Разбор задания 3 ЕГЭ на объёмы и площади поверхности тел вращения и многогранников. Все формулы, алгоритм и 3 примера с решением.

Что проверяет задание 3 ЕГЭ

Задание 3 в профильной математике — это стереометрия в части 1. Оно даёт 1 первичный балл и входит в блок базовых задач, которые большинство участников должны решать без ошибок. Один балл кажется мелочью, но в условиях жёсткой конкуренции за проходной порог он может сыграть решающую роль.

Задание 3 ЕГЭ проверяет умение работать с объёмами и площадями поверхности геометрических тел: призм, пирамид, цилиндров, конусов и шаров. Именно эти пять типов тел покрывают практически весь спектр вариантов, который встречается в реальных работах. Ты не угадываешь формулу — ты выбираешь нужную из 4–5 выученных и подставляешь числа.

На само вычисление уходит 1–2 минуты, если формулы твёрдо сидят в голове. Если нет — тратишь 5 минут на попытки вспомнить, ошибаешься и теряешь балл.

Минимальный набор формул: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар

Ниже — таблица с формулами объёмов и площадей полной поверхности для всех пяти типов тел. Это тот минимум, без которого задание 3 не решить.

ТелоОбъёмПлощадь полной поверхности
Прямая призмаV=Sосн⋅hV = S_{\text{осн}} \cdot hS=2Sосн+SбокS = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}
Правильная пирамидаV=13Sосн⋅hV = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot hS=Sосн+SбокS = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}
ЦилиндрV=πr2hV = \pi r^2 hS=2πr2+2πrhS = 2\pi r^2 + 2\pi r h
КонусV=13πr2hV = \dfrac{1}{3} \pi r^2 hS=πr2+πrlS = \pi r^2 + \pi r l
ШарV=43πr3V = \dfrac{4}{3} \pi r^3S=4πr2S = 4\pi r^2

Обозначения: rr — радиус основания, hh — высота тела, ll — образующая конуса, SоснS_{\text{осн}} — площадь основания.

Для боковой поверхности призмы удобно помнить формулу через периметр основания: Sбок=Pосн⋅hS_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h. У правильной пирамиды боковая поверхность считается через апофему: Sбок=12Pосн⋅aS_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2} P_{\text{осн}} \cdot a, где aa — апофема.

Хочешь проверить, как ты справляешься с задачами на объёмы? Пройди диагностику — она покажет, какие формулы уже твои, а какие нужно повторить.

Как распознать тело по условию

Это отдельный навык, который нарабатывается практикой. Задание 3 ЕГЭ почти никогда прямо не называет тело словами «цилиндр» или «конус» — оно описывает его через числовые параметры.

Ключевые сигналы в условии:

  • «Радиус основания» + «высота» + «круглое сечение» = цилиндр или конус.
  • «Боковая поверхность описана прямоугольником» + «высота» = цилиндр (боковая развёртка).
  • «Правильная пирамида» + «сторона основания» + «высота» = правильная пирамида.
  • «Куб» или «прямоугольный параллелепипед» = частный случай призмы.
  • «Образующая» = конус (образующая — это наклонная линия от вершины до края основания).
  • «Диаметр» = радиус пополам. Здесь чаще всего и теряются баллы.

Если в условии дан диаметр, сразу делай пометку на полях и делишь пополам до начала вычислений. Не в конце, не по дороге — сразу.

Ещё один момент: задание может давать объём и просить найти линейный параметр. Тогда ты выражаешь нужную переменную из формулы. Алгоритм тот же, просто в обратную сторону.

Три примера с решением

Пример 1. Объём цилиндра

Условие. Диаметр основания цилиндра равен 6, высота равна 5. Найдите объём цилиндра.

Решение.

Диаметр 6, значит радиус r=3r = 3. Высота h=5h = 5.

V=πr2h=π⋅32⋅5=45πV = \pi r^2 h = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45\pi

Ответ: 45π45\pi

Здесь всё решение — одна строка. Единственная ловушка — не перепутать диаметр и радиус на старте.

Пример 2. Площадь полной поверхности конуса

Условие. Радиус основания конуса равен 4, образующая равна 7. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение.

Площадь полной поверхности конуса:

S=πr2+πrl=π⋅42+π⋅4⋅7=16π+28π=44πS = \pi r^2 + \pi r l = \pi \cdot 4^2 + \pi \cdot 4 \cdot 7 = 16\pi + 28\pi = 44\pi

Ответ: 44π44\pi

Обрати внимание: в формуле площади конуса используется образующая ll, а не высота hh. Если в задаче дана высота, нужно сначала найти образующую через теорему Пифагора: l=r2+h2l = \sqrt{r^2 + h^2}.

