Что такое логарифм: определение и почему ответ всегда один

Вклад в банке даёт 100% годовых, то есть каждый год сумма на счёте удваивается. Через сколько лет вклад вырастет ровно в восемь раз? Считать можно по годам: через год — вдвое, через два года — вчетверо, через три — в восемь раз. Ответ «три года» и есть логарифм: $\log_2 8 = 3$. Логарифм — это число, которое отвечает на вопрос «за сколько шагов степень доросла до нужного значения». Дальше — как оно устроено, откуда берётся и почему оно всегда только одно.

Какой вопрос на самом деле задаёт логарифм

Степень $a^c$ отвечает на понятный вопрос: что получится, если число $a$ умножить само на себя $c$ раз. В записи $2^3 = 8$ известны основание (2) и показатель (3), неизвестен только результат, и его легко посчитать прямым умножением.

Логарифм переворачивает эту же задачу. Известны основание и результат, а неизвестен показатель. В примере с банковским вкладом ты знаешь, что сумма растёт вдвое каждый год (основание 2), и хочешь получить восьмикратный рост (результат 8), а найти нужно количество лет, то есть показатель степени. Это число — логарифм 8 по основанию 2.

Заметь разницу между тремя похожими операциями со степенью $a^c = b$. Если неизвестно $b$ — это обычное возведение в степень, считается прямым умножением. Если неизвестно $a$ — это корень степени $c$ из $b$. Если неизвестно $c$ — это логарифм $b$ по основанию $a$. Три разных вопроса к одному равенству, и логарифм — только один из них, тот, что отвечает за показатель.

Определение логарифма

Формальная запись выглядит так:

Читается: «логарифм числа $b$ по основанию $a$ равен $c$» — и это то же самое, что «$a$ в степени $c$ равно $b$». Что означает каждая буква:

$a$ — основание логарифма. То же число, что и основание в записи $a^c$.

$b$ — аргумент логарифма, число под знаком $\log$. Это то, что нужно получить.

$c$ — сам логарифм, искомый показатель степени. Ответ на вопрос «в какую степень возвести $a$, чтобы получить $b$».

Например, $\log_5 125 = 3$, потому что $5^3 = 125$: основание 5, аргумент 125, логарифм (ответ) 3. Логарифм не обязан быть целым положительным числом: $\log_2 \dfrac{1}{4} = -2$, потому что $2^{-2} = \dfrac{1}{4}$.

Почему у этого вопроса всегда один ответ

Каждый раз, вычисляя логарифм, ты фактически решаешь уравнение $a^x = b$ относительно $x$. У этого уравнения обязано быть решение, и оно обязано быть единственным, иначе запись $\log_a b$ вообще не имела бы смысла как число. Разобраться в этом помогает график показательной функции $y = a^x$.

При $a > 1$ функция $y = a^x$ строго возрастает на всей числовой оси: чем больше $x$, тем больше $a^x$, без исключений и без «остановок». При $0 < a < 1$ функция строго убывает, но тоже без исключений. В обоих случаях функция никогда не повторяет одно и то же значение дважды, а значит, для каждого $b$ из области значений найдётся ровно один $x$, при котором $a^x = b$.

На рисунке $x = \log_a b$ — это единственное решение уравнения $a^x = b$ при $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$. Основание у подписи на оси не указано намеренно: оно то же самое $a$, что и у кривой.

Если бы показательная функция не была монотонной, одна и та же горизонталь $y = b$ могла бы пересекать график дважды или ни разу. Тогда у логарифма было бы либо два разных ответа на один вопрос, либо ни одного. Условие $a > 0$, $a \neq 1$ как раз и гарантирует ту строгую монотонность, которая делает логарифм осмысленным.

Похожая история с квадратным корнем: функция $y = x^2$ не монотонна на всей оси, сначала убывает, потом возрастает, поэтому у корня искусственно оставляют только неотрицательные значения, чтобы результат был однозначным. С показательной функцией так делать не нужно: она монотонна на всей области определения сама по себе, без дополнительных ограничений на $x$. Единственное, что приходится ограничивать, — это допустимые значения оснований и аргументов, о которых дальше.

