Задание 15 ЕГЭ профильной математики — неравенства по шагам

Задание 15 — 2 балла за неравенство из части 2. Разбираем три рабочих метода: рационализацию, метод интервалов и замену переменной. С примерами и критериями.

Что проверяет задание 15 и сколько даёт баллов

Задание 15 — вторая задача части 2 профильного ЕГЭ по математике. Оно стоит 2 первичных балла и всегда состоит из двух пунктов: в первом нужно решить неравенство, во втором — найти целые решения или ответить на дополнительный вопрос.

Механика оценки простая: 1 балл за корректное решение неравенства с правильным ответом, 1 балл за второй пункт. Частичных баллов за «верный ход, но ошибку в конце» здесь нет. Либо ты довёл решение до конца, либо не довёл.

Что конкретно проверяется: умение работать с логарифмическими и показательными неравенствами, грамотный учёт области допустимых значений и метод интервалов для определения знака выражения. Три инструмента — и всё задание у тебя в кармане.

Для ориентира: задание 15 регулярно вызывает трудности у большинства тех, кто доходит до части 2. Это значит, что при нормальной подготовке ты можешь взять оба балла там, где многие пропускают.

Логарифмические неравенства — рационализация

Рационализация — это приём, который превращает сложное логарифмическое неравенство в рациональное. Работает для неравенств вида $\log_a f(x) \geq \log_a g(x)$ или $\log_a f(x) \geq b$.

Формула рационализации:

$\log_a f(x) \geq \log_a g(x) \iff (a - 1)(f(x) - g(x)) \geq 0$

То есть ты умножаешь два множителя: $(a - 1)$ — это основание минус единица, и $(f(x) - g(x))$ — разность аргументов. Знак неравенства при этом сохраняется. Получается рациональное неравенство, которое решается методом интервалов.

Пример 1. Решить неравенство $\log_3(x^2 - 4) \geq \log_3(3x - 6)$.

Решение.

Сначала фиксируем ОДЗ: оба аргумента должны быть строго положительны.

$x^2 - 4 > 0 \Rightarrow x < -2 \text{ или } x > 2$

$3x - 6 > 0 \Rightarrow x > 2$

ОДЗ: $x > 2$.

Применяем рационализацию. Основание $a = 3 > 1$, поэтому $(a - 1) = 2 > 0$. Знак неравенства определяет множитель $(f(x) - g(x))$:

$(x^2 - 4) - (3x - 6) \geq 0$

$x^2 - 3x + 2 \geq 0$

$(x - 1)(x - 2) \geq 0$

Корни: $x = 1$ и $x = 2$. Методом интервалов: выражение неотрицательно при $x \leq 1$ или $x \geq 2$.

Пересекаем с ОДЗ $(x > 2)$: ответ $x > 2$, то есть $x \in (2; +\infty)$.

Показательные неравенства — замена переменной

Показательные неравенства решаются заменой: $t = a^x$, где $a$ — основание степени. После замены ты получаешь рациональное или квадратное неравенство по переменной $t$.

Ключевое: $t = a^x > 0$ всегда. Это сужает допустимые значения $t$, и после решения по $t$ нужно вернуться к переменной $x$.

Пример 2. Решить неравенство $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 \leq 0$.

Решение.

Замена $t = 2^x$, при этом $t > 0$. Заметим, что $4^x = (2^x)^2 = t^2$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 5t + 4 \leq 0$

$(t - 1)(t - 4) \leq 0$

Методом интервалов: $1 \leq t \leq 4$.

Учитываем $t > 0$ — все значения в промежутке $[1; 4]$ допустимы.

Возвращаемся к переменной $x$ через $t = 2^x$:

$1 \leq 2^x \leq 4$

$2^0 \leq 2^x \leq 2^2$

$0 \leq x \leq 2$

Ответ: $x \in [0; 2]$.

Обрати внимание: здесь не нужно отдельно проверять ОДЗ, потому что показательная функция определена при всех $x$. Но нужно помнить про $t > 0$ при обратной замене.

