Теорема косинусов — формула, доказательство и задачи ЕГЭ

Теорема косинусов — это обобщение Пифагора на любой треугольник. Когда угол $\gamma =90°$, $\cos \gamma =0$ и формула превращается в Пифагора. Во всех остальных случаях добавляется «поправка» $-2ab\cos \gamma$. Разберём, как её применять в двух направлениях: найти сторону и найти угол.

Для нашего треугольника: $c^2=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60°=89-40=49$, значит $c=7$.

Формулировка теоремы

В произвольном треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ и углом $\gamma$ между сторонами $a$ и $b$:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Расшифровка:

• $a$, $b$ — две стороны треугольника;
• $c$ — сторона, лежащая напротив угла $\gamma$;
• $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Формула работает для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного, тупоугольного. Единственное требование: угол $\gamma$ должен быть именно между сторонами $a$ и $b$.

Связь с теоремой Пифагора

При $\gamma =90°$ косинус равен нулю:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot 0=a^2+b^2$

Это и есть теорема Пифагора. Поэтому теорему косинусов иногда называют обобщённой теоремой Пифагора — она работает в любом треугольнике, а Пифагор — только в прямоугольном.

Доказательство через координаты

Разместим треугольник в декартовой системе координат: вершину угла $\gamma$ — в начале координат, сторону $a$ — вдоль оси OX. Тогда координаты вершин:

• $A(0;0)$ — вершина угла $\gamma$;
• $B(a;0)$ — конец стороны $a$ на оси OX;
• $C(b\cos \gamma ;b\sin \gamma )$ — конец стороны $b$, полученной из $A$ поворотом на угол $\gamma$.

Сторона $c$ — расстояние между $B$ и $C$:

$c^2=(a-b\cos \gamma {)}^2+(b\sin \gamma {)}^2$

Раскрываем:

$c^2=a^2-2ab\cos \gamma +b^2{\cos }^2\gamma +b^2{\sin }^2\gamma$

Используем основное тригонометрическое тождество ${\sin }^2\gamma +{\cos }^2\gamma =1$:

$c^2=a^2-2ab\cos \gamma +b^2({\cos }^2\gamma +{\sin }^2\gamma )=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$

Что и требовалось доказать.

Формула для нахождения угла

Если известны все три стороны треугольника, из теоремы косинусов можно найти любой угол. Выразим $\cos \gamma$:

$\cos \gamma =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

После нахождения косинуса угол восстанавливается через арккосинус или по таблице (если значение $\cos \gamma$ «красивое», как $1/2$, $\sqrt{2}/2$, $\sqrt{3}/2$).

Когда применять теорему косинусов

Два типичных сценария:

Сценарий 1. Даны две стороны и угол между ними. Ищешь третью сторону:

$c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos \gamma }$

Сценарий 2. Даны три стороны. Ищешь любой угол:

$\gamma =\arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Если в задаче даны сторона и два угла — выгоднее использовать теорему синусов (см. теорему синусов).

Знак косинуса и вид угла

Знак косинуса в результате подсчёта сразу говорит о виде угла:

• $\cos \gamma >0$ — угол острый (меньше $90°$);
• $\cos \gamma =0$ — угол прямой ($90°$);
• $\cos \gamma <0$ — угол тупой (больше $90°$);
• $\cos \gamma =-1$ — угол $180°$ (вырожденный треугольник);
• $\cos \gamma =1$ — угол $0°$ (тоже вырожденный).

Если при вычислении ты получил $|\cos \gamma |>1$ — это признак ошибки: либо арифметической, либо в условии задачи (треугольник не может существовать).

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). В треугольнике стороны $a=5$, $b=7$, угол $\gamma =60°$ между ними. Найди сторону $c$.

Решение. По теореме косинусов:

$c^2=5^2+7^2-2\cdot 5\cdot 7\cdot \cos 60°$

$=25+49-70\cdot \frac{1}{2}=74-35=39$

Значит $c=\sqrt{39}$.

Ответ: $c=\sqrt{39}$.

Типичная ошибка. Забыть, что $\cos 60°=1/2$. Табличные значения косинуса (для $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$, $120°$, $180°$) нужно помнить наизусть.

