В чём разница теорем Пифагора и косинусов?

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов при $\gamma = 90°$, когда $\cos 90° = 0$, и поправочный член $-2ab\cos\gamma$ обнуляется. Пифагор работает только в прямоугольном треугольнике, косинусов — в любом.

Как найти угол по трём сторонам?

По формуле $\cos\gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $\gamma$ — угол напротив стороны $c$. Найдя косинус, используешь арккосинус или табличные значения для восстановления угла.

Почему если $\cos\gamma < 0$, угол тупой?

Косинус отрицателен в интервале $(90°; 180°)$ — во второй четверти на единичной окружности. Значит, если формула дала $\cos\gamma < 0$, угол лежит в этом промежутке, то есть тупой.

Можно ли применять теорему косинусов в прямоугольном треугольнике?

Да, но удобнее Пифагор — в нём $\cos 90° = 0$, и поправочный член исчезает. Теорема косинусов для прямого угла даёт $c^2 = a^2 + b^2$ — то же, что Пифагор.

Что такое угол между сторонами?

Угол, образованный двумя сторонами, имеющими общую вершину. В треугольнике $ABC$ угол между сторонами $AB$ и $AC$ — это угол при вершине $A$. Важно чётко различать, какая сторона лежит против какого угла.

Против какой стороны — какой угол?

В треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ и углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ принято: сторона $a$ лежит напротив угла $\alpha$, сторона $b$ — напротив $\beta$, сторона $c$ — напротив $\gamma$. В теореме косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ угол $\gamma$ — между сторонами $a$ и $b$, напротив стороны $c$.

Как связаны теоремы косинусов и синусов?

Две теоремы вместе позволяют полностью описать треугольник, если известны любые три элемента (кроме трёх углов). Косинусов — для нахождения сторон по сторонам и углам; синусов — для связи сторон с противолежащими углами и радиусом описанной окружности.

Зачем нужна теорема косинусов в задании 16?

Для вычисления сторон и углов в произвольных треугольниках — не прямоугольных. Это встречается в задачах на вписанные и описанные окружности, в задачах о высотах и биссектрисах, в конфигурациях из нескольких треугольников.

Теорема косинусов — формула, доказательство и задачи ЕГЭ

Q: Когда применять теорему косинусов?

Когда даны две стороны и угол между ними (и нужно найти третью сторону) или даны три стороны (и нужно найти любой угол). Теорема работает в любом треугольнике — прямоугольном, остроугольном или тупоугольном. Это ключевая формула планиметрии для задания 16.

Q: Почему если $\cos\gamma < 0$, угол тупой?

Косинус отрицателен в интервале $(90°; 180°)$ — во второй четверти на единичной окружности. Значит, если формула дала $\cos\gamma < 0$, угол лежит в этом промежутке, то есть тупой.

Q: Можно ли применять теорему косинусов в прямоугольном треугольнике?

Да, но удобнее Пифагор — в нём $\cos 90° = 0$, и поправочный член исчезает. Теорема косинусов для прямого угла даёт $c^2 = a^2 + b^2$ — то же, что Пифагор.

Q: Что такое угол между сторонами?

Угол, образованный двумя сторонами, имеющими общую вершину. В треугольнике $ABC$ угол между сторонами $AB$ и $AC$ — это угол при вершине $A$. Важно чётко различать, какая сторона лежит против какого угла.

Q: Против какой стороны — какой угол?

В треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ и углами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ принято: сторона $a$ лежит напротив угла $\alpha$, сторона $b$ — напротив $\beta$, сторона $c$ — напротив $\gamma$. В теореме косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ угол $\gamma$ — между сторонами $a$ и $b$, напротив стороны $c$.

Q: Как связаны теоремы косинусов и синусов?

Две теоремы вместе позволяют полностью описать треугольник, если известны любые три элемента (кроме трёх углов). Косинусов — для нахождения сторон по сторонам и углам; синусов — для связи сторон с противолежащими углами и радиусом описанной окружности.

Q: Зачем нужна теорема косинусов в задании 16?

Для вычисления сторон и углов в произвольных треугольниках — не прямоугольных. Это встречается в задачах на вписанные и описанные окружности, в задачах о высотах и биссектрисах, в конфигурациях из нескольких треугольников.

