Свойства степеней: 7 правил с примерами

Свойства степеней — это базовый инструментарий алгебры. Без них нельзя решить показательные уравнения (задание 6), упростить выражения с корнями, работать с логарифмами. Семь правил, которые нужно знать наизусть — но не просто заучить, а понять, откуда они берутся. Тогда даже если правило вылетит из головы на экзамене, ты восстановишь его за десять секунд.

Степень $a^n$ при натуральном $n$ — это просто короткая запись многократного умножения: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ раз}}$. Все семь свойств — прямые следствия этой записи. Сначала разберём каждое правило с примером, потом покажем, как они выводятся, и в конце отработаем на задачах ЕГЭ уровня задания 6.

7 свойств степеней

Пусть $a, b \neq 0$, $n, m$ — любые рациональные числа. Эти ограничения важны: для отрицательных оснований с дробными показателями степень может быть не определена, поэтому в большинстве задач основание считают положительным.

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$

При умножении — основание сохраняется, показатели складываются. Логика очевидна: если перемножить $a$ пять раз и ещё три раза, то всего множитель $a$ встретится восемь раз. Это самое используемое свойство — именно оно лежит в основе решения почти всех показательных уравнений.

Пример: $3^5 \cdot 3^{-2} = 3^{5 + (-2)} = 3^3 = 27$.

2. Деление степеней с одинаковым основанием

$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$

При делении — показатель знаменателя вычитается. Это зеркало правила умножения: раз при умножении показатели складываются, то при делении (обратной операции) они вычитаются. Важно: основание должно быть одинаковым и ненулевым — на ноль делить нельзя, поэтому $a \neq 0$.

Пример: $\dfrac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625$.

3. Возведение степени в степень

$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$

Показатели перемножаются. Здесь легко ошибиться и спутать это правило с умножением степеней: при возведении степени в степень показатели именно перемножаются, а при умножении степеней — складываются. Простая проверка: $(2^3)^4$ означает «$2^3$, взятое множителем четыре раза», то есть $2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3+3+3} = 2^{12}$ — сложение четырёх троек как раз даёт $3 \cdot 4 = 12$.

Пример: $(2^3)^4 = 2^{12} = 4096$.

4. Степень произведения

$(ab)^n = a^n \cdot b^n$

Показатель распространяется на каждый множитель. Это свойство часто читают «справа налево»: $a^n b^n = (ab)^n$ — так удобно сворачивать произведение двух степеней с разными основаниями, но одинаковым показателем. Например, $2^3 \cdot 5^3$ нельзя объединить по правилу умножения (основания разные), зато по правилу степени произведения получаем $(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.

Пример: $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

5. Степень частного

$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$

Степень дроби — это степень числителя, делённая на степень знаменателя. Это частный случай степени произведения, ведь дробь $\dfrac{a}{b}$ — то же самое, что $a \cdot b^{-1}$. Знаменатель должен быть ненулевым.

Пример: $\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{9}{16}$.

6. Степень с нулевым показателем

$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$

Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1. На первый взгляд это кажется странным, но логика безупречна: $a^0 = \dfrac{a^n}{a^n}$ (любая степень, делённая сама на себя), а дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице. Выражение $0^0$ при этом не определено — поэтому в формулировке всегда стоит оговорка $a \neq 0$.

Пример: $(-7)^0 = 1$, $\pi^0 = 1$.

7. Степень с отрицательным показателем

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Отрицательный показатель — это «перевернуть» дробь. Минус в показателе не делает число отрицательным: $2^{-3}$ — это положительное число $\dfrac18$, а не $-8$. Минус означает «единица, делённая на степень», то есть переход к обратному числу. Для дроби в основании это особенно удобно: отрицательный показатель просто переворачивает дробь, а его модуль становится новым (положительным) показателем.

Пример: $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$. $\left(\dfrac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\dfrac{5}{3}\right)^2 = \dfrac{25}{9}$.

Рациональный показатель и корни

Дробные показатели — это запись корней через степень. Они нужны, чтобы корни подчинялись тем же семи правилам, что и обычные степени: тогда выражение с корнями можно упрощать, не выходя из «языка степеней». Например, $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}$ трудно сложить «как корни», но через степени всё просто: $a^{1/2} \cdot a^{1/3} = a^{1/2 + 1/3} = a^{5/6} = \sqrt[6]{a^5}$.

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \quad (a \geq 0)$

$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Примеры:

$16^{1/2} = \sqrt{16} = 4, \quad 27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3$

$8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$

Это свойство критически важно для задания 6: многие выражения с корнями проще считать через дробные показатели.

