Линейные уравнения: 3 случая решения и алгоритм

Линейное уравнение — это, казалось бы, самое простое, что есть в математике: $ax = b$, делишь обе части на $a$, получаешь ответ. Но каждый год в задании 6 ЕГЭ люди теряют баллы именно здесь — потому что не разобрали случай $a = 0$. Три случая, алгоритм, примеры — в этой теме.

Что такое линейное уравнение

Линейное уравнение — уравнение, в котором неизвестная $x$ входит в первой степени. Общая форма:

$ax + b = 0$

или эквивалентно:

$ax = -b$

Где $a$ и $b$ — числа (коэффициенты). Условие «линейное» означает именно то, что $x$ в первой степени: нет $x^2$, нет $\sqrt{x}$, нет $\frac{1}{x}$.

Пример линейного: $3x - 7 = 0$. Пример не линейного: $x^2 + 3x - 7 = 0$ (квадратное).

Три случая решения

Чтобы понять три случая, запишем уравнение в форме $ax = b$ и разберём, что происходит при разных значениях $a$.

Случай 1. $a \neq 0$

Делим обе части на $a$:

$x = \frac{b}{a}$

Единственное решение. Это стандартный случай, который все знают.

Случай 2. $a = 0$ и $b = 0$

Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = 0$

то есть $0 = 0$. Это верно при любом $x$. Уравнение имеет бесконечно много решений.

Запись ответа: $x \in \mathbb{R}$ (любое вещественное число).

Случай 3. $a = 0$ и $b \neq 0$

Уравнение принимает вид:

$0 \cdot x = b, \quad b \neq 0$

то есть $0 = b$. Это противоречие: $0$ никогда не равно ненулевому $b$. Уравнение не имеет решений.

Запись ответа: $x \in \varnothing$ (пустое множество).

Алгоритм решения линейного уравнения

Решая любое линейное уравнение, двигайся по шагам:

1. Раскрой все скобки в уравнении.
2. Перенеси все члены с $x$ в левую часть, все числа — в правую.
3. Приведи подобные слагаемые (собери коэффициент при $x$).
4. Запиши в форме $ax = b$.
5. Определи случай:
   • Если $a \neq 0$: $x = b / a$.
   • Если $a = 0$ и $b = 0$: $x \in \mathbb{R}$.
   • Если $a = 0$ и $b \neq 0$: нет решений.

Шаги 1-3 выглядят очевидно, но именно на них и возникают ошибки со знаками при переносе слагаемых.

Линейное уравнение с параметром

В задании 6 и в задачах с параметром линейное уравнение нередко содержит параметр $k$, $a$ или $m$ вместо числового коэффициента. Тогда нужно разбить на случаи.

Например, уравнение $(k - 2)x = 5$.

Это уравнение вида $ax = b$, где $a = k - 2$ и $b = 5$.

Случай 1: $k - 2 \neq 0$, то есть $k \neq 2$. Тогда $x = \frac{5}{k - 2}$ — единственное решение.

Случай 2: $k = 2$. Тогда $a = 0$, $b = 5 \neq 0$ — нет решений.

Ответ записывают двумя строками:

$x = \frac{5}{k-2}, \quad k \neq 2; \qquad \text{нет решений}, \quad k = 2.$

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Решить уравнение $4(x - 3) = 2x + 6$.

Решение.

Шаг 1: раскрываем скобки в левой части:

$4x - 12 = 2x + 6$

Шаг 2: переносим $2x$ влево, $-12$ вправо (меняем знаки при переносе):

$4x - 2x = 6 + 12$

Шаг 3: приводим подобные:

$2x = 18$

Шаг 4: делим на $a = 2 \neq 0$:

$x = 9$

Ответ: $x = 9$.

Типичная ошибка. При переносе $-12$ в правую часть написать $6 - 12$ вместо $6 + 12$. Знак меняется: $-(-12) = +12$.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). При каком $a$ уравнение $(a^2 - 1)x = a + 1$ имеет единственное решение?

Решение.

Уравнение вида $(a^2 - 1)x = (a + 1)$.

Единственное решение — когда $a^2 - 1 \neq 0$.

Попробуй самостоятельно найти, при каких $a$ это выполняется, и записать ответ. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Решить только для $a \neq 1$, забыв про $a = -1$. Нужно проверить оба значения, обнуляющих $a^2 - 1$.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Уравнение $\frac{x}{m} + \frac{3}{m+1} = 1$ при каких $m$ не имеет решений, имеет одно решение, имеет бесконечно много решений?

Шаг 1: приведи уравнение к виду $ax = b$, выясни, при каких $m$ коэффициент $a = 0$.

Шаг 2: разбери три случая: $m \neq -1$, затем $m = -1$ (и $m = 0$ отдельно из ОДЗ). Запиши итоговый ответ.

Типичная ошибка. Забыть проверить ОДЗ и разрешить $m = 0$ или $m = -1$, при которых исходное уравнение не определено.

Типичные ошибки

Ошибка 1. При переносе слагаемых не менять знак. $3x - 5 = x + 7$ → неверно $3x - x = 7 - 5$. Верно: $3x - x = 7 + 5$.

Ошибка 2. Не рассматривать случай $a = 0$ при параметрических задачах. В задании с параметром это обязательный пункт — именно он и проверяется.

Ошибка 3. Считать $0 \cdot x = 0$ «нет решений». Наоборот: $0 = 0$ — бесконечно много. Путают случаи 2 и 3.

Ошибка 4. Делить на выражение с переменной или параметром без проверки, что оно не равно нулю. Это потенциальное деление на ноль.

Ошибка 5. Не проверять ОДЗ в уравнениях с дробями. Знаменатель не может быть нулём.

Связь с другими темами

Линейное уравнение — основа для квадратных уравнений: при $a = 0$ квадратное уравнение вырождается в линейное. При изучении систем уравнений одна из техник — метод подстановки, который в итоге сводится к одному линейному уравнению. В задачах с параметром три случая линейного уравнения встречаются внутри более сложных конструкций.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 6 — прямые уравнения и неравенства простых типов, в том числе линейные.

Косвенно — в любой задаче части 2, где на финальном шаге нужно решить линейное уравнение с параметром.

Часто задаваемые вопросы