Пример 3. Объём правильной треугольной пирамиды

Условие. Правильная треугольная пирамида имеет сторону основания 6 и высоту 4. Найдите её объём.

Решение.

Основание — правильный треугольник со стороной a=6a = 6.

Площадь правильного треугольника: Sосн=34a2=34⋅36=93S_{\text{осн}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3}

Объём пирамиды:

V=13Sосн⋅h=13⋅93⋅4=123V = \dfrac{1}{3} S_{\text{осн}} \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 4 = 12\sqrt{3}

Ответ: 12312\sqrt{3}

Задачи с пирамидой требуют помнить формулу площади правильного треугольника. Если она вылетает, восстанови: высота правильного треугольника со стороной aa равна a32\dfrac{a\sqrt{3}}{2}, тогда площадь S=12⋅a⋅a32=a234S = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}.

Частые ошибки с единицами измерения

Ещё три ошибки, которые встречаются стабильно:

1. Высота вместо образующей у конуса. В формуле площади боковой поверхности конуса стоит ll (образующая), а не hh (высота). Если перепутаешь — ответ неверный, хотя ход рассуждений правильный.

2. Коэффициент 1/3 у пирамиды и конуса. Объём пирамиды и конуса в три раза меньше объёма соответствующей призмы и цилиндра с той же основой и высотой. Это не интуитивно очевидно, поэтому многие забывают множитель.

3. Перевод единиц. Если в задаче смешаны сантиметры и дециметры или метры и сантиметры — приведи всё к одной единице до начала вычислений. Ответ в разных единицах не зачтут.

Связь с заданием 14

Задание 3 ЕГЭ и задание 14 по стереометрии — это два разных уровня работы с пространственными телами. Задание 3 — вычисление по готовой формуле, задание 14 — доказательства, построение сечений, более сложные пространственные рассуждения.

Но между ними есть прямая связь: формулы, которые ты выучишь для задания 3, будут нужны и в задании 14. Там они появляются как инструмент внутри более длинного решения. Поэтому вкладывать время в задание 3 выгодно вдвойне: берёшь 1 балл в части 1 и формируешь базу для части 2.

Полный список всех формул профильной математики, включая стереометрию, собран в справочнике все формулы ЕГЭ профильная математика. Удобно держать его открытым, пока отрабатываешь задание 3 ЕГЭ в тренировочном режиме.

Если стереометрия пока чувствуется слабым местом — начни именно с части 1. Задание 3 отрабатывается за несколько часов практики: пять тел, 4–5 формул, один алгоритм действий. Это управляемый объём.

Хочешь увидеть свой путь? Пройди диагностику — Соты покажут, какие задания ты уже закрыл, а где стоит поработать дополнительно.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

Пригодится для подготовки к части 1:

Частые вопросы

Сколько баллов даёт задание 3 ЕГЭ?

Задание 3 в профильной математике — задача части 1. За верный ответ ты получаешь 1 первичный балл. Частичных баллов нет: либо ответ правильный, либо нет. В переводе на тестовые баллы 1 первичный балл в части 1 стоит примерно 3–4 итоговых балла в зависимости от шкалы года.

Какие формулы обязательно знать для задания 3?

Четыре-пять формул объёма и площади поверхности: цилиндр, конус, шар, прямая призма, правильная пирамида. Все они есть в таблице выше. Дополнительно нужно помнить формулу площади правильного треугольника и квадрата — они нужны для вычисления площади оснований. Формульный лист на ЕГЭ не выдаётся, поэтому всё держи в голове.

На экзамене дают справочники с формулами?

Нет. На профильном ЕГЭ по математике справочные материалы не предусмотрены. Всё, чем ты пользуешься — это то, что выучено заранее. Именно поэтому 4–5 базовых формул стереометрии нужно довести до автоматизма, а не просто «знать примерно».

Как не путать объём и площадь поверхности в условии задачи?

Первый шаг — внимательно прочитать вопрос в конце условия. «Найдите объём» и «найдите площадь полной поверхности» — это принципиально разные формулы. Если ты вычислил что-то, но не уверен, что именно — проверь размерность: объём измеряется в кубических единицах (см³, м³), площадь в квадратных (см², м²). По размерности сразу поймёшь, то ли посчитал.

Что делать, если стереометрия — моё слабое место?

Начни с задания 3, потому что оно строго ограничено: пять тел, фиксированный набор формул, никакой импровизации. За 2–3 часа целенаправленной практики с реальными вариантами ты закрываешь этот тип задач. После этого можно переходить к более сложной пространственной геометрии из части 2. Последовательность важна: сначала формулы на автомате, потом пространственное мышление.