Уравнение tg x = a: формула решения

Уравнение $\tg x = a$ — самое «дружелюбное» из тригонометрических. Одна формула, и она работает для любого $a$. На ЕГЭ встречается в задании 13.

Постановка задачи

Дано $a \in \mathbb{R}$. Найти все $x$, для которых $\tg x = a$.

В отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь нет ограничений на $a$: тангенс принимает все действительные значения. Это первое, что отличает уравнение с тангенсом от уравнений с синусом и косинусом. У тех правая часть обязана лежать между $-1$ и $1$, иначе решений нет. У тангенса такого ограничения нет вообще: какое число ни поставь справа, корень найдётся. Поэтому, увидев $\tg x = a$, не трать время на проверку диапазона — сразу применяй формулу.

Геометрическая интерпретация

Тангенс $\tg x$ можно изобразить на «оси тангенсов» — вертикальной касательной к единичной окружности в точке $(1;\,0)$. Значение $\tg x$ — координата $y$ точки пересечения этой оси с лучом, идущим из центра под углом $x$. Эта ось тянется бесконечно вверх и вниз, и луч под нужным углом может пересечь её на любой высоте. Поэтому решить уравнение $\tg x = a$ значит найти угол луча, который попадает в точку высоты $a$ на оси тангенсов.

При повороте на угол $x = \pi$ луч возвращается в то же положение (но «обратно»), и тангенс снова принимает то же значение. Поэтому период тангенса — $\pi$, не $2\pi$.

Эта картинка объясняет и другое важное свойство. Поскольку ось тангенсов вертикальна и тянется от $-\infty$ до $+\infty$, луч под подходящим углом всегда пересечёт её на любой высоте $a$. Значит уравнение $\tg x = a$ имеет решение для любого числа $a$, в отличие от синуса и косинуса, у которых значения зажаты между $-1$ и $1$. Тангенс пробегает всю числовую ось, и это его принципиальное отличие.

Общая формула решения

$\boxed{x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$

где $\arctg a$ — арктангенс числа $a$.

Что такое $\arctg a$? Это угол $\varphi \in (-\pi/2;\,\pi/2)$, для которого $\tg \varphi = a$. То есть «обратный тангенс». Из всех углов с тангенсом $a$ арктангенс выбирает один, лежащий в интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$. Этот интервал называют главным значением арктангенса, и именно от него отсчитывается серия корней. Поэтому, записывая ответ, ты сначала находишь главное значение $\arctg a$, а потом добавляешь к нему все периоды $\pi n$.

Значения арктангенса (must know)

Свойство: $\arctg(-a) = -\arctg(a)$ — арктангенс нечётный.

Эти семь значений стоит выучить намертво: они покрывают почти все табличные уравнения с тангенсом в задании 13. Логика запоминания простая. Тангенс растёт от $0$ при угле $0$ к бесконечности у асимптоты $\dfrac{\pi}{2}$, проходя через ключевые точки: $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ в $\dfrac{\pi}{6}$, единицу в $\dfrac{\pi}{4}$ и $\sqrt{3}$ в $\dfrac{\pi}{3}$. Это та же тройка углов $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}$, что и в таблице синусов с косинусами, только теперь они дают значения тангенса. Отрицательные значения получаются по нечётности, простым добавлением минуса.

Почему у тангенса всего одна серия

Сравни с синусом и косинусом: там у уравнения две серии корней, а у тангенса всего одна. Откуда разница?

У синуса горизонтальная прямая $y = a$ пересекает окружность в двух точках, и обе дают корень — отсюда две серии. У тангенса же значение повторяется уже через полоборота $\pi$, а не через полный оборот $2\pi$. Поэтому все корни укладываются в одну серию с шагом $\pi$: $\arctg a$, $\arctg a + \pi$, $\arctg a + 2\pi$ и так далее. Не нужно искать «вторую точку» — её роль играет следующий член той же серии. Это делает уравнение с тангенсом самым простым из трёх: одна формула, одна серия, никакого выбора между ветками.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\tg x = 1$.

Решение. Находим арктангенс правой части: $\arctg 1 = \dfrac{\pi}{4}$ (это табличное значение). Подставляем в общую формулу:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Пишут период $2\pi n$ по аналогии с синусом. У тангенса период $\pi$, поэтому $\pi n$.

Ответ. $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\tg x = -\sqrt{3}$.

Решение. Нам нужен $\arctg(-\sqrt{3})$. Попробуй сам применить нечётность арктангенса: $\arctg(-a) = -\arctg a$.

Раскрытие: $\arctg(-\sqrt{3}) = -\arctg\sqrt{3} = -\dfrac{\pi}{3}$. Подставляем в формулу:

$x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Записывают $\arctg(-\sqrt{3}) = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ по аналогии с арккосинусом. У арктангенса нечётность, а не такое свойство: знак просто выносится.

