Задание 13 ЕГЭ профиль — полный гайд по тригонометрии

Задание 13 — одна из самых предсказуемых тем второй части ЕГЭ профиль. Тригонометрия и алгебраические замены, отбор корней — всё это можно довести до автомата за месяц-полтора, и тогда 2 балла из 31 практически гарантированы.

Эта статья — полный гайд по заданию 13. Все типы уравнений, методы, отбор корней, типичные ошибки. После прочтения — список тем, которые нужно дотренировать самостоятельно.

Что в задании 13

Задание 13 — это два пункта:

• Пункт а. Реши уравнение. Записать общую формулу всех корней.
• Пункт б. Указать корни, принадлежащие заданному промежутку.

Каждый пункт — 1 балл. Промежуток обычно длиной π или 2π, например $[-\pi ;\pi ]$, $[0;2\pi ]$, $[3\pi /2;3\pi ]$.

В подавляющем большинстве вариантов уравнение — тригонометрическое. В части 1 (задание 6) тригонометрика тоже встречается, но там без отбора и за 1 балл.

В отдельных вариантах задание 13 — показательное или логарифмическое уравнение с отбором, но это менее 5% случаев. В этой статье разбираем тригонометрию.

Базовые формулы — без них не сдвинуться

Перед типами уравнений — компактный список того, что нужно держать в голове.

Корни простейших уравнений:

$\sin x=a,|a|\le 1:x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

$\cos x=a,|a|\le 1:x=\pm \arccos a+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

$\tan x=a:x=\arctan a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

$\cot x=a:x=\text{arccot}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Частные случаи (записываются проще):

$\sin x=0:x=\pi n;\sin x=1:x=\pi /2+2\pi n;\sin x=-1:x=-\pi /2+2\pi n$

$\cos x=0:x=\pi /2+\pi n;\cos x=1:x=2\pi n;\cos x=-1:x=\pi +2\pi n$

Основные тождества:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$\sin 2x=2\sin x\cos x$

$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1$

Это минимум. Остальные формулы (приведения, суммы и разности углов, формулы половины угла) — отдельные wiki, ниже ссылки.

Тип 1. Простейшие уравнения

Это уравнения вида $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\tan x=a$, где $a$ — число.

Пример.

$2\cos x-\sqrt{3}=0$

$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Простейшие в задании 13 редко встречаются в чистом виде — обычно это шаг внутри более сложного уравнения. Но знать их обязательно: на них всё держится.

Подвох: значение $a$ может быть «нестандартным» — например, $\cos x=0,3$. Тогда корни записываются через арккосинус: $x=\pm \arccos 0,3+2\pi n$. Это всё ещё корректный ответ — арккосинус остаётся в формуле.

Тип 2. Уравнения с заменой

Сводятся к квадратному уравнению относительно $\sin x$ или $\cos x$.

Пример.

$2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$

Заменяем $t=\sin x$:

$2t^2-3t+1=0$

По теореме Виета: $t_1=1$, $t_2=1/2$.

Возвращаемся к $x$:

$\sin x=1\Rightarrow x=\pi /2+2\pi n$

$\sin x=1/2\Rightarrow x=(-1{)}^k\pi /6+\pi k,k\in \mathbb{Z}$

Ответ — объединение двух серий.

Подвох 1. Если $|t|>1$ — серию для этого корня отбрасываем. Например, если получили $\sin x=1,5$ — решений нет, в общий ответ не идёт.

Подвох 2. Часто появляется через $\cos 2x$ — нужно сводить к $\cos x$ или $\sin x$ по формуле двойного угла. Например:

$\cos 2x+3\sin x-2=0$

$1-2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$

$2{\sin }^{2}x-3\sin x+1=0$

Дальше — стандартная замена.

Тип 3. Однородные уравнения

Содержат только $\sin x$ и $\cos x$ в одинаковой степени, без свободного члена.

Однородное первой степени:

$a\sin x+b\cos x=0$

Делим на $\cos x$ (если $\cos x\ne 0$):

$a\tan x+b=0\Rightarrow \tan x=-b/a$

Проверка деления: надо убедиться, что корни уравнения $\cos x=0$ не являются решениями исходного. Подставляем $\cos x=0$ в исходное уравнение: $a\sin x+0=0\Rightarrow \sin x=0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ одновременно равны нулю быть не могут — значит, потери корней нет.

Однородное второй степени:

$a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$

Делим на ${\cos }^{2}x$ (если $\cos x\ne 0$):

$a{\tan }^{2}x+b\tan x+c=0$

Замена $t=\tan x$ — получаем квадратное уравнение.

Пример.

$3{\sin }^{2}x-4\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=0$

Делим на ${\cos }^{2}x$:

$3{\tan }^{2}x-4\tan x+1=0$

Замена $t=\tan x$:

$3t^2-4t+1=0\Rightarrow t_1=1,t_2=1/3$

Корни: $x=\pi /4+\pi n$ и $x=\arctan (1/3)+\pi n$.

Проверка деления для второй степени: подставляем $\cos x=0$ в исходное. Получаем $a{\sin }^{2}x=0\Rightarrow \sin x=0$. Опять противоречие — потери нет.

Тип 4. Уравнение a sin x + b cos x = c

Самый «опасный» тип — без правильного метода легко уйти в дебри.

Метод вспомогательного угла. Преобразуем левую часть:

$a\sin x+b\cos x=R\sin (x+\phi )$

где $R=\sqrt{a^2+b^2}$, $\tan \phi =b/a$.

