Геометрическая прогрессия: формулы и применение

Геометрическая прогрессия — тема, которая встречается в «лёгких» заданиях 8 и в «финансовых» задачах задания 16. Разберём все формулы и ловушки.

Определение и примеры из жизни

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии и обозначается $q$ .

Формально: последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots$ — геометрическая прогрессия, если для всех $n \geq 1$ выполняется

$b_{n + 1} = b_{n} \cdot q$

где $q \neq = 0$ и $b_{1} \neq = 0$ .

Несколько примеров, которые помогают не путаться:

$2, 6, 18, 54, \dots$ — геометрическая прогрессия, $b_{1} = 2$ , $q = 3$ .
$100, 50, 25, 12, 5, \dots$ — геометрическая прогрессия, $b_{1} = 100$ , $q = 0, 5$ .
$3, - 6, 12, - 24, \dots$ — геометрическая прогрессия, $b_{1} = 3$ , $q = - 2$ .
$5, 5, 5, 5, \dots$ — тоже геометрическая прогрессия с $q = 1$ .

Почему «геометрическая»? Каждый член является средним геометрическим соседних: $b_{n} = b_{n - 1} \cdot b_{n + 1}$ .

Реальный пример: вклад под сложный процент. Если положить $1000$ рублей под $10%$ годовых, то через год будет $1100$ , через два — $1210$ , через три — $1331$ рублей. Это геометрическая прогрессия с $q = 1, 1$ . Именно это связывает задания 8 и 16 — но об этом подробнее в разделе про ЕГЭ.

Ключевые формулы

Формула n-го члена

$b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$

Расшифровка символов:

$b_{n}$ — $n$ -й член прогрессии;
$b_{1}$ — первый член прогрессии;
$q$ — знаменатель прогрессии;
$n$ — порядковый номер члена (начинается с $1$ ).

Обрати внимание: показатель степени — это $n - 1$ , а не $n$ . Почему? Первый член $b_{1} = b_{1} \cdot q^{0} = b_{1} \cdot 1 = b_{1}$ — всё сходится. Второй: $b_{2} = b_{1} \cdot q^{1}$ — умножили один раз. Третий: $b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}$ — умножили дважды. Значит, для $n$ -го члена умножаем $(n - 1)$ раз.

Сумма первых n членов

Раскрываем скобки:

$S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}, q \neq = 1$

При $q = 1$ прогрессия постоянная: $S_{n} = b_{1} \cdot n$ .

Расшифровка:

$S_{n}$ — сумма первых $n$ членов;
$b_{1}$ — первый член;
$q$ — знаменатель;
$n$ — количество суммируемых членов.

Удобная альтернативная запись, когда известен последний член $b_{n}$ :

$S_{n} = \frac{b _{n} \cdot q - b _{1}}{q - 1}$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Если $∣ q ∣ < 1$ , частичные суммы стремятся к конечному пределу:

$S = \frac{b _{1}}{1 - q}$

Это работает только при $∣ q ∣ < 1$ . При $∣ q ∣ \geq 1$ бесконечная сумма расходится (не существует).

Интуиция: если $q = 0, 5$ , то члены прогрессии быстро уменьшаются — $1 + 0, 5 + 0, 25 + 0, 125 + \dots$ Эта сумма стремится к $2$ . По формуле: $S = \frac{1}{1 - 0 , 5} = 2$ .

Как решать задачи на прогрессии

Большинство задач на геометрическую прогрессию — это уравнения с двумя неизвестными $b_{1}$ и $q$ . Алгоритм:

Выпиши, что дано. Обычно известны два члена или условие на члены (сумма двух членов, их произведение и т.п.).
Запиши систему. Каждое условие — уравнение через $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ .
Раздели уравнения (часто помогает деление одного на другое, чтобы убрать $b_{1}$ ).
Найди $q$ , потом $b_{1}$ .
Проверь ответ — подставь и убедись, что прогрессия сходится с условием.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Геометрическая прогрессия: $b_{2} = 6$ , $b_{4} = 54$ . Найти $b_{1}$ и $q$ .

Решение.

Запишем оба условия через формулу $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n - 1}$ :

$b_{2} = b_{1} \cdot q^{1} = 6$ $b_{4} = b_{1} \cdot q^{3} = 54$

Разделим второе уравнение на первое (это стандартный приём, чтобы убрать $b_{1}$ ):

$\frac{b _{1} \cdot q ^{3}}{b _{1} \cdot q} = \frac{54}{6} ⟹ q^{2} = 9 ⟹ q = 3 или q = - 3$

Находим $b_{1}$ из первого уравнения:

при $q = 3$ : $b_{1} \cdot 3 = 6$ , значит $b_{1} = 2$ ;
при $q = - 3$ : $b_{1} \cdot (- 3) = 6$ , значит $b_{1} = - 2$ .

