Отбор корней тригонометрического уравнения — два метода для ЕГЭ

В задании 13 ЕГЭ пункт «б» — это отбор корней на заданном промежутке. Есть два стандартных способа: двойное неравенство (алгебраический) и единичная окружность (геометрический). Каждый работает в своих ситуациях — разберём оба и покажем, когда какой быстрее.

Координаты точек на окружности:

• угол $\frac{\pi }{6}$ — точка $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$
• угол $\frac{5\pi }{6}$ — точка $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2}\right)$

Общая серия корней: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ или $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$, где $n\in \mathbb{Z}$.

Зачем нужен отбор

Любое тригонометрическое уравнение имеет бесконечное число корней — серии вида $x=a+\pi n$ или $x=a+2\pi n$. В задании 13 часть «а» требует найти все корни, часть «б» — отобрать те, что попадают на заданный промежуток (например, $[-2\pi ;-\pi /2]$ или $[\pi ;5\pi /2]$).

Промежуток может быть:

• положительным: $[0;2\pi ]$, $[\pi ;5\pi /2]$;
• отрицательным: $[-2\pi ;0]$, $[-3\pi /2;-\pi /2]$;
• сквозным: $[-\pi ;\pi ]$, $[-\pi /2;3\pi /2]$.

Независимо от типа, отбор делается одним из двух методов.

Метод 1. Двойное неравенство

Идея. Подставляешь серию корней в промежуток и решаешь неравенство относительно параметра $n$.

Алгоритм.

1. Возьми серию корней, например $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$.
2. Запиши двойное неравенство: $a\le \frac{\pi }{3}+2\pi n\le b$, где $[a;b]$ — промежуток отбора.
3. Реши неравенство относительно $n$. Выдели $n$: $\frac{a-\pi /3}{2\pi }\le n\le \frac{b-\pi /3}{2\pi }$.
4. Выбери целые $n$, попадающие в полученный диапазон.
5. Для каждого целого $n$ подставь и получи соответствующее $x$.

Пример (идея). Промежуток $[0;2\pi ]$, серия $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$.

Подставляем: $0\le \frac{\pi }{6}+2\pi n\le 2\pi$.

Решаем: $-\frac{1}{12}\le n\le \frac{11}{12}$.

Целое $n$ в этом диапазоне — только $n=0$. Значит корень: $x=\frac{\pi }{6}$.

Метод 2. Единичная окружность

Идея. Отмечаешь на окружности заданный промежуток и точки-корни. Смотришь, какие корни попадают в отмеченную область.

Алгоритм.

1. Нарисуй единичную окружность.
2. Отметь на ней промежуток $[a;b]$ в виде дуги.
3. Для каждой серии корней отметь точки на окружности. Например, для $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ — одна точка $\frac{\pi }{3}$ (не обязательно отмечать все повторения через период, достаточно одной на каждую серию).
4. Проверь, попадает ли точка в дугу промежутка.
5. Для дуг, содержащих полный период ($2\pi$ или больше), добавляй корни с учётом повторений.

Когда удобен этот метод. Когда промежуток короткий (меньше $2\pi$) и серий несколько — окружность даёт быстрый визуальный ответ.

Когда что быстрее

Работа с отрицательным промежутком

Для промежутка вида $[-2\pi ;-\pi /2]$ метод двойного неравенства работает идентично — $n$ просто будет отрицательным. Численные расчёты те же.

Пример. Серия $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$ на промежутке $[-2\pi ;-\pi /2]$.

$-2\pi \le \frac{\pi }{4}+\pi n\le -\frac{\pi }{2}$

Поделим всё на $\pi$ и перенесём $\frac{1}{4}$:

$-2-\frac{1}{4}\le n\le -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

$-\frac{9}{4}\le n\le -\frac{3}{4}$

Целые $n$: $-2$ и $-1$.

$n=-2$: $x=\frac{\pi }{4}-2\pi =-\frac{7\pi }{4}$.

$n=-1$: $x=\frac{\pi }{4}-\pi =-\frac{3\pi }{4}$.

Работа с несколькими сериями

Если ответ части «а» — несколько серий (например, две серии от уравнения $\cos x=a$), отбирай каждую отдельно.

Пример. Две серии $x=\pi /3+2\pi n$ и $x=-\pi /3+2\pi k$ на промежутке $[0;2\pi ]$.

• Первая серия: $0\le \pi /3+2\pi n\le 2\pi$, $n=0$, $x=\pi /3$.
• Вторая серия: $0\le -\pi /3+2\pi k\le 2\pi$, $k=1$ (так как при $k=0$ получаем $-\pi /3$ — вне промежутка), $x=-\pi /3+2\pi =5\pi /3$.

Объединяем: $x=\pi /3$ и $x=5\pi /3$.