Почему свойства работают: короткий вывод

Понимание вывода спасает на экзамене, когда правило подзабыто. Возьмём свойство умножения. По определению $a^n$ — это $a$, умноженное само на себя $n$ раз, а $a^m$ — $m$ раз. Перемножая, получаем $a$, взятое множителем $(n + m)$ раз:

$a^n \cdot a^m = \underbrace{(a \cdots a)}_{n} \cdot \underbrace{(a \cdots a)}_{m} = \underbrace{a \cdots a}_{n + m} = a^{n+m}$

Деление выводится так же — при сокращении одинаковых множителей в числителе и знаменателе остаётся $a$ в степени «сколько было сверху минус сколько снизу», то есть $a^{n-m}$. Нулевой показатель — частный случай деления: $\dfrac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$, и одновременно эта дробь равна $1$, поэтому $a^0 = 1$. А отрицательный показатель — продолжение того же правила деления в область, где знаменатель «сильнее»: $\dfrac{a^0}{a^n} = a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Все правила связаны и выводятся одно из другого — учить наизусть нужно, по сути, только идею многократного умножения.

Разбор примеров ЕГЭ

Пример 1 (уровень А). Упрости: $\dfrac{x^5 \cdot x^{-2}}{x^3}$.

Решение.

Числитель: $x^5 \cdot x^{-2} = x^{5-2} = x^3$.

Дробь: $\dfrac{x^3}{x^3} = x^0 = 1$.

Ответ: $1$.

Этот пример показывает, как свойства работают в связке. Сначала умножение в числителе (показатели $5$ и $-2$ сложились в $3$), потом деление на одинаковую степень (показатели вычлись в $0$), и наконец нулевой показатель дал единицу. Никаких громоздких вычислений — только аккуратная работа с показателями. Можно было бы посчитать иначе, разом: $\dfrac{x^5 \cdot x^{-2}}{x^3} = x^{5 + (-2) - 3} = x^0 = 1$.

Пример 2 (уровень Б). Вычисли: $\left(\dfrac{4}{9}\right)^{-3/2}$.

Решение.

Отрицательный показатель — переворачиваем дробь: $\left(\dfrac{9}{4}\right)^{3/2}$.

Дробный показатель: $\left(\dfrac{9}{4}\right)^{3/2} = \left(\sqrt{\dfrac{9}{4}}\right)^3 = \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 = \dfrac{27}{8}$.

Ответ: $\dfrac{27}{8}$.

В этом примере сработали сразу два свойства: сначала отрицательный показатель перевернул дробь, потом дробный показатель $3/2$ распался на «корень квадратный, затем в куб». Порядок действий можно выбирать любой — сначала корень, потом куб, или наоборот — результат один. Удобнее обычно сначала извлечь корень (числа становятся меньше), а потом возводить в степень.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $4^x = 8^{x-1}$.

Решение.

Приводим к одному основанию $2$: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$.

$2^{2x} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x - 3}$

Основания равны — приравниваем показатели:

$2x = 3x - 3 \Rightarrow x = 3$

Ответ: $x = 3$.

Разберём идею этого примера, потому что она — ядро всего задания 6. Показательная функция $a^t$ при фиксированном основании $a > 0$, $a \neq 1$ принимает каждое значение ровно один раз. Поэтому из равенства $2^{\text{что-то}} = 2^{\text{что-то другое}}$ следует равенство самих показателей. Весь приём решения показательного уравнения сводится к двум шагам: привести обе части к общему основанию (используя свойства степеней) и приравнять показатели. Здесь общим основанием была двойка, к которой свелись и $4$, и $8$.

Пример 4 (уровень Б). Вычисли: $\dfrac{6^5 \cdot 6^{-3}}{6^0}$.

Решение.

В числителе по правилу умножения: $6^5 \cdot 6^{-3} = 6^{5 + (-3)} = 6^2$. В знаменателе $6^0 = 1$. Значит, дробь равна $6^2 = 36$.

Ответ: $36$.

Пример 5 (уровень В). Вычисли: $\dfrac{2^{n+3}}{2^{n-1}}$.

Решение.

Это деление степеней с одинаковым основанием — показатель знаменателя вычитается: $2^{(n+3) - (n-1)} = 2^{n + 3 - n + 1} = 2^4 = 16$. Обрати внимание: переменная $n$ полностью сократилась, и ответ — конкретное число. Так часто бывает в задании 6: буквенный показатель уходит, остаётся число.

Ответ: $16$.

