Преобразование тригонометрических выражений — пошаговые алгоритмы

Преобразование тригонометрических выражений — это не набор формул, которые нужно зазубрить. Это система: видишь структуру, применяешь нужный инструмент. В задании 7 ЕГЭ нужно вычислить значение, в задании 13 — упростить, чтобы решить уравнение. Разберём все ключевые приёмы — от основного тождества до суммы в произведение.

Основные инструменты

Основное тождество и его следствия

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Следствия, которые часто нужны:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x, \quad \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

$\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}, \quad 1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

Когда применять: в выражении стоят $\sin^2$ и $\cos^2$ вместе — скорее всего их сумма или разность даёт упрощение.

Формулы двойного угла

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$

$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

Когда применять: видишь произведение $\sin x\cos x$ — это $\frac{1}{2}\sin 2x$. Или нужно перейти от квадратов функций к функциям одинарного/двойного угла.

Формулы сложения

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Формулы тангенса суммы и разности

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$

Для котангенса аналогично:

$\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot\alpha\cot\beta + 1}{\cot\beta - \cot\alpha}$

Применимо только при условии, что знаменатель не равен нулю.

Формулы суммы в произведение

Это мощный инструмент для решения уравнений вида $\sin A + \sin B = 0$.

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Формулы произведения в сумму

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$

Формулы понижения степени

Нужны, когда в выражении стоят $\sin^2 x$ или $\cos^2 x$ и нужно перейти к функции одной степени:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Алгоритм преобразования

Задание 7 — вычисление значения выражения:

1. Смотри, что дано: значение $\sin x$, $\cos x$ или $\tan x$ в определённой четверти.
2. Выражай нужную функцию через данную, используя основное тождество или формулы связи.
3. Вычисляй.

Задание 13 — преобразование для решения уравнения:

1. Смотри на структуру уравнения: есть сумма синусов/косинусов — применяй суммы в произведение.
2. Есть произведение $\sin x\cos x$ — двойной угол.
3. Есть $\sin^2 + \cos^2$ — основное тождество.
4. Получи произведение нескольких множителей = 0.
5. Решай каждый множитель отдельно.

Разбор примеров

Пример 1. Вычислить значение

Задача. Известно, что $\cos x = \dfrac{3}{5}$, угол $x$ — в I четверти. Найди $\sin 2x$.

Решение.

Из основного тождества: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.

Так как $x$ в I четверти, $\sin x > 0$: $\sin x = \dfrac{4}{5}$.

По формуле двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25}$.

Ответ: $\dfrac{24}{25}$.

Пример 2. Упростить выражение

Задача. Упрости $\dfrac{\sin 3x - \sin x}{\cos 3x + \cos x}$.

Решение.

Числитель: $\sin 3x - \sin x = 2\cos 2x\sin x$ (формула разности синусов).

Знаменатель: $\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x\cos x$ (формула суммы косинусов).

$\frac{2\cos 2x\sin x}{2\cos 2x\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$

(при условии $\cos 2x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$).

Ответ: $\tan x$.

Типичные ошибки

Перепутать знак в формуле разности косинусов. $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — здесь минус перед двойкой.

Забыть проверить ОДЗ. После преобразований, если появились $\tan x$ или $\cot x$, проверь ограничения на ОДЗ.

Применить формулу не туда. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, но $\sin x + \cos x \neq 1$.