Задание 3 ЕГЭ профильной математики — объёмы и площади поверхности

Разбор задания 3 ЕГЭ на объёмы и площади поверхности тел вращения и многогранников. Все формулы, алгоритм и 3 примера с решением.

Что проверяет задание 3 ЕГЭ

Задание 3 в профильной математике — это стереометрия в части 1. Оно даёт 1 первичный балл, ответ — число. Номер указан по проекту документов ЕГЭ-2027 (ФИПИ): в канонической нумерации стереометрия части 1 остаётся третьим заданием. Итоговые документы могут отличаться.

Задание 3 ЕГЭ проверяет умение работать с объёмами и площадями поверхности геометрических тел: призм, пирамид, цилиндров, конусов и шаров. Эти пять типов тел — основа задания. Ты не угадываешь формулу, а выбираешь нужную из выученных и подставляешь числа.

Если формулы твёрдо сидят в голове, вычисление занимает немного времени. Если нет, тратишь время на попытки вспомнить и ошибаешься.

Минимальный набор формул: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар

Ниже — таблица с формулами объёмов и площадей полной поверхности для всех пяти типов тел. Это тот минимум, без которого задание 3 не решить. Подробнее по темам: объёмы тел вращения и правильная пирамида: все формулы.

Обозначения: $r$ — радиус основания, $h$ — высота тела, $l$ — образующая конуса, $S_{\text{осн}}$ — площадь основания.

Для боковой поверхности призмы удобно помнить формулу через периметр основания: $S_{\text{бок}}=P_{\text{осн}}\cdot h$. У правильной пирамиды боковая поверхность считается через апофему: $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot a$, где $a$ — апофема.

Как распознать тело по условию

Это отдельный навык, который нарабатывается практикой. Задание 3 ЕГЭ почти никогда прямо не называет тело словами «цилиндр» или «конус» — оно описывает его через числовые параметры.

Ключевые сигналы в условии:

• «Радиус основания» + «высота» + «круглое сечение» = цилиндр или конус.
• «Боковая поверхность описана прямоугольником» + «высота» = цилиндр (боковая развёртка).
• «Правильная пирамида» + «сторона основания» + «высота» = правильная пирамида.
• «Куб» или «прямоугольный параллелепипед» = частный случай призмы.
• «Образующая» = конус (образующая — это наклонная линия от вершины до края основания).
• «Диаметр» = два радиуса. Путаница диаметра и радиуса — типичная ошибка.

Если в условии дан диаметр, сразу делай пометку на полях и делишь пополам до начала вычислений. Не в конце, не по дороге — сразу.

Ещё один момент: задание может давать объём и просить найти линейный параметр. Тогда ты выражаешь нужную переменную из формулы. Алгоритм тот же, просто в обратную сторону.

Три примера с решением

В части 1 ответ — целое число или конечная десятичная дробь, поэтому в условии просят разделить результат на $\pi$ или на $\sqrt{3}$.

Пример 1. Объём цилиндра

Условие. Диаметр основания цилиндра равен 6, высота равна 5. Найдите объём цилиндра, делённый на $\pi$.

Решение.

Диаметр 6, значит радиус $r=3$. Высота $h=5$.

$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 5=45\pi$

В ответ идёт $V/\pi =45$.

Ответ: 45

Здесь всё решение — одна строка. Единственная ловушка — не перепутать диаметр и радиус на старте.

Пример 2. Площадь полной поверхности конуса

Условие. Радиус основания конуса равен 4, образующая равна 7. Найдите площадь полной поверхности конуса, делённую на $\pi$.

Решение.

Площадь полной поверхности конуса:

$S=\pi r^2+\pi rl=\pi \cdot 4^2+\pi \cdot 4\cdot 7=16\pi +28\pi =44\pi$

В ответ идёт $S/\pi =44$.

Ответ: 44

Обрати внимание: в формуле площади конуса используется образующая $l$, а не высота $h$. Если в задаче дана высота, нужно сначала найти образующую через теорему Пифагора: $l=\sqrt{r^2+h^2}$.

Пример 3. Объём правильной треугольной пирамиды

Условие. Правильная треугольная пирамида имеет сторону основания 6 и высоту 4. Найдите её объём, делённый на $\sqrt{3}$.

Решение.

Основание — правильный треугольник со стороной $a=6$.

Площадь правильного треугольника: $S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 36=9\sqrt{3}$

Объём пирамиды:

$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 9\sqrt{3}\cdot 4=12\sqrt{3}$

В ответ идёт $V/\sqrt{3}=12$.

Ответ: 12

Задачи с пирамидой требуют помнить формулу площади правильного треугольника. Если она вылетает, восстанови: высота правильного треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, тогда площадь $S=\frac{1}{2}\cdot a\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Частые ошибки с единицами измерения

Ещё три ошибки, которые встречаются стабильно:

1. Высота вместо образующей у конуса. В формуле площади боковой поверхности конуса стоит $l$ (образующая), а не $h$ (высота). Если перепутаешь — ответ неверный, хотя ход рассуждений правильный.

2. Коэффициент 1/3 у пирамиды и конуса. Объём пирамиды и конуса в три раза меньше объёма призмы и цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Множитель легко забыть.

3. Перевод единиц. Если в задаче смешаны сантиметры и дециметры или метры и сантиметры — приведи всё к одной единице до начала вычислений. Смешанные единицы в формулах дают неверный числовой ответ.

Связь с задачей по стереометрии в части 2

Задание 3 — вычисление по готовой формуле. В части 2 есть стереометрическая задача с доказательством и построением сечений: по проекту ЕГЭ-2027 это №15 (в ЕГЭ-2026 она была №14). Разбор на старой нумерации: стереометрия части 2.

Формулы из задания 3 пригодятся и там: они появляются как инструмент внутри более длинного решения.

Формулы профильной математики, включая стереометрию, собраны в справочнике все формулы ЕГЭ профильная математика. Удобно держать его открытым, пока тренируешься.

Если стереометрия пока слабое место, начни с части 1: пять тел, ограниченный набор формул, один алгоритм действий.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из заданий профильного ЕГЭ. Все разборы по номерам: полный гид по заданиям.

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

Частые вопросы

Проверено: 2026-10-08.