Задание 17 ЕГЭ профильной математики — экономическая задача по шагам

Разбор задания 17 ЕГЭ: три типа экономических задач — кредиты, вклады, оптимизация. Алгоритмы, формулы сложного процента, типичные ошибки и критерии оценки.

Что проверяет задание 17 и за что дают 3 балла

Задание 17 — одно из двух «трёхбалльных» заданий в части 2 профильного ЕГЭ по математике. Оно проверяет умение работать с финансовыми расчётами: проценты, накопление, выплаты по долгу. Условия сформулированы в бытовом языке, но решаются строго математически.

Три балла распределяются по критериям проверки: за записанную модель и правильно поставленное уравнение дают 1 балл, за верные промежуточные вычисления — ещё 1 балл, за правильный итоговый ответ — последний балл. Это значит: даже если ты допустил арифметическую ошибку в конце, но всё поставил верно, — 2 балла из 3 реально получить.

Задание не требует знания профессиональной финансовой математики. Достаточно знать одну ключевую формулу, понимать три типа задач и не путать, когда применять каждый из них.

Формула сложного процента — база

Всё задание 17 строится вокруг одной идеи: каждый период начисляется процент на уже накопленную сумму, а не только на начальную. Это и называется сложным процентом.

Логика формулы: если положил 100 000 ₽ под 10% годовых, через год станет 110 000 ₽. Через второй год уже 110 000 · 1,1 = 121 000 ₽. Не 120 000 ₽ (простые проценты), а 121 000 ₽ (сложные). Разница небольшая на первом году, но за 10 лет она становится ощутимой.

Тип 1 — задачи на вклады

Задачи на вклады проверяют, умеешь ли ты считать накопленную сумму через несколько периодов при известной ставке. Формат: «положили сумму под процент, сколько будет через N лет» или обратная задача — найти срок либо ставку.

Алгоритм:

1. Запиши формулу $S=P\cdot (1+r{)}^n$.
2. Подставь известные значения.
3. Вычисли (логарифм понадобится, если ищешь $n$).
4. Округли по условию.

Пример 1. Вкладчик положил 200 000 ₽ на счёт под 8% годовых. Проценты начисляются ежегодно и присоединяются к основной сумме. Какой станет сумма на счёте через 3 года?

Решение.

Используем формулу сложного процента:

$S=P\cdot (1+r{)}^n=200000\cdot (1+0,08{)}^3$

Вычислим $(1,08{)}^3$:

$1,08^2=1,1664,1,08^3=1,1664\cdot 1,08=1,259712$

Итого:

$S=200000\cdot 1,259712=251942,4\approx 251942\text{ руб.}$

Ответ: примерно 251 942 рублей.

Обрати внимание: задача может спрашивать не итоговую сумму, а сумму начисленных процентов. Тогда из $S$ нужно вычесть $P$: 251 942 − 200 000 = 51 942 рублей.

Тип 2 — задачи на кредиты с аннуитетом и дифференцированными платежами

Это самый объёмный тип в задании 17. Кредитных схем в ЕГЭ встречается две.

Аннуитет — каждый месяц платишь одинаковую сумму $A$. Внутри платежа каждый раз меняется соотношение «тело долга / проценты», но суммарный платёж не меняется.

Дифференцированный платёж — тело долга делится на равные части, а проценты начисляются на остаток. Платежи постепенно уменьшаются.

Аннуитетная формула выводится через сумму геометрической прогрессии. Если обозначить ставку за период $r$ и число периодов $n$, то:

$A=P\cdot \frac{r\cdot (1+r{)}^n}{(1+r{)}^n-1}$

Выводить эту формулу на ЕГЭ не требуют, но знать её нужно: она записывается в решении как «формула аннуитетного платежа».

Пример 2. Семья взяла кредит 600 000 ₽ на 2 года (24 месяца) под 12% годовых. Ежемесячный аннуитетный платёж рассчитывается по стандартной формуле. Найдите размер ежемесячного платежа и общую переплату.

Решение.

Переводим годовую ставку в месячную: $r=12\%/12=1\%=0,01$.

Число периодов: $n=24$.

Считаем $(1+r{)}^n=(1,01{)}^{24}$. Это удобно через степени: $(1,01{)}^{12}\approx 1,1268$, тогда $(1,01{)}^{24}\approx 1,1268^2\approx 1,2697$.

Подставляем в формулу:

$A=600000\cdot \frac{0,01\cdot 1,2697}{1,2697-1}=600000\cdot \frac{0,012697}{0,2697}$

$A=600000\cdot 0,04707\approx 28242\text{ руб./мес.}$

Общая сумма выплат: $28242\cdot 24=677808$ рублей.

Переплата: $677808-600000=77808$ рублей.

Ответ: ежемесячный платёж ≈ 28 242 рубля, переплата ≈ 77 808 рублей.

Тип 3 — задачи на оптимизацию

Третий тип задания 17 — экономические задачи на нахождение максимума или минимума функции. Обычно условие звучит как «магазин продаёт товар по цене $x$, спрос при этой цене равен $f(x)$, найдите цену, при которой выручка максимальна».