Пример 2 (уровень Б). Стороны треугольника 4, 5, 6. Найди наибольший угол.

Решение. Наибольший угол лежит напротив наибольшей стороны ($c=6$). Применим формулу:

$\cos \gamma =\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot 4\cdot 5}=\frac{16+25-36}{40}=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$

Значит $\gamma =\arccos \frac{1}{8}$. Это «некрасивое» значение — в ответе так и пишем.

Ответ: $\gamma =\arccos \frac{1}{8}$.

Типичная ошибка. Перепутать, какая сторона против какого угла. В формуле $\cos \gamma$ выражается через стороны вокруг $\gamma$ минус квадрат стороны напротив — $a^2+b^2-c^2$, где $c$ напротив $\gamma$.

Пример 3 (уровень В). В параллелограмме $ABCD$ стороны $AB=8$ и $AD=6$, угол $BAD=60°$. Найди диагонали $AC$ и $BD$.

Решение. Диагональ $AC$ — сторона треугольника $ABC$ напротив угла $B$. Угол $B$ в параллелограмме — смежный с углом $A$, значит $\angle B=180°-60°=120°$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AB=8$, $BC=AD=6$ (противоположные стороны параллелограмма равны), угол между ними $\angle B=120°$. Применяем теорему косинусов:

$A{C}^2=8^2+6^2-2\cdot 8\cdot 6\cdot \cos 120°$

$=64+36-96\cdot (-\frac{1}{2})=100+48=148$

Значит $AC=2\sqrt{37}$.

Диагональ $BD$ — сторона треугольника $ABD$ напротив угла $A$. В $ABD$ стороны $AB=8$, $AD=6$, угол между ними $\angle A=60°$:

$B{D}^2=64+36-96\cdot \frac{1}{2}=100-48=52$

Значит $BD=2\sqrt{13}$.

Ответ: $AC=2\sqrt{37}$, $BD=2\sqrt{13}$.

Типичная ошибка. Применить один и тот же угол $60°$ для обеих диагоналей. В параллелограмме смежные углы разные — это ключевой момент.

Типичные ошибки

1. Путать знак $-2ab\cos \gamma$. В формуле всегда минус. Если угол острый — поправочный член вычитается из суммы квадратов, $c$ меньше, чем по Пифагору. Если тупой — косинус отрицателен, минус на минус даёт плюс, и $c$ больше.
2. Брать не тот угол. В формуле $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$ угол $\gamma$ именно между сторонами $a$ и $b$, и сторона $c$ напротив него. Перепутать — получить неверный ответ.
3. Ошибаться со знаком при тупом угле. Если $\gamma$ тупой, $\cos \gamma <0$. Минус перед $2ab\cos \gamma$ в сочетании с отрицательным косинусом даёт плюс. Будь внимателен к двойному знаку.
4. Использовать теорему в случае, когда дано два угла. Теорема косинусов хорошо работает с парой «стороны + угол между ними» или «три стороны». Если даны два угла и одна сторона — быстрее теорема синусов.
5. Забывать таблицу косинусов. $\cos 0°=1$, $\cos 30°=\sqrt{3}/2$, $\cos 45°=\sqrt{2}/2$, $\cos 60°=1/2$, $\cos 90°=0$, $\cos 120°=-1/2$, $\cos 180°=-1$. Это базовые значения для ЕГЭ.

Связь с другими темами

• Теорема Пифагора — частный случай теоремы косинусов для прямоугольного треугольника. Запомни: Пифагор — для $\gamma =90°$, косинусов — для любого угла.
• Теорема синусов — вторая ключевая теорема планиметрии. Вместе с косинусов покрывает все случаи треугольника.
• Площадь треугольника — связана через синус того же угла: $S=\frac{1}{2}ab\sin \gamma$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 (планиметрия базовая) — простое прямое применение: две стороны, угол между ними, найти третью сторону.
• Задание 16 (планиметрия повышенного уровня) — теорема работает в сложных конфигурациях с окружностями, в произвольных треугольниках, в связке с теоремой синусов.

Теорема косинусов также встречается в задании 14 стереометрии, когда нужно найти сторону или угол треугольника, лежащего в наклонной плоскости.