Задание 5 ЕГЭ профильной математики — простейшие уравнения по шагам

Разбор задания 5 ЕГЭ: показательные, логарифмические, иррациональные и тригонометрические уравнения. Алгоритмы и 4 примера.

Что входит в задание 5 ЕГЭ

Задание 5 профильной математики — одно из самых щедрых в первой части. Оно даёт 1 первичный балл и при этом решается по чётким алгоритмам. Никакой творческой неопределённости: знаешь тип уравнения, применяешь алгоритм, получаешь балл.

В задании встречаются четыре типа уравнений: показательные, логарифмические, иррациональные и тригонометрические. Каждый тип — со своей техникой и своим набором подводных камней. Освоишь все четыре — и задание 5 превращается в стабильный плюс, который ты берёшь на любом варианте.

Цель этого разбора: дать конкретный алгоритм под каждый тип и показать разбор живого примера. После прочтения у тебя будет рабочая схема на экзамен.

Показательные уравнения — алгоритм

Показательное уравнение содержит переменную в показателе степени: $2^x = 8$, $3^{2x-1} = 27$, $5^{x^2} = 625$ и подобное.

Алгоритм:

1. Привести обе части уравнения к одному основанию.
2. Приравнять показатели степеней.
3. Решить получившееся алгебраическое уравнение.

Если обе части сводятся к одному основанию, задача решается напрямую. Если основания разные, ищи, не выражается ли одно через другое (например, $4 = 2^2$, $9 = 3^2$, $0{,}25 = 2^{-2}$).

Пример 1. Решить уравнение $4^{x+1} = 8^{x-1}$.

Решение.

Приводим к основанию 2:

$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2x+2}$

$8^{x-1} = (2^3)^{x-1} = 2^{3x-3}$

Основания равны, приравниваем показатели:

$2x + 2 = 3x - 3$

$x = 5$

Ответ: $x = 5$.

Проверка излишня для показательных уравнений с целочисленными показателями, но если в процессе решения ты делил на выражение с переменной — проверяй.

Логарифмические уравнения — алгоритм и ОДЗ

Логарифмические уравнения в задании 5 встречаются в двух вариациях: $\log_a f(x) = b$ и $\log_a f(x) = \log_a g(x)$.

Алгоритм для $\log_a f(x) = b$:

1. Перейти к показательной форме: $f(x) = a^b$.
2. Решить уравнение.
3. Проверить ОДЗ: $f(x) > 0$.

Алгоритм для $\log_a f(x) = \log_a g(x)$:

1. Приравнять аргументы: $f(x) = g(x)$.
2. Решить уравнение.
3. Проверить ОДЗ: оба аргумента должны быть строго больше нуля.

Пример 2. Решить уравнение $\log_3(2x - 1) = 3$.

Решение.

Переходим к показательной форме:

$2x - 1 = 3^3 = 27$

$2x = 28$

$x = 14$

Проверяем ОДЗ: при $x = 14$ аргумент равен $2 \cdot 14 - 1 = 27 > 0$. Корень подходит.

Ответ: $x = 14$.

Иррациональные уравнения — проверка корней

Иррациональные уравнения содержат переменную под знаком корня: $\sqrt{2x + 3} = x - 1$, $\sqrt{x + 5} = \sqrt{3x - 1}$ и подобное.

Алгоритм:

1. Записать ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным.
2. Возвести обе части в квадрат (или в нужную степень).
3. Решить получившееся уравнение.
4. Проверить каждый корень подстановкой в исходное уравнение.

Шаг 4 пропускать нельзя. Возведение в квадрат — операция, которая может порождать посторонние корни. Корень, который решает квадратное уравнение после возведения, не обязательно решает исходное.

Пример 3. Решить уравнение $\sqrt{x + 6} = x$.

Решение.

ОДЗ: $x + 6 \geq 0$, то есть $x \geq -6$. Дополнительно: правая часть $x$ должна быть неотрицательной (квадратный корень неотрицателен), поэтому $x \geq 0$.

Возводим обе части в квадрат:

$x + 6 = x^2$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x - 3)(x + 2) = 0$

Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = -2$.

Проверка в исходном уравнении:

• $x = 3$: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3 = x$. Подходит.
• $x = -2$: $\sqrt{-2 + 6} = \sqrt{4} = 2 \neq -2$. Не подходит (посторонний корень).

Ответ: $x = 3$.

Тригонометрические уравнения — отбор корней

Тригонометрические уравнения в задании 5 — это простейший уровень: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$. В отличие от задания 13, здесь не нужно сводить к базовым формулам через сложные преобразования. Достаточно применить стандартную формулу и проверить, есть ли ограничение на промежуток.

Формулы общего решения:

$\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = a \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

$\operatorname{tg} x = a \Rightarrow x = \operatorname{arctg} a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Если в условии задания 5 нет требования выбрать корни на конкретном промежутке, записываешь общее решение и всё. Если промежуток есть — подставляешь целые значения $n$ и отбираешь попавшие корни. Подробный алгоритм отбора разобран в разборе задания 13.

Пример 4. Решить уравнение $\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение.

Применяем формулу для косинуса:

$x = \pm \arccos \dfrac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$.

Если $a$ выходит за пределы допустимых значений функции (например, $\sin x = 1{,}5$ или $\cos x = -2$), уравнение не имеет решений. Это тоже полноценный ответ.

Четыре примера — итоговая схема

Для удобства собери в одну табличку всё, что нужно помнить перед экзаменом:

Четыре типа, четыре алгоритма. Задание 5 не требует импровизации — только техники и внимательности.

Частые ошибки

Забыть про ОДЗ в логарифмах. Самая распространённая ошибка. Находишь корень, записываешь его в ответ — и теряешь балл, потому что при этом значении аргумент логарифма обращается в ноль или уходит в минус. Всегда проверяй: $f(x) > 0$ для каждого логарифмического выражения в уравнении.

Не проверять корни в иррациональных уравнениях. После возведения в квадрат часть корней может оказаться посторонними. Без подстановки в исходное уравнение ты не узнаешь, какие из них настоящие. Две минуты на проверку — и балл в кармане.

Путать основания в показательных уравнениях. $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $9 = 3^2$, $27 = 3^3$, $32 = 2^5$, $0{,}5 = 2^{-1}$ — эти соответствия нужно знать мгновенно. Если тратишь время на подбор, тренируй это отдельно.

Записать только одну серию в тригонометрии. Формула $\cos x = a$ через знак $\pm$ даёт две серии. Если записал только одну, половина корней пропала.

Не проверять, существует ли решение. Если $\sin x = 2$, ответ «нет решений», а не пробел. Экзаменаторы оценивают именно этот ответ как полный.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 4: сложная вероятность
• → Задание 6: вычисления и преобразования

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ

Задание 5 ЕГЭ — это четыре алгоритма, которые работают на любом варианте. Показательные уравнения решаются приведением к одному основанию, логарифмические — переходом к показательной форме с обязательной проверкой ОДЗ, иррациональные — возведением в степень с проверкой корней, тригонометрические — по стандартным формулам общего решения. Освоишь все четыре — и задание 5 станет одним из самых предсказуемых в варианте.