Арифметическая прогрессия: формулы n-го члена и суммы

Арифметическая прогрессия — базовая алгебраическая структура. Две формулы (n-й член и сумма) плюс системы уравнений для нахождения параметров — и ты решаешь все задачи на прогрессии. Разберём всё по порядку: что такое прогрессия и её разность, как найти любой член, как быстро сложить десятки членов формулой Гаусса, как восстановить параметры по двум условиям и где всё это пригодится на экзамене.

Хорошая новость: тема небольшая и логичная. В отличие от тригонометрии или стереометрии, здесь почти нет «частных случаев» — всё выводится из одного определения. Если понять идею «каждый следующий член на $d$ больше предыдущего», то обе главные формулы можно при необходимости вывести самому за полминуты, даже если забыл их наизусть.

Определение

Арифметическая прогрессия — числовая последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на одно и то же число $d$:

$a_{n+1} = a_n + d$

$d$ называется разностью прогрессии. При $d > 0$ прогрессия возрастает, при $d < 0$ — убывает, при $d = 0$ — постоянная. Само слово «разность» подсказывает, как её искать: это разность любых двух соседних членов, и для всей прогрессии она одна и та же. Разность может быть любым числом — целым, дробным или отрицательным, важно лишь её постоянство.

Примеры:

• $1, 4, 7, 10, 13, \ldots$ — $d = 3$ (возрастающая)
• $10, 6, 2, -2, -6, \ldots$ — $d = -4$ (убывающая)
• $5, 5, 5, 5, \ldots$ — $d = 0$ (постоянная)

Чтобы найти разность, бери любые два соседних члена и вычитай: $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2$. Важно, что результат должен совпадать для любой пары соседей — это и есть проверка, что последовательность действительно арифметическая. Если, например, в ряду $2, 5, 9, 14$ разности равны $3, 4, 5$ — они не постоянны, значит это не арифметическая прогрессия.

Из жизни арифметическая прогрессия встречается на каждом шагу. Ряды кресел в зале, где каждый следующий ряд на одно место длиннее; зарплата, растущая на фиксированную надбавку каждый год; план тренировок, где каждую неделю добавляют одинаковое число повторений. Везде, где величина меняется на одну и ту же добавку, работают формулы этой страницы.

Формула n-го члена

$\boxed{a_n = a_1 + (n-1)d}$

Эта формула позволяет найти любой член, зная первый член $a_1$ и разность $d$.

Вывод. Раскручиваем определение по шагам: $a_2 = a_1 + d$, $a_3 = a_1 + 2d$, $a_4 = a_1 + 3d$, и так далее — на $n$-м шаге разность $d$ прибавлена $(n-1)$ раз, поэтому $a_n = a_1 + (n-1)d$. Именно поэтому в формуле стоит коэффициент $(n-1)$, а не $n$: к первому члену добавляют на один шаг меньше, чем его номер.

Формула суммы (формула Гаусса)

$\boxed{S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}}$

Или, подставив формулу $a_n$:

$S_n = n a_1 + \frac{n(n-1)}{2} d$

Идея Гаусса: если сложить первый и последний, второй и предпоследний — каждая пара даёт одинаковую сумму $(a_1 + a_n)$. Таких пар $n/2$, отсюда формула.

История поучительная: по легенде, маленький Гаусс, которому учитель велел сложить числа от $1$ до $100$, мгновенно ответил $5050$. Он заметил, что $1 + 100 = 101$, $2 + 99 = 101$, и так далее — всего $50$ пар по $101$, итого $50 \cdot 101 = 5050$. Эта же идея и зашита в формулу суммы: сумма не растёт «по одному числу за раз», а складывается из одинаковых пар. Понимание этого механизма важнее, чем зубрёжка формулы: на экзамене бывает, что нужно сложить не «первые $n$», а члены с какого-то по какой-то номер — тогда удобнее посчитать, сколько членов в нужном куске, и применить ту же идею пар к ним.