Это стандартная задача на производную, только завёрнутая в экономический контекст.

Алгоритм:

1. Составь целевую функцию (прибыль, выручка или затраты) через переменную задачи.
2. Найди производную.
3. Приравняй к нулю, реши уравнение.
4. Проверь: это максимум или минимум (вторая производная или знак первой вблизи точки).
5. Ответь на вопрос условия.

Пример 3. Магазин покупает партию товара по 400 ₽ за единицу. При цене продажи $x$ рублей спрос составляет $q(x)=500-x$ единиц в день. Найдите цену $x$, при которой суточная прибыль максимальна.

Решение.

Прибыль от продажи одной единицы: $(x-400)$ рублей.

Суточная прибыль:

$P(x)=(x-400)\cdot (500-x)$

Раскрываем:

$P(x)=500x-x^2-200000+400x=-x^2+900x-200000$

Находим производную:

$P^{\prime }(x)=-2x+900$

Приравниваем к нулю:

$-2x+900=0\Rightarrow x=450$

Проверяем: $P^{\prime \prime }(x)=-2<0$, значит, $x=450$ — точка максимума.

Ответ: оптимальная цена продажи — 450 рублей за единицу.

Максимальная суточная прибыль: $P(450)=-450^2+900\cdot 450-200000=-202500+405000-200000=2500$ рублей.

Типичные ошибки и критерии оценки

Ошибки в задании 17 почти всегда одни и те же.

Ошибка 1: перепутать ставку годовую и месячную. Если в условии написано «18% годовых», а ты подставляешь 0,18 в формулу с ежемесячными периодами — всё сломано. Правило: если платежи ежемесячные, делишь годовую ставку на 12.

Ошибка 2: не выписать модель. Многие сразу кидаются считать, пропуская запись формулы или уравнения. Это риск потерять первый балл по критерию «модель», даже если ответ правильный: без записанного обоснования эксперт не может оценить ход мышления.

Ошибка 3: неправильное округление. Округляешь промежуточный результат и с ним продолжаешь считать — накапливается ошибка. Лучше округлять только финальный ответ, если условие не требует иного.

Ошибка 4 в оптимизации: не проверить экстремум. Нашёл критическую точку производной, но не убедился, что это максимум, а не минимум. Задача на прибыль ожидает максимум — про это надо написать явно.

По критериям: 3 балла — верная модель, верные вычисления, верный ответ. 2 балла — верная модель, ошибка в вычислениях. 1 балл — верно поставлена задача, но ошибки в модели или в ходе решения. 0 баллов — нет записи или кардинально неверный подход.

Отработать задание 17 до автоматизма несложно: типов задач три, а не тридцать. Разбери для себя полный список формул для части 2 и добавь задание 17 в еженедельный план.

Если у тебя мало времени до ЕГЭ — прочитай, как строить план за 2 месяца и поставь экономическую задачу в конец первого месяца: она требует меньше времени, чем стереометрия или параметры, но даёт стабильные 2–3 балла при системной подготовке.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 16: планиметрия
• → Задание 18: задача с параметром

Пригодится для подготовки к части 2:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

Часто задаваемые вопросы

Сколько баллов даёт задание 17?

Задание 17 оценивается в 3 первичных балла. Это один из самых «дорогих» номеров части 2. При переводе в тестовые баллы каждый первичный балл в этой зоне даёт заметный прирост итоговой оценки, поэтому задание стоит отработать даже при среднем уровне подготовки.

Какие три типа экономических задач встречаются в задании 17?

Первый тип — задачи на вклады: рассчитываешь накопленную сумму по формуле сложного процента. Второй тип — задачи на кредиты: аннуитетные или дифференцированные платежи. Третий тип — задачи на оптимизацию: находишь максимум прибыли или выручки через производную.

Надо ли учить формулу аннуитета наизусть?

Да, формулу аннуитетного платежа нужно знать. Выводить её с нуля на ЕГЭ не требуется, но она применяется напрямую, поэтому записывается в решение без доказательства. На практике достаточно запомнить структуру: числитель — $r(1+r{)}^n$, знаменатель — $(1+r{)}^n-1$, и умножить на тело кредита $P$.

Как правильно округлять ответ в задании 17?

Если задача про деньги — округляй до целых рублей (или до копеек, если требует условие). При промежуточных вычислениях старайся не округлять — копи точность до последнего шага. Если всё же округлял промежуточный результат, обязательно укажи это в решении: «с учётом округления до рублей». Грубые расхождения с правильным ответом из-за раннего округления снижают балл.

Можно ли получить частичные баллы за задание 17?

Да. Критерии трёхбалльных заданий позволяют получить 1 или 2 балла за частично верное решение. 1 балл дают за правильно составленную модель (записанное уравнение или формулу) даже при ошибке в вычислениях. 2 балла — за верную модель и верные промежуточные шаги, если итоговый ответ содержит арифметическую ошибку. Поэтому никогда не оставляй задание 17 пустым: пиши, что знаешь.