Уравнение tg x = a: формула решения

Уравнение $\mathrm{tg}x=a$ — самое «дружелюбное» из тригонометрических. Одна формула, и она работает для любого $a$. На ЕГЭ встречается в задании 13.

Постановка задачи

Дано $a\in \mathbb{R}$. Найти все $x$, для которых $\mathrm{tg}x=a$.

В отличие от уравнений с синусом и косинусом, здесь нет ограничений на $a$: тангенс принимает все действительные значения. Это первое, что отличает уравнение с тангенсом от уравнений с синусом и косинусом. У тех правая часть обязана лежать между $-1$ и $1$, иначе решений нет. У тангенса такого ограничения нет вообще: какое число ни поставь справа, корень найдётся. Поэтому, увидев $\mathrm{tg}x=a$, не трать время на проверку диапазона — сразу применяй формулу.

Геометрическая интерпретация

Тангенс $\mathrm{tg}x$ можно изобразить на «оси тангенсов» — вертикальной касательной к единичной окружности в точке $(1;0)$. Значение $\mathrm{tg}x$ — координата $y$ точки пересечения этой оси с лучом, идущим из центра под углом $x$. Эта ось тянется бесконечно вверх и вниз, и луч под нужным углом может пересечь её на любой высоте. Поэтому решить уравнение $\mathrm{tg}x=a$ значит найти угол луча, который попадает в точку высоты $a$ на оси тангенсов.

При повороте на угол $x=\pi$ луч возвращается в то же положение (но «обратно»), и тангенс снова принимает то же значение. Поэтому период тангенса — $\pi$, не $2\pi$.

Эта картинка объясняет и другое важное свойство. Поскольку ось тангенсов вертикальна и тянется от $-\infty$ до $+\infty$, луч под подходящим углом всегда пересечёт её на любой высоте $a$. Значит уравнение $\mathrm{tg}x=a$ имеет решение для любого числа $a$, в отличие от синуса и косинуса, у которых значения зажаты между $-1$ и $1$. Тангенс пробегает всю числовую ось, и это его принципиальное отличие.

Общая формула решения

$\boxed{x=\mathrm{arctg}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}}$

где $\mathrm{arctg}a$ — арктангенс числа $a$.

Что такое $\mathrm{arctg}a$? Это угол $\phi \in (-\pi /2;\pi /2)$, для которого $\mathrm{tg}\phi =a$. То есть «обратный тангенс». Из всех углов с тангенсом $a$ арктангенс выбирает один, лежащий в интервале $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Этот интервал называют главным значением арктангенса, и именно от него отсчитывается серия корней. Поэтому, записывая ответ, ты сначала находишь главное значение $\mathrm{arctg}a$, а потом добавляешь к нему все периоды $\pi n$.

Значения арктангенса (must know)

Свойство: $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}(a)$ — арктангенс нечётный.

Эти семь значений стоит выучить намертво: они покрывают почти все табличные уравнения с тангенсом в задании 13. Логика запоминания простая. Тангенс растёт от $0$ при угле $0$ к бесконечности у асимптоты $\frac{\pi }{2}$, проходя через ключевые точки: $\frac{1}{\sqrt{3}}$ в $\frac{\pi }{6}$, единицу в $\frac{\pi }{4}$ и $\sqrt{3}$ в $\frac{\pi }{3}$. Это та же тройка углов $\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{3}$, что и в таблице синусов с косинусами, только теперь они дают значения тангенса. Отрицательные значения получаются по нечётности, простым добавлением минуса.

Почему у тангенса всего одна серия

Сравни с синусом и косинусом: там у уравнения две серии корней, а у тангенса всего одна. Откуда разница?

У синуса горизонтальная прямая $y=a$ пересекает окружность в двух точках, и обе дают корень — отсюда две серии. У тангенса же значение повторяется уже через полоборота $\pi$, а не через полный оборот $2\pi$. Поэтому все корни укладываются в одну серию с шагом $\pi$: $\mathrm{arctg}a$, $\mathrm{arctg}a+\pi$, $\mathrm{arctg}a+2\pi$ и так далее. Не нужно искать «вторую точку» — её роль играет следующий член той же серии. Это делает уравнение с тангенсом самым простым из трёх: одна формула, одна серия, никакого выбора между ветками.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\mathrm{tg}x=1$.

Решение. Находим арктангенс правой части: $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$ (это табличное значение). Подставляем в общую формулу:

$x=\frac{\pi }{4}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Пишут период $2\pi n$ по аналогии с синусом. У тангенса период $\pi$, поэтому $\pi n$.

Ответ. $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$.

Решение. Нам нужен $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})$. Попробуй сам применить нечётность арктангенса: $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}a$.

Раскрытие: $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})=-\mathrm{arctg}\sqrt{3}=-\frac{\pi }{3}$. Подставляем в формулу:

$x=-\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Записывают $\mathrm{arctg}(-\sqrt{3})=\pi -\frac{\pi }{3}$ по аналогии с арккосинусом. У арктангенса нечётность, а не такое свойство: знак просто выносится.

