Что проверяет задание 7 ЕГЭ профильной математики?

Умение выполнять числовые и буквенные преобразования: вычислять степени и корни, работать с логарифмами, упрощать тригонометрические выражения. Это базовое задание части 1 на 1 балл.

Нужно ли знать значения тригонометрических функций наизусть?

Да. Таблицу значений sin, cos, tg для углов 0°, 30°, 45°, 60° и 90° нужно знать без шпаргалки — на экзамене её проверяют именно в задании 7.

Можно ли использовать калькулятор на ЕГЭ профиль?

Нет. Все вычисления — только в уме или письменно. Ответ должен быть точным числом, а не приближённым десятичным значением.

Сколько времени давать на задание 7?

Две-три минуты. Это вычислительная задача без подвоха: определи тип выражения, выпиши формулу и упрощай по шагам.

Задание 7 ЕГЭ математика профиль — вычисления и преобразования

Задание 7 ЕГЭ по профильной математике — это вычислительная или алгебраическая задача на 1 балл из части 1. Её цель — проверить, насколько свободно ты владеешь базовыми преобразованиями: степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией. Задача короткая, но именно на ней теряют баллы из-за спешки и арифметических промахов.

В задании 7 встречаются четыре основных подтипа: выражения со степенями и корнями, логарифмические вычисления, тригонометрические значения для табличных углов и комбинированные задачи, где смешано несколько типов. Разберём каждый с примерами и заодно вспомним нужные формулы.

Почему это задание стоит освоить в первую очередь? Потому что оно встречается в каждом варианте, решается быстро и почти не требует «озарений» — только знания формул и аккуратности. Если довести вычислительные приёмы до автоматизма, ты экономишь время на части 1 и можешь спокойнее распределить его на более тяжёлые задачи второй части. К тому же эти же преобразования всплывают и в заданиях 6, 13 и 15 — поэтому навык окупается многократно.

Главное, что нужно понять про задание 7: здесь не надо ничего «решать» в привычном смысле, нет неизвестной, которую ищут. Есть готовое числовое или буквенное выражение, и его нужно привести к простому виду. Поэтому стратегия всегда одна — узнать тип выражения, вспомнить подходящее свойство и применить его пошагово.

Что нужно знать перед заданием 7

Чтобы уверенно решать задание 7, держи в активной памяти три блока формул. Первый — свойства степеней и корней: как складывать показатели, как переводить корень в дробную степень. Второй — свойства логарифмов: логарифм произведения, частного, степени. Третий — таблица тригонометрических значений и базовые формулы приведения.

Подробная теория собрана в статьях учебника: Свойства степеней, Свойства логарифмов и Формулы приведения. Если какой-то блок западает, начни с этих страниц, а потом возвращайся к разбору экзаменационных подтипов.

Подтип 1: степени и корни

Здесь работают свойства степеней с целыми и дробными показателями. Ключевые соотношения:

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}, a^{m / n} = n a^{m}, n a \cdot n b = n ab$

Пример 1. Вычислить $8^{2/3}$ . Дробный показатель означает корень: $8^{2/3} = (38)^{2} = 2^{2} = 4$ .

Пример 2. Упростить $\frac{a ^{3} \cdot a ^{- 1}}{a ^{1/2}}$ . При умножении степени складываются, при делении вычитаются: $\frac{a ^{3 - 1}}{a ^{1/2}} = \frac{a ^{2}}{a ^{1/2}} = a^{2 - 1/2} = a^{3/2}$ .

Пример 3. Вычислить $48 - 27$ . Выносим множители из-под корня: $48 = 43$ , $27 = 33$ . Тогда $43 - 33 = 3$ .

Главное здесь — не торопиться и приводить выражения к одному основанию или одному корню, прежде чем складывать. Распространённая ошибка — пытаться сложить $48$ и $27$ напрямую: корни складываются только тогда, когда под ними одинаковое подкоренное выражение. Поэтому сначала выноси множители, а потом приводи подобные. Точно так же со степенями: складывать показатели можно лишь при одинаковом основании, а умножать основания — при одинаковом показателе.

Подтип 2: логарифмы

Логарифмические вычисления опираются на три основных свойства плюс пару частных значений:

$lo g_{a} (mn) = lo g_{a} m + lo g_{a} n, lo g_{a} \frac{m}{n} = lo g_{a} m - lo g_{a} n$ $lo g_{a} m^{k} = k lo g_{a} m, lo g_{a} a = 1, lo g_{a} 1 = 0$

Полная таблица — в статье Свойства логарифмов.

Пример 4. Вычислить $lo g_{5} 125 - lo g_{5} 5$ . Представляем 125 как степень пятёрки: $lo g_{5} 125 = lo g_{5} 5^{3} = 3$ , а $lo g_{5} 5 = 1$ . Тогда $3 - 1 = 2$ .

Пример 5. Упростить $lo g_{2} 6 + lo g_{2} 8 - lo g_{2} 3$ . Сворачиваем сумму и разность в один логарифм: $lo g_{2} \frac{6 \cdot 8}{3} = lo g_{2} 16 = lo g_{2} 2^{4} = 4$ .