Q: Применима ли теорема косинусов в трёхмерной геометрии?

Да, в любом плоском треугольнике в пространстве. Если в задании 14 (стереометрия) нужно найти сторону или угол треугольника, лежащего в наклонной плоскости, теорема косинусов работает так же, как на плоскости.

Теорема косинусов — это обобщение Пифагора на любой треугольник. Когда угол $\gamma = 90°$ , $\cos\gamma = 0$ и формула превращается в Пифагора. Во всех остальных случаях добавляется «поправка» $-2ab\cos\gamma$ . Разберём, как её применять в двух направлениях: найти сторону и найти угол.

Треугольник ABC со сторонами a = 5, b = 8 и углом C = 60° между ними. Противолежащая сторона c = 7 подсвечена акцентом. — Угол C между сторонами a и b определяет третью сторону c.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Для нашего треугольника: $c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 89 - 40 = 49$ , значит $c = 7$ .

Формулировка теоремы

В произвольном треугольнике со сторонами $a$ , $b$ , $c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$ :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Расшифровка:

$a$ , $b$ — две стороны треугольника;
$c$ — сторона, лежащая напротив угла $\gamma$ ;
$\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$ .

Формула работает для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного, тупоугольного. Единственное требование: угол $\gamma$ должен быть именно между сторонами $a$ и $b$ .

Связь с теоремой Пифагора

При $\gamma = 90°$ косинус равен нулю:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2$

Это и есть теорема Пифагора. Поэтому теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора — она работает в любом треугольнике, а Пифагор — только в прямоугольном.

Доказательство через координаты

Разместим треугольник в декартовой системе координат: вершину угла $\gamma$ — в начале координат, сторону $a$ — вдоль оси OX. Тогда координаты вершин:

$A(0; 0)$ — вершина угла $\gamma$ ;
$B(a; 0)$ — конец стороны $a$ на оси OX;
$C(b\cos\gamma; b\sin\gamma)$ — конец стороны $b$ , полученной из $A$ поворотом на угол $\gamma$ .

Сторона $c$ — расстояние между $B$ и $C$ :

$c^2 = (a - b\cos\gamma)^2 + (b\sin\gamma)^2$

Раскрываем:

$c^2 = a^2 - 2ab\cos\gamma + b^2\cos^2\gamma + b^2\sin^2\gamma$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$ :

$c^2 = a^2 - 2ab\cos\gamma + b^2(\cos^2\gamma + \sin^2\gamma) = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$

Что и требовалось доказать.

Формула для нахождения угла

Если известны все три стороны треугольника, из теоремы косинусов можно найти любой угол. Выразим $\cos\gamma$ :

$\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

После нахождения косинуса угол восстанавливается через арккосинус или по таблице (если значение $\cos\gamma$ «красивое», как $1/2$ , $\sqrt{2}/2$ , $\sqrt{3}/2$ ).

Когда применять теорему косинусов

Два типичных сценария:

Сценарий 1. Даны две стороны и угол между ними. Ищешь третью сторону:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma}$

Сценарий 2. Даны три стороны. Ищешь любой угол:

$\gamma = \arccos\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$

Если в задаче даны сторона и два угла — выгоднее использовать теорему синусов (см. теорему синусов).

Знак косинуса и вид угла

Знак косинуса в результате подсчёта сразу говорит о виде угла:

$\cos\gamma > 0$ — угол острый (меньше $90°$ );
$\cos\gamma = 0$ — угол прямой ( $90°$ );
$\cos\gamma < 0$ — угол тупой (больше $90°$ );
$\cos\gamma = -1$ — угол $180°$ (вырожденный треугольник);
$\cos\gamma = 1$ — угол $0°$ (тоже вырожденный).

Если при вычислении ты получил $|\cos\gamma| > 1$ — это признак ошибки: либо арифметической, либо в условии задачи (треугольник не может существовать).

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). В треугольнике стороны $a = 5$ , $b = 7$ , угол $\gamma = 60°$ между ними. Найди сторону $c$ .

Решение. По теореме косинусов:

$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°$

$= 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 74 - 35 = 39$

Значит $c = \sqrt{39}$ .

Ответ: $c = \sqrt{39}$ .

