Свойства корней: формулы и преобразования

Свойства корней — это тот раздел, где школьники тратят баллы не из-за незнания математики, а из-за мелких ошибок в формулах. Вынес множитель неправильно, не учёл модуль, перепутал знаменатель с числителем при делении. Разберём все рабочие формулы и покажем на примерах, где чаще всего ошибаются в задании 7 ЕГЭ профиля. Пройдём путь от определения квадратного корня к четырём базовым свойствам, потом к выносу и внесению множителя, рационализации знаменателя и корням высших степеней — то есть ко всему, что нужно для уверенной работы с иррациональностями.

Корень — это операция, обратная возведению в квадрат, и почти все ошибки берутся из непонимания одного факта: арифметический корень всегда неотрицателен. Усвоив это, ты автоматически перестанешь терять модуль и приписывать корню лишний знак $\pm$.

Что такое квадратный корень

Квадратный корень из неотрицательного числа $a$ — это такое неотрицательное число $b$, что $b^2=a$. Коротко:

$\sqrt{a}=b⟺b^2=a,b\ge 0,a\ge 0$

Два ключевых момента, которые прячутся за этим определением.

Во-первых, корень определён только для $a\ge 0$. Попытка извлечь корень из отрицательного числа в вещественных числах — ошибка. Это и есть суть ОДЗ для выражений с корнем.

Во-вторых, результат всегда неотрицателен. Поэтому $\sqrt{9}=3$, а не $\pm 3$. Знак $\pm$ появляется, когда решаешь уравнение $x^2=9$: тут два корня, $x=3$ и $x=-3$. Но $\sqrt{9}$ — это только $3$.

Следствие, на котором горят в задании 7:

$\sqrt{a^2}=|a|$

Это не $a$, а именно $|a|$. При $a=-5$ получаем $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$. Если забыть про модуль — знак потеряется.

Основные свойства корней

Четыре рабочие формулы, которые используются в задании 7 и во всех выражениях с иррациональностями.

Свойство 1. Умножение корней.

При $a\ge 0$ и $b\ge 0$:

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$

Работает в обе стороны: можно объединить два корня в один или разбить один на два. Объединение удобно при вычислениях ($\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$), а разбиение — при выносе множителя.

Свойство 2. Деление корней.

При $a\ge 0$ и $b>0$:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

Знаменатель строго положителен (деление на ноль недопустимо).

Свойство 3. Степень под корнем.

При $a\ge 0$ и натуральном $n$:

$\sqrt{a^n}=a^{n/2}$

Частный случай: $\sqrt{a^2}=a^1=a$ при $a\ge 0$. При $a<0$ нужен модуль.

Свойство 4. Корень степени.

При $a\ge 0$ и натуральных $m$, $n$:

${\left(\sqrt{a}\right)}^n=\sqrt{a^n}=a^{n/2}$

Вынос множителя из-под знака корня

Вынос нужен, чтобы упростить $\sqrt{48}$ или $\sqrt{75}$ до вида $a\sqrt{b}$, где $b$ — «несокращаемый» остаток (число без точных квадратных множителей). Это стандартная форма ответа в задании 7: оставлять под корнем число с точным квадратом внутри считается недоведённым решением.

Алгоритм:

1. Разложи подкоренное выражение на множители, среди которых есть точный квадрат.
2. Примени свойство 1: разбей корень на два.
3. Из первого корня (точный квадрат) извлеки корень.
4. Второй корень оставь.

Разберём $\sqrt{72}$:

Раскладываем: $72=36\cdot 2$, где $36=6^2$ — точный квадрат.

$\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Ещё пример: $\sqrt{200}$. Здесь $200=100\cdot 2$, $100=10^2$:

$\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$

Если не видно сразу большой точный квадрат — раскладывай по частям несколько раз:

$\sqrt{180}=\sqrt{4\cdot 45}=2\sqrt{45}=2\sqrt{9\cdot 5}=2\cdot 3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$

Внесение множителя под знак корня

Обратная операция: переводим $a\sqrt{b}$ в вид $\sqrt{a^{2}b}$.

