Геометрическая прогрессия: формулы и применение

Геометрическая прогрессия — тема, которая встречается в «лёгких» заданиях 8 и в «финансовых» задачах задания 16. Разберём все формулы и ловушки.

Определение и примеры из жизни

Геометрическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Это число называется знаменателем прогрессии и обозначается $q$.

Формально: последовательность $b_1, b_2, b_3, \ldots$ — геометрическая прогрессия, если для всех $n \geq 1$ выполняется

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

где $q \neq 0$ и $b_1 \neq 0$.

Несколько примеров, которые помогают не путаться:

• $2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$ — геометрическая прогрессия, $b_1 = 2$, $q = 3$.
• $100,\ 50,\ 25,\ 12{,}5,\ \ldots$ — геометрическая прогрессия, $b_1 = 100$, $q = 0{,}5$.
• $3,\ -6,\ 12,\ -24,\ \ldots$ — геометрическая прогрессия, $b_1 = 3$, $q = -2$.
• $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ \ldots$ — тоже геометрическая прогрессия с $q = 1$.

Почему «геометрическая»? Каждый член является средним геометрическим соседних: $b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}$.

Реальный пример: вклад под сложный процент. Если положить $1000$ рублей под $10\%$ годовых, то через год будет $1100$, через два — $1210$, через три — $1331$ рублей. Это геометрическая прогрессия с $q = 1{,}1$. Именно это связывает задания 8 и 16 — но об этом подробнее в разделе про ЕГЭ.

Ключевые формулы

Формула n-го члена

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Расшифровка символов:

• $b_n$ — $n$-й член прогрессии;
• $b_1$ — первый член прогрессии;
• $q$ — знаменатель прогрессии;
• $n$ — порядковый номер члена (начинается с $1$).

Обрати внимание: показатель степени — это $n-1$, а не $n$. Почему? Первый член $b_1 = b_1 \cdot q^0 = b_1 \cdot 1 = b_1$ — всё сходится. Второй: $b_2 = b_1 \cdot q^1$ — умножили один раз. Третий: $b_3 = b_1 \cdot q^2$ — умножили дважды. Значит, для $n$-го члена умножаем $(n-1)$ раз.

Сумма первых n членов

Раскрываем скобки:

$S_n = b_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}, \quad q \neq 1$

При $q = 1$ прогрессия постоянная: $S_n = b_1 \cdot n$.

Расшифровка:

• $S_n$ — сумма первых $n$ членов;
• $b_1$ — первый член;
• $q$ — знаменатель;
• $n$ — количество суммируемых членов.

Удобная альтернативная запись, когда известен последний член $b_n$:

$S_n = \frac{b_n \cdot q - b_1}{q - 1}$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Если $|q| < 1$, частичные суммы стремятся к конечному пределу:

$S = \frac{b_1}{1 - q}$

Это работает только при $|q| < 1$. При $|q| \geq 1$ бесконечная сумма расходится (не существует).

Интуиция: если $q = 0{,}5$, то члены прогрессии быстро уменьшаются — $1 + 0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}125 + \ldots$ Эта сумма стремится к $2$. По формуле: $S = \dfrac{1}{1 - 0{,}5} = 2$.

Как решать задачи на прогрессии

Большинство задач на геометрическую прогрессию — это уравнения с двумя неизвестными $b_1$ и $q$. Алгоритм:

1. Выпиши, что дано. Обычно известны два члена или условие на члены (сумма двух членов, их произведение и т.п.).
2. Запиши систему. Каждое условие — уравнение через $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
3. Раздели уравнения (часто помогает деление одного на другое, чтобы убрать $b_1$).
4. Найди $q$, потом $b_1$.
5. Проверь ответ — подставь и убедись, что прогрессия сходится с условием.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Геометрическая прогрессия: $b_2 = 6$, $b_4 = 54$. Найти $b_1$ и $q$.

Решение.

