Сколько баллов даёт задание 16?

2 первичных балла за полное правильное решение с обоснованием. Одно из самых формализованных заданий части 2 — почти любая задача сводится к одной из четырёх моделей кредита/вклада.

Чем отличается аннуитетный кредит от дифференцированного?

В аннуитетном все ежемесячные платежи равны — одна и та же сумма каждый месяц. В дифференцированном основная часть долга гасится равными долями, а проценты на остаток уменьшаются. Поэтому в дифференцированном первые платежи больше, последние — меньше.

Какая формула сложных процентов?

$S = S_0(1 + r)^n$, где $S_0$ — начальный вклад, $r$ — ставка за период (в долях, не в процентах), $n$ — число периодов. Формула описывает вклад без пополнений, когда проценты начисляются на всю сумму каждый период.

Как считать аннуитетный платёж?

$P = S_0 \cdot \dfrac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$, где $S_0$ — сумма кредита, $r$ — ставка за период, $n$ — число периодов. Формула получается из требования, что за $n$ периодов остаток долга обнулится при равных платежах $P$.

Что такое процентная ставка за период?

Доля от остатка долга, начисляемая за один период (месяц, квартал, год). Если годовая ставка $12\%$, а начисление ежемесячное — месячная ставка $1\%$ (для простой схемы) или $(1 + 0{,}12)^{1/12} - 1 \approx 0{,}949\%$ (для эффективной).

Как перевести годовую ставку в месячную?

Для простых процентов — поделить на 12 (это нижняя оценка). Для сложных — формула $r_{мес} = (1 + r_{год})^{1/12} - 1$. В задании 16 обычно задают сразу месячную ставку, чтобы избежать этой двусмысленности.

Что такое остаток долга после платежа?

Сумма на начало периода, увеличенная на проценты за этот период, минус сделанный платёж. Обозначим $D_k$ — остаток после $k$-го платежа, тогда $D_k = D_{k-1}(1 + r) - P_k$.

Почему последний платёж иногда отличается от остальных?

Из-за округления или необходимости «подогнать» остаток под ноль. В условиях задач ЕГЭ обычно задано точное число платежей без округлений. Но если задача требует, чтобы долг был погашен точно — последний платёж может оказаться меньше или больше обычного.

Можно ли решать финансовую задачу без рекуррентной формулы?

Можно, через прямое составление уравнения. Для дифференцированного кредита — сумма арифметической прогрессии процентных начислений. Для аннуитетного — уравнение со степенью $(1+r)^n$. Выбирай подход под конкретную формулировку.

Какая ошибка самая распространённая?

Перепутать единицы процентной ставки — взять проценты годовые там, где нужны месячные, или наоборот. Всегда явно выписывай, какая именно ставка дана, и за какой период она действует.

Финансовые задачи ЕГЭ — кредиты, вклады, алгоритмы

Финансовая задача в ЕГЭ — это задание 16, 2 балла. Два типа кредита (аннуитетный и дифференцированный), два типа вкладов (с пополнением и без) — вот и весь зоопарк. Главное — один раз понять модель платежа и записать её формулой. Разберём все четыре сценария.

Что такое финансовая задача ЕГЭ

Задание 16 — экономическая задача. Она моделирует реальные финансовые процессы: кредиты, вклады, ипотеку. Ожидаемая оценка — 2 балла за полное решение с обоснованием всех шагов, ответом и проверкой.

В задании обычно дано:

начальная сумма (долга или вклада);
процентная ставка (за год или за период);
количество периодов (месяцев, лет);
условие на платежи (равные / убывающие / задающие остаток).

Требуется найти: сумму платежа, общую переплату, процент по вкладу, количество периодов или непрямую величину вроде «сколько лет долг уменьшится в два раза».

Общие понятия

Процентная ставка — относительное увеличение суммы за период. Записывается в долях (0,1 = 10%) или в процентах. В формулах удобнее доли.

Период начисления — интервал времени, за который начисляются проценты: месяц, квартал, год. Важно различать «годовую ставку» и «ставку за период начисления».

Основной долг — сумма, которую нужно погасить (без процентов).

Платёж — сумма, которую должник вносит за период. Состоит из части, идущей на погашение основного долга, и части, идущей на проценты.

Остаток долга — сумма, ещё не погашенная.

Модель 1. Дифференцированный кредит

Условие. Основной долг $S_{0}$ гасится равными частями: каждый период платится $S_{0} / n$ в счёт тела долга, плюс проценты на остаток.