Смешанные случаи и ОДЗ

Иногда в задании 15 встречаются неравенства, в которых логарифм и степень присутствуют вместе, или аргумент логарифма сам содержит логарифм. В этих случаях ОДЗ становится сложнее.

Алгоритм не меняется:

1. Записываешь все условия ОДЗ отдельно.
2. Решаешь каждое условие как самостоятельное неравенство.
3. Находишь пересечение всех условий ОДЗ.
4. Только потом решаешь основное неравенство.
5. Пересекаешь результат с ОДЗ.

Пример 3. Решить неравенство $\log_{0.5}(x - 1) > -2$.

Решение.

ОДЗ: аргумент логарифма положителен: $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$.

Правую часть запишем как логарифм с тем же основанием:

$-2 = \log_{0.5} (0.5)^{-2} = \log_{0.5} 4$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.5}(x - 1) > \log_{0.5} 4$

Основание $a = 0.5 < 1$, поэтому логарифмическая функция убывает и знак неравенства при переходе от логарифмов к аргументам меняется:

$x - 1 < 4$

$x < 5$

Пересекаем с ОДЗ $(x > 1)$: ответ $1 < x < 5$, то есть $x \in (1; 5)$.

Метод интервалов — пошагово

Метод интервалов работает для любого неравенства вида $f(x) \geq 0$ или $f(x) \leq 0$, где $f(x)$ — произведение или дробь с линейными или квадратными множителями. В задании 15 он нужен после рационализации логарифмических неравенств или после замены в показательных.

Алгоритм — шесть шагов:

Шаг 1. Перенеси всё в одну сторону, чтобы справа стоял ноль.

Шаг 2. Разложи числитель и знаменатель на множители.

Шаг 3. Найди все корни числителя (там, где $f(x) = 0$) и все точки, где знаменатель равен нулю (точки разрыва).

Шаг 4. Отметь все эти точки на числовой прямой. Они делят прямую на интервалы.

Шаг 5. На самом правом интервале определи знак выражения подстановкой. Дальше чередуй знаки справа налево: при переходе через точку, где множитель в нечётной степени, знак меняется; при переходе через точку в чётной степени — не меняется.

Шаг 6. Выбери интервалы нужного знака. Проверь, включаются ли граничные точки в ответ: корни числителя включаются (если стоит $\leq$ или $\geq$), точки обращения знаменателя в ноль — никогда.

Критерии оценки и типичные ошибки

Разберём, где чаще всего теряют баллы.

Пропущенная ОДЗ. Это самая дорогостоящая ошибка в логарифмических неравенствах. Ты решил неравенство, получил красивый интервал, но не пересёк его с ОДЗ. В итоге в ответе оказались значения, при которых логарифм не существует. Минус балл за решение.

Перепутанный знак при убывающем основании. Если основание логарифма меньше единицы, функция убывает. При переходе от $\log_a f > \log_a g$ к $f > g$ знак неравенства меняется на противоположный. Это нужно фиксировать явно в записи, иначе проверяющий не увидит, что ты учёл направление.

Потеря граничных точек. В методе интервалов при строгих неравенствах граничные точки не включаются в ответ. При нестрогих — включаются. Перепутал — и ответ формально неверен.

Неверная обратная замена. После решения по $t$ нужно не просто написать $x \geq 0$, а показать переход: $2^x \geq 1 \Rightarrow 2^x \geq 2^0 \Rightarrow x \geq 0$. Без записи этого перехода проверяющий может снять балл за второй пункт, даже если ответ верный.

Знак в рационализации. Формула рационализации работает так: $(a-1)(f(x) - g(x)) \geq 0$. Если основание $a < 1$, то $(a-1) < 0$. Знак нужно учесть при раскрытии, иначе всё решение идёт в ошибку.

Рекомендую после получения ответа подставить в исходное неравенство одно значение из ответа и одно — из дополнения. Это занимает 30 секунд и позволяет поймать большинство ошибок до сдачи листа.

Подробный справочник всех формул для профильной математики: все формулы ЕГЭ. Если хочешь разобраться, как те же методы работают в тригонометрических уравнениях, загляни в разбор задания 13.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 14: стереометрия
• → Задание 16: планиметрия

Пригодится для подготовки к части 2:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