Задание 6 ЕГЭ: вычисления и преобразования

Разбор задания 6 ЕГЭ: степени, корни, логарифмы, тригонометрия. Техники упрощения выражений и 3 полных примера.

Что входит в задание 6 ЕГЭ

Задание 6 — первая задача второй части профильной математики. За него дают 1 первичный балл. Это немного, но балл берётся уверенно, если знаешь правила преобразования выражений.

Тема называется «вычисления и преобразования». На практике это значит: тебе дают выражение со степенями, корнями, логарифмами или тригонометрическими функциями (чаще их комбинацию), и просят вычислить или упростить. Ответ чаще всего получается целым или простой дробью.

Структура задания всегда одна: одно выражение, одно требование («вычислите» или «упростите»), один ответ. Никаких пунктов «а» и «б», никакого отбора корней. Это делает задание 6 одним из самых прямолинейных во всей второй части.

Задание проверяет три умения в разных сочетаниях:

применять свойства степеней и корней для упрощения;
применять свойства логарифмов для раскрытия выражения;
использовать тригонометрические тождества для приведения к стандартному виду.

Чтобы стабильно брать этот балл, достаточно хорошо знать около 15 базовых формул и отработать алгоритм упрощения до автоматизма.

Свойства степеней и корней

Это фундамент задания 6 профиль. Большинство выражений так или иначе включают степени, даже если на первый взгляд записаны через корни или дроби.

6 ключевых свойств степеней:

Свойство	Формула
Произведение с одинаковым основанием	$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$
Частное с одинаковым основанием	$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$
Степень степени	$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
Степень произведения	$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$
Отрицательный показатель	$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
Дробный показатель	$a^{m / n} = n a^{m}$

Последнее свойство используется постоянно: корни в задании 6 почти всегда удобнее записывать как дробные степени, а потом работать по правилам степеней. Это сокращает количество операций и снижает риск ошибки.

Важный момент: $n a^{m} = a^{m / n}$ только при $a \geq 0$ . На экзамене основания под корнями как правило неотрицательные, но если основание выглядит неоднозначно, стоит это отметить в решении.

Свойства логарифмов

Логарифмы в задании 6 встречаются часто. Нужно знать 5 ключевых свойств — они покрывают все типовые ситуации.

5 обязательных свойств логарифмов:

Свойство	Формула
Логарифм произведения	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
Логарифм частного	$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
Логарифм степени	$lo g_{a} x^{n} = n \cdot lo g_{a} x$
Переход к другому основанию	$lo g_{a} x = \frac{lo g _{b} x}{lo g _{b} a}$
Логарифм степени основания	$lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$

Плюс два «якорных» значения, которые нужно знать наизусть:

$lo g_{a} 1 = 0, lo g_{a} a = 1$

Формула перехода к другому основанию пригождается, когда в одном выражении стоят логарифмы с разными основаниями. Задача — привести всё к одному основанию, и тогда выражение сворачивается.

Частный случай: если все логарифмы в выражении десятичные ( $l g$ ) или натуральные ( $ln$ ), формула перехода позволяет работать внутри одного «семейства».

Тригонометрические формулы первой помощи

Тригонометрия в задании 6 встречается реже, чем степени и логарифмы, но когда встречается, нужны 4 формулы.

4 тригоформулы для задания 6:

Формула	Запись
Основное тождество	$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
Двойной угол (синус)	$sin 2 x = 2 sin x cos x$
Двойной угол (косинус)	$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$
Понижение степени	$sin^{2} x = \frac{1 - cos 2 x}{2}$

В задании 6, в отличие от задания 13, тебе не нужно решать уравнение — только вычислить или упростить. Это значит, что тригонометрия здесь сводится к алгебраическим преобразованиям: нужно подставить тождество и получить число или простое выражение.

Хочешь тренировать задание 6 с разбором каждого шага? Пройди диагностику в Сотах — Сотик покажет, какие свойства у тебя пробелы и с чего начать.

Три примера с решением

Пример 1: степени и дробный показатель

Условие. Вычислите:

$\frac{2 7 ^{2/3} \cdot 9 ^{1/2}}{3 ^{2}}$

Решение.

Приводим всё к основанию 3:

$27 = 3^{3}, 9 = 3^{2}$

Подставляем:

$\frac{( 3 ^{3} ) ^{2/3} \cdot ( 3 ^{2} ) ^{1/2}}{3 ^{2}} = \frac{3 ^{2} \cdot 3 ^{1}}{3 ^{2}} = \frac{3 ^{3}}{3 ^{2}} = 3^{1} = 3$

Ответ: 3.

Ключевой приём здесь: привести разные основания к одному. Как только основание одно, операции со степенями становятся арифметикой показателей.

Пример 2: логарифмы с разными основаниями

Условие. Вычислите:

$lo g_{4} 8 + lo g_{2} 4$

Решение.

Приводим оба логарифма к основанию 2:

$lo g_{4} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 4} = \frac{3}{2}$

$lo g_{2} 4 = lo g_{2} 2^{2} = 2$

Складываем:

$\frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{7}{2}$

Ответ: $\frac{7}{2}$ .

Альтернативный путь: $lo g_{4} 8 = lo g_{4} 4^{3/2} = \frac{3}{2}$ через формулу логарифма степени. Оба пути дают один результат.

