Свойства степеней: 7 правил с примерами

Свойства степеней — это базовый инструментарий алгебры. Без них нельзя решить показательные уравнения (задание 6), упростить выражения с корнями, работать с логарифмами. Семь правил, которые нужно знать наизусть.

7 свойств степеней

Пусть $a, b \neq 0$, $n, m$ — любые рациональные числа.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

При умножении — основание сохраняется, показатели складываются.

Пример: $3^5 \cdot 3^{-2} = 3^{5 + (-2)} = 3^3 = 27$.

2. Деление степеней с одинаковым основанием

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

При делении — показатель знаменателя вычитается.

Пример: $\dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$.

3. Возведение степени в степень

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Показатели перемножаются.

Пример: $(2^3)^4 = 2^{12} = 4096$.

4. Степень произведения

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Показатель распространяется на каждый множитель.

Пример: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

5. Степень частного

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Пример: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}$.

6. Степень с нулевым показателем

$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1.

Пример: $(-7)^0 = 1$, $\pi^0 = 1$.

7. Степень с отрицательным показателем

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Отрицательный показатель — это «перевернуть» дробь.

Пример: $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$. $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}$.

Рациональный показатель и корни

Дробные показатели — это запись корней через степень:

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \quad (a \geq 0)$

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Примеры:

$16^{1/2} = \sqrt{16} = 4, \quad 27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$

$8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$

Это свойство критически важно для задания 6: многие выражения с корнями проще считать через дробные показатели.

Разбор примеров ЕГЭ

Пример 1 (уровень А). Упрости: $\dfrac{x^5 \cdot x^{-2}}{x^3}$.

Решение.

Числитель: $x^5 \cdot x^{-2} = x^{5-2} = x^3$.

Дробь: $\dfrac{x^3}{x^3} = x^0 = 1$.

Ответ: $1$.

Пример 2 (уровень Б). Вычисли: $\left(\dfrac{4}{9}\right)^{-3/2}$.

Решение.

Отрицательный показатель — переворачиваем дробь: $\left(\dfrac{9}{4}\right)^{3/2}$.

Дробный показатель: $\left(\dfrac{9}{4}\right)^{3/2} = \left(\sqrt{\dfrac{9}{4}}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{8}$.

Ответ: $\dfrac{27}{8}$.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $4^x = 8^{x-1}$.

Решение.

Приводим к одному основанию $2$: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$.

$2^{2x} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x - 3}$

Основания равны — приравниваем показатели:

$2x = 3x - 3 \Rightarrow x = 3$

Ответ: $x = 3$.

Таблица свойств для быстрой проверки

Частые ошибки

1. Складывать степени при умножении разных оснований. $2^3 \cdot 3^2 \neq 6^5$. Правило работает только при одинаковых основаниях.
2. Перемножать показатели при умножении. $a^3 \cdot a^4 = a^7$, а не $a^{12}$. Перемножаются только при возведении в степень — $(a^3)^4 = a^{12}$.
3. Не учитывать знак при отрицательных основаниях. $(-2)^3 = -8$, а не $8$. Нечётная степень отрицательного числа — отрицательна.
4. Ошибаться с дробными показателями. $8^{2/3}$ — это $(\sqrt[3]{8})^2 = 4$, а не $\sqrt[2]{8}$.

Связь с другими темами

• Свойства логарифмов — логарифм и степень — взаимообратные операции, свойства параллельны.
• Показательные уравнения — решаются напрямую через свойства степеней.
• Квадратные уравнения — возникают при замене переменной в показательных уравнениях.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 — вычисление выражений со степенями, решение показательных уравнений.