Ежемесячный платёж в $k$ -ом периоде:

$P_{k} = \frac{S _{0}}{n} + r \cdot D_{k - 1}$

где $D_{k - 1}$ — остаток долга перед $k$ -ым платежом.

$D_{k - 1} = S_{0} (1 - \frac{k - 1}{n})$ — после $(k - 1)$ платежей.

Общая переплата по кредиту. Сумма всех процентных начислений:

$Переплата = r \cdot \sum_{k = 1}^{n} D_{k - 1} = r \cdot \frac{S _{0} ( n + 1 )}{2}$

В формулу входит сумма арифметической прогрессии остатков.

Модель 2. Аннуитетный кредит

Условие. Все ежемесячные платежи равны: $P_{1} = P_{2} = \dots = P_{n} = P$ .

Формула платежа:

$P = S_{0} \cdot \frac{r ( 1 + r ) ^{n}}{( 1 + r ) ^{n} - 1}$

Общая выплата по кредиту: $n \cdot P$ .

Переплата: $n \cdot P - S_{0}$ .

Формула аннуитета выводится из условия, что после $n$ платежей остаток обнуляется. Рекуррентное уравнение $D_{k} = D_{k - 1} (1 + r) - P$ с начальным условием $D_{0} = S_{0}$ и условием $D_{n} = 0$ даёт уравнение на $P$ , откуда и получается формула.

Модель 3. Кредит с заданным графиком остатка

Условие. Остаток долга уменьшается по заданному закону: например, после первого года — на $A_{1}$ , после второго — на $A_{2}$ и т.д.

Подход. Составляешь уравнение для каждого периода: $D_{k} = D_{k - 1} (1 + r) - P_{k}$ . Из условия задачи $D_{k}$ известны, подставляешь и решаешь относительно $P_{k}$ или $r$ .

Этот сценарий часто встречается в ЕГЭ-формулировках вида «после первого года остаток стал $A_{1}$ , после второго — $A_{2}$ ». Из двух уравнений можно найти две неизвестные — например, ставку и первоначальную сумму.

Модель 4. Вклад

Вклад без пополнений.

$S_{n} = S_{0} (1 + r)^{n}$

Формула сложных процентов. Каждый период начисляются проценты на всю текущую сумму.

Вклад с ежепериодным пополнением $A$ :

$S_{n} = S_{0} (1 + r)^{n} + A \cdot \frac{( 1 + r ) ^{n} - 1}{r}$

Второе слагаемое — сумма геометрической прогрессии пополнений, каждое из которых «прожило» в банке разное число периодов.

Алгоритм решения

Определи модель. Аннуитет? Дифференциал? Кредит с остатком? Вклад? Читай условие внимательно.
Введи переменные и обозначения. Сумма кредита $S_{0}$ , ставка $r$ (обязательно в долях!), число периодов $n$ .
Составь рекуррентную формулу или систему уравнений. Для каждого периода — одно уравнение.
Реши уравнение или систему.
Проверь ответ. Соответствует ли он условию? Положительный? Не слишком большой? Подставь назад.
Оформи решение с обоснованием каждого шага.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, дифференциал). Кредит $1, 000, 000$ рублей взят под $10%$ годовых на 3 года. Ежегодные платежи по дифференцированной схеме: основной долг гасится равными частями, проценты — на остаток. Найди сумму всех выплат.

Решение. Основная часть платежа: $1, 000, 000/3 \approx 333, 333$ руб. в год.

Остатки перед каждым платежом: $D_{0} = 1, 000, 000$ , $D_{1} = 666, 667$ , $D_{2} = 333, 333$ .

Проценты в каждом году:

1-й год: $10% \cdot 1, 000, 000 = 100, 000$ ;
2-й год: $10% \cdot 666, 667 \approx 66, 667$ ;
3-й год: $10% \cdot 333, 333 \approx 33, 333$ .

Платежи:

$333, 333 + 100, 000 = 433, 333$ ;
$333, 333 + 66, 667 = 400, 000$ ;
$333, 334 + 33, 333 = 366, 667$ (последний платёж округлён вверх для гашения остатка).

Сумма всех выплат:

$433, 333 + 400, 000 + 366, 667 = 1, 200, 000$

Ответ: $1, 200, 000$ рублей.