Оба ответа формально корректны, если в задаче нет ограничений на знак. Проверка для $b_{1} = 2$ , $q = 3$ : прогрессия $2, 6, 18, 54$ — второй и четвёртый члены совпадают с условием.

Ответ: $b_{1} = 2$ , $q = 3$ (или $b_{1} = - 2$ , $q = - 3$ ).

Типичная ошибка. Деление $b_{4} / b_{2}$ даёт $q^{2} = 9$ , поэтому сразу писать $q = 3$ нельзя. Не забывай про отрицательное значение $q = - 3$ .

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Сумма трёх последовательных членов геометрической прогрессии равна $21$ , их произведение равно $27$ . Найти эти три члена.

Решение.

Удобный приём: обозначить три последовательных члена как $\frac{b}{q}, b, b q$ — так произведение сразу упрощается.

Тогда:

Произведение: $\frac{b}{q} \cdot b \cdot b q = b^{3} = 27 ⟹ b = 3$ .
Сумма: $\frac{3}{q} + 3 + 3 q = 21$ .

Попробуй сам упростить уравнение на сумму. Умножь всё на $q$ , получи квадратное уравнение и реши его.

Результат шага

Умножаем на

q

3 + 3 q + 3 q^{2} = 21 q

. Делим на 3:

1 + q + q^{2} = 7 q

. Переносим:

q^{2} - 6 q + 1 = 0

... нет, пересчитаем:

3 q^{2} + 3 q + 3 = 21 q

, то есть

3 q^{2} - 18 q + 3 = 0

, делим на 3:

q^{2} - 6 q + 1 = 0

. Дискриминант:

D = 36 - 4 = 32

D = 42

q = \frac{6 \pm 4 2}{2} = 3 \pm 22

. При

q = 3 + 22

: члены

\frac{3}{3 + 2 2}, 3, 3 (3 + 22)

. Упрощаем первый:

\frac{3}{3 + 2 2} \cdot \frac{3 - 2 2}{3 - 2 2} = \frac{3 ( 3 - 2 2 )}{9 - 8} = 3 (3 - 22) = 9 - 62

. Три члена:

9 - 62, 3, 9 + 62

. Сумма:

21

. Верно.

Ответ: $9 - 62; 3; 9 + 62$ (и симметричный ответ с заменой $q \to 1/ q$ ).

Типичная ошибка. Обозначать члены как $b_{1}, b_{1} q, b_{1} q^{2}$ — это правильно, но произведение тогда $b_{1}^{3} q^{3}$ , из которого труднее извлечь ответ. Трюк с $b / q, b, b q$ специально придуман для таких задач.

Пример 3 (уровень В, skeleton — 2 шага свёрнуты). Задача из финансовой математики (тип задания 16): в начале 2020 года вклад составлял $100000$ рублей. Банк начисляет $8%$ годовых. Сколько денег будет на счёте в начале 2025 года?

Решение.

Это задача на геометрическую прогрессию, где знаменатель $q = 1 + 0, 08 = 1, 08$ .

Шаг 1. Сформулируй, как связаны $n$ и год.

Подсказка к шагу 1

Вклад в начале 2020 года — это

b_{1} = 100000

. Каждый год сумма умножается на

1, 08

. В начале 2025 года прошло ровно 5 лет, то есть умножение произошло 5 раз. Сумма:

A = 100000 \cdot (1, 08)^{5}

. Важное замечание по нотации: в финансовой формуле

A = P (1 + r)^{n}

буква

n

— это число лет. В формуле прогрессии

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

буква

n

— порядковый номер. Через 5 лет сумма

A = P (1 + r)^{5}

, что соответствует

b_{6} = b_{1} q^{5}

в нотации прогрессии (шестой член, потому что первый член — это исходная сумма до начисления).

Шаг 2. Вычисли $(1, 08)^{5}$ .

Подсказка к шагу 2

(1, 08)^{2} = 1, 1664

(1, 08)^{4} = (1, 1664)^{2} \approx 1, 3605

(1, 08)^{5} \approx 1, 3605 \cdot 1, 08 \approx 1, 4693

. Итого:

100000 \cdot 1, 4693 = 146930

рублей (с точностью до рубля).

Итоговая проверка. После 1 года: $108000$ . После 2: $116640$ . После 3: $125971$ . После 4: $136049$ . После 5: $146933$ (небольшое расхождение из-за округлений на каждом шаге).

Ответ: приблизительно $146930$ рублей.

Типичная ошибка. Написать $100000 \cdot 1, 08 \cdot 5 = 540000$ — это формула простых процентов, а не сложных. При сложном проценте каждый год считается от уже возросшей суммы, поэтому умножение, а не сложение.

Пример 4 (уровень Б, типовое задание 8). В геометрической прогрессии известно, что сумма первого и третьего членов равна $30$ , а второй член равен $12$ . Найди знаменатель прогрессии.

Решение.

