Уравнение a·sin x + b·cos x = c: вспомогательный угол

Метод вспомогательного угла кажется фокусом: была сумма двух разных функций, стал один синус. На самом деле за этим стоит простая идея, и если понять её один раз, метод перестаёт быть магией. Разберём технику по косточкам: откуда берётся каждый элемент формулы и почему она работает.

Идея метода: свернуть сумму в синус

Цель — превратить $a\sin x + b\cos x$ в один синус. Зачем это нужно? Уравнение с одной тригонометрической функцией решается стандартно через арксинус, а вот смесь синуса и косинуса напрямую не разбирается. Поэтому вся работа сводится к тому, чтобы убрать одну из двух функций. Вспомним формулу синуса суммы:

$\sin(x + \varphi) = \sin x\cos\varphi + \cos x\sin\varphi$

Правая часть очень похожа на нашу сумму $a\sin x + b\cos x$. Чтобы они совпали, нужно, чтобы $a = \cos\varphi$ и $b = \sin\varphi$. Но так бывает не всегда: ведь $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$, а $a^2 + b^2$ редко равно единице. Например, для $3\sin x + 4\cos x$ сумма квадратов коэффициентов равна $9 + 16 = 25$, а не единице. Поэтому напрямую подставить $a$ и $b$ вместо косинуса и синуса нельзя. Выход — сначала «отмасштабировать» коэффициенты так, чтобы сумма их квадратов стала единицей.

Вынесем за скобку множитель $R = \sqrt{a^2 + b^2}$:

$a\sin x + b\cos x = R\left(\frac{a}{R}\sin x + \frac{b}{R}\cos x\right)$

Теперь новые коэффициенты $\dfrac{a}{R}$ и $\dfrac{b}{R}$ удовлетворяют главному условию:

$\left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{R^2} = \frac{R^2}{R^2} = 1$

А раз сумма их квадратов равна единице, их можно объявить косинусом и синусом некоторого угла $\varphi$:

$\cos\varphi = \frac{a}{R}, \qquad \sin\varphi = \frac{b}{R}$

Подставляем и сворачиваем по формуле синуса суммы:

$a\sin x + b\cos x = R(\cos\varphi\sin x + \sin\varphi\cos x) = R\sin(x + \varphi)$

Уравнение $a\sin x + b\cos x = c$ становится простым:

$R\sin(x + \varphi) = c \quad\Rightarrow\quad \sin(x + \varphi) = \frac{c}{R}$

Геометрический смысл

У множителя $R$ и угла $\varphi$ есть наглядная картинка. Возьми прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Его гипотенуза по теореме Пифагора равна $\sqrt{a^2 + b^2} = R$. А угол $\varphi$ между катетом $a$ и гипотенузой как раз удовлетворяет нашим условиям: $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$ (прилежащий катет к гипотенузе) и $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$ (противолежащий катет к гипотенузе).

Поэтому метод вспомогательного угла можно описать одной фразой: представь вектор $(a;\ b)$, его длина даёт $R$, а его наклон даёт $\varphi$. Эта геометрия помогает не запутаться в знаках. Если $a$ и $b$ оба положительны, вектор в первой четверти, и $\varphi$ острый положительный угол. Если $b$ отрицателен, вектор уходит вниз, и $\varphi$ становится отрицательным. Если $a$ отрицателен, а $b$ положителен, вектор уходит влево-вверх во вторую четверть, и угол $\varphi$ оказывается тупым. Привычка мысленно рисовать этот вектор экономит кучу ошибок: вместо того чтобы гадать про знаки, ты просто смотришь, куда показывает стрелка, и сразу видишь четверть угла.

Условие существования решений

После сведения к синусу всё упирается в правую часть $\dfrac{c}{R}$. Синус принимает значения только от $-1$ до $1$, поэтому уравнение $\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{R}$ имеет корни лишь при

$\left|\frac{c}{R}\right| \leq 1, \quad \text{то есть} \quad |c| \leq R = \sqrt{a^2 + b^2}$

Если $|c| > R$, решений нет. Геометрически это значит, что левая часть колеблется в пределах $[-R;\ R]$ и просто не дотягивается до $c$. Представь, что левая часть это качающийся маятник, который не может подняться выше отметки $R$. Если цель $c$ закреплена выше этой отметки, маятник до неё никогда не достанет, сколько ни качайся. Поэтому первая мысль при виде такого уравнения — посчитать амплитуду $R$ и сравнить её с $|c|$. Эта проверка занимает секунды и иногда сразу закрывает задачу ответом «решений нет».

Пошаговый алгоритм

1. Вычисли $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. Проверь условие: если $|c| > R$, решений нет, стоп.
3. Найди $\varphi$ из условий $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$ (по обоим знакам определи четверть).
4. Перепиши уравнение как $\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{R}$.
5. Реши его: $x + \varphi = (-1)^n\arcsin\dfrac{c}{R} + \pi n$.
6. Вырази $x$: $x = (-1)^n\arcsin\dfrac{c}{R} + \pi n - \varphi$.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\sqrt{3}\sin x + \cos x = 1$.

