Иррациональные уравнения: алгоритм решения и проверка корней

Иррациональные уравнения — это уравнения, в которых переменная стоит под знаком корня. Их главная ловушка: при стандартном методе решения (возведение в квадрат) появляются посторонние корни, которые решением не являются. На ЕГЭ их отбраковать — обязательный шаг.

Что такое иррациональное уравнение

Уравнение называется иррациональным, если оно содержит выражение вида $\sqrt[n]{f(x)}$, где переменная находится под знаком корня. Простейшие примеры:

$\sqrt{2x - 3} = 5, \quad \sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = 4, \quad \sqrt{x^2 - 4} = x - 2$

Основная сложность: корень определён только при неотрицательном подкоренном выражении. Это формирует область допустимых значений (ОДЗ), которую нужно найти до решения.

Метод 1. Возведение в квадрат

Самый универсальный метод. Шаги:

1. Найди ОДЗ. Запиши условие, при котором подкоренное выражение $\geq 0$.
2. Изолируй корень в одной части уравнения (перенеси всё остальное в другую часть).
3. Убедись, что правая часть $\geq 0$ (иначе уравнение не имеет решений в данном диапазоне).
4. Возведи обе части в квадрат.
5. Реши полученное уравнение.
6. Проверь каждый корень подстановкой в исходное уравнение.

Пример 1 (уровень А)

Реши уравнение $\sqrt{2x - 3} = 5$.

Решение.

ОДЗ: $2x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1{,}5$.

Корень уже изолирован. Правая часть $= 5 > 0$.

Возводим в квадрат: $2x - 3 = 25$, откуда $x = 14$.

Проверка: $\sqrt{2 \cdot 14 - 3} = \sqrt{25} = 5$. ✓

Ответ: $x = 14$.

Пример 2 (уровень Б)

Реши уравнение $\sqrt{x^2 - 4} = x - 2$.

Решение.

ОДЗ: $x^2 - 4 \geq 0$, то есть $|x| \geq 2$, то есть $x \leq -2$ или $x \geq 2$.

Дополнительное условие: правая часть $x - 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$.

Итого: $x \geq 2$.

Возводим в квадрат:

$x^2 - 4 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

$-4 = -4x + 4 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$

Проверка: $\sqrt{4 - 4} = 0$ и $2 - 2 = 0$. ✓

Ответ: $x = 2$.

Метод 2. Замена переменной

Работает, когда под корнем стоит одно и то же выражение (или уравнение сводится к простому через замену).

Пример 3 (уровень В)

Реши уравнение $\sqrt{x} - \dfrac{6}{\sqrt{x}} = 1$.

Решение.

ОДЗ: $x > 0$ (корень определён, и знаменатель ненулевой).

Замена: $t = \sqrt{x}$, $t > 0$. Тогда уравнение принимает вид:

$t - \frac{6}{t} = 1$

Умножаем на $t$: $t^2 - 6 = t$, то есть $t^2 - t - 6 = 0$.

Дискриминант: $D = 1 + 24 = 25$. Корни: $t = 3$ или $t = -2$.

Так как $t > 0$, подходит только $t = 3$.

Возвращаемся: $\sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$.

Проверка: $3 - \dfrac{6}{3} = 3 - 2 = 1$. ✓

Ответ: $x = 9$.

Уравнения с двумя корнями

Когда в уравнении два корня, метод усложняется: нужно последовательно избавляться от каждого. Схема:

1. Переноси один из корней в правую часть, остаток — в левую.
2. Возводи в квадрат (первый корень пропадает, второй остаётся).
3. Изолируй второй корень и снова возводи в квадрат.
4. Реши получившееся уравнение.
5. Обязательно проверь все корни в исходном уравнении.

Пример 4 (уровень В)

Реши уравнение $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x - 3} = 2$.

Решение.

ОДЗ: $x + 5 \geq 0$ и $x - 3 \geq 0$ → $x \geq 3$.

Изолируем один корень: $\sqrt{x + 5} = 2 + \sqrt{x - 3}$.

Возводим в квадрат (обе части $\geq 0$):

$x + 5 = 4 + 4\sqrt{x - 3} + (x - 3)$

$x + 5 = x + 1 + 4\sqrt{x-3}$

$4 = 4\sqrt{x-3} \Rightarrow \sqrt{x-3} = 1$

Возводим ещё раз: $x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4$.

Проверка: $\sqrt{9} - \sqrt{1} = 3 - 1 = 2$. ✓

Ответ: $x = 4$.

Частые ошибки

1. Не проверять корни. Возведение в квадрат порождает посторонние корни. Не проверил — вероятно потерял балл.
2. Не учитывать ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть $\geq 0$. Проверяй перед решением, не после.
3. Забывать условие на правую часть. Если изолируешь корень, правая часть тоже должна быть $\geq 0$ — корень всегда неотрицателен.
4. Возводить в квадрат не всё уравнение. Нельзя возводить каждое слагаемое отдельно: $(\sqrt{a} + b)^2 \neq a + b^2$.
5. Терять корни при замене переменной. После замены $t = \sqrt{x}$ условие $t \geq 0$ обязательно — иначе вернёшься к несуществующим $x$.

Связь с другими темами

• Квадратные уравнения — после возведения в квадрат часто получается квадратное уравнение.
• Метод интервалов — нужен для нахождения ОДЗ при сложных выражениях под корнем.
• Системы уравнений — иногда иррациональное уравнение удобнее решать через введение вспомогательной переменной и систему.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 12 — повышенный уровень сложности, уравнения с корнями.
• Задание 15 — неравенства, где может присутствовать корень; требуется работа с ОДЗ.