Задание 6 ЕГЭ профиль — простейшие уравнения

Задание 6 ЕГЭ по профильной математике — это простейшее уравнение, которое решается в одно-два действия. За верный ответ дают 1 балл, и относится задача к части 1: записать нужно только число или корни без развёрнутого решения. Несмотря на простоту, здесь легко потерять балл из-за забытого периода или неучтённой ОДЗ.

В задании 6 встречаются три типа уравнений: простейшие тригонометрические ($\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$, $\mathrm{ctg}x=a$), показательные ($a^x=b$) и логарифмические (${\log }_{a}x=b$). Разберём каждый тип с формулами и примерами.

Почему это задание называют простейшим? Потому что в нём нет преобразований и многоходовых выкладок: одно действие приводит уравнение к стандартному виду, второе — даёт ответ. Вся сложность сводится к тому, чтобы безошибочно вспомнить формулу корней и не забыть про область допустимых значений там, где она важна. Это значит, что готовиться к заданию 6 нужно через повторение формул до автоматизма, а не через решение хитрых примеров.

Ещё одна особенность задания 6: в части 1 от тебя ждут только числовой ответ или серию корней, развёрнутое решение писать не нужно. Поэтому тренируй именно скорость и аккуратность записи ответа. Если задача тригонометрическая, чаще всего в ответ просят записать наименьший положительный корень или корень из конкретного промежутка — внимательно читай, что именно требуется.

Что нужно знать перед заданием 6

Для уверенного решения держи в памяти три группы формул. Первая — формулы корней простейших тригонометрических уравнений с правильными периодами. Вторая — переход от показательного уравнения к логарифму. Третья — определение логарифма и проверка ОДЗ.

Полная теория собрана в статьях учебника: Тригонометрические уравнения, Показательные уравнения и Логарифмические уравнения. Если какой-то тип даётся тяжело, начни с этих страниц, а потом возвращайся к разбору ниже.

Совет по подготовке: не пытайся выучить все формулы за один присест. Возьми один тип уравнений, прорешай по нему десяток коротких примеров, доведи формулу корней до автоматизма — и только потом переходи к следующему. Так формулы не путаются между собой, а на экзамене ты вспоминаешь нужную мгновенно, без долгих раздумий.

Тип 1: простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения в задании 6 — самый частый и при этом самый «коварный» тип, потому что у каждого из них своя формула корней и свой период. Главное правило: сначала выразить тригонометрическую функцию в чистом виде, и только потом применять формулу. Разберём три базовых случая.

Уравнение sin x = a

Если $|a|>1$, решений нет: синус не выходит за пределы от −1 до 1. Если $|a|\le 1$, общая формула:

$x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Полезно помнить частные случаи: при $\sin x=0$ получаем $x=\pi n$; при $\sin x=1$ — $x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$; при $\sin x=-1$ — $x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$.

Пример. Решить $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$, получаем две серии: $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k$ и $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi k$.

Уравнение cos x = a

$x=\pm \arccos a+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Частные случаи: при $\cos x=0$ — $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$; при $\cos x=1$ — $x=2\pi n$; при $\cos x=-1$ — $x=\pi +2\pi n$.

Пример. Решить $\cos x=-\frac{1}{2}$. Так как $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$, ответ: $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$.

Уравнение tg x = a

$x=\mathrm{arctg}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Здесь важна ОДЗ: $x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n$, потому что у тангенса в этих точках разрыв (косинус обращается в ноль). И запомни: период тангенса равен $\pi$, а не $2\pi$ — это частая ошибка.

Пример. Решить $\mathrm{tg}x=1$. Ответ: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$.

Тип 2: показательные уравнения

Показательные уравнения решаются проще тригонометрических: у них один корень, без периодов и серий. Вся хитрость — в выборе пути. Если правую часть можно записать как степень того же основания, что и слева, действуй через равенство показателей — это быстрее и без логарифмов. Если основания не сводятся друг к другу, переходи к логарифму.

Показательное уравнение вида $a^x=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$) решается через логарифм или подбор одинаковых оснований:

$x={\log }_{a}b$

Алгоритм прост. Сначала проверь, нельзя ли записать обе части как степень с одним основанием. Если $b$ — степень $a$, то $a^x=a^k$ даёт $x=k$. Если нет — берём логарифм.

Пример 1. $3^x=27=3^3$, значит $x=3$.

Пример 2. $2^x=5$, основания не совпадают, значит $x={\log }_{2}5$.

Пример 3. $4^x=8$. Приводим к основанию 2: $4=2^2$, $8=2^3$, тогда $2^{2x}=2^3$, откуда $2x=3$ и $x=\frac{3}{2}$.

Тип 3: логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения в задании 6 опираются на само определение логарифма: запись ${\log }_{a}x=b$ буквально означает «в какую степень надо возвести основание $a$, чтобы получить $x$». Ответ на этот вопрос и даёт значение неизвестной. В отличие от показательных, здесь обязательно следить за областью допустимых значений, потому что логарифм определён только для положительного аргумента.

Логарифмическое уравнение ${\log }_{a}x=b$ (при $a>0$, $a\ne 1$) решается по определению логарифма:

$x=a^b$

ОДЗ: $x>0$, $a>0$, $a\ne 1$. Алгоритм: записываем $x=a^b$ и проверяем, что результат положителен (обычно это так автоматически, но при отрицательном $b$ будь внимателен).

Пример 1. ${\log }_{3}x=4$, значит $x=3^4=81$.

Пример 2. ${\log }_{2}x=-3$, значит $x=2^{-3}=\frac{1}{8}$.

Пример 3. ${\log }_{0,5}x=2$, значит $x=(0,5{)}^2=0,25$.

Разбор типичного задания 6

На экзамене уравнение часто даётся не в готовом виде, а с лишними слагаемыми или коэффициентами. Тогда первый шаг — выразить тригонометрическую функцию в чистом виде, перенеся всё остальное в правую часть и разделив на коэффициент. После этого задача сводится к одному из трёх стандартных типов, разобранных выше. Посмотрим, как это работает на конкретном примере.

Задача. Решить уравнение $2\cos x-\sqrt{3}=0$.

Шаг 1. Выражаем косинус: $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2. Находим арккосинус: $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}$.

Шаг 3. Записываем общий корень: $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n$.

Типичные ошибки в задании 6

Что запомнить про задание 6

1. $\sin x=a$: $x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n$, период $2\pi$.
2. $\cos x=a$: $x=\pm \arccos a+2\pi n$, период $2\pi$.
3. $\mathrm{tg}x=a$: $x=\mathrm{arctg}a+\pi n$, период $\pi$.
4. $a^x=b$: $x={\log }_{a}b$ или подгоняй одинаковые основания.
5. ${\log }_{a}x=b$: $x=a^b$, обязательно проверь ОДЗ.

Задание 6 — это фундамент для более сложных уравнений второй части. Когда ты доводишь решение простейших уравнений до автоматизма, задание 13 (тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения с отбором корней) перестаёт казаться неподъёмным: его последний шаг — это как раз простейшее уравнение, которое ты уже умеешь решать. Поэтому вложенное в задание 6 время окупается дважды.

Чтобы закрепить тему, разбери теорию в статьях Тригонометрические уравнения и Показательные уравнения.