Проверка. По формуле переплаты: $r \cdot S_{0} (n + 1) /2 = 0, 1 \cdot 1, 000, 000 \cdot 4/2 = 200, 000$ . Основной долг: $1, 000, 000$ . Итого: $1, 200, 000$ . Совпадает.

Пример 2 (уровень Б, неизвестная ставка). Кредит $1, 500, 000$ взят на несколько лет с ежегодными равными платежами. После первого года остаток стал $1, 100, 000$ , после второго — $600, 000$ . Найди годовую процентную ставку.

Решение. Пусть годовая ставка $r$ (в долях), ежегодный платёж $P$ .

После первого года: $1, 500, 000 (1 + r) - P = 1, 100, 000$ .

После второго: $1, 100, 000 (1 + r) - P = 600, 000$ .

Вычитаем первое уравнение из второго:

$(1, 100, 000 - 1, 500, 000) (1 + r) = 600, 000 - 1, 100, 000$

$- 400, 000 (1 + r) = - 500, 000$

$1 + r = \frac{500 , 000}{400 , 000} = 1, 25$

Значит $r = 0, 25 = 25%$ .

Ответ: годовая ставка $25%$ .

Типичная ошибка. Забыть вычесть уравнения и попытаться решать каждое отдельно — получится система с двумя неизвестными и лишней переменной.

Пример 3 (уровень В, аннуитет). Кредит $2, 400, 000$ под $1%$ в месяц на 24 месяца. Все платежи равны. Найди размер ежемесячного платежа.

Решение. По формуле аннуитета:

$P = S_{0} \cdot \frac{r ( 1 + r ) ^{n}}{( 1 + r ) ^{n} - 1}$

Подставим $S_{0} = 2, 400, 000$ , $r = 0, 01$ , $n = 24$ :

$P = 2, 400, 000 \cdot \frac{0 , 01 \cdot ( 1 , 01 ) ^{24}}{( 1 , 01 ) ^{24} - 1}$

Вычислим $(1, 01)^{24}$ . В задачах ЕГЭ обычно дают «круглые» числа или просят оставить ответ с этой степенью.

Пусть $(1, 01)^{24} = q$ . Тогда:

$P = 2, 400, 000 \cdot \frac{0 , 01 q}{q - 1} = \frac{24 , 000 q}{q - 1}$

При заданных условиях ЕГЭ чаще просят выразить ответ через $q$ или дают готовое $q \approx 1, 2697$ . Тогда:

$P \approx \frac{24 , 000 \cdot 1 , 2697}{0 , 2697} \approx 113, 004$

Ответ: примерно $113, 004$ рублей (или точно $\frac{24 , 000 \cdot ( 1 , 01 ) ^{24}}{( 1 , 01 ) ^{24} - 1}$ ).

Типичная ошибка. Посчитать платёж как $S_{0} / n + r S_{0} = 100, 000 + 24, 000 = 124, 000$ . Это формула для первого платежа дифференциальной схемы, а не аннуитет.

Типичные ошибки

Путать «процент за период» и «процент годовых». Если ставка $12%$ годовых и начисление ежемесячное — месячная ставка $1%$ (при простой схеме) или $\approx 0, 949%$ (при эффективной). На ЕГЭ обычно явно дают месячную.
Терять последний платёж. Если кредит гасится за $n$ периодов, всего $n$ платежей. Не $n - 1$ и не $n + 1$ .
Ошибаться в формуле аннуитета. Запомни через вывод: $D_{n} = 0$ , $D_{k} = D_{k - 1} (1 + r) - P$ . Прямая формула получается геометрической прогрессией и в голове не держится без понимания.
Забывать, что проценты начисляются на остаток. В дифференциальной схеме каждый период остаток разный, и процент тоже.
Игнорировать единицы измерения. Рубли, проценты в долях или в процентах, период в годах или месяцах — всё должно быть согласовано. Проверяй размерности.

Связь с другими темами

Квадратные уравнения — часто возникают после составления уравнения на ставку или сумму.
Показательные уравнения — в задачах с неизвестным сроком кредита или пополнения вклада появляются степени $(1 + r)^{n}$ , которые требуют логарифмирования.
Логарифмические уравнения — для нахождения $n$ из уравнений вида $(1 + r)^{n} = A$ .

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 16 — экономическая задача, 2 балла за полное решение с обоснованием.

Отработай задание 16

Сотик даст адаптивные задачи про кредиты и вклады

Начать бесплатно