Три условия ОДЗ логарифма

Чтобы запись $\log_a b$ вообще имела смысл, должны выполняться три условия одновременно: $a > 0$, $a \neq 1$, $b > 0$. Каждое из них не формальность, а прямое следствие того, как устроена показательная функция.

Основание больше нуля

Показательная функция $a^x$ определена для любого действительного $x$ только при положительном основании. У отрицательного основания степень с дробным показателем часто вообще не существует среди действительных чисел: например, $(-4)^{1/2}$ — это квадратный корень из $-4$, а такого действительного числа нет. Раз функция $a^x$ не определена на всей оси, она не может быть монотонной на всей оси, и логарифм по такому основанию не построить.

Основание не равно единице

Если $a = 1$, то $1^x = 1$ при любом $x$: функция вырождается в постоянную горизонтальную линию. Она перестаёт быть монотонной, и горизонталь $y = b$ либо совпадает с этой линией целиком (при $b = 1$, тогда подходит любой $x$), либо не пересекает её вовсе (при $b \neq 1$, тогда решений нет). Оба случая ломают единственность ответа, поэтому основание $1$ из логарифмов исключено.

Аргумент больше нуля

Область значений показательной функции $a^x$ при положительном основании — это всегда только положительные числа, какой бы ни была степень. Для $b \leq 0$ просто не существует такого $x$, чтобы $a^x = b$: вопрос «в какую степень возвести $a$, чтобы получить отрицательное число или ноль» не имеет ответа в принципе.

Особые значения и обозначения

Из самого определения сразу следуют три равенства, которые стоит помнить как факты, а не как формулы для заучивания:

Первое верно, потому что $a^0 = 1$ для любого допустимого основания: логарифм единицы по любому основанию равен нулю. Второе верно, потому что $a^1 = a$: логарифм самого основания по этому же основанию всегда единица. Третье называют основным логарифмическим тождеством. Если возвести основание в степень, равную логарифму, вернёшься к исходному аргументу — это то же определение, только записанное «с другой стороны»: сначала находишь показатель, потом сразу применяешь его обратно.

Для двух самых частых оснований придуманы отдельные обозначения без индекса. $\lg b$ — это $\log_{10} b$, десятичный логарифм. $\ln b$ — это $\log_e b$, натуральный логарифм, где $e \approx 2{,}718$ — особое число, которое ты ещё встретишь в начале анализа при работе с производной показательной функции. Обе записи — сокращения, все свойства логарифма у них работают так же, как и у $\log_a b$ с любым другим основанием.

Кроме этих трёх фактов у логарифма есть ещё пять рабочих свойств: как раскладывается логарифм произведения, частного, степени и как перейти к другому основанию. Они пригодятся, когда нужно вычислять и упрощать выражения посложнее самого простого $\log_a a^k$. Все пять свойств — в статье свойства логарифмов.

Как вычислить логарифм без калькулятора

Самый надёжный способ — вернуться к определению напрямую. Чтобы найти $\log_a b$, попробуй представить $b$ как степень числа $a$. Как только это получится, ответ — сам показатель.

Пример: $\log_3 81$. Раскладываешь $81 = 3^4$ (проверка: $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$), значит $\log_3 81 = 4$.

Если основание в аргументе не видно сразу, раскладывай число на множители. $\log_2 32$ не так очевиден, пока не заметишь, что $32 = 2^5$.

Держи в голове несколько опорных значений, которые встречаются в заданиях 6 и 7 почти всегда: $\log_2 2 = 1$, $\log_2 4 = 2$, $\log_2 8 = 3$, $\log_3 9 = 2$, $\log_5 25 = 2$, $\lg 10 = 1$, $\lg 100 = 2$. Когда такие значения узнаются сразу, вычисление занимает секунды, а не перебор вариантов.

