Задание 4 ЕГЭ профильной математики — сложная вероятность по шагам

Разбор задания 4 ЕГЭ: условная вероятность, формула полной вероятности, несовместные и независимые события. Примеры с деревом исходов.

Что сложнее в задании 4 ЕГЭ по сравнению с заданием 2

Задание 2 и задание 4 — оба про вероятность, оба в первой части профильного ЕГЭ. Каждое из них даёт 1 первичный балл. Только трудность разная.

В задании 2 схема прямолинейная: берёшь число благоприятных исходов, делишь на общее число исходов — готово. Комбинаторика плюс классическая формула. Понял логику один раз, решаешь уверенно.

Задание 4 устроено иначе. Здесь событие многоступенчатое: первое испытание влияет на второе, или нужно найти вероятность при заданном условии, или подобрать вероятность «хотя бы одного» события из нескольких. Один арифметический шаг уже не спасёт.

Чаще всего в задании 4 встречаются два типа:

1. Последовательные испытания — нужно найти вероятность совместного результата двух или более этапов. Классический пример: производство деталей на двух станках, вытаскивание предметов из ящика без возвращения.
2. «Хотя бы одно» — нужно найти вероятность того, что из нескольких независимых событий произошло хотя бы одно. Тут помогает формула дополнения.

Оба типа разберём подробно ниже. Но сначала зафиксируем базовые понятия, потому что без них формулы не работают.

Независимые и несовместные события

Два понятия, которые школьники постоянно путают. Запомни разницу раз и навсегда.

Несовместные события — события, которые не могут произойти одновременно. Выпал орёл — значит, решки нет. Вытащил красный шар — синий остался в ящике. Вероятность их одновременного наступления равна нулю. Зато вероятность того, что наступит одно из них, считается просто: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Независимые события — события, на вероятность которых друг друга не влияет. Ты бросил монету первый раз и получил орла. Это никак не меняет вероятность орла при втором броске. Вероятность их совместного наступления считается перемножением: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Почему это важно именно для задания 4? Потому что в задаче с последовательными испытаниями события на каждом этапе могут быть либо независимыми (например, бросок монеты дважды), либо зависимыми (вытащить шар без возврата — вероятность второго броска меняется). Перепутать — значит написать неверную формулу.

Формула полной вероятности и дерево исходов

Когда событие может наступить через разные сценарии, используют формулу полной вероятности. Она пригодится, если задача разбивается на несколько взаимоисключающих путей.

Пусть событие $B$ может наступить только через одну из гипотез $H_1, H_2, \ldots, H_n$ (они несовместны и в сумме покрывают все возможности). Тогда:

$P(B) = P(H_1) \cdot P(B \mid H_1) + P(H_2) \cdot P(B \mid H_2) + \ldots + P(H_n) \cdot P(B \mid H_n)$

Здесь $P(B \mid H_i)$ — это условная вероятность события $B$ при условии, что гипотеза $H_i$ уже произошла.

На практике удобнее всего строить дерево исходов. Вот как оно устроено:

Начало
├── Путь 1 (вероятность p₁)
│   ├── Результат: B (вероятность q₁)  → вклад p₁ · q₁
│   └── Результат: не-B (вероятность 1−q₁)
└── Путь 2 (вероятность p₂)
    ├── Результат: B (вероятность q₂)  → вклад p₂ · q₂
    └── Результат: не-B (вероятность 1−q₂)

P(B) = p₁·q₁ + p₂·q₂

На каждом «переходе» по ветке умножаешь вероятности. Когда несколько веток ведут к нужному событию — складываешь их вклады. Это и есть формула полной вероятности, только в наглядном виде.

Строить такое дерево можно прямо на черновике: кружок в начале, из него стрелки-ветки с вероятностями, потом ещё ветки. Потратишь 2 минуты — зато не запутаешься в вычислениях.

Полный пример: две попытки

Разберём задачу пошагово.

Условие. Студент сдаёт зачёт. Если он подготовлен хорошо (вероятность 0,7), то сдаёт с первого раза с вероятностью 0,9. Если подготовлен слабо (вероятность 0,3), то сдаёт с первого раза с вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что студент сдаст зачёт с первого раза.