Таблица свойств для быстрой проверки

Частые ошибки

1. Складывать степени при умножении разных оснований. $2^3 \cdot 3^2 \neq 6^5$. Правило работает только при одинаковых основаниях.
2. Перемножать показатели при умножении. $a^3 \cdot a^4 = a^7$, а не $a^{12}$. Перемножаются только при возведении в степень — $(a^3)^4 = a^{12}$.
3. Не учитывать знак при отрицательных основаниях. $(-2)^3 = -8$, а не $8$. Нечётная степень отрицательного числа отрицательна, чётная — положительна: $(-2)^4 = 16$. Различай также $(-2)^4$ и $-2^4$: в первом случае в степень возводится $-2$ (получается $16$), во втором — только двойка, а минус остаётся снаружи ($-16$).
4. Ошибаться с дробными показателями. $8^{2/3}$ — это $(\sqrt[3]{8})^2 = 4$, а не $\sqrt[2]{8}$. Знаменатель дроби — это степень корня, числитель — степень, в которую возводят. Перепутаешь местами — получишь неверный ответ.
5. Считать, что минус в показателе делает число отрицательным. $2^{-3} = \dfrac18 > 0$. Отрицательный показатель меняет число на обратное, а не на противоположное по знаку.
6. Распределять показатель по сумме. $(a + b)^n \neq a^n + b^n$. Свойство степени произведения работает только для произведения, не для суммы. $(2 + 3)^2 = 25$, а $2^2 + 3^2 = 13$ — числа разные.

Как сравнивать степени без вычислений

В задании 6 и в неравенствах часто нужно сравнить две степени, не считая их точно. Здесь помогают два приёма.

Приём 1: привести к одному основанию. Сравним $4^{10}$ и $8^7$. Оба числа — степени двойки: $4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}$, а $8^7 = (2^3)^7 = 2^{21}$. У степеней с одинаковым основанием больше та, у которой больше показатель: $2^{21} > 2^{20}$, значит $8^7 > 4^{10}$. Без приведения к общему основанию пришлось бы считать огромные числа.

Приём 2: привести к одному показателю. Сравним $2^{30}$ и $3^{20}$. Вынесем общий показатель: $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$, $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. Теперь показатели равны, и больше та степень, у которой больше основание: $9^{10} > 8^{10}$, значит $3^{20} > 2^{30}$.

Эти приёмы — основа решения показательных неравенств: там тоже всё сводят к одному основанию, а дальше сравнивают показатели, не забывая, что при основании между $0$ и $1$ знак неравенства разворачивается.

Где свойства степеней работают на ЕГЭ

Свойства степеней — это не отдельная маленькая тема, а фундамент, на котором стоит сразу несколько разделов экзамена. В показательных уравнениях (задание 6) всю работу делают первые три свойства: приводим обе части к общему основанию и приравниваем показатели. В показательных неравенствах добавляется правило сравнения и аккуратность со знаком при основании меньше единицы. В логарифмах свойства степеней зеркально превращаются в свойства логарифмов: логарифм степени — это вынос показателя множителем, прямое следствие того, что логарифм и степень взаимообратны. Наконец, в производных показательной функции снова всплывают степени с дробными и отрицательными показателями — без уверенного обращения с ними легко ошибиться при дифференцировании корней.

Поэтому время, потраченное на доведение этих семи правил до автоматизма, окупается многократно: это та база, без которой «застревают» на половине задач второй части. Если при упрощении выражения ты тратишь силы на вспоминание, «складывать или умножать показатели», то на сложную задачу их уже не хватит.

Связь с другими темами

• Свойства логарифмов — логарифм и степень — взаимообратные операции, свойства параллельны.
• Показательные уравнения — решаются напрямую через свойства степеней.
• Квадратные уравнения — возникают при замене переменной в показательных уравнениях.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 — вычисление выражений со степенями, решение показательных уравнений.

Что запомнить

1. Умножение и деление работают только при одинаковом основании: показатели складываются ($a^n \cdot a^m = a^{n+m}$) или вычитаются ($a^n / a^m = a^{n-m}$).
2. Степень степени — показатели перемножаются ($(a^n)^m = a^{nm}$). Не путай со сложением при умножении.
3. Степень произведения и частного распределяется на каждый множитель: $(ab)^n = a^n b^n$.
4. Нулевой показатель даёт единицу ($a^0 = 1$ при $a \neq 0$), отрицательный — обратное число ($a^{-n} = 1/a^n$).
5. Дробный показатель — это корень: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$. Дробные показатели делают вычисления с корнями короче.
6. Сравнение степеней — приводи к общему основанию или общему показателю, потом сравнивай.

Все семь правил — следствие одной идеи «степень есть многократное умножение». Понимая её, ты не зависишь от памяти: любое забытое правило выводится за несколько секунд из определения. Именно поэтому свойства степеней стоит не вызубрить, а прочувствовать на десятке примеров.