Вторая запись формулы, $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$, полезна, когда известны $a_1$ и $d$, но не известен последний член $a_n$. Она получается простой подстановкой $a_n = a_1 + (n-1)d$ в формулу Гаусса — так что это не отдельная формула, а та же самая в другой одёжке.

Свойство среднего члена

$a_k = \frac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$

Каждый внутренний член прогрессии равен полусумме соседних. Обобщение:

$a_k = \frac{a_{k-m} + a_{k+m}}{2}$

Это свойство симметрии — прогрессия симметрична относительно любого члена. На практике оно очень удобно: если в задаче дано, что три числа образуют арифметическую прогрессию, их часто обозначают как $a - d,\ a,\ a + d$. Тогда средний член $a$ — это сразу среднее арифметическое крайних, а сумма всех трёх равна $3a$, что резко упрощает уравнения. Аналогично пять последовательных членов удобно записать как $a - 2d,\ a - d,\ a,\ a + d,\ a + 2d$ — их сумма равна $5a$, а слагаемые с $d$ взаимно уничтожаются.

Пример применения. Три числа образуют арифметическую прогрессию, их сумма равна $15$, а сумма квадратов — $83$. Найди эти числа. Обозначим их $a - d,\ a,\ a + d$. Сумма: $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 15$, откуда $a = 5$. Сумма квадратов: $(5-d)^2 + 25 + (5+d)^2 = 83$. Раскрываем: $25 - 10d + d^2 + 25 + 25 + 10d + d^2 = 83$, то есть $75 + 2d^2 = 83$, $d^2 = 4$, $d = \pm 2$. Получаем тройку $3, 5, 7$ (или $7, 5, 3$). Симметричная запись избавила нас от системы с тремя неизвестными.

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической

Две прогрессии легко перепутать, поэтому держи различие в голове. В арифметической каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа (разности $d$): $2, 5, 8, 11$. В геометрической — умножением на постоянное число (знаменатель $q$): $2, 6, 18, 54$. Отсюда и разные формулы: в арифметической член растёт линейно ($a_n = a_1 + (n-1)d$), в геометрической — экспоненциально ($b_n = b_1 q^{n-1}$).

Это различие отражается и на задачах ЕГЭ. Арифметическая прогрессия моделирует равномерные процессы (откладываем фиксированную сумму, долг убывает на одну и ту же величину), геометрическая — процессы с процентами (вклад под сложный процент, где каждый год сумма умножается). Перепутать модель — значит решать не ту задачу. Подробнее про вторую — на странице геометрическая прогрессия.

Нахождение параметров через систему уравнений

Классическая задача: даны два члена $a_m$ и $a_n$, найти $a_1$ и $d$. Составляем систему:

$\begin{cases} a_1 + (m-1)d = a_m \\ a_1 + (n-1)d = a_n \end{cases}$

Вычитаем уравнения: $(n-m)d = a_n - a_m$, откуда $d = \dfrac{a_n - a_m}{n-m}$.

Этот приём — вычитание одного уравнения из другого, чтобы избавиться от $a_1$, — основной во всех задачах на прогрессию. После того как найдена разность $d$, первый член $a_1$ выражается из любого исходного уравнения. Всегда восстанавливай оба параметра $a_1$ и $d$: зная их, ты можешь найти любой член, любую сумму, ответить на любой вопрос задачи.

Как вывести формулу суммы, если забыл

На экзамене бывает, что формула вылетела из головы. Вывести её — дело тридцати секунд. Запиши сумму $S_n$ дважды: один раз слева направо, второй — справа налево:

$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n-1} + a_n$ $S_n = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_2 + a_1$

Сложи эти две строки почленно. Каждая пара $a_1 + a_n$, $a_2 + a_{n-1}$ и так далее даёт одну и ту же сумму $(a_1 + a_n)$ — это прямое следствие свойства симметрии. Таких пар ровно $n$ штук, поэтому:

$2 S_n = n \cdot (a_1 + a_n) \implies S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Тот же фокус с парами, что придумал Гаусс, только записанный аккуратно. Запомни именно этот вывод — тогда формулу невозможно забыть, её всегда можно восстановить за минуту.