Ответ. $x = -\dfrac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\tg x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ и найди корни на отрезке $[0;\ 2\pi]$.

Решение.

Шаг 1. Найди арктангенс. Спроси себя: при каком угле тангенс равен $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$? Это $\arctg\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\pi}{6}$. Общее решение $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi n$.

Шаг 2. Отбери корни на $[0;\ 2\pi]$. Спроси себя: какие $n$ дают корень в отрезке? При $n = 0$: $x = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}52$ — входит. При $n = 1$: $x = \dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{7\pi}{6} \approx 3{,}67$ — входит. При $n = 2$: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi \approx 6{,}81 > 2\pi$ — не входит.

Типичная ошибка. Проверяют только $n = 0$ и теряют второй корень $\dfrac{7\pi}{6}$. На отрезке длиной $2\pi$ у тангенса (период $\pi$) обычно два корня.

Ответ. на отрезке $[0;\ 2\pi]$ корни $x = \dfrac{\pi}{6}$ и $x = \dfrac{7\pi}{6}$.

Уравнения вида tg(kx + b) = a

Если в уравнении не просто $\tg x$, а $\tg(kx + b)$, действуем так:

1. Сделать замену $y = kx + b$.
2. Решить $\tg y = a$ → $y = \arctg a + \pi n$.
3. Подставить обратно: $kx + b = \arctg a + \pi n$.
4. Выразить $x$.

Пример. $\tg(2x - \pi/4) = 1$.

$2x - \pi/4 = \pi/4 + \pi n \Rightarrow 2x = \pi/2 + \pi n \Rightarrow x = \pi/4 + \pi n/2$.

Обрати внимание на последний шаг: когда мы делили на коэффициент $k = 2$, период серии тоже разделился на 2, превратившись из $\pi n$ в $\dfrac{\pi n}{2}$. Это общее правило: коэффициент при $x$ внутри тангенса сжимает период серии решений во столько же раз. Если бы внутри стоял $\tg 3x$, период серии стал бы $\dfrac{\pi n}{3}$. Проверить себя легко: период серии должен совпадать с периодом самой функции $\tg(kx + b)$, который равен $\dfrac{\pi}{k}$.

График тангенса и решение уравнения

Полезно держать в голове график $y = \tg x$. Он состоит из отдельных ветвей, каждая на своём промежутке $\left(-\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{2} + \pi k\right)$. На каждой ветви тангенс монотонно растёт от $-\infty$ до $+\infty$, а между ветвями стоят вертикальные асимптоты в точках $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, где тангенс не определён.

Решение уравнения $\tg x = a$ на этом графике — это точки пересечения с горизонтальной прямой $y = a$. Поскольку каждая ветвь пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, прямая $y = a$ пересекает ровно одну точку на каждой ветви. Точки повторяются через период $\pi$, и все они складываются в одну серию $\arctg a + \pi n$. Этот образ объясняет, почему у уравнения с тангенсом одна серия и почему она существует при любом $a$: прямая всегда найдёт по одной точке на каждой ветви, как высоко или низко её ни проведи.

ОДЗ уравнения с тангенсом

$\tg x$ не определён, когда $\cos x = 0$, то есть при $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$. Если в задаче есть отбор корней или тангенс получился в результате преобразований, эти точки нужно держать в уме и при необходимости исключать.

В уравнениях вида $\tg x = a$ всё складывается автоматически: $\arctg a$ всегда лежит строго внутри $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$, поэтому серия $\arctg a + \pi n$ никогда не совпадает с запрещёнными точками $\dfrac{\pi}{2} + \pi k$. Корни сами по себе попадают в ОДЗ, и дополнительной проверки не требуется. Но если тангенс появился из деления (например, при решении однородного уравнения), проверка ОДЗ становится обязательной: там можно случайно поделить на ноль.

Применение в задаче 13 ЕГЭ

Задача 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней на отрезке. Часто это уравнение типа $\tg x = a$ или сводится к нему через однородные уравнения, метод деления или замену. Уравнение с тангенсом редко встречается «в чистом виде», но оно постоянно возникает как финальный шаг более сложных задач. Например, после деления однородного уравнения на $\cos^2 x$ ты получаешь именно $\tg x = a$, и дальше всё решается по формуле этой темы. Поэтому уверенное владение простейшим уравнением с тангенсом — это фундамент для половины задания 13.

Пример из реальной задачи.

«Решите уравнение $\tg x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Найдите все корни на отрезке $[-\pi;\,\pi/2]$.»

Шаг 1. $\arctg(-1/\sqrt{3}) = -\pi/6$. Общее решение: $x = -\pi/6 + \pi n$.

