Показательная функция: свойства и графики

В задании 10 и 11 ЕГЭ профиль регулярно встречаются показательные функции. Чтобы быстро отвечать на «график какой функции», «найти точку максимума $f(x)=x\cdot e^{-x}$» и подобные — нужно знать свойства показательной как таблицу умножения. Разберём все ключевые свойства.

Показательная функция описывает процессы, в которых величина растёт или убывает в постоянное число раз за равные промежутки: размножение бактерий, сложные проценты по вкладу, радиоактивный распад. Эта «умножительная» природа отличает её от линейной (где прибавляют) и делает поведение очень характерным: либо стремительный рост, либо стремительное затухание. Понимание формы графика и шести базовых свойств позволяет узнавать показательную функцию с первого взгляда и уверенно работать с ней в уравнениях, неравенствах и задачах на экстремум.

Определение

Показательная функция — функция вида $y=a^x$, где $a>0$, $a\ne 1$ — постоянное число.

Условия на $a$:

• $a>0$, чтобы степень была определена для любых $x$.
• $a\ne 1$, потому что $1^x=1$ для всех $x$ — это константа, не показательная функция.

Основные свойства

1. Область определения

Показательная функция определена на всей числовой прямой. Это значит, что в показатель можно подставлять любое число — целое, дробное, отрицательное, иррациональное. Никаких ограничений вроде ОДЗ у самой показательной функции нет (в отличие от логарифма или корня). Ограничения могут появиться, только если в показателе стоит другое выражение с ограничениями — например, дробь или корень.

2. Область значений

Функция всегда положительна. Никогда не принимает значения $\le 0$. Это сильное свойство, важное при решении уравнений вида $a^x=b$ (если $b\le 0$, решений нет). Понять, почему так, легко: положительное основание $a$ в любой степени остаётся положительным — умножение положительных чисел даёт положительное, деление тоже, а корень из положительного существует и положителен. Поэтому $a^x$ может подойти сколь угодно близко к нулю (при больших по модулю отрицательных показателях для $a>1$), но никогда его не достигнет и тем более не станет отрицательным. Именно это свойство объясняет, почему уравнение $2^x=-8$ не имеет решений, а замена $t=a^x$ всегда сопровождается условием $t>0$.

3. Точка пересечения с осью $y$

При $x=0$: $a^0=1$. Значит график всегда проходит через точку $(0;1)$, независимо от основания $a$.

4. Монотонность

Если $a>1$: функция строго возрастает на всей оси.

Если $0<a<1$: функция строго убывает на всей оси.

Это свойство переходит в показательные уравнения и неравенства. Строгая монотонность означает, что каждое значение функция принимает ровно один раз. Поэтому показательное уравнение $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ равносильно равенству показателей $f(x)=g(x)$ — функция не может дважды дать одно и то же значение. А в неравенствах монотонность задаёт, сохраняется знак или переворачивается: при возрастании ($a>1$) знак между показателями такой же, как между степенями, при убывании ($0<a<1$) — противоположный. Это и есть та самая «главная фишка», на которой строится решение всех показательных уравнений и неравенств.

5. Асимптота

Ось $x$ ($y=0$) является горизонтальной асимптотой:

• При $a>1$: $a^x\to 0$ при $x\to -\infty$.
• При $0<a<1$: $a^x\to 0$ при $x\to +\infty$.

То есть функция приближается к оси $x$, но никогда её не пересекает.

Графики

При $a>1$: график растёт «слева направо», круто уходя в плюс-бесконечность. Слева он прижимается к оси $x$ (асимптота при $x\to -\infty$), проходит через $(0;1)$ и затем стремительно взмывает вверх. Чем больше основание, тем круче подъём.

При $0<a<1$: график «зеркальное отражение» относительно оси $y$ — крутой спуск слева направо, асимптота справа. Слева он круто спускается из плюс-бесконечности, проходит через ту же точку $(0;1)$ и затем плавно прижимается к оси $x$ при $x\to +\infty$. Это связано с тем, что ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$: убывающая функция — это возрастающая, отражённая по горизонтали.

Запомнить форму помогает одна опорная точка и одна асимптота. Опорная точка $(0;1)$ есть у любого графика показательной — через неё проходят все. Асимптота — ось $x$, к которой график прижимается с одной из сторон. По тому, с какой стороны график «ложится» на ось, сразу видно: растёт функция или убывает. Если прижимается слева — возрастает ($a>1$); если справа — убывает ($0<a<1$). Этого достаточно, чтобы в задании 11 опознать показательную функцию среди других графиков.

