Преобразование тригонометрических выражений — пошаговые алгоритмы

Преобразование тригонометрических выражений — это не набор формул, которые нужно зазубрить. Это система: видишь структуру, применяешь нужный инструмент. В задании 7 ЕГЭ нужно вычислить значение, в задании 13 — упростить, чтобы решить уравнение. Разберём все ключевые приёмы — от основного тождества до суммы в произведение.

Главная мысль этой темы простая. Формул в тригонометрии действительно много, и зубрить их все по отдельности — путь в никуда. К тому же память под стрессом экзамена подводит, а понимание остаётся. Гораздо эффективнее научиться читать структуру выражения и по ней понимать, какой инструмент подойдёт. Увидел сумму квадратов синуса и косинуса — вспоминаешь основное тождество. Увидел произведение синуса на косинус — вспоминаешь двойной угол. Увидел сумму двух синусов — вспоминаешь формулы суммы в произведение. Структура выражения сама подсказывает, что делать. Когда этот навык распознавания войдёт в привычку, преобразования перестанут пугать и станут механической работой. Поэтому при изучении этой темы делай упор не на запоминание формул, а на тренировку взгляда: разбирай как можно больше выражений и каждый раз спрашивай себя, какая структура перед тобой и какой инструмент она требует. Чем больше задач ты пропустишь через себя, тем быстрее глаз начнёт цепляться за нужные комбинации.

Основные инструменты

Основное тождество и его следствия

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Следствия, которые часто нужны:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x, \quad \cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

$\tg^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}, \quad 1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

Когда применять: в выражении стоят $\sin^2$ и $\cos^2$ вместе — скорее всего их сумма или разность даёт упрощение. Основное тождество работает в обе стороны. Слева направо ты заменяешь сумму квадратов на единицу, а справа налево разворачиваешь единицу в сумму квадратов, когда это помогает что-то сократить или сгруппировать. Оба направления стоит держать в арсенале, потому что в задачах встречаются оба.

Формулы двойного угла

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$

$\tg 2x = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x}$

Когда применять: видишь произведение $\sin x\cos x$ — это $\frac{1}{2}\sin 2x$. Или нужно перейти от квадратов функций к функциям одинарного/двойного угла. Три формы косинуса двойного угла дают тебе свободу выбора: бери ту, которая оставляет в выражении одну функцию. Если нужно избавиться от косинуса, бери форму через синус; если от синуса — форму через косинус. Эта гибкость особенно полезна в уравнениях, где смешаны разные функции.

Формулы сложения

Формулы сложения — фундамент, из которого выводятся почти все остальные тригонометрические формулы. Двойной угол, приведение, сумма в произведение — всё рождается из них. Поэтому именно эти четыре формулы стоит знать особенно крепко.

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Обрати внимание на знаки. У синуса суммы и разности структура одинаковая, меняется только знак в середине: плюс для суммы, минус для разности. У косинуса наоборот: знак в формуле противоположен знаку в аргументе. Косинус суммы даёт минус, косинус разности даёт плюс. Эта «перевёрнутость» косинуса — частый источник ошибок, поэтому держи её в голове отдельно.

Когда применять: формулы сложения нужны, когда в выражении встречаются функции суммы или разности углов, либо когда требуется разложить сложный угол на сумму известных. Например, $\cos 75°$ вычисляют как $\cos(45° + 30°)$, разбивая неудобный угол на два табличных.

Формулы тангенса суммы и разности

$\tg(\alpha + \beta) = \frac{\tg\alpha + \tg\beta}{1 - \tg\alpha\tg\beta}$

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha\tg\beta}$

Для котангенса аналогично, хотя на экзамене эта формула встречается заметно реже:

$\ctg(\alpha - \beta) = \frac{\ctg\alpha\ctg\beta + 1}{\ctg\beta - \ctg\alpha}$

Применимо только при условии, что знаменатель не равен нулю. Если котангенс-формула вылетела из головы, не страшно: котангенс это единица, делённая на тангенс, поэтому всегда можно перейти к тангенсу и воспользоваться его формулой. На практике большинство задач решается через тангенс, а котангенс-вариант держат как запасной. Главное — помнить про ограничение знаменателя: деление на ноль недопустимо, и при отборе корней эти точки исключают.

