Финансовые задачи ЕГЭ — кредиты, вклады, алгоритмы

Финансовая задача в ЕГЭ — это задание 17, 3 балла. Два типа кредита (аннуитетный и дифференцированный), два типа вкладов (с пополнением и без) — вот и весь зоопарк. Главное — один раз понять модель платежа и записать её формулой. Разберём все четыре сценария.

Что такое финансовая задача ЕГЭ

Задание 17 — экономическая задача. Она моделирует реальные финансовые процессы: кредиты, вклады, ипотеку. Ожидаемая оценка — 3 балла за полное решение с обоснованием всех шагов, ответом и проверкой.

В задании обычно дано:

• начальная сумма (долга или вклада);
• процентная ставка (за год или за период);
• количество периодов (месяцев, лет);
• условие на платежи (равные / убывающие / задающие остаток).

Требуется найти: сумму платежа, общую переплату, процент по вкладу, количество периодов или непрямую величину вроде «сколько лет долг уменьшится в два раза».

Общие понятия

Процентная ставка — относительное увеличение суммы за период. Записывается в долях (0,1 = 10%) или в процентах. В формулах удобнее доли.

Период начисления — интервал времени, за который начисляются проценты: месяц, квартал, год. Важно различать «годовую ставку» и «ставку за период начисления».

Основной долг — сумма, которую нужно погасить (без процентов).

Платёж — сумма, которую должник вносит за период. Состоит из части, идущей на погашение основного долга, и части, идущей на проценты.

Остаток долга — сумма, ещё не погашенная.

Модель 1. Дифференцированный кредит

Условие. Основной долг $S_0$ гасится равными частями: каждый период платится $S_0 / n$ в счёт тела долга, плюс проценты на остаток.

Ежемесячный платёж в $k$-ом периоде:

$P_k = \frac{S_0}{n} + r \cdot D_{k-1}$

где $D_{k-1}$ — остаток долга перед $k$-ым платежом.

$D_{k-1} = S_0 \left(1 - \dfrac{k-1}{n}\right)$ — после $(k-1)$ платежей.

Общая переплата по кредиту. Сумма всех процентных начислений:

$\text{Переплата} = r \cdot \sum_{k=1}^{n} D_{k-1} = r \cdot \frac{S_0(n + 1)}{2}$

В формулу входит сумма арифметической прогрессии остатков.

Модель 2. Аннуитетный кредит

Условие. Все ежемесячные платежи равны: $P_1 = P_2 = \ldots = P_n = P$.

Формула платежа:

$P = S_0 \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}$

Общая выплата по кредиту: $n \cdot P$.

Переплата: $n \cdot P - S_0$.

Формула аннуитета выводится из условия, что после $n$ платежей остаток обнуляется. Рекуррентное уравнение $D_k = D_{k-1}(1 + r) - P$ с начальным условием $D_0 = S_0$ и условием $D_n = 0$ даёт уравнение на $P$, откуда и получается формула.

Модель 3. Кредит с заданным графиком остатка

Условие. Остаток долга уменьшается по заданному закону: например, после первого года — на $A_1$, после второго — на $A_2$ и т.д.

Подход. Составляешь уравнение для каждого периода: $D_k = D_{k-1}(1 + r) - P_k$. Из условия задачи $D_k$ известны, подставляешь и решаешь относительно $P_k$ или $r$.

Этот сценарий часто встречается в ЕГЭ-формулировках вида «после первого года остаток стал $A_1$, после второго — $A_2$». Из двух уравнений можно найти две неизвестные — например, ставку и первоначальную сумму.

Модель 4. Вклад

Вклад без пополнений.

$S_n = S_0 (1 + r)^n$

Формула сложных процентов. Каждый период начисляются проценты на всю текущую сумму.

Вклад с ежепериодным пополнением $A$:

$S_n = S_0(1 + r)^n + A \cdot \frac{(1 + r)^n - 1}{r}$

Второе слагаемое — сумма геометрической прогрессии пополнений, каждое из которых «прожило» в банке разное число периодов.

Алгоритм решения

1. Определи модель. Аннуитет? Дифференциал? Кредит с остатком? Вклад? Читай условие внимательно.
2. Введи переменные и обозначения. Сумма кредита $S_0$, ставка $r$ (обязательно в долях!), число периодов $n$.
3. Составь рекуррентную формулу или систему уравнений. Для каждого периода — одно уравнение.
4. Реши уравнение или систему.
5. Проверь ответ. Соответствует ли он условию? Положительный? Не слишком большой? Подставь назад.
6. Оформи решение с обоснованием каждого шага.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, дифференциал). Кредит $1{,}000{,}000$ рублей взят под $10\%$ годовых на 3 года. Ежегодные платежи по дифференцированной схеме: основной долг гасится равными частями, проценты — на остаток. Найди сумму всех выплат.

Решение. Основная часть платежа: $1{,}000{,}000 / 3 \approx 333{,}333$ руб. в год.

Остатки перед каждым платежом: $D_0 = 1{,}000{,}000$, $D_1 = 666{,}667$, $D_2 = 333{,}333$.

