Уравнения с модулем: 3 метода решения

Уравнения с модулем — отдельный класс задач, требующий понимания природы абсолютной величины. В задании 12 встречаются уравнения средней сложности, в задании 18 — параметрические конструкции с модулем.

Что такое модуль: определение и геометрический смысл

$|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Геометрический смысл: $|a|$ — расстояние от точки $a$ до нуля на числовой оси. $|a - b|$ — расстояние между точками $a$ и $b$.

Ключевые свойства: $|a| \geq 0$ всегда, $|a| = 0$ только при $a = 0$, $|{-a}| = |a|$, $|ab| = |a||b|$.

Метод 1. Раскрытие по знаку

Самый универсальный метод. Разбиваешь на случаи в зависимости от знака выражения под модулем.

Алгоритм:

1. Найди нули выражения под модулем.
2. Разбей числовую ось на промежутки.
3. На каждом промежутке раскрой модуль без знака (или с минусом).
4. Реши уравнение на каждом промежутке.
5. Проверь, что найденные корни лежат в нужных промежутках.

Пример 1 (уровень А). Реши $|2x - 4| = 6$.

Решение.

Случай 1: $2x - 4 \geq 0$, то есть $x \geq 2$. Тогда $2x - 4 = 6 \Rightarrow x = 5$. ✓ ($5 \geq 2$)

Случай 2: $2x - 4 < 0$, то есть $x < 2$. Тогда $-(2x - 4) = 6 \Rightarrow -2x + 4 = 6 \Rightarrow x = -1$. ✓ ($-1 < 2$)

Ответ: $x = 5$ или $x = -1$.

Пример 2 (уровень Б). Реши $|x - 1| + |x + 3| = 6$.

Решение.

Нули: $x = 1$ и $x = -3$. Три промежутка: $x < -3$, $-3 \leq x < 1$, $x \geq 1$.

На $x < -3$: $-(x-1) + (-(x+3)) = 6 \Rightarrow -2x - 2 = 6 \Rightarrow x = -4$. ✓ ($-4 < -3$)

На $-3 \leq x < 1$: $-(x-1) + (x+3) = 6 \Rightarrow 4 = 6$ — нет решений.

На $x \geq 1$: $(x-1) + (x+3) = 6 \Rightarrow 2x + 2 = 6 \Rightarrow x = 2$. ✓ ($2 \geq 1$)

Ответ: $x = -4$ или $x = 2$.

Метод 2. Графический

Строишь график $y = |f(x)|$ (левая часть) и $y = g(x)$ (правая часть). Количество пересечений — количество решений.

Особенно полезен:

• для задания 18 с параметром (находишь, при каких $a$ прямая $y = a$ пересекает график $|f(x)|$ нужное число раз),
• когда нужно оценить количество решений, не находя их точные значения.

Пример 3 (параметр, уровень В). При каких значениях $a$ уравнение $|x^2 - 4| = a$ имеет ровно 4 решения?

Решение.

График $y = |x^2 - 4|$ — парабола $y = x^2 - 4$, «отражённая» в участке $x \in (-2, 2)$ где $x^2 < 4$.

График имеет минимум $y = 0$ при $x = \pm 2$ и локальный максимум $y = 4$ при $x = 0$.

Горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график ровно 4 раза при $0 < a < 4$.

Ответ: $a \in (0, 4)$.

Метод 3. Алгебраический (возведение в квадрат)

Работает для уравнения вида $|f(x)| = g(x)$, когда $g(x) \geq 0$.

$|f(x)| = g(x) \quad \Leftrightarrow \quad f^2(x) = g^2(x)$

После возведения в квадрат — решаешь и проверяешь. Этот метод иногда быстрее, чем разбор по знаку.

Пример 4 (уровень Б). Реши $|x^2 - 3| = x - 1$.

Решение.

Условие: $x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$.

Возводим в квадрат: $(x^2 - 3)^2 = (x-1)^2$.

$x^4 - 6x^2 + 9 = x^2 - 2x + 1$

$x^4 - 7x^2 + 2x + 8 = 0$

Проверяем: $x = 2$: $16 - 28 + 4 + 8 = 0$ ✓. $x = -1$: $1 - 7 - 2 + 8 = 0$ ✓.

Факторизация: $(x-2)(x+1)(x^2 + x - 4) = 0$.

Как получена факторизация: подбираем рациональные корни: $x=2$: $16-28+4+8=0$ ✓. Делим на $(x-2)$: получаем $x^3+2x^2-3x-4$. Проверяем $x=-1$: $-1+2+3-4=0$ ✓. Делим на $(x+1)$: получаем $x^2+x-4$.

Проверка $x=2$: $|4-3|=2-1$ → $1=1$ ✓

Другие корни: $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$. При $x \geq 1$: $x = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1{,}56$ ✓. Корень $\dfrac{-1 - \sqrt{17}}{2} < 1$ — не подходит.

Итого корней с $x \geq 1$: $x = 2$ и $x = \dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$.

Проверяем $x = -1$: $-1 < 1$, не в ОДЗ.

Ответ: $x = 2$, $x = \dfrac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

Частые ошибки

1. Не проверять принадлежность корня промежутку. При раскрытии по знаку найденный корень должен попасть в тот промежуток, для которого решалось уравнение. Иначе — посторонний корень.
2. Забыть, что модуль всегда ≥ 0. Уравнение $|f(x)| = -3$ не имеет решений — сразу пишешь «нет корней».
3. Возводить в квадрат без условия на правую часть. Сначала проверяешь, что правая часть неотрицательна.
4. Не учитывать все промежутки при нескольких модулях. Если два модуля, нулей два, промежутков три. Не пропускай промежутки.

Связь с другими темами

• Квадратные уравнения — после раскрытия модуля часто получается квадратное уравнение.
• Метод интервалов — используется при нахождении промежутков для раскрытия знака.
• Иррациональные уравнения — схожая логика проверки посторонних корней.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 12 — уравнения повышенного уровня с модулем.
• Задание 18 — параметрические задачи, где граф $y = |f(x)|$ и прямая $y = a$ помогают найти количество решений.