Если хочешь довести вычисление логарифмов до автоматизма, в тренажёре ЕГЭ по математике короткие тренировки подбирают задачи под твой уровень и сразу показывают, где именно ты теряешь балл.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей сложностью: в первом всё показано, во втором один шаг оставлен тебе, в третьем — почти весь разбор за тобой.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Вычисли $\log_4 64$.

Решение. Представь $64$ как степень четвёрки: $64 = 4^3$ (проверка: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$). По определению логарифма $\log_4 64$ — это тот показатель, что даёт такое равенство, то есть $3$.

Ответ: $3$.

Типичная ошибка. Искать, в какую степень нужно возвести $64$, чтобы получить $4$, — это другая, неверная постановка вопроса. В $\log_a b$ в степень возводится основание $a$, а не аргумент $b$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг — сам). Найди $x$, если $\log_2 x = -3$.

Решение. По определению логарифма перепиши равенство в показательной форме: $x = 2^{-3}$. Осталось вычислить эту степень самостоятельно.

Типичная ошибка. Записать $x = -8$, перепутав отрицательный показатель степени со знаком самого числа. Отрицательная степень даёт дробь, а не отрицательное число.

Пример 3 (уровень В, костяк — сам). Реши уравнение $\log_5 (2x - 1) = 2$.

Решение (skeleton).

Шаг 1. Перепиши равенство в показательной форме. По определению логарифма $\log_5(2x-1) = 2$ означает, что пятёрка в квадрате равна аргументу. Запиши это равенство и посчитай правую часть сам.

Шаг 2. Реши получившееся линейное уравнение и проверь корень по ОДЗ. Аргумент логарифма $2x - 1$ обязан быть положительным — подставь найденный $x$ и убедись, что условие выполняется.

Типичная ошибка. Забыть проверить знак аргумента после решения линейного уравнения. Если бы уравнение дало отрицательное значение $2x - 1$, корень пришлось бы отбросить как посторонний, даже если алгебраически он выглядел правильно.

Типичные ошибки

1. Путают основание и аргумент. В записи $\log_a b$ в степень возводится основание $a$, а $b$ — то, что должно получиться. Перепутав их местами, получаешь совершенно другое число.
2. Забывают про ОДЗ. Логарифм существует только при положительном основании, отличном от единицы, и положительном аргументе. При решении уравнений с логарифмами найденные корни всегда сверяй с этими условиями.
3. Считают логарифм делением. $\log_a b$ — это не $b \div a$ и не другая прямая арифметика с этими двумя числами, а отдельная операция, обратная степени.
4. Не проверяют ответ обратной подстановкой. Самый надёжный способ убедиться в правильности — подставить найденное значение $c$ обратно в равенство $a^c = b$ и посчитать, сходится ли оно.
5. Путают отрицательный логарифм с несуществующим. Логарифм отрицательного аргумента не существует, а вот сам логарифм вполне может быть отрицательным числом, если аргумент меньше единицы. Это два разных случая, которые легко перепутать по невнимательности.

Связь с другими темами

• Свойства степеней — логарифм определяется через степень, и без свойств степеней в нём сложнее разобраться.
• Свойства показательной функции — монотонность этой функции гарантирует, что у логарифма всегда один ответ.
• Свойства логарифмов — пять формул для вычисления и упрощения выражений, следующий шаг после определения.
• Логарифмические уравнения — уравнения, где логарифм встречается уже не в чистом виде, а внутри более сложного выражения.
• Логарифмические неравенства — та же логика ОДЗ, но с учётом знака основания при сравнении.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Логарифм в чистом виде — это задание 6 и задание 7 профильного ЕГЭ, каждое на 1 балл из части 1.

В задании 6 чаще всего встречается простейшее логарифмическое уравнение вида $\log_a x = b$. Оно решается тем же определением, что разобрано выше: переписываешь в показательную форму и находишь $x = a^b$.

В задании 7 логарифм обычно встроен в числовое выражение вместе со степенями или дробями. Здесь уже пригодятся свойства логарифмов, а не только определение, но начинается решение всегда с того, что ты узнаёшь опорные значения по определению.