Ответ. $x=-\frac{\pi }{3}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\mathrm{tg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ и найди корни на отрезке $[0;2\pi ]$.

Решение.

Шаг 1. Найди арктангенс. Спроси себя: при каком угле тангенс равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$? Это $\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$. Общее решение $x=\frac{\pi }{6}+\pi n$.

Шаг 2. Отбери корни на $[0;2\pi ]$. Спроси себя: какие $n$ дают корень в отрезке? При $n=0$: $x=\frac{\pi }{6}\approx 0,52$ — входит. При $n=1$: $x=\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}\approx 3,67$ — входит. При $n=2$: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi \approx 6,81>2\pi$ — не входит.

Типичная ошибка. Проверяют только $n=0$ и теряют второй корень $\frac{7\pi }{6}$. На отрезке длиной $2\pi$ у тангенса (период $\pi$) обычно два корня.

Ответ. на отрезке $[0;2\pi ]$ корни $x=\frac{\pi }{6}$ и $x=\frac{7\pi }{6}$.

Уравнения вида tg(kx + b) = a

Если в уравнении не просто $\mathrm{tg}x$, а $\mathrm{tg}(kx+b)$, действуем так:

1. Сделать замену $y=kx+b$.
2. Решить $\mathrm{tg}y=a$ → $y=\mathrm{arctg}a+\pi n$.
3. Подставить обратно: $kx+b=\mathrm{arctg}a+\pi n$.
4. Выразить $x$.

Пример. $\mathrm{tg}(2x-\pi /4)=1$.

$2x-\pi /4=\pi /4+\pi n\Rightarrow 2x=\pi /2+\pi n\Rightarrow x=\pi /4+\pi n/2$.

Обрати внимание на последний шаг: когда мы делили на коэффициент $k=2$, период серии тоже разделился на 2, превратившись из $\pi n$ в $\frac{\pi n}{2}$. Это общее правило: коэффициент при $x$ внутри тангенса сжимает период серии решений во столько же раз. Если бы внутри стоял $\mathrm{tg}3x$, период серии стал бы $\frac{\pi n}{3}$. Проверить себя легко: период серии должен совпадать с периодом самой функции $\mathrm{tg}(kx+b)$, который равен $\frac{\pi }{k}$.

График тангенса и решение уравнения

Полезно держать в голове график $y=\mathrm{tg}x$. Он состоит из отдельных ветвей, каждая на своём промежутке $\left(-\frac{\pi }{2}+\pi k;\frac{\pi }{2}+\pi k\right)$. На каждой ветви тангенс монотонно растёт от $-\infty$ до $+\infty$, а между ветвями стоят вертикальные асимптоты в точках $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, где тангенс не определён.

Решение уравнения $\mathrm{tg}x=a$ на этом графике — это точки пересечения с горизонтальной прямой $y=a$. Поскольку каждая ветвь пробегает все значения от $-\infty$ до $+\infty$, прямая $y=a$ пересекает ровно одну точку на каждой ветви. Точки повторяются через период $\pi$, и все они складываются в одну серию $\mathrm{arctg}a+\pi n$. Этот образ объясняет, почему у уравнения с тангенсом одна серия и почему она существует при любом $a$: прямая всегда найдёт по одной точке на каждой ветви, как высоко или низко её ни проведи.

ОДЗ уравнения с тангенсом

$\mathrm{tg}x$ не определён, когда $\cos x=0$, то есть при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$. Если в задаче есть отбор корней или тангенс получился в результате преобразований, эти точки нужно держать в уме и при необходимости исключать.

В уравнениях вида $\mathrm{tg}x=a$ всё складывается автоматически: $\mathrm{arctg}a$ всегда лежит строго внутри $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, поэтому серия $\mathrm{arctg}a+\pi n$ никогда не совпадает с запрещёнными точками $\frac{\pi }{2}+\pi k$. Корни сами по себе попадают в ОДЗ, и дополнительной проверки не требуется. Но если тангенс появился из деления (например, при решении однородного уравнения), проверка ОДЗ становится обязательной: там можно случайно поделить на ноль.

Применение в задаче 13 ЕГЭ

Задача 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней на отрезке. Часто это уравнение типа $\mathrm{tg}x=a$ или сводится к нему через однородные уравнения, метод деления или замену. Уравнение с тангенсом редко встречается «в чистом виде», но оно постоянно возникает как финальный шаг более сложных задач. Например, после деления однородного уравнения на ${\cos }^{2}x$ ты получаешь именно $\mathrm{tg}x=a$, и дальше всё решается по формуле этой темы. Поэтому уверенное владение простейшим уравнением с тангенсом — это фундамент для половины задания 13.

Пример из реальной задачи.

«Решите уравнение $\mathrm{tg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$. Найдите все корни на отрезке $[-\pi ;\pi /2]$.»