Запишем оба условия через формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_2 = b_1 \cdot q^1 = 6$ $b_4 = b_1 \cdot q^3 = 54$

Разделим второе уравнение на первое (это стандартный приём, чтобы убрать $b_1$):

$\frac{b_1 \cdot q^3}{b_1 \cdot q} = \frac{54}{6} \implies q^2 = 9 \implies q = 3 \text{ или } q = -3$

Находим $b_1$ из первого уравнения:

• при $q = 3$: $b_1 \cdot 3 = 6$, значит $b_1 = 2$;
• при $q = -3$: $b_1 \cdot (-3) = 6$, значит $b_1 = -2$.

Оба ответа формально корректны, если в задаче нет ограничений на знак. Проверка для $b_1 = 2$, $q = 3$: прогрессия $2,\ 6,\ 18,\ 54$ — второй и четвёртый члены совпадают с условием.

Ответ: $b_1 = 2$, $q = 3$ (или $b_1 = -2$, $q = -3$).

Типичная ошибка. Деление $b_4/b_2$ даёт $q^2 = 9$, поэтому сразу писать $q = 3$ нельзя. Не забывай про отрицательное значение $q = -3$.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Сумма трёх последовательных членов геометрической прогрессии равна $21$, их произведение равно $27$. Найти эти три члена.

Решение.

Удобный приём: обозначить три последовательных члена как $\dfrac{b}{q},\ b,\ bq$ — так произведение сразу упрощается.

Тогда:

• Произведение: $\dfrac{b}{q} \cdot b \cdot bq = b^3 = 27 \implies b = 3$.
• Сумма: $\dfrac{3}{q} + 3 + 3q = 21$.

Попробуй сам упростить уравнение на сумму. Умножь всё на $q$, получи квадратное уравнение и реши его.

Ответ: $9 - 6\sqrt{2};\ 3;\ 9 + 6\sqrt{2}$ (и симметричный ответ с заменой $q \to 1/q$).

Типичная ошибка. Обозначать члены как $b_1, b_1 q, b_1 q^2$ — это правильно, но произведение тогда $b_1^3 q^3$, из которого труднее извлечь ответ. Трюк с $b/q,\ b,\ bq$ специально придуман для таких задач.

Пример 3 (уровень В, skeleton — 2 шага свёрнуты). Задача из финансовой математики (тип задания 16): в начале 2020 года вклад составлял $100\,000$ рублей. Банк начисляет $8\%$ годовых. Сколько денег будет на счёте в начале 2025 года?

Решение.

Это задача на геометрическую прогрессию, где знаменатель $q = 1 + 0{,}08 = 1{,}08$.

Шаг 1. Сформулируй, как связаны $n$ и год.

Шаг 2. Вычисли $(1{,}08)^5$.

Итоговая проверка. После 1 года: $108\,000$. После 2: $116\,640$. После 3: $125\,971$. После 4: $136\,049$. После 5: $146\,933$ (небольшое расхождение из-за округлений на каждом шаге).

Ответ: приблизительно $146\,930$ рублей.

Типичная ошибка. Написать $100\,000 \cdot 1{,}08 \cdot 5 = 540\,000$ — это формула простых процентов, а не сложных. При сложном проценте каждый год считается от уже возросшей суммы, поэтому умножение, а не сложение.

Пример 4 (уровень Б, типовое задание 8). В геометрической прогрессии известно, что сумма первого и третьего членов равна $30$, а второй член равен $12$. Найди знаменатель прогрессии.

Решение.

