Задание 16 ЕГЭ профильной математики — планиметрия по шагам

Разбор задания 16 ЕГЭ по планиметрии: окружности, касательные, подобие, теорема синусов. Примеры полных решений пунктов «а» и «б» и критерии оценки.

Что проверяет задание 16 ЕГЭ и сколько даёт баллов

Задание 16 — это планиметрическая задача из части 2 профильного ЕГЭ. Оно даёт 3 первичных балла: 1 балл за пункт «а» (доказательство) и 2 балла за пункт «б» (вычисление). Для справки: ни одна другая задача второй части не требует столько работы с обоснованием при таком весе.

Проверяются знания классической школьной геометрии: свойства вписанных и описанных окружностей, касательных, хорд, подобия треугольников, теоремы синусов и косинусов. Ничего сверх школьной программы. Весь вопрос в том, умеешь ли ты это применять в связке и правильно оформлять ход мысли на бумаге.

Структура задачи: пункт «а» — доказательство, пункт «б» — вычисление

Условие задания 16 всегда строится по одной схеме: дана геометрическая конфигурация с несколькими элементами, и тебе нужно сначала что-то доказать (пункт «а»), а потом что-то найти числом (пункт «б»).

Пункт «а» — доказательство. Формулировка типична: «докажите, что прямая AB касается окружности», «докажите, что треугольники ABC и ADE подобны», «докажите, что четырёхугольник ABCD вписан в окружность». Это 1 балл. Но именно он часто теряется из-за неполного обоснования.

Пункт «б» — вычисление. Как правило, нужно найти длину отрезка, радиус окружности или площадь фигуры. Здесь 2 балла. В большинстве случаев пункт «б» опирается на результат пункта «а»: ты доказал нужное свойство, а потом используешь его в формуле.

Ключевая ошибка — пропустить «а» и сразу писать «б», используя незакреплённый факт. Такое решение теряет баллы за «б» тоже: проверяющий не примет факт без доказательства.

Типовые конфигурации: окружность, касательные, хорды

За последние годы в задании 16 чаще всего встречаются три типа конфигураций.

Вписанная окружность в треугольник. Касательная к вписанной окружности из внешней точки. Здесь опорное свойство: отрезки касательных из одной точки равны. Плюс часто используется свойство биссектрисы угла треугольника.

Описанная окружность. Хорды, вписанные углы, центральные углы. Опорные теоремы: вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; противолежащие углы вписанного четырёхугольника в сумме дают 180°.

Касательная и секущая из одной точки. Здесь работает теорема о степени точки: если из точки P проведены касательная PA и секущая PBC, то $PA^2 = PB \cdot PC$. Это соотношение часто и надо доказать (пункт «а»), а потом применить для вычисления (пункт «б»).

Реже, но встречаются задачи на подобие треугольников через общий угол и пропорциональные стороны, а также задачи с вписанным четырёхугольником и теоремой Птолемея.

Инструменты: теорема синусов, подобие, степень точки

Задание 16 решается стандартным набором инструментов. Повтори их перед экзаменом.

Теорема синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Используется когда в условии есть стороны и углы треугольника, а также когда задан радиус описанной окружности.

Теорема косинусов:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Нужна для нахождения стороны или угла, когда известны две стороны и угол между ними (или три стороны).

Признак подобия треугольников — три основных: AA (два угла), SAS (две стороны и угол между ними), SSS (три стороны пропорциональны). В задании 16 чаще всего работает AA: находишь два совпадающих угла в разных треугольниках и делаешь вывод о подобии.

Степень точки:

$PA^2 = PB \cdot PC$

где PA — касательная, PBC — секущая из одной точки P. Отсюда же следует подобие треугольников PAB и PCА.

Свойство вписанного угла: вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Из этого следует, что все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.

Пример полного решения пунктов «а» и «б»

Условие. Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Точка D лежит на стороне BC, прямая AD касается окружности. Докажите, что AB + BD = AC + CD. Найдите AC, если AB = 7, BD = 3, CD = 5.

Решение пункта «а».

Пусть вписанная окружность касается стороны AB в точке K, стороны BC в точке L, стороны AC в точке M.

По свойству касательных из внешней точки:

• Из точки A: $AK = AM$
• Из точки B: $BK = BL$
• Из точки C: $CL = CM$

Поскольку прямая AD касается окружности в некоторой точке N, то из точки A: $AK = AN$, из точки D: $DN = DL$.

Тогда:

$AB + BD = AK + BK + BD = AM + BK + BD$

$AC + CD = AM + CM + CD = AM + CL + CD$

Поскольку $BK = BL$ и $DL = DN$, а $BL = BD + DL$, получаем:

$BK = BD + DL = BD + DN$

Значит, $AB + BD = AM + BD + BK$...

Разберём аккуратнее. Из точки D, которая лежит на BC, прямая AD касается окружности. Из D идут два отрезка касательной к окружности: $DL$ (касание со стороной BC) и $DN$ (касание с AD). Значит, $DL = DN$.

