Векторы: операции, координаты, скалярное произведение

Векторы — тема задания 2 ЕГЭ профиль. Один балл, одна задача: вычислить скалярное произведение, найти угол или координаты. Разберём все ключевые операции с примерами.

Определение вектора

Вектор — направленный отрезок: есть начало, конец и направление. Вектор $\vec{AB}$: начало в $A$, конец в $B$.

• Нулевой вектор $\vec{0}$: начало и конец совпадают, длина равна нулю.
• Равные векторы: одинаковые длина и направление (начало может отличаться).
• Коллинеарные векторы (для ненулевых $\vec{a}$): $\vec{b} = \lambda \vec{a}$ для некоторого $\lambda$.

Операции с векторами

Сложение

Правило треугольника: конец первого вектора совпадает с началом второго. Сумма — вектор от начала первого до конца второго.

Правило параллелограмма: оба вектора отложены от одной точки. Сумма — диагональ параллелограмма.

Вычитание

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$

Геометрически: если $\vec{a} = \vec{OA}$ и $\vec{b} = \vec{OB}$, то $\vec{a} - \vec{b} = \vec{BA}$.

Умножение на число

$\lambda \vec{a}$: длина увеличивается в $|\lambda|$ раз. При $\lambda > 0$ направление сохраняется, при $\lambda < 0$ — меняется на противоположное.

Координаты вектора

В системе координат с базисными векторами $\vec{e_1} = (1, 0)$ и $\vec{e_2} = (0, 1)$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)$

Важно: координаты вектора = «конец минус начало». Не наоборот.

Операции в координатах: $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2,\ y_1 + y_2), \quad \lambda \vec{a} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1)$

Длина вектора

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Это формула расстояния от начала до конца вектора (теорема Пифагора).

Скалярное произведение

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\varphi$

где $\varphi$ — угол между векторами ($0° \leq \varphi \leq 180°$).

Следствие: $\cos\varphi = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Перпендикулярность: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Разборы задач

Пример 1: угол между векторами

Условие. Точки $A(1,2)$, $B(5,6)$, $C(3,8)$. Найди угол $\angle BAC$.

Решение. $\vec{AB} = (4, 4), \quad \vec{AC} = (2, 6)$ $|\vec{AB}| = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}, \quad |\vec{AC}| = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ $\vec{AB}\cdot\vec{AC} = 4\cdot2 + 4\cdot6 = 8 + 24 = 32$ $\cos\angle BAC = \frac{32}{4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{10}} = \frac{32}{8\sqrt{20}} = \frac{32}{16\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Пример 2: проверка перпендикулярности

Условие. $\vec{a} = (3,4)$, $\vec{b} = (-4,3)$. Перпендикулярны ли векторы?

Решение. $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3\cdot(-4) + 4\cdot3 = -12+12 = 0$. Да, перпендикулярны.

Дополнительно: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 5$ — оба единичные пятёрки (пифагорова тройка 3-4-5).

Пример 3: прямой угол в треугольнике

Условие. Точки $K(2,1)$, $L(6,3)$, $M(4,7)$. Является ли угол $\angle KLM$ прямым?

Решение. $\vec{LK} = (2-6, 1-3) = (-4, -2), \quad \vec{LM} = (4-6, 7-3) = (-2, 4)$ $\vec{LK}\cdot\vec{LM} = (-4)(-2) + (-2)(4) = 8 - 8 = 0$

Скалярное произведение равно нулю → $\angle KLM = 90°$. Да, прямой.

Задания 1 и 2 ЕГЭ

Задание 2 — базовый уровень, 1 балл: «Векторы: скалярное произведение, координаты». Типовые задачи: найди скалярное произведение, найди угол между векторами, найди длину вектора.

Задание 1 — планиметрия базовая. Координатный метод с векторами применяется редко, но иногда удобен для нахождения расстояния через длину вектора.

Типичные ошибки

Перепутать порядок (начало и конец). $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$ — конец минус начало. Не $A - B$.

Неправильный знак при вычитании отрицательного. $3 - (-1) = 4$, а не 2. При вычислении координат вектора с отрицательными координатами точек — аккуратно со знаками.

Путать скалярное произведение с длиной. $|\vec{a}|^2 = \vec{a}\cdot\vec{a} = x^2 + y^2$. Скалярное произведение двух разных векторов — не всегда положительное.