Арифметическая прогрессия: формулы n-го члена и суммы

Арифметическая прогрессия — базовая алгебраическая структура. Две формулы (n-й член и сумма) плюс системы уравнений для нахождения параметров — и ты решаешь все задачи на прогрессии. Разберём всё по порядку.

Определение

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число $d$:

$a_{n+1} = a_n + d$

$d$ называется разностью прогрессии. При $d > 0$ прогрессия возрастает, при $d < 0$ — убывает, при $d = 0$ — постоянная.

Примеры:

• $1, 4, 7, 10, 13, \ldots$ — $d = 3$ (возрастающая)
• $10, 6, 2, -2, -6, \ldots$ — $d = -4$ (убывающая)
• $5, 5, 5, 5, \ldots$ — $d = 0$ (постоянная)

Формула n-го члена

$\boxed{a_n = a_1 + (n-1)d}$

Эта формула позволяет найти любой член, зная первый член $a_1$ и разность $d$.

Вывод: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$, \ldots, $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Формула суммы (формула Гаусса)

$\boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}$

Или, подставив формулу $a_n$:

$S_n = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2} d$

Идея Гаусса: если сложить первый и последний, второй и предпоследний — каждая пара даёт одинаковую сумму $(a_1 + a_n)$. Таких пар $n/2$, отсюда формула.

Свойство среднего члена

$a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$

Каждый внутренний член прогрессии равен полусумме соседних. Обобщение:

$a_k = \frac{a_{k-m} + a_{k+m}}{2}$

Это свойство симметрии — прогрессия симметрична относительно любого члена.

Нахождение параметров через систему уравнений

Классическая задача: даны два члена $a_m$ и $a_n$, найти $a_1$ и $d$. Составляем систему:

$\begin{cases} a_1 + (m-1)d = a_m \\ a_1 + (n-1)d = a_n \end{cases}$

Вычитаем уравнения: $(n-m)d = a_n - a_m$, откуда $d = \dfrac{a_n - a_m}{n-m}$.

Разборы задач

Задача 1 (нахождение параметров)

Условие. $a_3 = 11$, $a_7 = 23$. Найди $a_1$ и $d$.

Решение. $\begin{cases} a_1 + 2d = 11 \\ a_1 + 6d = 23 \end{cases}$

Вычитаем: $4d = 12 \Rightarrow d = 3$. Тогда $a_1 = 11 - 6 = 5$.

Прогрессия: $5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, \ldots$ ✓

Задача 2 (нахождение суммы)

Условие. $a_1 = 3$, $d = 4$. Найди $S_{20}$.

Шаг 1. $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$.

Шаг 2. $S_{20} = \dfrac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = \dfrac{82 \cdot 20}{2} = 820$.

Задача 3 (система с суммой)

Условие. $a_4 = 17$, $S_5 = 65$. Найди $a_1$ и $d$.

Из $a_4$: $a_1 + 3d = 17$.

Из $S_5$: $S_5 = 5a_1 + 10d = 65 \Rightarrow a_1 + 2d = 13$.

Вычитаем: $d = 4$. Тогда $a_1 = 13 - 8 = 5$.

Проверка: $5, 9, 13, 17, 21$. Сумма: $5+9+13+17+21 = 65$ ✓.

Типичные ошибки

Перепутать $n-1$ и $n$. Формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, а не $a_1 + nd$. При $n=1$ должно выйти $a_1$ — проверяй подстановкой.

Не проверить ответ. После нахождения $a_1$ и $d$ подставь обратно — убедись, что оба условия задачи выполнены.

Искать $n$ среди вещественных. Если задача требует «при каком $n$ сумма равна $K$» — решаешь квадратное уравнение, но $n$ должен быть натуральным. Отсеивай нецелые и отрицательные корни.