Пример 6. Вычислить $5^{l o g_{5} 7}$ . По основному логарифмическому тождеству $a^{l o g_{a} b} = b$ , поэтому $5^{l o g_{5} 7} = 7$ .

Тождество $a^{l o g_{a} b} = b$ — одно из самых полезных в задании 7: оно мгновенно «снимает» логарифм из показателя. Запомни логику свёртки: если в выражении стоят несколько логарифмов с одинаковым основанием, их почти всегда можно объединить в один — сумму превратить в логарифм произведения, разность в логарифм частного, а коэффициент перед логарифмом занести в показатель. После такой свёртки под логарифмом обычно остаётся степень основания, и значение находится мгновенно.

Подтип 3: тригонометрические значения

В этом подтипе нужно вычислить синус, косинус или тангенс конкретного угла. Если угол табличный (0°, 30°, 45°, 60°, 90°), значение берётся прямо из таблицы. Если угол больше 90° или отрицательный — сначала с помощью формул приведения сводим его к табличному, а затем подставляем значение и аккуратно расставляем знак по четверти. Поэтому без двух вещей здесь не обойтись: таблицы значений и понимания, в какой четверти лежит угол.

Здесь нужна таблица табличных значений и формулы приведения. Таблицу необходимо знать наизусть:

Угол	$sin$	$cos$	$t g$
$0°$	0	1	0
$30° (π /6)$	$1/2$	$3 /2$	$3 /3$
$45° (π /4)$	$2 /2$	$2 /2$	1
$60° (π /3)$	$3 /2$	$1/2$	$3$
$90° (π /2)$	1	0	—

Краткий набор формул приведения, который чаще всего нужен:

$sin (π - x) = sin x, cos (π - x) = - cos x$ $sin (\frac{π}{2} - x) = cos x, cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$

Подробнее — в статье Формулы приведения.

Пример 7. Вычислить $cos 150°$ . Представляем $150° = 180° - 30°$ , тогда $cos (180° - 30°) = - cos 30° = - \frac{3}{2}$ .

Пример 8. Вычислить $sin 240°$ . Представляем $240° = 180° + 60°$ , тогда $sin (180° + 60°) = - sin 60° = - \frac{3}{2}$ .

Подтип 4: комбинированные выражения

Иногда в одном выражении смешаны корни и логарифмы. Действуй последовательно: сначала упрощай корни, потом логарифмы. Главное правило комбинированных задач — не пытаться удержать всё в голове сразу. Разбей выражение на простые куски, упрости каждый отдельно, а потом собери. Так ты избегаешь самой частой причины потери балла — арифметической ошибки от перегрузки.

Пример 9. Вычислить $\frac{3 54}{3 2}$ . Объединяем корни: $3 \frac{54}{2} = 327 = 3$ .

Пример 10. Упростить $2 lo g_{3} 6 - lo g_{3} 4$ . Заносим коэффициент в показатель: $lo g_{3} 36 - lo g_{3} 4 = lo g_{3} \frac{36}{4} = lo g_{3} 9 = 2$ .

Стратегия на экзамене

В задании 7 важна не скорость, а аккуратность. Спешка приводит к ошибке в знаке или показателе, а это потерянный балл за элементарную задачу.

Определи тип выражения: степени, логарифм или тригонометрия.
Выпиши нужную формулу. Для экзамена держи наизусть свойства степеней, свойства логарифмов и таблицу тригонометрии.
Упрощай постепенно, не пропуская шаги и не пытаясь «свернуть» всё в одно действие.
Проверь результат: ответ должен быть числом или простым выражением с корнем либо логарифмом, если значение иррационально.

Типичная ловушка — попытка вычислить сложное выражение «за один ход» в голове. Почти всегда это заканчивается ошибкой в знаке или в степени.

Что запомнить про задание 7

Степени: $a^{m / n} = n a^{m}$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ .
Логарифмы: сумма равна логарифму произведения, разность — логарифму частного.
Тригонометрия: знай таблицу для $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ и формулы приведения.
Тождества $a^{l o g_{a} b} = b$ и $lo g_{a} a^{k} = k$ — универсальные упрощения.
Главное — аккуратность: проверяй знак и показатель, не считай «в одно действие».

Отдельно стоит сказать про подготовку. Лучший способ освоить задание 7 — прорешать по десятку примеров каждого типа подряд, пока формулы не начнут всплывать в памяти сами. Когда таблица тригонометрии и свойства логарифмов работают «на автопилоте», эта задача занимает меньше двух минут и приносит верный балл практически без риска.

Чтобы закрепить тему, прорешай разборы в статьях Свойства степеней и Свойства логарифмов.

Отработай задание 7 на практике

Диагностика в Сотах покажет, какой тип вычислений тормозит тебя на экзамене

Попробовать бесплатно

Задание 7 ЕГЭ профиль — вычисления и алгебраические преобразования