Решение через дерево исходов:

Старт
├── Хорошая подготовка: P(H₁) = 0,7
│   ├── Сдал: P(B | H₁) = 0,9  → вклад: 0,7 · 0,9 = 0,63
│   └── Не сдал: 0,1
└── Слабая подготовка: P(H₂) = 0,3
    ├── Сдал: P(B | H₂) = 0,4  → вклад: 0,3 · 0,4 = 0,12
    └── Не сдал: 0,6

P(B) = 0,63 + 0,12 = 0,75

Проверяем формулой:

$P(B) = P(H_1) \cdot P(B \mid H_1) + P(H_2) \cdot P(B \mid H_2) = 0{,}7 \cdot 0{,}9 + 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}63 + 0{,}12 = 0{,}75$

Ответ: 0,75.

Обрати внимание: сумма вкладов от всех гипотез даёт итоговую вероятность. Гипотезы $H_1$ и $H_2$ несовместны и в сумме дают 1 (0,7 + 0,3 = 1) — это обязательное условие для применения формулы. Если сумма не равна 1, значит, пропустил гипотезу или ошибся в условии.

Теперь второй тип — «хотя бы одно». Пусть два устройства работают независимо. Первое выходит из строя с вероятностью 0,1, второе — с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что хотя бы одно выйдет из строя.

Искать напрямую неудобно: надо считать три варианта (только первое, только второе, оба сразу). Быстрее через дополнение:

$P(\text{хотя бы одно}) = 1 - P(\text{ни одного}) = 1 - (1 - 0{,}1) \cdot (1 - 0{,}2) = 1 - 0{,}9 \cdot 0{,}8 = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$

Устройства независимы, поэтому вероятности перемножаем. Дополнение используем потому, что событие «ни одного» — единственный вариант, при котором «хотя бы одно» не произошло.

Частые ошибки

Задание 4 теряют не из-за незнания формул, а из-за мелких ошибок в логике. Вот самые распространённые.

Перепутали тип событий. Применили формулу для независимых к зависимым. Например, в задаче про шары без возврата вероятность второго шара меняется после первого вытаскивания. Если не учесть это, ответ будет неверным.

Не проверили, что гипотезы в сумме дают 1. Если условие даёт три гипотезы с вероятностями 0,5, 0,3 и 0,1 — их сумма 0,9, а не 1. Значит, есть ещё одна гипотеза с вероятностью 0,1, которую нужно включить в формулу.

Сложили вместо умножения (или наоборот). В дереве вдоль одной ветки вероятности перемножаются. Между ветками — складываются. Перепутать легко, если делаешь в уме.

Забыли про дополнение в задачах «хотя бы одно». Начали считать напрямую и запутались в количестве вариантов. Дополнение всегда быстрее: $1 - P(\text{ни одного})$.

Округлили промежуточный результат. В задании 4 ответ обычно не округляют — нужно точное десятичное число. Если округлить на промежуточном шаге, финальный ответ может уехать.

Как тренировать этот блок

Задание 4 профильного ЕГЭ хорошо поддаётся тренировке, потому что типов задач немного. Вот рабочий порядок:

Шаг 1. Разберись с понятиями. Прежде чем решать, убедись, что чётко разграничиваешь независимые и несовместные события. Составь сам по одному примеру на каждый случай.

Шаг 2. Научись строить дерево. Возьми 5–7 задач на полную вероятность и к каждой нарисуй дерево исходов на бумаге. Это медленнее, чем писать формулу, но зато не запутаешься в ветках.

Шаг 3. Отработай «хотя бы одно». Это отдельный тип. Три-пять задач через дополнение — и автоматизм появится.

Шаг 4. Смешай типы. Когда оба типа отработаны отдельно, решай задачи вперемешку. Главный навык — с первого взгляда понять, какой тип перед тобой.

Полезно связывать задание 4 с остальными темами вероятности. Часть формул из задания 4 пересекается с материалом задания 2 — если ты уже разобрался с классической вероятностью, вход в условную будет проще. Сверься с разборами из типичных ошибок на ЕГЭ: там есть конкретные примеры, где путаница между типами событий стоила балла.

Задание 4 ЕГЭ проверяет не скорость, а аккуратность. Ты знаешь формулу полной вероятности, умеешь строить дерево, не путаешь независимые с несовместными — балл твой. Все формулы, которые нужны для первой части, собраны в шпаргалке по профильной математике: удобно проверить себя перед тренировкой.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 3: объёмы и площади
• → Задание 5: простейшие уравнения

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

Частые вопросы