Задание 7 ЕГЭ профиль — вычисления и алгебраические преобразования

Задание 7 ЕГЭ по профильной математике — это вычислительная или алгебраическая задача на 1 балл из части 1. Её цель — проверить, насколько свободно ты владеешь базовыми преобразованиями: степенями, корнями, логарифмами и тригонометрией. Задача короткая, но именно на ней теряют баллы из-за спешки и арифметических промахов.

В задании 7 встречаются четыре основных подтипа: выражения со степенями и корнями, логарифмические вычисления, тригонометрические значения для табличных углов и комбинированные задачи, где смешано несколько типов. Разберём каждый с примерами и заодно вспомним нужные формулы.

Почему это задание стоит освоить в первую очередь? Потому что оно встречается в каждом варианте, решается быстро и почти не требует «озарений» — только знания формул и аккуратности. Если довести вычислительные приёмы до автоматизма, ты экономишь время на части 1 и можешь спокойнее распределить его на более тяжёлые задачи второй части. К тому же эти же преобразования всплывают и в заданиях 6, 13 и 15 — поэтому навык окупается многократно.

Главное, что нужно понять про задание 7: здесь не надо ничего «решать» в привычном смысле, нет неизвестной, которую ищут. Есть готовое числовое или буквенное выражение, и его нужно привести к простому виду. Поэтому стратегия всегда одна — узнать тип выражения, вспомнить подходящее свойство и применить его пошагово.

Что нужно знать перед заданием 7

Чтобы уверенно решать задание 7, держи в активной памяти три блока формул. Первый — свойства степеней и корней: как складывать показатели, как переводить корень в дробную степень. Второй — свойства логарифмов: логарифм произведения, частного, степени. Третий — таблица тригонометрических значений и базовые формулы приведения.

Подробная теория собрана в статьях учебника: Свойства степеней, Свойства логарифмов и Формулы приведения. Если какой-то блок западает, начни с этих страниц, а потом возвращайся к разбору экзаменационных подтипов.

Подтип 1: степени и корни

Здесь работают свойства степеней с целыми и дробными показателями. Ключевые соотношения:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}, \quad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}, \quad \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$

Пример 1. Вычислить $8^{2/3}$. Дробный показатель означает корень: $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.

Пример 2. Упростить $\dfrac{a^3 \cdot a^{-1}}{a^{1/2}}$. При умножении степени складываются, при делении вычитаются: $\dfrac{a^{3-1}}{a^{1/2}} = \dfrac{a^2}{a^{1/2}} = a^{2 - 1/2} = a^{3/2}$.

Пример 3. Вычислить $\sqrt{48} - \sqrt{27}$. Выносим множители из-под корня: $\sqrt{48} = 4\sqrt{3}$, $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. Тогда $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Главное здесь — не торопиться и приводить выражения к одному основанию или одному корню, прежде чем складывать. Распространённая ошибка — пытаться сложить $\sqrt{48}$ и $\sqrt{27}$ напрямую: корни складываются только тогда, когда под ними одинаковое подкоренное выражение. Поэтому сначала выноси множители, а потом приводи подобные. Точно так же со степенями: складывать показатели можно лишь при одинаковом основании, а умножать основания — при одинаковом показателе.

Подтип 2: логарифмы

Логарифмические вычисления опираются на три основных свойства плюс пару частных значений:

$\log_a(mn) = \log_a m + \log_a n, \qquad \log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ $\log_a m^k = k \log_a m, \qquad \log_a a = 1, \quad \log_a 1 = 0$

Полная таблица — в статье Свойства логарифмов.

Пример 4. Вычислить $\log_5 125 - \log_5 5$. Представляем 125 как степень пятёрки: $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$, а $\log_5 5 = 1$. Тогда $3 - 1 = 2$.

Пример 5. Упростить $\log_2 6 + \log_2 8 - \log_2 3$. Сворачиваем сумму и разность в один логарифм: $\log_2 \dfrac{6 \cdot 8}{3} = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$.