Алгоритм отбора

1. Выпиши все серии корней из пункта «а».
2. Выбери метод (обычно — двойное неравенство).
3. Для каждой серии запиши двойное неравенство.
4. Реши его относительно $n$ (или другой буквы).
5. Найди целые значения параметра.
6. Подставь их обратно и получи $x$.
7. Объедини корни всех серий, отсортируй по возрастанию.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Отбери корни уравнения $\cos x=\frac{1}{2}$ на промежутке $[0;2\pi ]$.

Решение. Общее решение — две серии: $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Серия 1: $x=\frac{\pi }{3}+2\pi n$. Подставим в $[0;2\pi ]$:

$0\le \frac{\pi }{3}+2\pi n\le 2\pi$

$-\frac{1}{6}\le n\le \frac{5}{6}$

Целое $n=0$: $x=\frac{\pi }{3}$.

Серия 2: $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$. Подставим:

$0\le -\frac{\pi }{3}+2\pi n\le 2\pi$

$\frac{1}{6}\le n\le \frac{7}{6}$

Целое $n=1$: $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$.

Ответ: $x=\frac{\pi }{3}$ и $x=\frac{5\pi }{3}$.

Пример 2 (уровень Б). Отбери корни уравнения $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ на промежутке $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$.

Решение. Общее решение — две серии: $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ и $x=\pi -\frac{\pi }{4}+2\pi n=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$.

Серия 1: $x=\frac{\pi }{4}+2\pi n$ на $[-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$.

$-\frac{3\pi }{2}\le \frac{\pi }{4}+2\pi n\le \frac{\pi }{2}$

Поделим на $\pi$ и перенесём $\frac{1}{4}$:

$-\frac{3}{2}-\frac{1}{4}\le 2n\le \frac{1}{2}-\frac{1}{4}$

$-\frac{7}{4}\le 2n\le \frac{1}{4}\Rightarrow -\frac{7}{8}\le n\le \frac{1}{8}$

Целое $n=0$: $x=\frac{\pi }{4}$.

Серия 2: $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ на $[-\frac{3\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$.

$-\frac{3\pi }{2}\le \frac{3\pi }{4}+2\pi n\le \frac{\pi }{2}$

$-\frac{9}{8}\le n\le -\frac{1}{8}$

Целое $n=-1$: $x=\frac{3\pi }{4}-2\pi =-\frac{5\pi }{4}$.

Ответ: $x=\frac{\pi }{4}$ и $x=-\frac{5\pi }{4}$.

Пример 3 (уровень В). Из двух серий $x=\frac{\pi }{3}+\pi n$ и $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ отбери корни на промежутке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]$.

Решение.

Серия 1: $x=\frac{\pi }{3}+\pi n$ на $[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$.

$\pi \le \frac{\pi }{3}+\pi n\le \frac{5\pi }{2}$

$1-\frac{1}{3}\le n\le \frac{5}{2}-\frac{1}{3}$

$\frac{2}{3}\le n\le \frac{13}{6}$

Целые $n$: $1$ и $2$.

• $n=1$: $x=\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$.
• $n=2$: $x=\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{7\pi }{3}$.

Серия 2: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$ на $[\pi ;\frac{5\pi }{2}]$.

$\pi \le \frac{\pi }{6}+2\pi k\le \frac{5\pi }{2}$

$\frac{5}{12}\le k\le \frac{7}{6}$

Целое $k=1$: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi =\frac{13\pi }{6}$.

Объединяем и сортируем: $\frac{4\pi }{3},\frac{13\pi }{6},\frac{7\pi }{3}$.

Ответ: $x=\frac{4\pi }{3}$, $\frac{13\pi }{6}$, $\frac{7\pi }{3}$.

Типичная ошибка. Пропустить одну из серий или неверно решить двойное неравенство для отрицательного промежутка. Всегда перечитывай условие промежутка.

Типичные ошибки

1. Забывать концы промежутка. Если промежуток закрытый $[a;b]$ — концы могут быть корнями. Проверяй их подстановкой.
2. Пропускать значения $n$. Решая $-\frac{1}{6}\le n\le \frac{5}{6}$, включай не только $n=0$, но и проверяй соседние, если они близки к границе.
3. Путать $+2\pi n$ и $+\pi n$. Для серий $\sin x=a$ и $\cos x=a$ период $2\pi$; для $\tan x=a$ — $\pi$. Не перепутай в подстановке.
4. Неверно решать двойное неравенство. При делении на отрицательное число не забывай менять знаки неравенств. В $-\pi \le -2\pi n\le \pi$ при делении на $-2\pi$ меняется направление: $-\frac{1}{2}\le n\le \frac{1}{2}$.
5. На единичной окружности забывать период. Если промежуток длиннее $2\pi$, одна и та же точка окружности может соответствовать нескольким $x$. Двойное неравенство это учитывает автоматически, окружность — нет.

Связь с другими темами

• Тригонометрические уравнения — первая часть задания 13, нахождение всех корней. Без неё отбор делать нечего.
• Тригонометрические формулы — нужны в преобразованиях исходного уравнения.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — пункт «б» этого задания. Полное решение всего задания — 2 балла, из них 1 балл за отбор. Без отбора полный балл не получишь.