Задание 13 ЕГЭ профиль — полный гайд по тригонометрии

Задание 13 — одна из самых предсказуемых тем второй части ЕГЭ профиль. Тригонометрия и алгебраические замены, отбор корней — всё это можно довести до автомата за месяц-полтора, и тогда 2 балла из 31 практически гарантированы.

Эта статья — полный гайд по заданию 13. Все типы уравнений, методы, отбор корней, типичные ошибки. После прочтения — список тем, которые нужно дотренировать самостоятельно.

Что в задании 13

Задание 13 — это два пункта:

• Пункт а. Реши уравнение. Записать общую формулу всех корней.
• Пункт б. Указать корни, принадлежащие заданному промежутку.

Каждый пункт — 1 балл. Промежуток обычно длиной π или 2π, например $[-\pi; \pi]$, $[0; 2\pi]$, $[3\pi/2; 3\pi]$.

В подавляющем большинстве вариантов уравнение — тригонометрическое. В части 1 (задание 6) тригонометрика тоже встречается, но там без отбора и за 1 балл.

В отдельных вариантах задание 13 — показательное или логарифмическое уравнение с отбором, но это менее 5% случаев. В этой статье разбираем тригонометрию.

Базовые формулы — без них не сдвинуться

Перед типами уравнений — компактный список того, что нужно держать в голове.

Корни простейших уравнений:

$\sin x = a, \quad |a| \le 1: \quad x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = a, \quad |a| \le 1: \quad x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\tan x = a: \quad x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\cot x = a: \quad x = \text{arccot}\, a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Частные случаи (записываются проще):

$\sin x = 0: x = \pi n; \quad \sin x = 1: x = \pi/2 + 2\pi n; \quad \sin x = -1: x = -\pi/2 + 2\pi n$

$\cos x = 0: x = \pi/2 + \pi n; \quad \cos x = 1: x = 2\pi n; \quad \cos x = -1: x = \pi + 2\pi n$

Основные тождества:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$

Это минимум. Остальные формулы (приведения, суммы и разности углов, формулы половины угла) — отдельные wiki, ниже ссылки.

Тип 1. Простейшие уравнения

Это уравнения вида $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$, где $a$ — число.

Пример.

$2 \cos x - \sqrt{3} = 0$

$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Простейшие в задании 13 редко встречаются в чистом виде — обычно это шаг внутри более сложного уравнения. Но знать их обязательно: на них всё держится.

Подвох: значение $a$ может быть «нестандартным» — например, $\cos x = 0{,}3$. Тогда корни записываются через арккосинус: $x = \pm \arccos 0{,}3 + 2\pi n$. Это всё ещё корректный ответ — арккосинус остаётся в формуле.

Тип 2. Уравнения с заменой

Сводятся к квадратному уравнению относительно $\sin x$ или $\cos x$.

Пример.

$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Заменяем $t = \sin x$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 1/2$.

Возвращаемся к $x$:

$\sin x = 1 \Rightarrow x = \pi/2 + 2\pi n$

$\sin x = 1/2 \Rightarrow x = (-1)^k \pi/6 + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ — объединение двух серий.

Подвох 1. Если $|t| > 1$ — серию для этого корня отбрасываем. Например, если получили $\sin x = 1{,}5$ — решений нет, в общий ответ не идёт.

Подвох 2. Часто появляется через $\cos 2x$ — нужно сводить к $\cos x$ или $\sin x$ по формуле двойного угла. Например:

$\cos 2x + 3 \sin x - 2 = 0$

$1 - 2\sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0$

$2 \sin^2 x - 3 \sin x + 1 = 0$

Дальше — стандартная замена.

Тип 3. Однородные уравнения

Содержат только $\sin x$ и $\cos x$ в одинаковой степени, без свободного члена.

Однородное первой степени:

$a \sin x + b \cos x = 0$

Делим на $\cos x$ (если $\cos x \ne 0$):

$a \tan x + b = 0 \Rightarrow \tan x = -b/a$

Проверка деления: надо убедиться, что корни уравнения $\cos x = 0$ не являются решениями исходного. Подставляем $\cos x = 0$ в исходное уравнение: $a \sin x + 0 = 0 \Rightarrow \sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ одновременно равны нулю быть не могут — значит, потери корней нет.

Однородное второй степени:

$a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$

Делим на $\cos^2 x$ (если $\cos x \ne 0$):

$a \tan^2 x + b \tan x + c = 0$

Замена $t = \tan x$ — получаем квадратное уравнение.

Пример.

$3 \sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0$

Делим на $\cos^2 x$:

$3 \tan^2 x - 4 \tan x + 1 = 0$

Замена $t = \tan x$:

$3t^2 - 4t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = 1, t_2 = 1/3$

Корни: $x = \pi/4 + \pi n$ и $x = \arctan(1/3) + \pi n$.

Проверка деления для второй степени: подставляем $\cos x = 0$ в исходное. Получаем $a \sin^2 x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$. Опять противоречие — потери нет.

Тип 4. Уравнение a sin x + b cos x = c

Самый «опасный» тип — без правильного метода легко уйти в дебри.

Метод вспомогательного угла. Преобразуем левую часть:

$a \sin x + b \cos x = R \sin(x + \varphi)$

где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\tan \varphi = b/a$.

Условие разрешимости: $|c| \le R$. Если $|c| > R$ — корней нет.