Разборы задач

Задача 1 (нахождение параметров)

Условие. $a_3 = 11$, $a_7 = 23$. Найди $a_1$ и $d$.

Решение. $\begin{cases} a_1 + 2d = 11 \\ a_1 + 6d = 23 \end{cases}$

Вычитаем: $4d = 12 \Rightarrow d = 3$. Тогда $a_1 = 11 - 6 = 5$.

Прогрессия: $5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, \ldots$ ✓

Задача 2 (нахождение суммы)

Условие. $a_1 = 3$, $d = 4$. Найди $S_{20}$.

Шаг 1. $a_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 3 + 76 = 79$.

Шаг 2. $S_{20} = \dfrac{(3 + 79) \cdot 20}{2} = \dfrac{82 \cdot 20}{2} = 820$.

Задача 3 (система с суммой)

Условие. $a_4 = 17$, $S_5 = 65$. Найди $a_1$ и $d$.

Из $a_4$: $a_1 + 3d = 17$.

Из $S_5$: $S_5 = 5a_1 + 10d = 65 \Rightarrow a_1 + 2d = 13$.

Вычитаем: $d = 4$. Тогда $a_1 = 13 - 8 = 5$.

Проверка: $5, 9, 13, 17, 21$. Сумма: $5+9+13+17+21 = 65$ ✓.

Задача 4 (наименьший номер, при котором сумма превышает порог)

Условие. Дана прогрессия $a_1 = 2$, $d = 3$. Начиная с какого номера $n$ сумма $S_n$ впервые превысит $100$?

Решение. Сумма через первый член и разность: $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d = 2n + \dfrac{3n(n-1)}{2}$. Нужно $S_n > 100$:

$2n + \frac{3n(n-1)}{2} > 100$

Умножим на $2$: $4n + 3n(n-1) > 200$, то есть $3n^2 + n - 200 > 0$. Решаем квадратное неравенство. Корни $3n^2 + n - 200 = 0$: дискриминант $D = 1 + 2400 = 2401 = 49^2$, $n = \dfrac{-1 \pm 49}{6}$. Положительный корень $n = \dfrac{48}{6} = 8$.

Значит, $3n^2 + n - 200 > 0$ при $n > 8$. Поскольку $n$ натуральное, первое подходящее — $n = 9$. Проверка: $S_8 = 16 + \dfrac{3 \cdot 8 \cdot 7}{2} = 16 + 84 = 100$ (ровно $100$, не больше), а $S_9 = S_8 + a_9 = 100 + (2 + 8\cdot3) = 100 + 26 = 126 > 100$. ✓

Ответ: $n = 9$.

Этот сюжет — «при каком $n$ сумма достигнет порога» — типичен для задания 16, где речь идёт о накоплениях: каждый месяц откладывают на фиксированную сумму больше, чем в предыдущий, и спрашивают, через сколько месяцев накопится нужная сумма. Ключевой момент — не забыть, что $n$ должно быть натуральным, и проверить граничное значение.

Применение в задании 16 ЕГЭ

Арифметическая прогрессия в задании 16 встречается в схемах с равномерным изменением. Классический пример — кредит, который гасят так, что каждый месяц основной долг уменьшается на одну и ту же величину. Тогда остаток долга по месяцам образует убывающую арифметическую прогрессию, а проценты, начисляемые на остаток, тоже убывают линейно. Сумма всех процентных выплат за весь срок — это сумма арифметической прогрессии, и формула Гаусса считает её мгновенно.

Поэтому связка «формула n-го члена + формула суммы + аккуратная модель из условия» закрывает многие задачи 16 на «дифференцированный платёж». Главное — правильно понять из условия, что именно образует прогрессию: остаток долга, ежемесячный платёж или начисленные проценты. Подробнее про финансовую часть — на странице геометрическая прогрессия, где разобран сложный процент (аннуитет), и в разделе текстовых задач.