Решение. Здесь $a = \sqrt{3}$, $b = 1$, $c = 1$. Амплитуда $R = \sqrt{3 + 1} = 2$. Проверка: $|c| = 1 \leq 2$, решения есть.

Угол $\varphi$: $\cos\varphi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \dfrac{1}{2}$, оба положительны, первая четверть, $\varphi = \dfrac{\pi}{6}$. Уравнение:

$2\sin\!\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Решаем: $x + \dfrac{\pi}{6} = (-1)^n\dfrac{\pi}{6} + \pi n$, откуда $x = (-1)^n\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} + \pi n$.

Распишем по чётности $n$. При чётном $n = 2k$: $x = \dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = 2\pi k$. При нечётном $n = 2k+1$: $x = -\dfrac{\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Типичная ошибка. Забывают вычесть $\varphi$ в самом конце. Сдвиг $-\varphi$ обязателен — без него корни сдвинуты.

Ответ: $x = 2\pi k$ или $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 2$.

Решение. $a = 1$, $b = -\sqrt{3}$, $c = 2$. Амплитуда $R = \sqrt{1 + 3} = 2$. Проверка: $|c| = 2 \leq 2$ — пограничный случай, решение есть, причём единственная серия.

Угол $\varphi$: $\cos\varphi = \dfrac{1}{2}$, $\sin\varphi = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Попробуй сам определить четверть по этим знакам.

Раскрытие: косинус положительный, синус отрицательный — четвёртая четверть, $\varphi = -\dfrac{\pi}{3}$. Уравнение:

$2\sin\!\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 2 \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(x - \frac{\pi}{3}\right) = 1$

Когда синус равен 1, серия одна: $x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, откуда $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Типичная ошибка. При $\dfrac{c}{R} = 1$ пишут две серии, как обычно. Но при крайнем значении синуса серия всего одна.

Ответ: $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $3\sin x + 4\cos x = 5$.

Решение.

Шаг 1. Найди $R$ и проверь условие. Спроси себя: чему равна амплитуда? $R = \sqrt{9 + 16} = 5$. Проверка: $|c| = 5 \leq 5$ — пограничный случай, одна серия.

Шаг 2. Найди $\varphi$. Спроси себя: какие знаки у косинуса и синуса $\varphi$? $\cos\varphi = \dfrac{3}{5}$, $\sin\varphi = \dfrac{4}{5}$, оба положительны, первая четверть. Угол нетабличный, поэтому оставляем его как $\varphi = \arcsin\dfrac{4}{5}$.

Шаг 3. Сведи к синусу и реши. Уравнение $\sin(x + \varphi) = 1$ даёт единственную серию:

$x + \varphi = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\pi}{2} - \arcsin\frac{4}{5} + 2\pi k$

Типичная ошибка. Пугаются нетабличного $\varphi$ и бросают задачу. Нетабличный угол просто оставляют в ответе через арксинус — это законная форма записи, и за неё не снимают баллов.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} - \arcsin\dfrac{4}{5} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Три случая по числу решений

Полезно заранее понимать, сколько корней даст уравнение, ещё до решения. Всё зависит от того, как $|c|$ соотносится с амплитудой $R$. Получается три случая.

Первый случай: $|c| < R$. Правая часть $\dfrac{c}{R}$ по модулю меньше единицы, и синус достигает её дважды за период. Значит уравнение имеет две серии корней. Это самый частый случай в задании.

Второй случай: $|c| = R$. Тогда $\dfrac{c}{R} = \pm 1$, синус достигает крайнего значения ровно один раз за период. Серия одна. Именно так было во втором и третьем примерах выше: там $|c| = R = 2$ и $|c| = R = 5$, и серия в каждом единственная.

Третий случай: $|c| > R$. Правая часть «выше потолка» синуса, решений нет. Это самый короткий случай: посчитал $R$, сравнил, записал «нет решений».

Понимание этих трёх случаев помогает не только посчитать, но и проверить себя. Если ты получил две серии там, где $|c| = R$, значит где-то ошибся: при крайнем значении синуса серия обязана быть одна.

Ещё один разбор

Задача. Реши уравнение $\cos x - \sqrt{3}\sin x = 1$.

Решение. Запишем в привычном порядке: $-\sqrt{3}\sin x + \cos x = 1$, то есть $a = -\sqrt{3}$, $b = 1$, $c = 1$. Амплитуда $R = \sqrt{3 + 1} = 2$. Проверка: $|c| = 1 \leq 2$, значит $|c| < R$ и ждём две серии.

Угол $\varphi$: $\cos\varphi = \dfrac{a}{R} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{R} = \dfrac{1}{2}$. Косинус отрицательный, синус положительный — вторая четверть, $\varphi = \dfrac{5\pi}{6}$. Уравнение:

$2\sin\!\left(x + \frac{5\pi}{6}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(x + \frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

Решаем. $\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$, две серии:

• $x + \dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$;
• $x + \dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k \Rightarrow x = 2\pi k$.