Шаг 2. Отбор:

• $n = 0$: $x = -\pi/6 \approx -0{,}52$. На $[-\pi;\,\pi/2]$? $-\pi \approx -3{,}14$, $\pi/2 \approx 1{,}57$. $-\pi/6$ входит. ✓
• $n = -1$: $x = -\pi/6 - \pi = -7\pi/6 \approx -3{,}66$. На отрезке? $-3{,}66 < -3{,}14$. Нет.
• $n = 1$: $x = -\pi/6 + \pi = 5\pi/6 \approx 2{,}62$. На отрезке? $2{,}62 > 1{,}57$. Нет.

Подходит только $x = -\pi/6$.

Распространённые ошибки

1. Писать $x = \arctg a + 2\pi n$ вместо $\pi n$. Период тангенса — $\pi$, не $2\pi$. Если поставить $2\pi$, потеряешь половину корней.

2. Считать, что $\tg x = a$ имеет решения только при $|a| \leq 1$. Это для $\sin$ и $\cos$. Для $\tg$ — для любого $a$.

3. Забыть знак при $\arctg(-a)$. Правильно $\arctg(-a) = -\arctg(a)$, потому что арктангенс нечётный. Не путай с арккотангенсом, у которого $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg(a)$ — там другая формула.

4. В задаче с отбором проверять только $n = 0, 1, -1$. Иногда нужно $n = 2$ или $n = -2$. Перебирай столько, сколько нужно для покрытия отрезка.

5. Путать $\arctg a$ и $1/\tg a$. $\arctg a$ — это угол, для которого тангенс равен $a$. $1/\tg a = \ctg a$ — обратное число к тангенсу угла $a$. Совершенно разное.

6. Не разделить период при коэффициенте $k$. В уравнении $\tg(kx + b) = a$ период серии равен $\dfrac{\pi n}{k}$, а не $\pi n$. Забыл разделить — потерял корни.

Большинство этих ошибок объединяет одна причина: ученик решает уравнение с тангенсом по аналогии с синусом, а у них разные свойства. Период разный ($\pi$ против $2\pi$), число серий разное (одна против двух), ограничения на правую часть разные (любое $a$ против $|a| \leq 1$). Запомни эти три отличия, и большая часть ошибок отпадёт сама.

Разобранный пример (задание 13 ЕГЭ)

Условие. Решите уравнение $\tg(x + \pi/3) = \sqrt{3}$. Укажите корни на отрезке $[0;\,2\pi]$.

Решение. Сделаем замену: $y = x + \pi/3$. Уравнение: $\tg y = \sqrt{3}$.

$\arctg \sqrt{3} = \pi/3$. Решение: $y = \pi/3 + \pi n$.

Возвращаемся: $x + \pi/3 = \pi/3 + \pi n \Rightarrow x = \pi n$.

Отбор на $[0;\,2\pi]$:

• $n = 0$: $x = 0$. ✓
• $n = 1$: $x = \pi$. ✓
• $n = 2$: $x = 2\pi$. ✓
• Вне отрезка нет.

Ответ. $x \in \{0,\,\pi,\,2\pi\}$.

В этом примере замена $y = x + \dfrac{\pi}{3}$ упростила уравнение, а сдвиг $\dfrac{\pi}{3}$ удачно сократился при возврате к $x$. Так бывает не всегда: чаще сдвиг остаётся в ответе и влияет на отбор. Главное — не потерять его при обратной подстановке. Аккуратная работа с заменой и обратной подстановкой — половина успеха в уравнениях вида $\tg(kx + b) = a$, потому что именно здесь чаще всего теряют корни или сбивают период.

Что запомнить

Уравнение $\tg x = a$ решается одной формулой $x = \arctg a + \pi n$ и работает для любого числа $a$, без ограничений. Период серии $\pi$, а не $2\pi$, потому что тангенс повторяется через полоборота. Серия всего одна, без второй ветки, в отличие от синуса и косинуса. Арктангенс лежит в интервале $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ и нечётен: $\arctg(-a) = -\arctg a$. Для уравнений с коэффициентом $\tg(kx + b) = a$ не забывай делить период серии на $k$. Краткий список:

• Формула: $x = \arctg a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Решения существуют для любого $a$.
• Период $\pi$, не $2\pi$.
• $\arctg a \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• $\arctg(-a) = -\arctg(a)$.
• Стандартные значения: $\arctg 1 = \dfrac{\pi}{4}$, $\arctg \sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$, $\arctg\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\pi}{6}$.

Связь с другими темами

• Уравнение ctg x = a — пара к данному.
• Тригонометрические уравнения — общий метод.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс — теория обратных функций.
• Отбор корней — для задачи 13.