Пример.

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$

$R = \sqrt{3 + 1} = 2$. Делим на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = \frac{1}{2}$

Замечаем: $\sqrt{3}/2 = \cos(\pi/6)$, $1/2 = \sin(\pi/6)$. Значит:

$\sin(x + \pi/6) = 1/2$

$x + \pi/6 = (-1)^n \pi/6 + \pi n$

Откуда $x = (-1)^n \pi/6 - \pi/6 + \pi n$.

Альтернатива — универсальная подстановка $t = \tan(x/2)$. Она тоже работает, но громоздкая. Метод вспомогательного угла на ЕГЭ компактнее.

Тип 5. Разложение на множители

Часто работает там, где ничего другого не подходит. Идея: вынести общий множитель и приравнять каждый к нулю.

Пример.

$\sin 2x - \sin x = 0$

Разложим $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$2 \sin x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2 \cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю — каждый множитель к нулю:

$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$

$\cos x = 1/2 \Rightarrow x = \pm \pi/3 + 2\pi n$

Ответ — объединение трёх серий.

Когда применять разложение: когда левая часть содержит несколько слагаемых и в них есть общий тригонометрический множитель. Чаще через формулы двойного угла, суммы/разности углов или формулы суммы синусов/косинусов.

Отбор корней — пункт б

После того как нашли общую формулу — нужно выбрать корни в заданном промежутке. Это пункт б, ещё 1 балл.

Метод 1. Перебор n.

Подставляешь $n = -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ и проверяешь, попадает ли результат в промежуток.

Пример. Серия $x = \pi/6 + \pi n$, промежуток $[3\pi; 4\pi]$.

• $n = 3$: $x = \pi/6 + 3\pi = 19\pi/6 \approx 3{,}17 \pi$ — в промежутке.
• $n = 4$: $x = \pi/6 + 4\pi = 25\pi/6 \approx 4{,}17 \pi$ — вне.

Ответ: один корень $19\pi/6$.

Метод 2. Через окружность.

На единичной окружности отмечаешь все точки, соответствующие серии. Заштриховываешь дугу промежутка. Считаешь, сколько отмеченных точек попадает на дугу. Подходит для серий вида $x = a + \pi n$ или $x = a + \pi/2 \cdot n$, где точек на окружности 2 или 4.

Метод 3. Двойное неравенство.

$3\pi \le \pi/6 + \pi n \le 4\pi$. Делишь на $\pi$: $3 \le 1/6 + n \le 4$. Значит $n = 3$ (единственное целое значение). Подставил — получил корень.

Какой метод выбрать: для отрезка длины $\pi$ или $2\pi$ — окружность быстрее. Для длинных отрезков (например, $[5\pi; 8\pi]$) — двойное неравенство.

Пять типичных ошибок

Ошибка 1. Потеря корней при делении. В однородных уравнениях с d ≠ 0 (или там, где deление на $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$) — нужно отдельно проверить, не являются ли $\sin x = 0$, $\cos x = 0$ корнями. Если являются — отдельная серия.

Ошибка 2. Неправильный знак в формуле для $\cos x = a$. Корни — $x = \pm \arccos a + 2\pi n$, не «$+$ и $-$ через $\pi$». Период именно $2\pi$. Это самая частая «глупая» ошибка.

Ошибка 3. Забытая замена при $|t| > 1$. Если при замене $t = \sin x$ получился квадратный корень $t_1 = 2$, его нужно отбросить — соответствующих $x$ не существует. Но в ответ часто пишут «$\sin x = 2$, корней нет» — это норма, главное — не включать в общую формулу.

Ошибка 4. Неверный отбор корней. Часто забывают про границы промежутка — если промежуток $[a; b]$ закрытый, корни $x = a$ и $x = b$ тоже надо проверить (попадают ли в серию).

Ошибка 5. Запись ответа без указания n. В пункте а ответ всегда содержит «$n \in \mathbb{Z}$» (или «$n \in \mathbb{N}$» — но обычно $\mathbb{Z}$). Без этого ответ считается неполным.

Чек-лист перед задачей

Перед тем как сесть решать задание 13, прокатись по чек-листу:

1. К какому типу относится уравнение? (Простейшее, замена, однородное, метод вспомогательного угла, разложение)
2. Все ли тригонометрические функции приведены к одному аргументу? (Если есть и $\sin x$, и $\sin 2x$ — преобразовать)
3. Если делю на $\cos x$ — проверил, не теряются ли корни?
4. Если применил замену — проверил $|t| \le 1$?
5. Записал общий ответ с «$n \in \mathbb{Z}$»?

Чек-лист для отбора (пункт б):

1. Каким методом удобнее: перебор, окружность, двойное неравенство?
2. Включены ли границы промежутка?
3. Правильно ли я записал ответ — все корни через запятую, без округлений?

Где готовиться

Перед заданием 13 нужны три темы из учебника по тригонометрии:

• Тригонометрические уравнения — основы.
• Отбор корней — простой случай.
• Однородные тригонометрические уравнения.
• Уравнение a·sin x + b·cos x = c — метод вспомогательного угла.
• Отбор корней на единичной окружности.

После теории — практика. Задание 13 хорошо тренируется коротким циклом: 3-5 задач в день, разбор ошибок. За месяц-полтора при таком темпе тип «уравнение задания 13» закрывается на 90% случаев.