Ответ: $x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Этот пример показывает, как важно аккуратно определять четверть $\varphi$: косинус отрицательный увёл угол во вторую четверть, и ошибка в знаке здесь сместила бы все корни.

Альтернатива через косинус

Левую часть можно свернуть не в синус, а в косинус:

$a\sin x + b\cos x = R\cos(x - \psi), \quad \text{где } \cos\psi = \frac{b}{R},\ \sin\psi = \frac{a}{R}$

Оба варианта дают один и тот же набор корней. Какой выбрать — зависит от удобства: если через синус арксинус получается нетабличным, через косинус арккосинус может оказаться «красивым», и наоборот. На итоговый ответ выбор не влияет. На практике большинство школьников сворачивают в синус по привычке, и это нормально. Косинус-вариант держи как запасной приём для случаев, когда синус-путь приводит к неудобным числам. Умение переключаться между ними — признак того, что ты понял метод, а не зазубрил один шаблон.

Почему важен порядок коэффициентов

Одна тонкость, на которой спотыкаются: при записи $\sin(x + \varphi) = \sin x\cos\varphi + \cos x\sin\varphi$ легко перепутать, какой коэффициент с чем сопоставлять. Запомни правило: коэффициент при $\sin x$ в исходном уравнении — это $a$, и он должен равняться $\cos\varphi$. Коэффициент при $\cos x$ — это $b$, и он равен $\sin\varphi$. То есть $a$ идёт к косинусу угла, а $b$ — к синусу. Это легко перепутать местами, и тогда вспомогательный угол получится неверным.

Проверить себя просто: после нахождения $\varphi$ подставь его обратно и убедись, что $R\cos\varphi = a$ и $R\sin\varphi = b$. Если хоть одно равенство не сходится, значит коэффициенты перепутаны. Такая мгновенная проверка спасает от досадной ошибки на ровном месте.

Когда метод не нужен

Метод вспомогательного угла создан для случая, когда справа стоит ненулевое число $c$. Если же $c = 0$, уравнение однородное, и его проще решать делением на $\cos x$: получаешь $a\tg x + b = 0$. Не усложняй: на ноль справа реагируй делением, на число — вспомогательным углом. Это разделение экономит время на экзамене.

Есть и более универсальный, но громоздкий путь — подстановка $t = \tg\dfrac{x}{2}$. Через неё и синус, и косинус выражаются как дроби от $t$, и уравнение становится алгебраическим. Этот метод работает всегда, но тянет за собой дробь и отдельную проверку случая, где $\cos\dfrac{x}{2} = 0$. На ЕГЭ его берут редко именно из-за громоздкости: вспомогательный угол даёт ответ короче и без потери корней. Держи универсальную подстановку как запасной вариант, но в первую очередь применяй вспомогательный угол.

Типичные ошибки

1. Неверно определять четверть угла $\varphi$. Учитывай знаки и косинуса, и синуса. Только по тангенсу четверть не определить.
2. Путать коэффициенты в формуле синуса суммы. В $\sin(x + \varphi)$ при $\sin x$ стоит $\cos\varphi$, а при $\cos x$ стоит $\sin\varphi$, не наоборот.
3. Забывать вычесть $\varphi$ в конце. После решения уравнения с синусом из $x + \varphi$ нужно вернуть $x$, вычитая $\varphi$.
4. Терять серию корней или, наоборот, писать лишнюю. При $\left|\dfrac{c}{R}\right| = 1$ серия одна, при $\left|\dfrac{c}{R}\right| < 1$ их две.
5. Не проверять $|c| \leq R$. Если правая часть больше амплитуды, решений нет — это надо увидеть до вычислений.

Что запомнить

Метод вспомогательного угла сворачивает $a\sin x + b\cos x$ в один синус $R\sin(x + \varphi)$. Амплитуда $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ — это длина вектора $(a;\ b)$, а угол $\varphi$ — его наклон, и находят его по двум знакам: $\cos\varphi = \dfrac{a}{R}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{R}$. Уравнение существует, только если $|c| \leq R$. Число серий корней зависит от $\dfrac{c}{R}$: две при модуле меньше единицы, одна при модуле, равном единице. В конце не забудь вычесть $\varphi$, возвращая $x$. И помни главный водораздел: ноль справа решай делением на косинус, ненулевое число — вспомогательным углом.

Связь с другими темами

• Уравнения a·sin x + b·cos x = c с отбором корней — тот же метод с упором на отбор на отрезке для задания 12.
• Однородные тригонометрические уравнения — что делать, когда справа ноль.
• Тригонометрические уравнения — базовые уравнения с синусом, к которым всё сводится.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней, часть 2. Уравнения вида $a\sin x + b\cos x = c$ — один из стандартных типов, и метод вспомогательного угла — главный инструмент их решения.