При $a\ge 0$:

$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b}$

Зачем это нужно? Например, для сравнения выражений: что больше, $3\sqrt{5}$ или $2\sqrt{11}$?

Заносим оба под корень:

$3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot 5}=\sqrt{45},2\sqrt{11}=\sqrt{4\cdot 11}=\sqrt{44}$

Теперь видно: $\sqrt{45}>\sqrt{44}$, значит $3\sqrt{5}>2\sqrt{11}$.

Если $a<0$, то $a\sqrt{b}=-|a|\sqrt{b}$, и занести под корень напрямую нельзя без предварительного вынесения знака минус.

Как решать задание 7 с корнями

В задании 7 ЕГЭ типичный вид: упростить выражение вида $\frac{\sqrt{48}-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ или $(\sqrt{5}-\sqrt{2}{)}^2$. Алгоритм одинаковый.

Шаг 1. Выноси множители из-под знаков корней — доведи до вида $a\sqrt{n}$ с минимальным $n$ под корнем.

Шаг 2. Приводи подобные слагаемые (корни с одинаковым $n$ складываются).

Шаг 3. Применяй алгебраические формулы (разность квадратов, квадрат суммы/разности).

Шаг 4. Проверяй ОДЗ, если в задаче есть переменная.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Упрости выражение $\sqrt{75}-\sqrt{48}+\sqrt{27}$.

Решение. Выносим множители из каждого корня.

$75=25\cdot 3$, поэтому $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$.

$48=16\cdot 3$, поэтому $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$.

$27=9\cdot 3$, поэтому $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$.

Теперь все слагаемые содержат $\sqrt{3}$ — это подобные слагаемые, складываем:

$5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(5-4+3)\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

Ответ: $4\sqrt{3}$.

Типичная ошибка. Попытка сразу сложить $\sqrt{75}+\sqrt{27}=\sqrt{102}$ — это неверно. Корни складываются только после того, как под знаком одинаковое выражение.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Упрости $\frac{\sqrt{72}+\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$.

Решение. Шаг 1: выносим множители.

$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$, $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

Шаг 2: складываем числитель.

$\frac{6\sqrt{2}+5\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{11\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Шаг 3: попробуй сам сократить $\frac{11\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$. Что получается, если числитель и знаменатель поделить на $\sqrt{2}$? Ответ ниже.

Ответ: $11$.

Типичная ошибка. При сокращении дроби с корнями пытаться перенести $\sqrt{2}$ из знаменателя в показатель числителя. Проще: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Вычисли ${\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}^2-\sqrt{108}$.

Решение.

Шаг 1: раскрой скобку ${\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}^2$ по формуле квадрата разности $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$. Что получается? Обоснуй каждое слагаемое.

Шаг 2: упрости $\sqrt{108}$ и $\sqrt{18}$, вынеся множители. Затем подставь в выражение из шага 1.

Итоговая проверка. Убедись: в ответе нет «неупрощённых» корней (из чисел, которые содержат точный квадратный множитель). Все корни — минимальные.

Типичная ошибка. Применять $(\sqrt{6}-\sqrt{3}{)}^2=6-3=3$, «сокращая» под корнем. Квадрат разности — это не разность квадратов, средний член $2ab$ теряется.

Рационализация знаменателя

Отдельный приём, который любит задание 7, — избавиться от корня в знаменателе. Запись вида $\frac{1}{\sqrt{2}}$ считается «незавершённой»: принято, чтобы под чертой не оставалось иррациональности. Это и называется рационализацией знаменателя.

Простой случай — один корень в знаменателе. Умножаем числитель и знаменатель на тот же корень:

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Знаменатель стал рациональным числом $2$, корень переехал в числитель. То же с дробью посложнее: $\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$.

