Отбор корней тригонометрического уравнения — два метода для ЕГЭ

В задании 13 ЕГЭ пункт «б» — это отбор корней на заданном промежутке. Есть два стандартных способа: двойное неравенство (алгебраический) и единичная окружность (геометрический). Каждый работает в своих ситуациях — разберём оба и покажем, когда какой быстрее.

Координаты точек на окружности:

• угол $\dfrac{\pi}{6}$ — точка $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$
• угол $\dfrac{5\pi}{6}$ — точка $\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$

Общая серия корней: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Зачем нужен отбор

Любое тригонометрическое уравнение имеет бесконечное число корней — серии вида $x = a + \pi n$ или $x = a + 2\pi n$. В задании 13 часть «а» требует найти все корни, часть «б» — отобрать те, что попадают на заданный промежуток (например, $[-2\pi; -\pi/2]$ или $[\pi; 5\pi/2]$).

Промежуток может быть:

• положительным: $[0; 2\pi]$, $[\pi; 5\pi/2]$;
• отрицательным: $[-2\pi; 0]$, $[-3\pi/2; -\pi/2]$;
• сквозным: $[-\pi; \pi]$, $[-\pi/2; 3\pi/2]$.

Независимо от типа, отбор делается одним из двух методов.

Метод 1. Двойное неравенство

Идея. Подставляешь серию корней в промежуток и решаешь неравенство относительно параметра $n$.

Алгоритм.

1. Возьми серию корней, например $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.
2. Запиши двойное неравенство: $a \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le b$, где $[a; b]$ — промежуток отбора.
3. Реши неравенство относительно $n$. Выдели $n$: $\frac{a - \pi/3}{2\pi} \le n \le \frac{b - \pi/3}{2\pi}$.
4. Выбери целые $n$, попадающие в полученный диапазон.
5. Для каждого целого $n$ подставь и получи соответствующее $x$.

Пример (идея). Промежуток $[0; 2\pi]$, серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

Подставляем: $0 \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le 2\pi$.

Решаем: $-\frac{1}{12} \le n \le \frac{11}{12}$.

Целое $n$ в этом диапазоне — только $n = 0$. Значит корень: $x = \frac{\pi}{6}$.

Метод 2. Единичная окружность

Идея. Отмечаешь на окружности заданный промежуток и точки-корни. Смотришь, какие корни попадают в отмеченную область.

Алгоритм.

1. Нарисуй единичную окружность.
2. Отметь на ней промежуток $[a; b]$ в виде дуги.
3. Для каждой серии корней отметь точки на окружности. Например, для $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ — одна точка $\frac{\pi}{3}$ (не обязательно отмечать все повторения через период, достаточно одной на каждую серию).
4. Проверь, попадает ли точка в дугу промежутка.
5. Для дуг, содержащих полный период ($2\pi$ или больше), добавляй корни с учётом повторений.

Когда удобен этот метод. Когда промежуток короткий (меньше $2\pi$) и серий несколько — окружность даёт быстрый визуальный ответ.

Когда что быстрее

Работа с отрицательным промежутком

Для промежутка вида $[-2\pi; -\pi/2]$ метод двойного неравенства работает идентично — $n$ просто будет отрицательным. Численные расчёты те же.

Пример. Серия $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ на промежутке $[-2\pi; -\pi/2]$.

$-2\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le -\frac{\pi}{2}$

Поделим всё на $\pi$ и перенесём $\frac{1}{4}$:

$-2 - \frac{1}{4} \le n \le -\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$-\frac{9}{4} \le n \le -\frac{3}{4}$

Целые $n$: $-2$ и $-1$.

$n = -2$: $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$.

$n = -1$: $x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Работа с несколькими сериями

Если ответ части «а» — несколько серий (например, две серии от уравнения $\cos x = a$), отбирай каждую отдельно.

Пример. Две серии $x = \pi/3 + 2\pi n$ и $x = -\pi/3 + 2\pi k$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

• Первая серия: $0 \le \pi/3 + 2\pi n \le 2\pi$, $n = 0$, $x = \pi/3$.
• Вторая серия: $0 \le -\pi/3 + 2\pi k \le 2\pi$, $k = 1$ (так как при $k = 0$ получаем $-\pi/3$ — вне промежутка), $x = -\pi/3 + 2\pi = 5\pi/3$.

