Задание 6 ЕГЭ профиль — вычисления и алгебраические преобразования

Что такое задание 6 ЕГЭ

Задание 6 — вычислительная или алгебраическая задача на 1 балл. Четыре основных подтипа:

1. Степени и корни — упрощение выражений с дробными и отрицательными показателями.
2. Логарифмы — вычисление логарифмов и выражений с ними.
3. Тригонометрия — точные значения для «табличных» углов + формулы приведения.
4. Комбинированные — смесь нескольких типов в одном выражении.

Подтип 1: степени и корни

Ключевые формулы:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}, \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$

Пример 1. Вычислить $8^{2/3}$.

$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Пример 2. Упростить $\dfrac{a^3 \cdot a^{-1}}{a^{1/2}}$.

$\dfrac{a^{3-1}}{a^{1/2}} = \dfrac{a^2}{a^{1/2}} = a^{2 - 1/2} = a^{3/2}$.

Пример 3. Вычислить $\sqrt{48} - \sqrt{27}$.

$\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

$4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Подтип 2: логарифмы

Ключевые формулы:

$\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n$ $\log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ $\log_a m^k = k \log_a m$ $\log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0$

Полная таблица: Свойства логарифмов.

Пример 4. Вычислить $\log_5 125 - \log_5 5$.

$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$. $\log_5 5 = 1$.

$3 - 1 = 2$.

Пример 5. Упростить $\log_2 6 + \log_2 8 - \log_2 3$.

$= \log_2 \dfrac{6 \cdot 8}{3} = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.

Пример 6. Вычислить $5^{\log_5 7}$.

По формуле $a^{\log_a b} = b$: $5^{\log_5 7} = 7$.

Подтип 3: тригонометрические значения

Таблица табличных значений:

Формулы приведения (краткий набор):

$\sin(\pi - x) = \sin x, \quad \cos(\pi - x) = -\cos x$ $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$

Подробнее: Формулы приведения.

Пример 7. Вычислить $\cos 150°$.

$150° = 180° - 30°$. $\cos(180° - 30°) = -\cos 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Пример 8. Вычислить $\sin 240°$.

$240° = 180° + 60°$. $\sin(180° + 60°) = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Комбинированный пример

Пример 9. Вычислить $\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$.

$\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Пример 10. Упростить $2\log_3 6 - \log_3 4$.

$= \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \dfrac{36}{4} = \log_3 9 = 2$.

Стратегия на экзамене

1. Определи тип задания (степени / логарифм / тригонометрия).
2. Выпиши нужную формулу — для экзамена знай наизусть: свойства степеней, свойства логарифмов, таблицу тригонометрии.
3. Упрощай постепенно, не пропуская шаги.
4. Проверь размерность — ответ должен быть числом (или простым выражением с корнем/логарифмом если ответ ирационален).

Типичная ошибка: пытаться вычислить в голове «за один ход» сложное выражение → ошибка в знаке или в показателе.

Что запомнить

1. Степени: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, $a^{-n} = 1/a^n$.
2. Логарифмы: сумма = логарифм произведения, разность = логарифм частного.
3. Тригонометрия: таблица $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ + формулы приведения.
4. $a^{\log_a b} = b$ и $\log_a a^k = k$ — универсальные упрощения.