Пример 3: тригонометрия через основное тождество

Условие. Вычислите, если $sin x = 0, 6$ и $x \in [0; \frac{π}{2}]$ :

$\frac{sin 2 x}{2 cos x}$

Решение.

Применяем формулу двойного угла:

$sin 2 x = 2 sin x cos x$

Подставляем в исходное выражение:

$\frac{2 sin x cos x}{2 cos x} = sin x = 0, 6$

Ответ: 0,6.

В этом примере сработало упрощение до сокращения: числитель и знаменатель имели общий множитель $2 cos x$ . Тригонометрические задания в шестом нередко устроены именно так: выражение выглядит громоздко, но за одно или два тождества сворачивается до значения одной функции.

Частые ошибки

Путаница в знаках при отрицательном показателе. $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , а не $- a^{n}$ . Это самая распространённая описка при работе со степенями.

Логарифм суммы через логарифмы слагаемых. $lo g_{a} (x + y) \neq = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ . Формула логарифма произведения, а не суммы. Если в выражении стоит сумма под логарифмом, её нужно сначала преобразовать по-другому.

Разные основания логарифмов без перехода. Нельзя складывать $l g 5 + lo g_{2} 3$ напрямую. Сначала переход к одному основанию, потом операции.

Корень отрицательной степени. $4 a^{2} = a^{1/2} = a$ при $a \geq 0$ . Если не следить за областью допустимых значений, можно потерять модуль там, где он нужен.

Не свернуть до конца. Выражение упростили, но оставили в виде $3^{1}$ или $lo g_{2} 2$ вместо числа. Финальный шаг — всегда записать ответ в явном виде.

Перепутать формулу двойного угла. $cos 2 x$ имеет три формы: $cos^{2} x - sin^{2} x$ , $2 cos^{2} x - 1$ и $1 - 2 sin^{2} x$ . Нужно выбрать ту, которая подходит под конкретное выражение, а не ту, что первая вспомнилась.

Разобрал теорию — проверь себя на практике. В Сотах задание 6 тренируется по шагам: каждый тип отдельно, с подсказкой, если застрял.

Итог

Задание 6 ЕГЭ берётся за счёт знания примерно 15 формул и умения видеть, какой приём нужен: привести к одному основанию, применить свойство логарифма или подставить тригонометрическое тождество. Три разбора выше показывают типовую логику. Задание 6 профиль не требует угадывания или творческого мышления — только аккуратная техника.

Следующий шаг: посмотри полный справочник формул для ЕГЭ по профильной математике — там все 15 нужных формул собраны в одном месте. А если хочешь развить счёт в голове, читай разбор как быстро считать в уме на ЕГЭ.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

Пригодится для подготовки к части 1:

FAQ

Сколько баллов даёт задание 6 ЕГЭ?

1 первичный балл. За задание нет пунктов «а» и «б» — только одно выражение и один ответ. Балл или засчитывается полностью, или нет. В пересчёте на тестовые баллы это примерно 3 балла к итоговому результату.

Какие формулы логарифмов обязательно нужно знать для задания 6?

Пять обязательных: логарифм произведения, логарифм частного, логарифм степени, формула перехода к другому основанию и логарифм степени основания. Плюс два якорных значения: $lo g_{a} 1 = 0$ и $lo g_{a} a = 1$ . Этого набора хватает для всех типовых вариантов задания 6.

Почему получается «страшный» ответ, а не целое число?

Скорее всего, пропущен шаг приведения к одному основанию или не применено нужное тождество. Вернись к началу и проверь: все ли основания привёл к общему виду, нет ли логарифма суммы там, где нужен логарифм произведения, не перепутал ли формулу двойного угла. Если в задании ЕГЭ ответ должен быть числом, значит, он им и будет — «страшный» промежуточный вид означает, что где-то осталось лишнее.

Как упрощать выражения со степенями быстро?

Главный приём: привести всё к одному основанию. Как только все множители выражены через одно основание, степени просто складываются или вычитаются. Второй приём: сразу перевести корни в дробные показатели степени. После этого выражение превращается в арифметику показателей.

Что делать, если ответ не сходится с ожидаемым?

Проверь последовательно три вещи. Первое: правильно ли записан знак при отрицательном показателе степени. Второе: не складывал ли логарифмы с разными основаниями без перехода. Третье: не оставил ли промежуточное выражение типа $3^{1}$ вместо числа 3. В большинстве случаев ошибка именно в одном из этих мест.

Задание 6 ЕГЭ профильной математики — вычисления и преобразования

Что входит в задание 6 ЕГЭ

Свойства степеней и корней

Свойства логарифмов

Тригонометрические формулы первой помощи

Три примера с решением

Пример 1: степени и дробный показатель

Пример 2: логарифмы с разными основаниями

Пример 3: тригонометрия через основное тождество

Частые ошибки

Итог

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

FAQ

Узнай свой реальный балл за 15 минут

Читать дальше

Задание 15 ЕГЭ: логарифмические неравенства — шаблон решения

Отбор корней на единичной окружности: задание 14 ЕГЭ

Задание 14 ЕГЭ профиль: полный гайд по стереометрии