Полезный навык — сразу после прочтения условия задачи 16 спросить себя: «Что здесь меняется на постоянную величину, а что — в постоянное число раз?» Если на постоянную величину (например, долг уменьшается на одну и ту же сумму) — это арифметическая прогрессия. Если в постоянное число раз (долг растёт на процент) — геометрическая. Эта развилка задаёт весь дальнейший план решения и не даёт перепутать формулы.

Прогрессии с отрицательной разностью

Отдельно стоит разобрать убывающие прогрессии — они дают самые частые ошибки в знаках. Пусть $a_1 = 20$, $d = -3$. Тогда члены: $20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, \ldots$ Прогрессия проходит через ноль и уходит в минус. Формулы работают точно так же, просто разность отрицательна.

Интересная задача: при каком номере члены становятся отрицательными? Решаем $a_n < 0$: $20 + (n-1)(-3) < 0$, то есть $20 - 3(n-1) < 0$, откуда $3(n-1) > 20$, $n - 1 > \dfrac{20}{3} \approx 6{,}67$, значит $n > 7{,}67$. Первое натуральное — $n = 8$. Проверка: $a_8 = 20 + 7\cdot(-3) = 20 - 21 = -1 < 0$, а $a_7 = 20 + 6\cdot(-3) = 2 > 0$. Значит, начиная с восьмого члена прогрессия отрицательна.

Такие вопросы — «сколько положительных членов», «с какого номера члены отрицательны» — сводятся к простому линейному неравенству относительно $n$ с обязательной проверкой натуральности.

Типичные ошибки

Перепутать $n-1$ и $n$. Формула $a_n = a_1 + (n-1)d$, а не $a_1 + nd$. При $n=1$ должно выйти $a_1$ — проверяй подстановкой. Эта ошибка — самая частая: проверяй формулу на первом члене, и она сразу выдаст себя, если коэффициент перепутан.

Не проверить ответ. После нахождения $a_1$ и $d$ подставь обратно — убедись, что оба условия задачи выполнены. Прогрессия восстанавливается по двум условиям, и подстановка обоих обратно — бесплатная страховка от арифметической ошибки.

Искать $n$ среди вещественных. Если задача требует «при каком $n$ сумма равна $K$» — решаешь квадратное уравнение, но $n$ должен быть натуральным. Отсеивай нецелые и отрицательные корни. Если оба корня квадратного уравнения нецелые — скорее всего, в условии или вычислениях есть ошибка.

Путать знак разности у убывающей прогрессии. Для прогрессии $10, 6, 2, \ldots$ разность $d = -4$, а не $4$. Разность — это «следующий минус предыдущий», и для убывающей последовательности она отрицательна.

Что запомнить

1. Определение: $a_{n+1} = a_n + d$, разность $d$ постоянна. Знак $d$ задаёт направление: $d > 0$ — возрастает, $d < 0$ — убывает.
2. Формула n-го члена: $a_n = a_1 + (n-1)d$. Коэффициент $(n-1)$, а не $n$ — проверяй на первом члене.
3. Формула суммы (Гаусс): $S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$, или через разность $S_n = n a_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$.
4. Свойство среднего члена: $a_k = \dfrac{a_{k-1} + a_{k+1}}{2}$. Три члена удобно обозначать $a-d,\ a,\ a+d$.
5. Восстановление параметров: вычитай уравнения, чтобы убрать $a_1$, найди $d$, потом $a_1$. Всегда проверяй ответ подстановкой.
6. Натуральность $n$: если ищешь номер члена, $n$ обязательно натуральное — нецелые и отрицательные корни отбрасывай.

Освоив эти шесть пунктов, ты закрываешь всю тему: задачи на прогрессию решаются комбинацией этих формул, а более сложные конструкции задания 16 — той же связкой плюс аккуратное составление модели из условия.