Объединяем: $x = \pi/3$ и $x = 5\pi/3$.

Алгоритм отбора

1. Выпиши все серии корней из пункта «а».
2. Выбери метод (обычно — двойное неравенство).
3. Для каждой серии запиши двойное неравенство.
4. Реши его относительно $n$ (или другой буквы).
5. Найди целые значения параметра.
6. Подставь их обратно и получи $x$.
7. Объедини корни всех серий, отсортируй по возрастанию.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Отбери корни уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

Решение. Общее решение — две серии: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Серия 1: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Подставим в $[0; 2\pi]$:

$0 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2\pi$

$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{5}{6}$

Целое $n = 0$: $x = \frac{\pi}{3}$.

Серия 2: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$. Подставим:

$0 \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2\pi$

$\frac{1}{6} \le n \le \frac{7}{6}$

Целое $n = 1$: $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \frac{5\pi}{3}$.

Пример 2 (уровень Б). Отбери корни уравнения $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $\left[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

Решение. Общее решение — две серии: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Серия 1: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ на $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{\pi}{2}$

Поделим на $\pi$ и перенесём $\frac{1}{4}$:

$-\frac{3}{2} - \frac{1}{4} \le 2n \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

$-\frac{7}{4} \le 2n \le \frac{1}{4} \Rightarrow -\frac{7}{8} \le n \le \frac{1}{8}$

Целое $n = 0$: $x = \frac{\pi}{4}$.

Серия 2: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$ на $[-\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

$-\frac{3\pi}{2} \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \le \frac{\pi}{2}$

$-\frac{9}{8} \le n \le -\frac{1}{8}$

Целое $n = -1$: $x = \frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = -\frac{5\pi}{4}$.

Пример 3 (уровень В). Из двух серий $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ и $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ отбери корни на промежутке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$.

Решение.

Серия 1: $x = \frac{\pi}{3} + \pi n$ на $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$.

$\pi \le \frac{\pi}{3} + \pi n \le \frac{5\pi}{2}$

$1 - \frac{1}{3} \le n \le \frac{5}{2} - \frac{1}{3}$

$\frac{2}{3} \le n \le \frac{13}{6}$

Целые $n$: $1$ и $2$.

• $n = 1$: $x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$.
• $n = 2$: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$.

Серия 2: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ на $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$.

$\pi \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k \le \frac{5\pi}{2}$

$\frac{5}{12} \le k \le \frac{7}{6}$

Целое $k = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$.

Объединяем и сортируем: $\frac{4\pi}{3}, \frac{13\pi}{6}, \frac{7\pi}{3}$.

Ответ: $x = \frac{4\pi}{3}$, $\frac{13\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{3}$.

Типичная ошибка. Пропустить одну из серий или неверно решить двойное неравенство для отрицательного промежутка. Всегда перечитывай условие промежутка.

Типичные ошибки

1. Забывать концы промежутка. Если промежуток закрытый $[a; b]$ — концы могут быть корнями. Проверяй их подстановкой.
2. Пропускать значения $n$. Решая $-\frac{1}{6} \le n \le \frac{5}{6}$, включай не только $n = 0$, но и проверяй соседние, если они близки к границе.
3. Путать $+2\pi n$ и $+\pi n$. Для серий $\sin x = a$ и $\cos x = a$ период $2\pi$; для $\tan x = a$ — $\pi$. Не перепутай в подстановке.
4. Неверно решать двойное неравенство. При делении на отрицательное число не забывай менять знаки неравенств. В $-\pi \le -2\pi n \le \pi$ при делении на $-2\pi$ меняется направление: $-\frac{1}{2} \le n \le \frac{1}{2}$.
5. На единичной окружности забывать период. Если промежуток длиннее $2\pi$, одна и та же точка окружности может соответствовать нескольким $x$. Двойное неравенство это учитывает автоматически, окружность — нет.

Связь с другими темами

• Тригонометрические уравнения — первая часть задания 13, нахождение всех корней. Без неё отбор делать нечего.
• Тригонометрические формулы — нужны в преобразованиях исходного уравнения.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — пункт «б» этого задания. Полное решение всего задания — 2 балла, из них 1 балл за отбор. Без отбора полный балл не получишь.