Случай посложнее — сумма или разность с корнем в знаменателе, например $\frac{1}{\sqrt{3}-1}$. Здесь умножают на сопряжённое выражение $\sqrt{3}+1$, чтобы в знаменателе сработала разность квадратов:

$\frac{1}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Сопряжённое отличается только знаком перед корнем. Произведение $(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3}{)}^2-1^2=3-1=2$ — иррациональность исчезла. Этот приём — обязательный навык для задания 7 и встречается в части 2 при упрощении ответов.

Корни высших степеней

Кроме квадратного, бывают корни третьей, четвёртой и более высоких степеней: $\sqrt[3]{a}$, $\sqrt[4]{a}$, в общем $\sqrt[n]{a}$. Все они подчиняются тем же свойствам, что и квадратный, если выразить их через дробную степень: $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$. Тогда умножение, деление и вынос множителя работают по правилам степеней.

Важное различие — поведение при отрицательном подкоренном выражении. Корень нечётной степени определён и для отрицательных чисел: $\sqrt[3]{-8}=-2$, потому что $(-2{)}^3=-8$. А корень чётной степени, как и квадратный, требует неотрицательного подкоренного выражения. Это различие важно при поиске ОДЗ: для $\sqrt[3]{f(x)}$ ограничений нет, а для $\sqrt[4]{f(x)}$ нужно $f(x)\ge 0$.

Типичные ошибки

Ошибка 1. $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$. Это неверно. $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\ne 3+4=7$. Формула умножения работает, формулы сложения не существует.

Ошибка 2. $\sqrt{a^2}=a$ без проверки знака. Верное равенство: $\sqrt{a^2}=|a|$. При $a<0$ теряется знак.

Ошибка 3. Складывать $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ как $\sqrt{5}$. Это сложение корней разных чисел — не работает. Слагаемые могут объединяться только при одинаковом подкоренном выражении.

Ошибка 4. Не проверять ОДЗ при переменной под корнем. Если в задаче $\sqrt{x-1}$, сначала — $x-1\ge 0$, то есть $x\ge 1$.

Ошибка 5. Вносить отрицательный множитель под корень без учёта знака. $-2\sqrt{3}\ne \sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}$. Правильно: $-2\sqrt{3}=-\sqrt{12}$.

Связь с другими темами

Свойства корней напрямую связаны со свойствами степеней: корень — это степень с дробным показателем ($\sqrt{a}=a^{1/2}$). Все свойства степеней переносятся на корни.

В иррациональных уравнениях умение выносить и вносить множители под знак корня — ключевой инструмент упрощения перед решением.

Со свойствами логарифмов корни пересекаются в задачах на упрощение: ${\log }_a\sqrt{b}=\frac{1}{2}{\log }_{a}b$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 7 — прямая проверка: упростить выражение с корнями, вычислить числовое значение. Корни могут стоять в дробях, под степенями, в суммах с другими корнями.

Что запомнить

1. Корень неотрицателен по определению: $\sqrt{9}=3$, не $\pm 3$. И определён только для неотрицательного подкоренного выражения (для квадратного и любого чётного).
2. $\sqrt{a^2}=|a|$, а не $a$ — самая частая ошибка. Модуль нужен, потому что корень не может быть отрицательным.
3. Умножение и деление корней работают при неотрицательных подкоренных: $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$. Сложения корней нет: $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$.
4. Вынос множителя: выдели точный квадрат и извлеки его. Внесение: возведи множитель в квадрат и занеси под корень.
5. Складывать можно только корни с одинаковым подкоренным выражением, как подобные слагаемые.
6. Рационализируй знаменатель: один корень — умножь на него; сумма/разность с корнем — умножь на сопряжённое (разность квадратов).

Все эти правила — следствие того, что корень есть степень с дробным показателем. Если держать это в голове, формулы корней не приходится зубрить отдельно: они вытекают из уже знакомых свойств степеней.

Часто задаваемые вопросы