Формулы суммы в произведение

Это мощный инструмент для решения уравнений вида $\sin A + \sin B = 0$. Идея в том, что уравнение с суммой решить напрямую трудно, а уравнение с произведением — легко: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель ноль. Поэтому, превратив сумму в произведение, ты разбиваешь сложное уравнение на несколько простых. Это один из главных приёмов задания 13, и владеть им нужно уверенно.

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

$\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Формулы произведения в сумму

Это обратные формулы к суммам в произведение. Они превращают произведение двух функций в сумму, и иногда именно сумма оказывается удобнее для дальнейших действий, например при интегрировании или при сокращении.

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$

$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$

$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$

Запоминать их наизусть не обязательно: они выводятся из формул сложения за пару строк. Если сложить косинус суммы и косинус разности, синусные слагаемые сократятся, а косинусные удвоятся — отсюда и получается формула для произведения косинусов. Тот же приём даёт остальные две формулы. Понимать этот вывод полезнее, чем зубрить готовый результат, потому что вывод не забывается, а готовая формула легко вылетает из памяти. На экзамене эти формулы встречаются реже, чем суммы в произведение, но знать о них стоит, чтобы не растеряться, если задача потребует обратного хода.

Формулы понижения степени

Нужны, когда в выражении стоят $\sin^2 x$ или $\cos^2 x$ и нужно перейти к функции одной степени:

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

Эти формулы тоже не самостоятельные: они получаются из формул двойного угла, если выразить из них квадрат. Главная их роль — убрать квадрат функции, заменив его на функцию первой степени, но от двойного угла. Это упрощает многие выражения, потому что с функцией первой степени работать удобнее, чем с квадратом. Кроме того, понижение степени объясняет важный факт: квадрат тригонометрической функции колеблется вдвое чаще, и его период вдвое короче.

Алгоритм преобразования

У преобразований есть два сценария применения на экзамене, и в каждом своя последовательность действий. В задании 7 ты вычисляешь значение выражения по известным данным, а в задании 13 преобразуешь выражение, чтобы свести уравнение к решаемому виду. Разберём оба порядка.

Задание 7 — вычисление значения выражения:

1. Смотри, что дано: значение $\sin x$, $\cos x$ или $\tg x$ в определённой четверти.
2. Выражай нужную функцию через данную, используя основное тождество или формулы связи.
3. Вычисляй.

Задание 13 — преобразование для решения уравнения:

1. Смотри на структуру уравнения: есть сумма синусов/косинусов — применяй суммы в произведение.
2. Есть произведение $\sin x\cos x$ — двойной угол.
3. Есть $\sin^2 + \cos^2$ — основное тождество.
4. Получи произведение нескольких множителей = 0.
5. Решай каждый множитель отдельно.

Ключевая цель всех преобразований в задании 13 — превратить уравнение в произведение, равное нулю. Как только это удалось, задача почти решена: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель ноль, и ты решаешь несколько простых уравнений вместо одного сложного. Поэтому, глядя на уравнение, всё время спрашивай себя, какое преобразование приближает к виду «произведение равно нулю». Сумма функций превращается в произведение, двойной угол раскрывается и выносится за скобку, квадраты сводятся к одной функции. Все эти приёмы работают на одну цель — разложить уравнение на множители.

Разбор примеров

Пример 1. Вычислить значение

Это типичная задача семь: дано значение одной функции и четверть, надо найти другую. Маршрут стандартный — через основное тождество добываем недостающую функцию, потом применяем нужную формулу. Следи за знаком: он определяется четвертью угла.

Задача. Известно, что $\cos x = \dfrac{3}{5}$, угол $x$ — в I четверти. Найди $\sin 2x$.

Решение.

Из основного тождества: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.

Так как $x$ в I четверти, $\sin x > 0$: $\sin x = \dfrac{4}{5}$.

По формуле двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2 \cdot \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{24}{25}$.

Ответ: $\dfrac{24}{25}$.

Пример 2. Упростить выражение

Здесь работает приём суммы в произведение: и числитель, и знаменатель сворачиваются в произведения, после чего общий множитель сокращается. Это классический способ упростить дробь с суммами и разностями функций. Главное — заметить, что обе части дроби имеют похожую структуру и оба раза появляется один и тот же множитель.

