Уравнение a·sin x + b·cos x = c: метод вспомогательного угла

Уравнение вида $a \sin x + b \cos x = c$ — один из ключевых типов задания 13 ЕГЭ профиль. Самый элегантный метод решения — метод вспомогательного угла. Разбираем пошагово.

Прямоугольный треугольник: катеты a и b, гипотенуза R=√(a²+b²), угол φ — геометрический смысл метода вспомогательного угла

Идея метода

Левую часть $a \sin x + b \cos x$ можно записать как $R \sin(x + \varphi)$ , где: $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ $\cos \varphi = \frac{a}{R}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{R}$

Тогда уравнение принимает вид: $R \sin(x + \varphi) = c$ $\sin(x + \varphi) = \frac{c}{R}$

Это стандартное уравнение — решается обычным образом.

Условие существования решений: $|c| \leq R = \sqrt{a^2 + b^2}$ .

Пошаговый алгоритм

Вычислить $R = \sqrt{a^2 + b^2}$
Найти $\varphi$ : $\cos \varphi = \frac{a}{R}$ , $\sin \varphi = \frac{b}{R}$ → определить квадрант $\varphi$
Переписать уравнение: $R \sin(x + \varphi) = c$
Сократить: $\sin(x + \varphi) = \frac{c}{R}$
Решить: $x + \varphi = (-1)^n \arcsin\frac{c}{R} + \pi n$
Вырезать $x$ : $x = (-1)^n \arcsin\frac{c}{R} + \pi n - \varphi$

Пример 1: Простое уравнение

Решить $\sin x + \cos x = 1$ .

Решение: $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ . $R = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ $\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \varphi = \frac{\pi}{4}$

$\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1$ $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n$

При $n = 2k$ (чётные): $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ , $x = 2\pi k$ При $n = 2k+1$ (нечётные): $x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ , $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Ответ: $x = 2\pi n$ или $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

Пример 2: Уравнение с отбором корней

Решить $\sqrt{3} \sin x - \cos x = 1$ и найти корни на $[0; \pi]$ .

Решение: $a = \sqrt{3}$ , $b = -1$ , $R = \sqrt{3 + 1} = 2$ .

$\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , $\sin \varphi = \frac{-1}{2}$ → $\varphi = -\frac{\pi}{6}$ (IV квадрант).

$2\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = 1$ $\sin\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$

$x - \frac{\pi}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$

Серия 1 ( $n$ чётное): $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ Серия 2 ( $n$ нечётное): $x = \pi - \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \pi + 2\pi k$

Корни на $[0; \pi]$ : $x = \frac{\pi}{3}$ (из серии 1 при $k=0$ ) и $x = \pi$ (из серии 2 при $k=0$ ).

Ответ: $\frac{\pi}{3}$ и $\pi$ .

Альтернативный метод: через косинус

Можно записать $a \sin x + b \cos x = R \cos(x - \psi)$ , где: $R = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \cos \psi = \frac{b}{R}, \quad \sin \psi = \frac{a}{R}$

Оба подхода эквивалентны — выбирай тот, который удобнее.

Когда метод не работает

Если $c > R = \sqrt{a^2 + b^2}$ , уравнение не имеет решений (нет корней).

Пример: $\sin x + \cos x = 3$ . Максимальное значение левой части = $\sqrt{2} \approx 1{,}41 < 3$ . Нет решений.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Неправильно определить квадрант угла $\varphi$ : нужно учитывать знаки и $\sin \varphi$ , и $\cos \varphi$ .

Ошибка 2. При записи $\sin(x + \varphi)$ перепутать формулу: $\sin(x+\varphi) = \sin x \cos\varphi + \cos x \sin\varphi$ — коэффициент при $\sin x$ это $\cos\varphi$ , а при $\cos x$ это $\sin\varphi$ .

Ошибка 3. Забыть про вторую серию корней.

Чек-лист

Вычисляю $R = \sqrt{a^2 + b^2}$
Нахожу $\varphi$ с учётом квадранта (оба знака: $\cos\varphi$ и $\sin\varphi$ )
Записываю уравнение как $R\sin(x+\varphi) = c$
Решаю стандартное уравнение для синуса (обе серии)