Свойства степеней (краткое напоминание)

Для любых $a,b>0$ и любых $x,y$:

Эти свойства используются в каждой второй задаче с показательной функцией.

Производная показательной

Особый случай $a=e$:

Это уникальное свойство экспоненты — её производная равна самой функции. По этой причине $e^x$ — самая «удобная» показательная функция в анализе. Число $e\approx 2,718$ выбрано именно так, чтобы коэффициент $\ln a$ в формуле производной стал равен единице ($\ln e=1$). Для любого другого основания производная содержит «лишний» множитель $\ln a$: например, $(2^x{)}^{\prime }=2^x\ln 2$. Поэтому в задачах на экстремум функций вида «многочлен умножить на экспоненту» почти всегда используют именно $e^x$ — с ней дифференцирование выходит чище. В задании 11 ЕГЭ показательный множитель чаще всего и есть $e^{kx}$, и его производная $(e^{kx}{)}^{\prime }=k{e}^{kx}$ сохраняет ту же экспоненту, лишь домножая на коэффициент $k$.

Пример 1: монотонность

Условие. Какая из функций возрастает, какая убывает: $y=3^x$, $y=(0,5{)}^x$, $y=e^x$, $y=(\pi /4{)}^x$?

Решение. Считаем основания:

• $3>1$ → возрастает.
• $0,5<1$ → убывает.
• $e\approx 2,72>1$ → возрастает.
• $\pi /4\approx 0,785<1$ → убывает.

Ответ: возрастают $3^x$ и $e^x$, убывают $0,5^x$ и $(\pi /4{)}^x$.

Главный навык здесь — быстро прикинуть, больше основание единицы или меньше. Для дробей и иррациональных оснований ($\pi /4\approx 0,785$) достаточно грубой оценки: если основание явно меньше $1$ — функция убывает.

Пример 2: уравнение через монотонность

Условие. Реши уравнение $2^x=8$.

Решение. Поскольку $2^x$ строго возрастает, у уравнения единственное решение.

$8=2^3$, значит $x=3$.

Ответ: $x=3$.

Без знания о монотонности можно было бы подумать, что есть и другие $x$. Монотонность гарантирует единственность: строго возрастающая функция принимает значение $8$ ровно в одной точке. Поэтому, найдя $x=3$ подбором или приведением к одному основанию, мы уверены, что других корней нет — и не обязаны их искать.

Пример 3: значения функции

Условие. Найди значения функции $y=2^x$ при $x=-2,-1,0,1,2,3$.

Решение.

Видно: значения положительны, удваиваются с каждым шагом по $x$. По мере $x\to -\infty$ стремятся к нулю. Эта таблица — наглядная иллюстрация всех свойств сразу: все значения строго положительны (область значений $(0;+\infty )$), при $x=0$ значение равно $1$ (прохождение через $(0;1)$), с ростом $x$ значения растут (возрастание при $a=2>1$), а при уменьшении $x$ они стремятся к нулю, не достигая его (асимптота). Полезно держать в голове именно степени двойки — $\frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,8$ — это самые частые значения в задачах ЕГЭ.

Пример 4: уравнение с заменой

Условие. Реши уравнение $4^x-5\cdot 2^x+4=0$.

Решение. Заметим, что $4^x=(2^2{)}^x=(2^x{)}^2$. Замена $t=2^x$, $t>0$:

Возвращаемся к $x$:

• $2^x=1\Rightarrow x=0$.
• $2^x=4\Rightarrow x=2$.

Ответ: $x=0$ и $x=2$.

Обрати внимание на условие $t>0$ при замене. Оба корня $t=1$ и $t=4$ положительны, поэтому проходят. Если бы один из корней оказался отрицательным или нулевым, его пришлось бы отбросить — ведь $2^x$ не может равняться отрицательному числу. Это прямое следствие того, что область значений показательной — только положительные числа. Замена $t=a^x$ с условием $t>0$ — главный рабочий приём показательных уравнений, и он опирается именно на свойство положительности.

Пример 5: задача 11 — экстремум

Условие. Найди точку максимума функции $y=(3+x)\cdot e^{-x}$.

