Задание 5 ЕГЭ профиль — простейшие уравнения

Что такое задание 5 ЕГЭ

Задание 5 профильной математики — это простейшее уравнение: одно действие или два до ответа. Встречаются три типа:

1. Тригонометрические — $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tg x = a$, $\ctg x = a$.
2. Показательные — $a^x = b$.
3. Логарифмические — $\log_a x = b$.

Баллы: 1 балл за верный ответ. Ошибки обычно — в знаке, в формуле или забытый период.

Тип 1: простейшие тригонометрические уравнения

sin x = a

• При $|a| > 1$: нет решений.
• При $|a| \leq 1$:

$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Частные случаи:

• $\sin x = 0$: $x = \pi n$
• $\sin x = 1$: $x = \pi/2 + 2\pi n$
• $\sin x = -1$: $x = -\pi/2 + 2\pi n$

Пример. $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{\pi}{4}$.

$x = (-1)^n \dfrac{\pi}{4} + \pi n = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \pi - \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

cos x = a

$x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Частные случаи:

• $\cos x = 0$: $x = \pi/2 + \pi n$
• $\cos x = 1$: $x = 2\pi n$
• $\cos x = -1$: $x = \pi + 2\pi n$

Пример. $\cos x = -\dfrac{1}{2}$.

$\arccos\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3}$.

$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

tg x = a

$x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

ОДЗ: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n$ (косинус не должен равняться нулю — у тангенса разрыв).

Пример. $\tg x = 1$.

$x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$.

Тип 2: показательные уравнения

a^x = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

$x = \log_a b$

Алгоритм:

1. Убедись, что оба члена записаны как степень с одним основанием — или сразу бери логарифм.
2. Если $b$ — степень $a$: $a^x = a^k \Rightarrow x = k$.
3. Иначе: $x = \log_a b$.

Пример 1. $3^x = 27 = 3^3 \Rightarrow x = 3$.

Пример 2. $2^x = 5 \Rightarrow x = \log_2 5$.

Пример 3. $4^x = 8$.

$4 = 2^2$, $8 = 2^3$. Тогда $2^{2x} = 2^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$.

Тип 3: логарифмические уравнения

log_a x = b (a > 0, a ≠ 1)

$x = a^b$

ОДЗ: $x > 0$, $a > 0$, $a \neq 1$.

Алгоритм:

1. Запиши $x = a^b$.
2. Проверь ОДЗ: $x > 0$ (обычно выполнено автоматически, но если $b < 0$ — осторожно).

Пример 1. $\log_3 x = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$.

Пример 2. $\log_2 x = -3 \Rightarrow x = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}$.

Пример 3. $\log_{0.5} x = 2 \Rightarrow x = (0.5)^2 = 0.25$.

Разбор типичного задания 5

Задача. Решить уравнение $2\cos x - \sqrt{3} = 0$.

Шаг 1. Выражаем $\cos x$: $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 2. $\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{6}$.

Шаг 3. $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Типичные ошибки в задании 5

Что запомнить

1. $\sin x = a$: $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$. Период $2\pi$.
2. $\cos x = a$: $x = \pm \arccos a + 2\pi n$. Период $2\pi$.
3. $\tg x = a$: $x = \arctg a + \pi n$. Период $\pi$.
4. $a^x = b$: $x = \log_a b$ (или «подгони основания»).
5. $\log_a x = b$: $x = a^b$, проверь ОДЗ.