Пример 6. Вычислить $5^{\log_5 7}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, поэтому $5^{\log_5 7} = 7$.

Тождество $a^{\log_a b} = b$ — одно из самых полезных в задании 7: оно мгновенно «снимает» логарифм из показателя. Запомни логику свёртки: если в выражении стоят несколько логарифмов с одинаковым основанием, их почти всегда можно объединить в один — сумму превратить в логарифм произведения, разность в логарифм частного, а коэффициент перед логарифмом занести в показатель. После такой свёртки под логарифмом обычно остаётся степень основания, и значение находится мгновенно.

Подтип 3: тригонометрические значения

В этом подтипе нужно вычислить синус, косинус или тангенс конкретного угла. Если угол табличный (0°, 30°, 45°, 60°, 90°), значение берётся прямо из таблицы. Если угол больше 90° или отрицательный — сначала с помощью формул приведения сводим его к табличному, а затем подставляем значение и аккуратно расставляем знак по четверти. Поэтому без двух вещей здесь не обойтись: таблицы значений и понимания, в какой четверти лежит угол.

Здесь нужна таблица табличных значений и формулы приведения. Таблицу необходимо знать наизусть:

Краткий набор формул приведения, который чаще всего нужен:

$\sin(\pi - x) = \sin x, \quad \cos(\pi - x) = -\cos x$ $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x, \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$

Подробнее — в статье Формулы приведения.

Пример 7. Вычислить $\cos 150°$. Представляем $150° = 180° - 30°$, тогда $\cos(180° - 30°) = -\cos 30° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Пример 8. Вычислить $\sin 240°$. Представляем $240° = 180° + 60°$, тогда $\sin(180° + 60°) = -\sin 60° = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Подтип 4: комбинированные выражения

Иногда в одном выражении смешаны корни и логарифмы. Действуй последовательно: сначала упрощай корни, потом логарифмы. Главное правило комбинированных задач — не пытаться удержать всё в голове сразу. Разбей выражение на простые куски, упрости каждый отдельно, а потом собери. Так ты избегаешь самой частой причины потери балла — арифметической ошибки от перегрузки.

Пример 9. Вычислить $\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}$. Объединяем корни: $\sqrt[3]{\dfrac{54}{2}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Пример 10. Упростить $2\log_3 6 - \log_3 4$. Заносим коэффициент в показатель: $\log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \dfrac{36}{4} = \log_3 9 = 2$.

Стратегия на экзамене

В задании 7 важна не скорость, а аккуратность. Спешка приводит к ошибке в знаке или показателе, а это потерянный балл за элементарную задачу.

1. Определи тип выражения: степени, логарифм или тригонометрия.
2. Выпиши нужную формулу. Для экзамена держи наизусть свойства степеней, свойства логарифмов и таблицу тригонометрии.
3. Упрощай постепенно, не пропуская шаги и не пытаясь «свернуть» всё в одно действие.
4. Проверь результат: ответ должен быть числом или простым выражением с корнем либо логарифмом, если значение иррационально.

Типичная ловушка — попытка вычислить сложное выражение «за один ход» в голове. Почти всегда это заканчивается ошибкой в знаке или в степени.

Что запомнить про задание 7

1. Степени: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
2. Логарифмы: сумма равна логарифму произведения, разность — логарифму частного.
3. Тригонометрия: знай таблицу для $0°, 30°, 45°, 60°, 90°$ и формулы приведения.
4. Тождества $a^{\log_a b} = b$ и $\log_a a^k = k$ — универсальные упрощения.
5. Главное — аккуратность: проверяй знак и показатель, не считай «в одно действие».

Отдельно стоит сказать про подготовку. Лучший способ освоить задание 7 — прорешать по десятку примеров каждого типа подряд, пока формулы не начнут всплывать в памяти сами. Когда таблица тригонометрии и свойства логарифмов работают «на автопилоте», эта задача занимает меньше двух минут и приносит верный балл практически без риска.

Чтобы закрепить тему, прорешай разборы в статьях Свойства степеней и Свойства логарифмов.