Решение. $y^{\prime }=e^{-x}+(3+x)(-e^{-x})=e^{-x}(1-3-x)=e^{-x}(-2-x)$.

$e^{-x}>0$ всегда. Знак $y^{\prime }$ совпадает со знаком $-2-x$.

$-2-x=0\Rightarrow x=-2$.

При $x<-2$: $-2-x>0\Rightarrow y^{\prime }>0$ (функция возрастает). При $x>-2$: $-2-x<0\Rightarrow y^{\prime }<0$ (убывает).

Знак меняется $+\to -$ — точка максимума.

Ответ: $x=-2$.

Это типовое задание 11 на экстремум. Главный приём — при дифференцировании произведения вынести общий множитель $e^{-x}$ (или $e^{ax}$) за скобку. Поскольку $e^{-x}>0$ всегда, знак производной определяется только оставшейся скобкой $(-2-x)$ — линейным выражением, у которого знак легко исследовать. Это общая стратегия для функций вида «многочлен умножить на экспоненту»: показательный множитель никогда не обнуляется, поэтому точки экстремума ищут по нулям многочленной части.

Пример 6: показательная функция в неравенстве

Условие. Реши неравенство $3^x>27$.

Решение. $27=3^3$. Неравенство: $3^x>3^3$.

Поскольку $3>1$, $3^x$ возрастает. Значит неравенство равносильно $x>3$.

Ответ: $x\in (3;+\infty )$.

Если бы основание было меньше единицы, направление неравенства поменялось бы на противоположное.

Связь с логарифмами

Логарифмическая функция $y={\log }_{a}x$ — обратная к показательной $y=a^x$:

• $a^{{\log }_{a}x}=x$ для $x>0$.
• ${\log }_a(a^x)=x$ для всех $x$.

Графики показательной и логарифмической симметричны относительно прямой $y=x$. Это прямое следствие того, что функции взаимно обратны: чтобы получить график обратной функции, исходный график отражают относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. Поэтому всё, что ты знаешь про показательную функцию, легко «переводится» на логарифмическую: область значений показательной $(0;+\infty )$ становится областью определения логарифмической, точка $(0;1)$ показательной превращается в точку $(1;0)$ логарифмической, а горизонтальная асимптота (ось $x$) — в вертикальную (ось $y$). Понимание этой симметрии экономит силы: не нужно отдельно зубрить свойства логарифма, достаточно «отразить» свойства показательной.

Алгоритм решения задач

1. Определи основание $a$ — больше или меньше 1.
2. Если задача о монотонности — сразу применяй: $a>1$ возрастает, $a<1$ убывает.
3. Для уравнения / неравенства — приводи к одному основанию.
4. Если степени разные, ищи замену: $t=a^x$.
5. Помни: $a^x>0$ всегда — это ограничение на ответы.

Частые ошибки

Ошибка 1: пишут $a^x=0$ имеет решения. Никогда не имеет: показательная функция строго положительна.

Ошибка 2: при $0<a<1$ забывают перевернуть неравенство. При основании $<1$ функция убывает, направление меняется. $0,5^x>0,5^3⟺x<3$.

Ошибка 3: путают $a^x$ и $x^a$. Это разные функции! Показательная — основание постоянное, показатель переменный. Степенная — наоборот.

Ошибка 4: считают $a^0=0$. $a^0=1$ для любого $a>0$. График всегда проходит через $(0;1)$.

Когда в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ профиль:

• Задание 10: «График какой функции изображён» — узнай показательную по форме (асимптота, прохождение через $(0;1)$, экспоненциальный рост).
• Задание 11: «Найди точку экстремума функции $y=f(x)e^{ax}$» — стандартное применение производной.
• Задание 12 (раньше задание 13): показательные уравнения и неравенства — отдельная большая тема.

Свойства показательной — фундамент для логарифмов, экспоненты в математическом анализе и многих других тем.

Что запомнить

• $y=a^x$, $a>0$, $a\ne 1$.
• $D(f)=\mathbb{R}$, $E(f)=(0;+\infty )$.
• График всегда через $(0;1)$.
• $a>1$: возрастает. $0<a<1$: убывает.
• $a^x>0$ всегда — нет нулей.
• $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ — особый случай.
• Свойства степеней: $a^x{a}^y=a^{x+y}$, $(a^x{)}^y=a^{xy}$.
• При основании $<1$ в неравенствах меняй направление.