Шаг 1. $\mathrm{arctg}(-1/\sqrt{3})=-\pi /6$. Общее решение: $x=-\pi /6+\pi n$.

Шаг 2. Отбор:

• $n=0$: $x=-\pi /6\approx -0,52$. На $[-\pi ;\pi /2]$? $-\pi \approx -3,14$, $\pi /2\approx 1,57$. $-\pi /6$ входит. ✓
• $n=-1$: $x=-\pi /6-\pi =-7\pi /6\approx -3,66$. На отрезке? $-3,66<-3,14$. Нет.
• $n=1$: $x=-\pi /6+\pi =5\pi /6\approx 2,62$. На отрезке? $2,62>1,57$. Нет.

Подходит только $x=-\pi /6$.

Распространённые ошибки

1. Писать $x=\mathrm{arctg}a+2\pi n$ вместо $\pi n$. Период тангенса — $\pi$, не $2\pi$. Если поставить $2\pi$, потеряешь половину корней.

2. Считать, что $\mathrm{tg}x=a$ имеет решения только при $|a|\le 1$. Это для $\sin$ и $\cos$. Для $\mathrm{tg}$ — для любого $a$.

3. Забыть знак при $\mathrm{arctg}(-a)$. Правильно $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}(a)$, потому что арктангенс нечётный. Не путай с арккотангенсом, у которого $\mathrm{arcctg}(-a)=\pi -\mathrm{arcctg}(a)$ — там другая формула.

4. В задаче с отбором проверять только $n=0,1,-1$. Иногда нужно $n=2$ или $n=-2$. Перебирай столько, сколько нужно для покрытия отрезка.

5. Путать $\mathrm{arctg}a$ и $1/\mathrm{tg}a$. $\mathrm{arctg}a$ — это угол, для которого тангенс равен $a$. $1/\mathrm{tg}a=\mathrm{ctg}a$ — обратное число к тангенсу угла $a$. Совершенно разное.

6. Не разделить период при коэффициенте $k$. В уравнении $\mathrm{tg}(kx+b)=a$ период серии равен $\frac{\pi n}{k}$, а не $\pi n$. Забыл разделить — потерял корни.

Большинство этих ошибок объединяет одна причина: ученик решает уравнение с тангенсом по аналогии с синусом, а у них разные свойства. Период разный ($\pi$ против $2\pi$), число серий разное (одна против двух), ограничения на правую часть разные (любое $a$ против $|a|\le 1$). Запомни эти три отличия, и большая часть ошибок отпадёт сама.

Разобранный пример (задание 13 ЕГЭ)

Условие. Решите уравнение $\mathrm{tg}(x+\pi /3)=\sqrt{3}$. Укажите корни на отрезке $[0;2\pi ]$.

Решение. Сделаем замену: $y=x+\pi /3$. Уравнение: $\mathrm{tg}y=\sqrt{3}$.

$\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\pi /3$. Решение: $y=\pi /3+\pi n$.

Возвращаемся: $x+\pi /3=\pi /3+\pi n\Rightarrow x=\pi n$.

Отбор на $[0;2\pi ]$:

• $n=0$: $x=0$. ✓
• $n=1$: $x=\pi$. ✓
• $n=2$: $x=2\pi$. ✓
• Вне отрезка нет.

Ответ. $x\in \{0,\pi ,2\pi \}$.

В этом примере замена $y=x+\frac{\pi }{3}$ упростила уравнение, а сдвиг $\frac{\pi }{3}$ удачно сократился при возврате к $x$. Так бывает не всегда: чаще сдвиг остаётся в ответе и влияет на отбор. Главное — не потерять его при обратной подстановке. Аккуратная работа с заменой и обратной подстановкой — половина успеха в уравнениях вида $\mathrm{tg}(kx+b)=a$, потому что именно здесь чаще всего теряют корни или сбивают период.

Что запомнить

Уравнение $\mathrm{tg}x=a$ решается одной формулой $x=\mathrm{arctg}a+\pi n$ и работает для любого числа $a$, без ограничений. Период серии $\pi$, а не $2\pi$, потому что тангенс повторяется через полоборота. Серия всего одна, без второй ветки, в отличие от синуса и косинуса. Арктангенс лежит в интервале $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ и нечётен: $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}a$. Для уравнений с коэффициентом $\mathrm{tg}(kx+b)=a$ не забывай делить период серии на $k$. Краткий список:

• Формула: $x=\mathrm{arctg}a+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.
• Решения существуют для любого $a$.
• Период $\pi$, не $2\pi$.
• $\mathrm{arctg}a\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.
• $\mathrm{arctg}(-a)=-\mathrm{arctg}(a)$.
• Стандартные значения: $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$, $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$, $\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi }{6}$.

Связь с другими темами

• Уравнение ctg x = a — пара к данному.
• Тригонометрические уравнения — общий метод.
• Арксинус, арккосинус, арктангенс — теория обратных функций.
• Отбор корней — для задачи 13.