Задача. Упрости $\dfrac{\sin 3x - \sin x}{\cos 3x + \cos x}$.

Решение.

Числитель: $\sin 3x - \sin x = 2\cos 2x\sin x$ (формула разности синусов).

Знаменатель: $\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x\cos x$ (формула суммы косинусов).

$\frac{2\cos 2x\sin x}{2\cos 2x\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tg x$

(при условии $\cos 2x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$).

Ответ: $\tg x$.

Пример 3. Решить уравнение через сумму в произведение

Задача. Реши уравнение $\sin 3x + \sin x = 0$.

Решение.

Шаг 1. Преврати сумму в произведение. Спроси себя: какая формула подходит для суммы двух синусов? Формула суммы синусов с $\alpha = 3x$, $\beta = x$:

$\sin 3x + \sin x = 2\sin\frac{3x+x}{2}\cos\frac{3x-x}{2} = 2\sin 2x\cos x$

Шаг 2. Приравняй произведение нулю. Спроси себя: когда произведение равно нулю? Когда хотя бы один множитель ноль:

$2\sin 2x\cos x = 0 \Rightarrow \sin 2x = 0 \text{ или } \cos x = 0$

Шаг 3. Реши каждое уравнение. $\sin 2x = 0$ даёт $x = \dfrac{\pi n}{2}$. Уравнение $\cos x = 0$ даёт $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$, но эти корни уже входят в первую серию (при нечётном $n$). Поэтому ответ — одна серия.

Типичная ошибка. Записывают обе серии как разные, не заметив, что вторая полностью содержится в первой.

Ответ: $x = \dfrac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$. Одна серия покрывает все корни уравнения.

Типичные ошибки

Перепутать знак в формуле разности косинусов. $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha-\beta}{2}$ — здесь минус перед двойкой.

Забыть проверить ОДЗ. После преобразований, если появились $\tg x$ или $\ctg x$, проверь ограничения на ОДЗ.

Применить формулу не туда. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, но $\sin x + \cos x \neq 1$. Квадраты и сами функции — это разные вещи, и путать их нельзя.

Сократить на множитель, который может быть нулём. В примере с дробью мы сокращали на $\cos 2x$ — но это законно только если $\cos 2x \neq 0$. При решении уравнений такое сокращение может потерять корни, поэтому либо проверяй условие, либо не сокращай, а выноси за скобку.

Что запомнить

Преобразование тригонометрических выражений — это умение читать структуру и подбирать инструмент, а не зубрёжка формул. Фундамент всего — формулы сложения, из которых выводятся двойной угол, понижение степени, произведение в сумму и сумма в произведение. Если запомнить крепко только формулы сложения, остальное восстанавливается за несколько шагов. Главные приёмы по структуре: сумма квадратов синуса и косинуса — это единица; произведение синуса на косинус — это половина синуса двойного угла; сумма двух синусов или косинусов превращается в произведение, что незаменимо при решении уравнений задания 13; квадрат функции понижается до первой степени через двойной угол. И две постоянные ловушки: косинус суммы и разности имеет «перевёрнутый» знак, а сокращать на множитель можно только когда он не обращается в ноль. Освоив распознавание структуры, ты будешь решать задания 7 и 13 быстро и без паники перед длинными выражениями.

Связь с другими темами

Эта тема связывает воедино почти всю тригонометрию. Каждая отдельная группа формул разобрана подробнее на своих страницах, а здесь они работают вместе как набор инструментов.

• Тригонометрические формулы — полный справочник формул сложения и связей между функциями.
• Формулы двойного угла — отдельный разбор двойного угла и понижения степени.
• Основное тригонометрическое тождество — базовое соотношение, на котором держатся все преобразования.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

В задании 7 преобразования нужны для вычисления значения выражения по известному значению одной функции и четверти угла. В задании 13 они — обязательный подготовительный шаг: прежде чем решить тригонометрическое уравнение, ты упрощаешь его, приводя к одной функции или одному аргументу, либо превращая сумму в произведение. Без уверенного владения преобразованиями обе задачи становятся почти неподъёмными, поэтому навык распознавания структуры стоит довести до автоматизма.

• Задание 13 — тригонометрические уравнения, где преобразование выражения открывает путь к решению.