Проценты в каждом году:

• 1-й год: $10\% \cdot 1{,}000{,}000 = 100{,}000$;
• 2-й год: $10\% \cdot 666{,}667 \approx 66{,}667$;
• 3-й год: $10\% \cdot 333{,}333 \approx 33{,}333$.

Платежи:

• $333{,}333 + 100{,}000 = 433{,}333$;
• $333{,}333 + 66{,}667 = 400{,}000$;
• $333{,}334 + 33{,}333 = 366{,}667$ (последний платёж округлён вверх для гашения остатка).

Сумма всех выплат:

$433{,}333 + 400{,}000 + 366{,}667 = 1{,}200{,}000$

Ответ: $1{,}200{,}000$ рублей.

Проверка. По формуле переплаты: $r \cdot S_0 (n+1)/2 = 0{,}1 \cdot 1{,}000{,}000 \cdot 4/2 = 200{,}000$. Основной долг: $1{,}000{,}000$. Итого: $1{,}200{,}000$. Совпадает.

Пример 2 (уровень Б, неизвестная ставка). Кредит $1{,}500{,}000$ взят на несколько лет с ежегодными равными платежами. После первого года остаток стал $1{,}100{,}000$, после второго — $600{,}000$. Найди годовую процентную ставку.

Решение. Пусть годовая ставка $r$ (в долях), ежегодный платёж $P$.

После первого года: $1{,}500{,}000(1 + r) - P = 1{,}100{,}000$.

После второго: $1{,}100{,}000(1 + r) - P = 600{,}000$.

Вычитаем первое уравнение из второго:

$(1{,}100{,}000 - 1{,}500{,}000)(1 + r) = 600{,}000 - 1{,}100{,}000$

$-400{,}000 (1 + r) = -500{,}000$

$1 + r = \frac{500{,}000}{400{,}000} = 1{,}25$

Значит $r = 0{,}25 = 25\%$.

Ответ: годовая ставка $25\%$.

Типичная ошибка. Забыть вычесть уравнения и попытаться решать каждое отдельно — получится система с двумя неизвестными и лишней переменной.

Пример 3 (уровень В, аннуитет). Кредит $2{,}400{,}000$ под $1\%$ в месяц на 24 месяца. Все платежи равны. Найди размер ежемесячного платежа.

Решение. По формуле аннуитета:

$P = S_0 \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1}$

Подставим $S_0 = 2{,}400{,}000$, $r = 0{,}01$, $n = 24$:

$P = 2{,}400{,}000 \cdot \frac{0{,}01 \cdot (1{,}01)^{24}}{(1{,}01)^{24} - 1}$

Вычислим $(1{,}01)^{24}$. В задачах ЕГЭ обычно дают «круглые» числа или просят оставить ответ с этой степенью.

Пусть $(1{,}01)^{24} = q$. Тогда:

$P = 2{,}400{,}000 \cdot \frac{0{,}01 q}{q - 1} = \frac{24{,}000 q}{q - 1}$

При заданных условиях ЕГЭ чаще просят выразить ответ через $q$ или дают готовое $q \approx 1{,}2697$. Тогда:

$P \approx \frac{24{,}000 \cdot 1{,}2697}{0{,}2697} \approx 113{,}004$

Ответ: примерно $113{,}004$ рублей (или точно $\dfrac{24{,}000 \cdot (1{,}01)^{24}}{(1{,}01)^{24} - 1}$).

Типичная ошибка. Посчитать платёж как $S_0 / n + r S_0 = 100{,}000 + 24{,}000 = 124{,}000$. Это формула для первого платежа дифференциальной схемы, а не аннуитет.

Типичные ошибки

1. Путать «процент за период» и «процент годовых». Если ставка $12\%$ годовых и начисление ежемесячное — месячная ставка $1\%$ (при простой схеме) или $\approx 0{,}949\%$ (при эффективной). На ЕГЭ обычно явно дают месячную.
2. Терять последний платёж. Если кредит гасится за $n$ периодов, всего $n$ платежей. Не $n-1$ и не $n+1$.
3. Ошибаться в формуле аннуитета. Запомни через вывод: $D_n = 0$, $D_k = D_{k-1}(1+r) - P$. Прямая формула получается геометрической прогрессией и в голове не держится без понимания.
4. Забывать, что проценты начисляются на остаток. В дифференциальной схеме каждый период остаток разный, и процент тоже.
5. Игнорировать единицы измерения. Рубли, проценты в долях или в процентах, период в годах или месяцах — всё должно быть согласовано. Проверяй размерности.

Связь с другими темами

• Квадратные уравнения — часто возникают после составления уравнения на ставку или сумму.
• Показательные уравнения — в задачах с неизвестным сроком кредита или пополнения вклада появляются степени $(1 + r)^n$, которые требуют логарифмирования.
• Логарифмические уравнения — для нахождения $n$ из уравнений вида $(1 + r)^n = A$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 17 (экономическая задача) — основной номер. 3 балла за полное решение с обоснованием.