Разбор задания 7 ЕГЭ: как читать график функции и производной, находить экстремумы, промежутки возрастания и убывания. Примеры с ответами.

Что спрашивают в задании 7 ЕГЭ

Задание 7 — одно из самых «читаемых» в первой части профильной математики. Здесь не нужно вычислять производную по формуле. Нужно понять, что говорит тебе картинка.

За это задание ты получаешь 1 первичный балл. Звучит скромно, но тема появляется не только здесь: связь графика функции и её производной встречается в заданиях второй части. Разобрать её один раз качественно — значит закрыть сразу несколько позиций.

В задании 7 бывает два сценария.

Сценарий 1. Тебе дают график функции и просят что-то найти про её производную: на каком промежутке производная положительна, где она равна нулю, есть ли максимум и где именно.

Сценарий 2. Тебе дают график производной и просят что-то найти про саму функцию: где функция возрастает, где убывает, сколько точек минимума.

Это два противоположных направления чтения. Ошибка в том, что ученики путают их и применяют правило не в ту сторону. Дальше разберём оба.

«Словарь графика»: знак, экстремум, возрастание

Прежде чем читать любой график, нужно договориться о языке. Вот минимальный набор понятий, без которых задание 7 ЕГЭ не решается.

Промежуток возрастания — участок, где функция идёт вверх при движении слева направо. Чем правее точка на оси xx, тем выше значение функции.

Промежуток убывания — симметричная история: движемся вправо, функция ползёт вниз.

Точка максимума — точка, в которой функция переходит от возрастания к убыванию. Локально это «горка».

Точка минимума — переход от убывания к возрастанию. Локально это «яма».

Знак производной — если f′(x)>0f'(x) > 0 на каком-то промежутке, там функция возрастает. Если f′(x)<0f'(x) < 0 — убывает. Если f′(x)=0f'(x) = 0 в точке — там кандидат в экстремум.

Запомни это как таблицу умножения. Без неё читать графики невозможно.

Как читать график функции

Тебе показали плавную кривую. Нужно ответить на вопрос про производную. Действуй в три шага.

Шаг 1. Найди промежутки возрастания и убывания. Смотри на «наклон» кривой. Где кривая поднимается — там f′(x)>0f'(x) > 0. Где опускается — f′(x)<0f'(x) < 0.

Шаг 2. Найди точки экстремума. Это вершины «горок» и дна «ям». В них производная обращается в ноль или не существует. На точном графике ЕГЭ производная там всегда равна нулю.

Шаг 3. Ответь на конкретный вопрос. Если спрашивают «при каких xx производная положительна» — перечисли промежутки возрастания. Если «сколько точек экстремума» — посчитай смены направления.

Типовой вопрос: «Найди точку максимума функции». Смотришь на кривую, ищешь «горку», записываешь координату xx её вершины.

Хочешь решать задание 7 каждый день и сразу видеть, где ошибся? Пройди диагностику — Соты выстроят твой личный маршрут по всем темам.

Как читать график производной

Вот здесь большинство ошибается. Тебе показывают не саму функцию, а её производную f′(x)f'(x). Нужно «прочитать» функцию по производной.

Запомни этот мини-глоссарий. Он переключает твою логику в нужном направлении.

Что видишь на графике f′(x)f'(x)Что это значит для f(x)f(x)
f′(x)>0f'(x) > 0 (кривая выше оси xx)Функция возрастает
f′(x)<0f'(x) < 0 (кривая ниже оси xx)Функция убывает
f′(x)=0f'(x) = 0 (кривая пересекает ось xx)Кандидат в точку экстремума
f′(x)f'(x) меняет знак с ++ на −- (кривая пересекает ось сверху вниз)У f(x)f(x) точка максимума
f′(x)f'(x) меняет знак с −- на ++ (кривая пересекает ось снизу вверх)У f(x)f(x) точка минимума
f′(x)f'(x) касается оси, но знак не меняетНе экстремум, а точка перегиба

Разберём на конкретном случае. График f′(x)f'(x) пересекает ось xx в трёх точках: x=−2x = -2, x=1x = 1, x=4x = 4. Дополнительно известно, что при x<−2x < -2 производная положительна, на (−2;1)(-2; 1) отрицательна, на (1;4)(1; 4) снова положительна, при x>4x > 4 — отрицательна.

Читаем: функция возрастает на (−∞;−2)(-\infty; -2), убывает на (−2;1)(-2; 1), снова возрастает на (1;4)(1; 4), снова убывает на (4;+∞)(4; +\infty). Точка x=−2x = -2: производная меняет знак с ++ на −- — максимум. Точка x=1x = 1: с −- на ++ — минимум. Точка x=4x = 4: с ++ на −- — максимум. Итого: два максимума и один минимум.

Три примера с пошаговым разбором

Пример 1. Сколько точек минимума?

Условие. Дан график функции f(x)f(x). Найди количество точек минимума на отрезке [−5;5][-5; 5].

Решение. Смотришь на кривую и считаешь, сколько раз она переходит из убывания в возрастание на указанном отрезке. Каждый такой переход — точка минимума. Допустим, таких переходов два. Ответ: 2.

