Векторы: операции, координаты, скалярное произведение

Векторы — тема задания 2 ЕГЭ профиль. Один балл, одна задача: вычислить скалярное произведение, найти угол или координаты. Разберём все ключевые операции с примерами.

Определение вектора

Вектор — направленный отрезок: есть начало, конец и направление. Вектор $\overrightarrow{AB}$: начало в $A$, конец в $B$.

• Нулевой вектор $\vec{0}$: начало и конец совпадают, длина равна нулю.
• Равные векторы: одинаковые длина и направление (начало может отличаться).
• Коллинеарные векторы (для ненулевых $\vec{a}$): $\vec{b}=\lambda \vec{a}$ для некоторого $\lambda$.

Операции с векторами

Сложение

Правило треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго. Сумма — вектор от начала первого до конца второго.

Правило параллелограмма: оба вектора отложены от одной точки. Сумма — диагональ параллелограмма.

Вычитание

$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$

Геометрически: если $\vec{a}=\overrightarrow{OA}$ и $\vec{b}=\overrightarrow{OB}$, то $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}$.

Умножение на число

$\lambda \vec{a}$: длина увеличивается в $|\lambda |$ раз. При $\lambda >0$ направление сохраняется, при $\lambda <0$ — меняется на противоположное.

Координаты вектора

В системе координат с базисными векторами $\overrightarrow{e_1}=(1,0)$ и $\overrightarrow{e_2}=(0,1)$:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$

Важно: координаты вектора = «конец минус начало». Не наоборот.

Операции в координатах: $\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\lambda \vec{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1)$

Длина вектора

$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$

Это формула расстояния от начала до конца вектора (теорема Пифагора).

Скалярное произведение

$\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \phi$

где $\phi$ — угол между векторами ($0°\le \phi \le 180°$).

Следствие: $\cos \phi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$

Перпендикулярность: $\vec{a}\perp \vec{b}\iff \vec{a}\cdot \vec{b}=0$.

Разборы задач

Пример 1: угол между векторами

Условие. Точки $A(1,2)$, $B(5,6)$, $C(3,8)$. Найди угол $\angle BAC$.

Решение. $\overrightarrow{AB}=(4,4),\overrightarrow{AC}=(2,6)$ $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{32}=4\sqrt{2},|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=4\cdot 2+4\cdot 6=8+24=32$ $\cos \angle BAC=\frac{32}{4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{10}}=\frac{32}{8\sqrt{20}}=\frac{32}{16\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Пример 2: проверка перпендикулярности

Условие. $\vec{a}=(3,4)$, $\vec{b}=(-4,3)$. Перпендикулярны ли векторы?

Решение. $\vec{a}\cdot \vec{b}=3\cdot (-4)+4\cdot 3=-12+12=0$. Да, перпендикулярны.

Дополнительно: $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=5$ — оба единичные пятёрки (пифагорова тройка 3-4-5).

Пример 3: прямой угол в треугольнике

Условие. Точки $K(2,1)$, $L(6,3)$, $M(4,7)$. Является ли угол $\angle KLM$ прямым?

Решение. $\overrightarrow{LK}=(2-6,1-3)=(-4,-2),\overrightarrow{LM}=(4-6,7-3)=(-2,4)$ $\overrightarrow{LK}\cdot \overrightarrow{LM}=(-4)(-2)+(-2)(4)=8-8=0$

Скалярное произведение равно нулю → $\angle KLM=90°$. Да, прямой.

Задания 1 и 2 ЕГЭ

Задание 2 — базовый уровень, 1 балл: «Векторы: скалярное произведение, координаты». Типовые задачи: найди скалярное произведение, найди угол между векторами, найди длину вектора.

Задание 1 — планиметрия базовая. Координатный метод с векторами применяется редко, но иногда удобен для нахождения расстояния через длину вектора.

Типичные ошибки

Перепутать порядок (начало и конец). $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$ — конец минус начало. Не $A-B$.

Неправильный знак при вычитании отрицательного. $3-(-1)=4$, а не 2. При вычислении координат вектора с отрицательными координатами точек — аккуратно со знаками.

Путать скалярное произведение с длиной. $|\vec{a}{|}^2=\vec{a}\cdot \vec{a}=x^2+y^2$. Скалярное произведение двух разных векторов — не всегда положительное.