместо $\pi n$. Период тангенса — $\pi$, не $2\pi$. Если поставить $2\pi$, потеряешь половину корней.

2. Считать, что $\tg x = a$ имеет решения только при $|a| \leq 1$. Это для $\sin$ и $\cos$. Для $\tg$ — для любого $a$.

3. Забыть знак при $\arctg(-a)$. $\arctg(-a) = -\arctg(a)$, не $\pi - \arctg(a)$ и не $\arctg(a)$.

4. В задаче с отбором проверять только $n = 0, 1, -1$. Иногда нужно $n = 2$ или $n = -2$. Перебирай столько, сколько нужно для покрытия отрезка.

5. Путать $\arctg a$ и $1/\tg a$. $\arctg a$ — это угол, для которого тангенс равен $a$. $1/\tg a = \ctg a$ — обратное число к тангенсу угла $a$. Совершенно разное.

Разобранный пример (задание 13 ЕГЭ)

Условие. Решите уравнение $\tg(x + \pi/3) = \sqrt{3}$. Укажите корни на отрезке $[0;\,2\pi]$.

Решение. Сделаем замену: $y = x + \pi/3$. Уравнение: $\tg y = \sqrt{3}$.

$\arctg \sqrt{3} = \pi/3$. Решение: $y = \pi/3 + \pi n$.

Возвращаемся: $x + \pi/3 = \pi/3 + \pi n \Rightarrow x = \pi n$.

Отбор на $[0;\,2\pi]$:

• $n = 0$: $x = 0$. ✓
• $n = 1$: $x = \pi$. ✓
• $n = 2$: $x = 2\pi$. ✓
• Вне отрезка нет.

Ответ. $x \in \{0,\,\pi,\,2\pi\}$.

Что запомнить

• Формула: $x = \arctg a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Решения существуют для любого $a$.
• Период $\pi$, не $2\pi$.
• $\arctg a \in (-\pi/2;\,\pi/2)$.
• $\arctg(-a) = -\arctg(a)$.
• Стандартные значения: $\arctg 1 = \pi/4$, $\arctg \sqrt{3} = \pi/3$, $\arctg(1/\sqrt{3}) = \pi/6$.

Связь с другими темами

• Уравнение ctg x = a — пара к данному.
• Тригонометрические уравнения — общий метод.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс — теория обратных функций.
• Отбор корней — для задачи 13.