Запишем условия через первый член $b_1$ и знаменатель $q$. Первый член — это $b_1$, второй — $b_1 q$, третий — $b_1 q^2$. Получаем систему:

$b_1 + b_1 q^2 = 30, \qquad b_1 q = 12$

Из второго уравнения выразим $b_1 = \dfrac{12}{q}$ и подставим в первое:

$\frac{12}{q} + \frac{12}{q} \cdot q^2 = 30 \implies \frac{12}{q} + 12q = 30$

Умножим обе части на $q$ (при $q \neq 0$):

$12 + 12q^2 = 30q \implies 12q^2 - 30q + 12 = 0 \implies 2q^2 - 5q + 2 = 0$

Дискриминант: $D = 25 - 16 = 9$, $\sqrt{D} = 3$. Корни:

$q = \frac{5 \pm 3}{4} \implies q = 2 \ \text{или}\ q = \frac{1}{2}$

Оба значения подходят: при $q = 2$ получаем прогрессию $6,\ 12,\ 24$ (сумма крайних $6 + 24 = 30$ ✓), при $q = \dfrac{1}{2}$ — прогрессию $24,\ 12,\ 6$ (та же тройка наоборот). Это и есть симметрия задания: замена $q \to 1/q$ переворачивает прогрессию, не меняя множество членов.

Ответ: $q = 2$ или $q = 0{,}5$.

Типичная ошибка. Отбросить один из корней без проверки. В заданиях 8 на прогрессию часто оба значения знаменателя дают допустимую прогрессию — пиши оба, если в условии нет дополнительных ограничений (например, «прогрессия убывающая» оставило бы только $q = 0{,}5$).

Типичные ошибки

1. Путаница показателей в формуле $b_n = b_1 q^{n-1}$. Если спрашивают $b_5$, то $q^4$, а не $q^5$. Запомни: показатель степени = номер члена минус один.

2. Деление $b_n / b_m$ даёт $q^{n-m}$, но только при $n > m$. Если $b_5/b_2 = q^3$, всё верно. Ошибка: считать $b_2/b_5 = q^3$ (это $q^{-3}$).

3. Отрицательный знаменатель пропущен. Из $q^2 = 9$ следует $q = \pm 3$. Оба значения нужно проверить на соответствие условию.

4. Бесконечная сумма при $|q| \geq 1$. Формула $S = b_1/(1-q)$ работает только при $|q| < 1$. При $q = 2$ бесконечная сумма не существует.

5. Финансовая путаница «начисление / конец года». В задачах на вклад важно: начисление «в конце года» означает, что через $n$ лет сумма $= b_1 \cdot q^n$ (умножение $n$ раз), а не $b_1 \cdot q^{n-1}$. Читай условие внимательно.

Связь с другими темами

Геометрическая прогрессия тесно связана с арифметической прогрессией: обе входят в задание 8, часто идут вместе в одном билете. Отличие в том, что в арифметической — постоянная разность, в геометрической — постоянное отношение (знаменатель).

Задание 16 про вклады и кредиты — это применение геометрической прогрессии к финансам. Подробнее про финансовые задачи: финансовые задачи ЕГЭ. Там же разобраны задачи на кредиты, где каждый месяц остаток долга умножается на $(1 + r)$, но частично погашается — это чуть сложнее, чем простой вклад.

Логарифмы нужны, когда из формулы $b_1 \cdot q^{n-1} = A$ нужно найти $n$ (логарифмические уравнения).

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 8 — «лёгкое» закрытое задание. Обычно дают два-три условия на прогрессию и просят найти конкретный член или сумму. За правильный ответ — 1 первичный балл. Подробнее: задание 8 ЕГЭ: прогрессии и текстовые задачи.

Задание 16 — развёрнутое решение, 3 первичных балла. Финансовые задачи на сложный процент (вклад, кредит, рост/снижение показателя) — это геометрическая прогрессия в прикладном контексте. Часто нужно найти: когда вклад достигнет суммы $X$, или сравнить два предложения банков. Подробнее: задание 16 ЕГЭ: финансовые задачи.

Разграничение важно: в задании 8 спрашивают чисто математику прогрессии, в задании 16 — её применение к экономике. Формулы те же, но в задании 16 нужно правильно интерпретировать условие: что такое $b_1$, что такое $n$, «в начале» или «в конце» года.

Часто задаваемые вопросы