Запишем условия через первый член $b_{1}$ и знаменатель $q$ . Первый член — это $b_{1}$ , второй — $b_{1} q$ , третий — $b_{1} q^{2}$ . Получаем систему:

$b_{1} + b_{1} q^{2} = 30, b_{1} q = 12$

Из второго уравнения выразим $b_{1} = \frac{12}{q}$ и подставим в первое:

$\frac{12}{q} + \frac{12}{q} \cdot q^{2} = 30 ⟹ \frac{12}{q} + 12 q = 30$

Умножим обе части на $q$ (при $q \neq = 0$ ):

$12 + 12 q^{2} = 30 q ⟹ 12 q^{2} - 30 q + 12 = 0 ⟹ 2 q^{2} - 5 q + 2 = 0$

Дискриминант: $D = 25 - 16 = 9$ , $D = 3$ . Корни:

$q = \frac{5 \pm 3}{4} ⟹ q = 2 или q = \frac{1}{2}$

Оба значения подходят: при $q = 2$ получаем прогрессию $6, 12, 24$ (сумма крайних $6 + 24 = 30$ ✓), при $q = \frac{1}{2}$ — прогрессию $24, 12, 6$ (та же тройка наоборот). Это и есть симметрия задания: замена $q \to 1/ q$ переворачивает прогрессию, не меняя множество членов.

Ответ: $q = 2$ или $q = 0, 5$ .

Типичная ошибка. Отбросить один из корней без проверки. В заданиях 8 на прогрессию часто оба значения знаменателя дают допустимую прогрессию — пиши оба, если в условии нет дополнительных ограничений (например, «прогрессия убывающая» оставило бы только $q = 0, 5$ ).

Типичные ошибки

1. Путаница показателей в формуле $b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ . Если спрашивают $b_{5}$ , то $q^{4}$ , а не $q^{5}$ . Запомни: показатель степени = номер члена минус один.

2. Деление $b_{n} / b_{m}$ даёт $q^{n - m}$ , но только при $n > m$ . Если $b_{5} / b_{2} = q^{3}$ , всё верно. Ошибка: считать $b_{2} / b_{5} = q^{3}$ (это $q^{- 3}$ ).

3. Отрицательный знаменатель пропущен. Из $q^{2} = 9$ следует $q = \pm 3$ . Оба значения нужно проверить на соответствие условию.

4. Бесконечная сумма при $∣ q ∣ \geq 1$ . Формула $S = b_{1} / (1 - q)$ работает только при $∣ q ∣ < 1$ . При $q = 2$ бесконечная сумма не существует.

5. Финансовая путаница «начисление / конец года». В задачах на вклад важно: начисление «в конце года» означает, что через $n$ лет сумма $= b_{1} \cdot q^{n}$ (умножение $n$ раз), а не $b_{1} \cdot q^{n - 1}$ . Читай условие внимательно.

Связь с другими темами

Геометрическая прогрессия тесно связана с арифметической прогрессией: обе входят в задание 8, часто идут вместе в одном билете. Отличие в том, что в арифметической — постоянная разность, в геометрической — постоянное отношение (знаменатель).

Задание 16 про вклады и кредиты — это применение геометрической прогрессии к финансам. Подробнее про финансовые задачи: финансовые задачи ЕГЭ. Там же разобраны задачи на кредиты, где каждый месяц остаток долга умножается на $(1 + r)$ , но частично погашается — это чуть сложнее, чем простой вклад.

Логарифмы нужны, когда из формулы $b_{1} \cdot q^{n - 1} = A$ нужно найти $n$ (логарифмические уравнения).

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 8 — «лёгкое» закрытое задание. Обычно дают два-три условия на прогрессию и просят найти конкретный член или сумму. За правильный ответ — 1 первичный балл. Подробнее: задание 8 ЕГЭ: прогрессии и текстовые задачи.

Задание 16 — развёрнутое решение, 3 первичных балла. Финансовые задачи на сложный процент (вклад, кредит, рост/снижение показателя) — это геометрическая прогрессия в прикладном контексте. Часто нужно найти: когда вклад достигнет суммы $X$ , или сравнить два предложения банков. Подробнее: задание 16 ЕГЭ: финансовые задачи.

Разграничение важно: в задании 8 спрашивают чисто математику прогрессии, в задании 16 — её применение к экономике. Формулы те же, но в задании 16 нужно правильно интерпретировать условие: что такое $b_{1}$ , что такое $n$ , «в начале» или «в конце» года.

Отработай геометрическую прогрессию на задачах

В Сотах адаптивная практика: решаешь задачи по своему уровню, система подсвечивает пробелы и строит план.

Попробовать бесплатно

Геометрическая прогрессия: формулы и применение

Определение и примеры из жизни

Ключевые формулы

Формула n-го члена

Сумма первых n членов

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Как решать задачи на прогрессии

Разбор примеров

Типичные ошибки

Связь с другими темами

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Часто задаваемые вопросы

Смежные темы