Ошибка: посчитал все «изломы» кривой, включая максимумы. Считай только переходы «вниз → вверх».

Пример 2. Промежутки возрастания по графику производной

Условие. Дан график f′(x)f'(x) на отрезке [−6;6][-6; 6]. График производной лежит выше оси xx при x∈(−4;−1)∪(2;5)x \in (-4; -1) \cup (2; 5) и ниже — на остальных участках. Найди длину промежутка возрастания функции f(x)f(x).

Решение. Функция возрастает там, где f′(x)>0f'(x) > 0. Значит, промежутки возрастания: (−4;−1)(-4; -1) длиной 33 и (2;5)(2; 5) длиной 33. Суммарная длина: 3+3=63 + 3 = 6.

Ошибка: посчитать только один из двух промежутков или ошибиться с направлением — возрастанию соответствует именно положительный знак производной, а не отрицательный.

Пример 3. Чтение графика производной — точка максимума функции

Условие. Дан график f′(x)f'(x) — кривая параболообразной формы, которая пересекает ось xx в точках x=−1x = -1 и x=3x = 3. Левее x=−1x = -1 производная отрицательная, между −1-1 и 33 положительная, правее x=3x = 3 снова отрицательная.

Решение. Функция убывает на (−∞;−1)(-\infty; -1), возрастает на (−1;3)(-1; 3), убывает на (3;+∞)(3; +\infty).

В точке x=−1x = -1: производная меняет знак с −- на ++. Это минимум f(x)f(x). В точке x=3x = 3: производная меняет знак с ++ на −-. Это максимум f(x)f(x).

Ответ: точка максимума — x=3x = 3.

Хочешь увидеть свой путь к ЕГЭ? Пройди диагностику на Сотах — получишь карту пробелов и конкретные задания 7 разного уровня.

Частые ошибки

Путаешь сценарии. Задание спрашивает про функцию, а ты отвечаешь про производную — или наоборот. Перед решением прочитай условие дважды: что дано (график ff или график f′f') и что спрашивают.

Считаешь точки пересечения, а не смены знака. График f′(x)f'(x) может касаться оси xx и уходить обратно, не меняя знак. В такой точке экстремума нет. Следи именно за сменой знака.

Включаешь граничные точки в открытые промежутки. В точках экстремума f′(x)=0f'(x) = 0, значит f′(x)>0f'(x) > 0 там не выполняется. Используй открытые скобки: (a;b)(a; b), не [a;b][a; b].

Путаешь максимум и минимум при чтении производной. Правило: производная пересекает ось сверху вниз (знак ++ на −-) — максимум функции. Снизу вверх (знак −- на ++) — минимум. Нарисуй себе стрелки, пока это не станет автоматическим.

Игнорируешь область определения. Иногда в задании указан конкретный промежуток. Точки экстремума или возрастания за его пределами в ответ не входят.

Задание 7 ЕГЭ проверяет одну вещь: умеешь ли ты читать графики в обоих направлениях — от функции к производной и от производной к функции. Когда глоссарий из таблицы выше станет рефлексом, это задание перестанет занимать у тебя больше минуты. Потренируй оба сценария по 5–10 раз — и тема закрыта.

Смежные темы, которые помогут углубить понимание: все формулы профильной математики и разбор типичных ошибок на ЕГЭ по математике.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

Пригодится для подготовки к части 1:

Частые вопросы

Сколько баллов даёт задание 7 ЕГЭ?

За задание 7 начисляется 1 первичный балл. Это задание первой части, где ответ нужно просто записать. Частичных баллов нет — либо правильно, либо нет. В пересчёте на стобалльную шкалу каждый первичный балл первой части добавляет примерно 2–3 итоговых балла.

Как отличить график функции от графика производной на одной картинке?

Ищи связь между двумя кривыми. Производная обнуляется в тех точках, где у функции максимум или минимум. Значит, если одна кривая пересекает ось xx ровно там, где другая достигает своих «горок» и «ям» — первая и есть производная. Дополнительный признак: производная гладкой функции часто выглядит «проще» — например, функция квадратная, а производная линейная.

В точке экстремума производная всегда равна нулю?

В точке экстремума производная равна нулю, если она там существует. В задании 7 профильного ЕГЭ графики всегда гладкие, и в точках максимума и минимума функции производная обнуляется. На практике это значит: ищешь экстремум — смотри, где f′(x)=0f'(x) = 0 со сменой знака.

Путаю промежутки возрастания и знак производной — как запомнить?

Одно правило без исключений: функция возрастает там, где производная положительна, и убывает там, где производная отрицательна. Закрепи через образ: производная — это «скорость роста». Скорость положительная — значит, растёт. Отрицательная — падает. Порепетируй это соответствие на 5–6 разных графиках подряд, не давая себе времени на размышления, и рефлекс выработается.

Как тренировать задание 7 эффективно?

Разбей тренировку на два блока: сначала только сценарий «дан график функции», потом только «дан график производной». Смешивать их сразу — значит дольше путаться. Когда каждый сценарий работает уверенно по отдельности, переходи к смешанным задачам. На Сотах задание 7 идёт в адаптивной очерёдности — платформа сама подберёт тебе нужный тип задачи в зависимости от твоих результатов.