Задание 2 ЕГЭ профильной математики — простая вероятность по шагам

Разбор задания 2 ЕГЭ на классическую вероятность. Формула, алгоритм, типовые сюжеты и 3 полных примера с ответами.

Что даёт задание 2 ЕГЭ и из чего состоит

Задание 2 ЕГЭ по профильной математике — это задача на классическую вероятность из первой части. Оно даёт 1 первичный балл и по регламенту рассчитано примерно на 3 минуты. Ответ записывается числом (дробью или десятичным значением) в бланк ответов — никакого обоснования не нужно.

Сюжеты бывают трёх типов: подбрасывание монеты или кубика, случайный выбор карточек (шаров, предметов) из набора, простые комбинаторные события. Все три решаются по одной формуле и одному алгоритму. Если ты его знаешь, задание 2 ЕГЭ превращается в арифметику.

Одна из ключевых задач при подготовке: не тратить на эту задачу больше 3 минут. Тогда ты экономишь время для сложных номеров второй части.

Формула классической вероятности

Всё задание держится на одной формуле:

$P = \frac{m}{n}$

Здесь $m$ — число благоприятных исходов (те, при которых событие произошло), $n$ — общее число равновозможных исходов.

Результат всегда строго между 0 и 1 (или равен 0 либо 1 в крайних случаях). Если у тебя получилось число больше 1 — где-то ошибка в подсчёте. Это встроенная проверка.

Как правильно считать исходы

Алгоритм для любого сюжета одинаковый:

1. Прочитай условие и выдели событие, вероятность которого нужно найти.
2. Посчитай $n$ — сколько всего равных по вероятности вариантов может произойти.
3. Посчитай $m$ — сколько из них приводят к нужному событию.
4. Подели $m$ на $n$.

Главная ловушка: ошибиться в том, что считать «одним исходом». Когда подбрасывают два кубика, общее число исходов равно $6 \times 6 = 36$, а не 11 (сумм от 2 до 12). Каждый исход — это пара значений на кубиках, а не их сумма. Пара $(2, 3)$ и пара $(3, 2)$ — разные исходы, хотя дают одну сумму.

При выборе карточек из набора считай комбинации (без учёта порядка), если в задаче нет указания на порядок. Число способов выбрать $k$ предметов из $n$ — это сочетание $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$.

Три полных примера: монета, кубик, карточки

Пример 1. Монета

Условие. Монету подбрасывают три раза. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение.

Общее число исходов при трёх подбрасываниях: каждый раз два варианта, итого $n = 2^3 = 8$.

Запишем все восемь исходов: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР.

Благоприятные — ровно два орла: ООР, ОРО, РОО. Их $m = 3$.

$P = \frac{3}{8} = 0{,}375$

Ответ: $0{,}375$.

Пример 2. Кубик

Условие. Правильный кубик бросают дважды. Найди вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 7.

Решение.

Общее число исходов: $n = 6 \times 6 = 36$. Каждый исход — пара чисел $(a, b)$, где $a$ и $b$ от 1 до 6.

Найдём пары, дающие сумму 7:

$(1, 6),\ (2, 5),\ (3, 4),\ (4, 3),\ (5, 2),\ (6, 1)$ — итого $m = 6$.

$P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$

Ответ: $\dfrac{1}{6}$.

Пример 3. Карточки

Условие. В коробке 10 карточек с номерами от 1 до 10. Наугад вытаскивают одну. Найди вероятность того, что номер на карточке кратен 3.

Решение.

Всего карточек $n = 10$. Кратные 3 числа в диапазоне от 1 до 10: 3, 6, 9. Значит, $m = 3$.

$P = \frac{3}{10} = 0{,}3$

Ответ: $0{,}3$.

Типовые сюжеты, которые встречаются почти всегда

Вариативность условий здесь небольшая — в реальных вариантах крутятся одни и те же шесть-семь сюжетов. Если ты их узнаёшь, то половина работы уже сделана: останется только аккуратно подставить числа в формулу.

Монета и кубик. Самый простой сценарий. Иногда бросают один раз, иногда несколько. Главное — не запутаться в общем количестве исходов: при $k$ бросаниях монеты их $2^k$, при $k$ кубиках — $6^k$.

Карточки и жетоны. В коробке лежит $n$ пронумерованных карточек, одну вытаскивают наугад. Вероятность = (сколько «подходящих» карточек) / $n$. Чаще всего спрашивают про чётность, кратность или принадлежность к интервалу.

Выбор из группы. В классе 30 учеников, из них 12 мальчиков. Случайно выбирают одного. Вероятность того, что выбран мальчик: $12/30 = 0{,}4$. Тривиально на словах, но в экзаменационном стрессе иногда начинают считать лишние вещи.

Лотереи и билеты. В наборе 20 билетов, 4 из них выигрышные. Найди вероятность того, что случайно взятый билет — выигрышный. Сводится к $m/n$.

Составные условия в одной задаче. Например: «из 50 лампочек 3 бракованные; какова вероятность, что случайно выбранная лампочка исправна?» Здесь важно не запутаться: благоприятные = 50 − 3 = 47, а не 3. Читай условие до конца.

Частые ошибки

Неправильный подсчёт общего числа исходов. Самый распространённый промах: при двух кубиках делят задачу на суммы и считают 11 исходов вместо 36. Запомни: исход — это конкретная комбинация всех бросков, а не итоговое значение.

Забыли про порядок. Если в задаче говорится «вытащили два шара по одному», пара (красный, синий) и пара (синий, красный) — разные исходы, потому что порядок важен. Если «одновременно» — это сочетание без учёта порядка. Внимательно читай условие.

Посчитали только часть благоприятных исходов. При монете с тремя бросками и двумя орлами легко написать только один вариант (ООР) и забыть ОРО и РОО. Если не уверен в подсчёте $m$ — перечисли благоприятные исходы списком.

Неверная запись ответа. В бланк можно записать дробь или десятичное число. Если ответ — $\dfrac{1}{6}$, лучше пиши десятичную дробь с нужной точностью. Уточни формат в своём варианте КИМ: обычно там написано, в каком виде записывать.

Вышли за диапазон $[0; 1]$. Вероятность больше 1 — гарантированная ошибка. Проверяй результат сразу после подсчёта.

Мостик к заданию 4 (сложная вероятность)

Задание 2 ЕГЭ — это фундамент. Задание 4 строится на той же формуле $P = m/n$, но ситуации сложнее: несколько этапов случайного выбора, комбинаторные конструкции, иногда независимые события.

Принципиальная разница: в задании 4 ты считаешь число исходов уже не в уме, а с помощью формул сочетаний и перестановок. Поэтому навык, который тренируешь на втором задании — точно разграничить $m$ и $n$ — напрямую переходит в четвёртое. Кто уверенно закрыл задание 2, тот быстрее врастает в логику задания 4.

Если тебе пока трудно с комбинаторикой, загляни в справочник всех формул ЕГЭ по профильной математике — там разбиты формулы сочетаний и перестановок с пояснениями.

Разбор типичных ошибок ЕГЭ по математике тоже полезен до перехода к четвёртому заданию: там есть блок по вероятности с конкретными примерами потерянных баллов.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 1: планиметрия базовая
• → Задание 3: объёмы и площади

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ

Что дальше. Задание 2 закрывается за два-три вечера плотной тренировки. Пройди диагностику в Сотах — система сама покажет, в каком типе сюжетов ты чаще ошибаешься, и выстроит траекторию от простых задач к сложным. Начать тренировку →