Из B: $BK = BL = BD + DL$. Из A: $AK = AN$, причём $AN = AD - DN$.

$AB = AK + BK = AK + BD + DL$ $AD = AN + DN = AK + 2DN...$

Используем прямой подход. Обозначим: $AK = AM = x$, $BK = BL = y$, $CM = CL = z$.

Тогда $AB = x + y$, $BC = y + z$, $CA = x + z$.

Из условия $BD = 3$, $CD = 5$, значит $BC = 8$, то есть $y + z = 8$.

Прямая AD касается окружности. Из точки D: $DL = DN$ (два касательных из D). При этом $BD = BL - DL = y - DL$ и $CD = CL - DL'$... нет, D между B и C, значит $BL = BD + DL$, то есть $y = 3 + DL$, и $CL = CD + DL'$...

Здесь $L$ — точка касания на BC. Тогда $DL = BL - BD = y - 3$ или $DL = CL - CD = z - 5$ (в зависимости от положения D относительно L). Из равенства $y - 3 = z - 5$ получаем $y - z = -2$, то есть $z - y = 2$.

В сочетании с $y + z = 8$: $z = 5$, $y = 3$.

$AB + BD = (x + y) + 3 = x + 3 + 3 = x + 6$ $AC + CD = (x + z) + 5 = x + 5 + 5 = x + 10$

Пересчитаем: $AB + BD = x + y + 3 = x + 3 + 3 = x + 6$, $AC + CD = x + z + 5 = x + 5 + 5 = x + 10$. Числа не совпадают, значит условие доказательства другое — проверим формулировку.

Попробуем стандартную формулировку: докажите, что $AD$ делит периметр треугольника пополам или что $AB \cdot CD = AC \cdot BD$. Это чаще встречается в реальных вариантах.

Возьмём более типичный пример из открытого банка.

Условие (типовой вариант). Две окружности касаются внешним образом в точке K. Общая внешняя касательная касается первой окружности в точке A, второй в точке B. Докажите, что угол AKB — прямой. Найдите AB, если радиусы окружностей равны 4 и 9.

Решение пункта «а».

Пусть общая внутренняя касательная в точке касания K пересекает внешнюю касательную AB... Используем свойство: общая внутренняя касательная в точке K. Из точки касания K проведём общую внутреннюю касательную; она пересекает AB в некоторой точке P.

По свойству касательных из внешней точки:

• $PA$ = $PK$ (касательные из P к первой окружности)
• $PB$ = $PK$ (касательные из P ко второй окружности)

Значит, $PA = PB = PK$, то есть P — середина AB, и $PK = \dfrac{AB}{2}$.

Треугольник AKB вписан в окружность с диаметром AB (так как $PK = PA = PB$ означает, что K лежит на окружности с диаметром AB). По теореме Фалеса угол $\angle AKB = 90°$. Доказано.

Решение пункта «б».

Пусть радиусы $r_1 = 4$ и $r_2 = 9$. Расстояние между центрами $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 13$ (внешнее касание).

Длина общей внешней касательной:

$AB = \sqrt{O_1O_2^2 - (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{13^2 - (9 - 4)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$

Ответ: $AB = 12$.

Типичные ошибки и критерии оценки

Доказательство «очевидным» объявлением. «Так как угол прямой, то...» без обоснования, почему он прямой. Каждое утверждение в пункте «а» требует ссылки на теорему или свойство.

Использование результата «а» без доказательства. Если в пункте «б» ты применяешь факт из пункта «а», а «а» не доказано, проверяющий может снять баллы и за «б». Строго говоря, незакреплённый факт нельзя использовать как основание для вычисления.

Неверная формула для внешней/внутренней касательной. Для двух окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$ и расстоянием между центрами $d$:

• внешняя касательная: $l = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2}$
• внутренняя касательная: $l = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}$

Их часто путают. Запомни: внешняя — разность радиусов, внутренняя — сумма.

Потеря угловых соотношений. При работе с вписанными углами легко перепутать: вписанный угол равен половине центрального, а не наоборот. Вписанный угол в 30° соответствует центральному в 60°, а дуге в 60°.

Официальные критерии: 0 баллов за «а» ставится, если доказательство содержит логическую ошибку или пропущен ключевой шаг. 1 балл за «а» — при полном корректном доказательстве. За «б»: 2 балла при правильном ответе и обоснованном решении, 1 балл при верном методе с арифметической ошибкой, 0 — при неверном методе.

Если взять только «б» без «а» и решить его верно — это 2 балла. Соотношение риска и выгоды: попробуй написать «а» хотя бы частично, даже если не уверен до конца.

Полный справочник формул для ЕГЭ поможет быстро освежить все нужные теоремы перед задачей. А про стереометрию в части 2 читай в разборе задания 14.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 15: неравенства
• → Задание 17: экономическая задача

Пригодится для подготовки к части 2:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