Типичная ошибка. Забыть, что $\cos 60° = 1/2$ . Табличные значения косинуса (для $0°$ , $30°$ , $45°$ , $60°$ , $90°$ , $120°$ , $180°$ ) нужно помнить наизусть.

Пример 2 (уровень Б). Стороны треугольника 4, 5, 6. Найди наибольший угол.

Решение. Наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны ( $c = 6$ ). Применим формулу:

$\cos\gamma = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$

Значит $\gamma = \arccos\frac{1}{8}$ . Это «некрасивое» значение — в ответе так и пишем.

Ответ: $\gamma = \arccos\frac{1}{8}$ .

Типичная ошибка. Перепутать, какая сторона против какого угла. В формуле $\cos\gamma$ выражается через стороны вокруг $\gamma$ минус квадрат стороны напротив — $a^2 + b^2 - c^2$ , где $c$ напротив $\gamma$ .

Пример 3 (уровень В). В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB = 8$ и $AD = 6$ , угол $BAD = 60°$ . Найди диагонали $AC$ и $BD$ .

Решение. Диагональ $AC$ — сторона треугольника $ABC$ напротив угла $B$ . Угол $B$ в параллелограмме — смежный с углом $A$ , значит $\angle B = 180° - 60° = 120°$ .

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 8$ , $BC = AD = 6$ (противоположные стороны параллелограмма равны), угол между ними $\angle B = 120°$ . Применяем теорему косинусов:

$AC^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 120°$

$= 64 + 36 - 96 \cdot (-\frac{1}{2}) = 100 + 48 = 148$

Значит $AC = 2\sqrt{37}$ .

Диагональ $BD$ — сторона треугольника $ABD$ напротив угла $A$ . В $ABD$ стороны $AB = 8$ , $AD = 6$ , угол между ними $\angle A = 60°$ :

$BD^2 = 64 + 36 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52$

Значит $BD = 2\sqrt{13}$ .

Ответ: $AC = 2\sqrt{37}$ , $BD = 2\sqrt{13}$ .

Типичная ошибка. Применить один и тот же угол $60°$ для обеих диагоналей. В параллелограмме смежные углы разные — это ключевой момент.

Типичные ошибки

Путать знак $-2ab\cos\gamma$ . В формуле всегда минус. Если угол острый — поправочный член вычитается из суммы квадратов, $c$ меньше, чем по Пифагору. Если тупой — косинус отрицателен, минус на минус даёт плюс, и $c$ больше.
Брать не тот угол. В формуле $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ угол $\gamma$ именно между сторонами $a$ и $b$ , и сторона $c$ напротив него. Перепутать — получить неверный ответ.
Ошибаться со знаком при тупом угле. Если $\gamma$ тупой, $\cos\gamma < 0$ . Минус перед $2ab\cos\gamma$ в сочетании с отрицательным косинусом даёт плюс. Будь внимателен к двойному знаку.
Использовать теорему в случае, когда дано два угла. Теорема косинусов хорошо работает с парой «стороны + угол между ними» или «три стороны». Если даны два угла и одна сторона — быстрее теорема синусов.
Забывать таблицу косинусов. $\cos 0° = 1$ , $\cos 30° = \sqrt{3}/2$ , $\cos 45° = \sqrt{2}/2$ , $\cos 60° = 1/2$ , $\cos 90° = 0$ , $\cos 120° = -1/2$ , $\cos 180° = -1$ . Это базовые значения для ЕГЭ.

Связь с другими темами

Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов для прямоугольного треугольника. Запомни: Пифагор — для $\gamma = 90°$ , косинусов — для любого угла.
Теорема синусов — вторая ключевая теорема планиметрии. Вместе с косинусов покрывает все случаи треугольника.
Площадь треугольника — связана через синус того же угла: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 1 (планиметрия базовая) — простое прямое применение: две стороны, угол между ними, найти третью сторону.
Задание 16 (планиметрия повышенного уровня) — теорема работает в сложных конфигурациях с окружностями, в произвольных треугольниках, в связке с теоремой синусов.

Теорема косинусов также встречается в задании 14 стереометрии, когда нужно найти сторону или угол треугольника, лежащего в наклонной плоскости.

Тренируй теорему косинусов

Сотик покажет задачи, где ты теряешь баллы

Начать бесплатно