Задание 6 ЕГЭ профильной математики — вычисления и преобразования

Разбор задания 6 ЕГЭ: степени, корни, логарифмы, тригонометрия. Техники упрощения выражений и 3 полных примера.

Что входит в задание 6 ЕГЭ

Задание 6 — первая задача второй части профильной математики. За него дают 1 первичный балл. Это немного, но балл берётся уверенно, если знаешь правила преобразования выражений.

Тема называется «вычисления и преобразования». На практике это значит: тебе дают выражение со степенями, корнями, логарифмами или тригонометрическими функциями (чаще их комбинацию), и просят вычислить или упростить. Ответ чаще всего получается целым или простой дробью.

Структура задания всегда одна: одно выражение, одно требование («вычислите» или «упростите»), один ответ. Никаких пунктов «а» и «б», никакого отбора корней. Это делает задание 6 одним из самых прямолинейных во всей второй части.

Задание проверяет три умения в разных сочетаниях:

• применять свойства степеней и корней для упрощения;
• применять свойства логарифмов для раскрытия выражения;
• использовать тригонометрические тождества для приведения к стандартному виду.

Чтобы стабильно брать этот балл, достаточно хорошо знать около 15 базовых формул и отработать алгоритм упрощения до автоматизма.

Свойства степеней и корней

Это фундамент задания 6 профиль. Большинство выражений так или иначе включают степени, даже если на первый взгляд записаны через корни или дроби.

6 ключевых свойств степеней:

Последнее свойство используется постоянно: корни в задании 6 почти всегда удобнее записывать как дробные степени, а потом работать по правилам степеней. Это сокращает количество операций и снижает риск ошибки.

Важный момент: $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ только при $a \geq 0$. На экзамене основания под корнями как правило неотрицательные, но если основание выглядит неоднозначно, стоит это отметить в решении.

Свойства логарифмов

Логарифмы в задании 6 встречаются часто. Нужно знать 5 ключевых свойств — они покрывают все типовые ситуации.

5 обязательных свойств логарифмов:

Плюс два «якорных» значения, которые нужно знать наизусть:

$\log_a 1 = 0, \quad \log_a a = 1$

Формула перехода к другому основанию пригождается, когда в одном выражении стоят логарифмы с разными основаниями. Задача — привести всё к одному основанию, и тогда выражение сворачивается.

Частный случай: если все логарифмы в выражении десятичные ($\lg$) или натуральные ($\ln$), формула перехода позволяет работать внутри одного «семейства».

Тригонометрические формулы первой помощи

Тригонометрия в задании 6 встречается реже, чем степени и логарифмы, но когда встречается, нужны 4 формулы.

4 тригоформулы для задания 6:

В задании 6, в отличие от задания 13, тебе не нужно решать уравнение — только вычислить или упростить. Это значит, что тригонометрия здесь сводится к алгебраическим преобразованиям: нужно подставить тождество и получить число или простое выражение.

Три примера с решением

Пример 1: степени и дробный показатель

Условие. Вычислите:

$\dfrac{27^{2/3} \cdot 9^{1/2}}{3^2}$

Решение.

Приводим всё к основанию 3:

$27 = 3^3, \quad 9 = 3^2$

Подставляем:

$\dfrac{(3^3)^{2/3} \cdot (3^2)^{1/2}}{3^2} = \dfrac{3^2 \cdot 3^1}{3^2} = \dfrac{3^3}{3^2} = 3^1 = 3$

Ответ: 3.

Ключевой приём здесь: привести разные основания к одному. Как только основание одно, операции со степенями становятся арифметикой показателей.

Пример 2: логарифмы с разными основаниями

Условие. Вычислите:

$\log_4 8 + \log_2 4$

Решение.

Приводим оба логарифма к основанию 2:

$\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$

$\log_2 4 = \log_2 2^2 = 2$

Складываем:

$\dfrac{3}{2} + 2 = \dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{2} = \dfrac{7}{2}$

Ответ: $\dfrac{7}{2}$.

Альтернативный путь: $\log_4 8 = \log_4 4^{3/2} = \dfrac{3}{2}$ через формулу логарифма степени. Оба пути дают один результат.

Пример 3: тригонометрия через основное тождество

Условие. Вычислите, если $\sin x = 0{,}6$ и $x \in \left[0;\, \dfrac{\pi}{2}\right]$:

$\dfrac{\sin 2x}{2\cos x}$

Решение.

Применяем формулу двойного угла:

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$

Подставляем в исходное выражение:

$\dfrac{2\sin x \cos x}{2\cos x} = \sin x = 0{,}6$

Ответ: 0,6.

В этом примере сработало упрощение до сокращения: числитель и знаменатель имели общий множитель $2\cos x$. Тригонометрические задания в шестом нередко устроены именно так: выражение выглядит громоздко, но за одно или два тождества сворачивается до значения одной функции.

Частые ошибки

Путаница в знаках при отрицательном показателе. $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, а не $-a^n$. Это самая распространённая описка при работе со степенями.

Логарифм суммы через логарифмы слагаемых. $\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y$. Формула логарифма произведения, а не суммы. Если в выражении стоит сумма под логарифмом, её нужно сначала преобразовать по-другому.

Разные основания логарифмов без перехода. Нельзя складывать $\lg 5 + \log_2 3$ напрямую. Сначала переход к одному основанию, потом операции.

Корень отрицательной степени. $\sqrt[4]{a^2} = a^{1/2} = \sqrt{a}$ при $a \geq 0$. Если не следить за областью допустимых значений, можно потерять модуль там, где он нужен.

Не свернуть до конца. Выражение упростили, но оставили в виде $3^1$ или $\log_2 2$ вместо числа. Финальный шаг — всегда записать ответ в явном виде.

Перепутать формулу двойного угла. $\cos 2x$ имеет три формы: $\cos^2 x - \sin^2 x$, $2\cos^2 x - 1$ и $1 - 2\sin^2 x$. Нужно выбрать ту, которая подходит под конкретное выражение, а не ту, что первая вспомнилась.

Итог

Задание 6 ЕГЭ берётся за счёт знания примерно 15 формул и умения видеть, какой приём нужен: привести к одному основанию, применить свойство логарифма или подставить тригонометрическое тождество. Три разбора выше показывают типовую логику. Задание 6 профиль не требует угадывания или творческого мышления — только аккуратная техника.

Следующий шаг: посмотри полный справочник формул для ЕГЭ по профильной математике — там все 15 нужных формул собраны в одном месте. А если хочешь развить счёт в голове, читай разбор как быстро считать в уме на ЕГЭ.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 5: простейшие уравнения
• → Задание 7: производная по графику

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