Условие разрешимости: $|c|\le R$. Если $|c|>R$ — корней нет.

Пример.

$\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$

$R=\sqrt{3+1}=2$. Делим на 2:

$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x=\frac{1}{2}$

Замечаем: $\sqrt{3}/2=\cos (\pi /6)$, $1/2=\sin (\pi /6)$. Значит:

$\sin (x+\pi /6)=1/2$

$x+\pi /6=(-1{)}^n\pi /6+\pi n$

Откуда $x=(-1{)}^n\pi /6-\pi /6+\pi n$.

Альтернатива — универсальная подстановка $t=\tan (x/2)$. Она тоже работает, но громоздкая. Метод вспомогательного угла на ЕГЭ компактнее.

Тип 5. Разложение на множители

Часто работает там, где ничего другого не подходит. Идея: вынести общий множитель и приравнять каждый к нулю.

Пример.

$\sin 2x-\sin x=0$

Разложим $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$2\sin x\cos x-\sin x=0$

$\sin x(2\cos x-1)=0$

Произведение равно нулю — каждый множитель к нулю:

$\sin x=0\Rightarrow x=\pi n$

$\cos x=1/2\Rightarrow x=\pm \pi /3+2\pi n$

Ответ — объединение трёх серий.

Когда применять разложение: когда левая часть содержит несколько слагаемых и в них есть общий тригонометрический множитель. Чаще через формулы двойного угла, суммы/разности углов или формулы суммы синусов/косинусов.

Отбор корней — пункт б

После того как нашли общую формулу — нужно выбрать корни в заданном промежутке. Это пункт б, ещё 1 балл.

Метод 1. Перебор n.

Подставляешь $n=-2,-1,0,1,2,\dots$ и проверяешь, попадает ли результат в промежуток.

Пример. Серия $x=\pi /6+\pi n$, промежуток $[3\pi ;4\pi ]$.

• $n=3$: $x=\pi /6+3\pi =19\pi /6\approx 3,17\pi$ — в промежутке.
• $n=4$: $x=\pi /6+4\pi =25\pi /6\approx 4,17\pi$ — вне.

Ответ: один корень $19\pi /6$.

Метод 2. Через окружность.

На единичной окружности отмечаешь все точки, соответствующие серии. Заштриховываешь дугу промежутка. Считаешь, сколько отмеченных точек попадает на дугу. Подходит для серий вида $x=a+\pi n$ или $x=a+\pi /2\cdot n$, где точек на окружности 2 или 4.

Метод 3. Двойное неравенство.

$3\pi \le \pi /6+\pi n\le 4\pi$. Делишь на $\pi$: $3\le 1/6+n\le 4$. Значит $n=3$ (единственное целое значение). Подставил — получил корень.

Какой метод выбрать: для отрезка длины $\pi$ или $2\pi$ — окружность быстрее. Для длинных отрезков (например, $[5\pi ;8\pi ]$) — двойное неравенство.

Пять типичных ошибок

Ошибка 1. Потеря корней при делении. В однородных уравнениях с d ≠ 0 (или там, где deление на $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$) — нужно отдельно проверить, не являются ли $\sin x=0$, $\cos x=0$ корнями. Если являются — отдельная серия.

Ошибка 2. Неправильный знак в формуле для $\cos x=a$. Корни — $x=\pm \arccos a+2\pi n$, не «$+$ и $-$ через $\pi$». Период именно $2\pi$. Это самая частая «глупая» ошибка.

Ошибка 3. Забытая замена при $|t|>1$. Если при замене $t=\sin x$ получился квадратный корень $t_1=2$, его нужно отбросить — соответствующих $x$ не существует. Но в ответ часто пишут «$\sin x=2$, корней нет» — это норма, главное — не включать в общую формулу.

Ошибка 4. Неверный отбор корней. Часто забывают про границы промежутка — если промежуток $[a;b]$ закрытый, корни $x=a$ и $x=b$ тоже надо проверить (попадают ли в серию).

Ошибка 5. Запись ответа без указания n. В пункте а ответ всегда содержит «$n\in \mathbb{Z}$» (или «$n\in \mathbb{N}$» — но обычно $\mathbb{Z}$). Без этого ответ считается неполным.

Чек-лист перед задачей

Перед тем как сесть решать задание 13, прокатись по чек-листу:

1. К какому типу относится уравнение? (Простейшее, замена, однородное, метод вспомогательного угла, разложение)
2. Все ли тригонометрические функции приведены к одному аргументу? (Если есть и $\sin x$, и $\sin 2x$ — преобразовать)
3. Если делю на $\cos x$ — проверил, не теряются ли корни?
4. Если применил замену — проверил $|t|\le 1$?
5. Записал общий ответ с «$n\in \mathbb{Z}$»?

Чек-лист для отбора (пункт б):

1. Каким методом удобнее: перебор, окружность, двойное неравенство?
2. Включены ли границы промежутка?
3. Правильно ли я записал ответ — все корни через запятую, без округлений?

Где готовиться

Перед заданием 13 нужны три темы из учебника по тригонометрии:

• Тригонометрические уравнения — основы.
• Отбор корней — простой случай.
• Однородные тригонометрические уравнения.
• Уравнение a·sin x + b·cos x = c — метод вспомогательного угла.
• Отбор корней на единичной окружности.

После теории — практика. Задание 13 хорошо тренируется коротким циклом: 3-5 задач в день, разбор ошибок. За месяц-полтора при таком темпе тип «уравнение задания 13» закрывается на 90% случаев.