Что такое арксинус?

Арксинус числа $a$ — это угол $x \in [-\pi/2, \pi/2]$, синус которого равен $a$. Обозначение: $\arcsin a$. Область определения: $a \in [-1, 1]$. Область значений: $[-\pi/2, \pi/2]$.

Чем отличается arcsin от sin⁻¹?

Это одно и то же: $\arcsin x = \sin^{-1} x$ в математических обозначениях. На ЕГЭ и в учебниках принято писать $\arcsin$. Не путай с $\dfrac{1}{\sin x}$ — это котангенс, а не арксинус.

Чему равно arcsin(sin x)?

$\arcsin(\sin x) = x$ только при $x \in [-\pi/2, \pi/2]$. При других значениях нужно привести $x$ к главному значению. Например, $\arcsin(\sin(\pi - x)) = \arcsin(\sin x)$ при $x \in [0, \pi]$.

Каковы главные значения arctg?

$\arctan$ принимает значения в интервале $(-\pi/2, \pi/2)$. Например: $\arctan 0 = 0$, $\arctan 1 = \pi/4$, $\arctan\sqrt{3} = \pi/3$, $\arctan(-1) = -\pi/4$.

Как связаны arcsin и arccos?

$\arcsin a + \arccos a = \pi/2$ для любого $a \in [-1, 1]$. Это удобно: если знаешь один, легко найти другой.

Зачем нужен арктангенс при решении уравнений?

Тригонометрическое уравнение $\tan x = a$ имеет решение $x = \arctan a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Если $a$ — «некрасивое» число, ответ записывается через $\arctan$. На ЕГЭ в задании 13 такой ответ полностью корректен.

Как вычислить arccos(-1/2)?

Ищи угол из $[0, \pi]$, косинус которого равен $-1/2$. Это $2\pi/3 = 120°$. Значит $\arccos(-1/2) = 2\pi/3$.

Арксинус, арккосинус, арктангенс — определения, таблица, свойства

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это обратные тригонометрические функции. Их объединяет одна задача: найти угол по значению тригонометрической функции. Каждая из них появляется в задании 13 ЕГЭ, когда нужно записать ответ к уравнению. Эта страница даёт сводный обзор всех четырёх: определения, области значений, главные значения и ключевые тождества. Если нужна глубина по конкретной функции, переходи на отдельные страницы, ссылки на которые есть ниже. А здесь — карта, которая помогает не запутаться в четвёрке похожих функций.

Таблица-шпаргалка: arcsin, arccos, arctg — область определения, область значений, значение при x=0

Зачем нужны обратные функции

Когда ты решаешь уравнение $sin x = a$ , тебе нужно найти угол по значению синуса. Это и есть задача обратной функции: синус по углу даёт число, а арксинус по числу возвращает угол. Но тут возникает загвоздка. Синус не взаимно однозначен: у одного значения $a$ бесконечно много углов с таким синусом. Если бы арксинус выдавал любой из них, он не был бы функцией, ведь функция обязана давать на каждый вход ровно один выход.

Чтобы обойти это, ограничивают область определения и выбирают «главную ветвь» — один отрезок, на котором исходная функция монотонна и проходит каждое значение по разу. Для каждой из четырёх функций такой отрезок свой, и именно различия отрезков порождают все формулы и ошибки темы. Эта страница собирает все четыре обратные функции вместе, чтобы их было удобно сравнивать. Для углублённого разбора каждой есть отдельные страницы про арксинус, арккосинус и арктангенс с арккотангенсом.

Арксинус

Определение. $arcsin a$ — это число $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ такое, что $sin x = a$ .

Область определения: $a \in [- 1; 1]$ .
Область значений: $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .
$arcsin$ — нечётная функция: $arcsin (- a) = - arcsin a$ .

Главное про арксинус: его значения симметричны относительно нуля, поэтому он бывает и положительным, и отрицательным. Отрезок $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ выбран потому, что именно там синус возрастает от $- 1$ до $1$ .

Арккосинус

Определение. $arccos a$ — это число $x \in [0; π]$ такое, что $cos x = a$ .

Область определения: $a \in [- 1; 1]$ .
Область значений: $[0; π]$ .
$arccos$ — не чётная и не нечётная, но: $arccos (- a) = π - arccos a$ .

Главное отличие от арксинуса: значения арккосинуса всегда неотрицательны, лежат в $[0; π]$ . Поэтому для отрицательного аргумента работает не нечётность, а формула отражения $π - arccos a$ . Отрезок $[0; π]$ выбран там, где косинус монотонно убывает.

Арктангенс

Определение. $arct g a$ — это число $x \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ такое, что $t g x = a$ .

Область определения: $a \in R$ (все вещественные числа).
Область значений: $(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$ (открытый интервал).
$arct g$ — нечётная функция: $arct g (- a) = - arct g a$ .

Арктангенс по свойствам копирует арксинус: тоже нечётный, тоже возрастающий. Но его область определения шире — любое число, потому что тангенс пробегает всю ось. Интервал открытый: границы $\pm \frac{π}{2}$ не достигаются, ведь там тангенс не определён.

Арккотангенс

Определение. $arcct g a$ — это число $x \in (0; π)$ такое, что $ct g x = a$ .

Область определения: $a \in R$ .
Область значений: $(0; π)$ .
$arcct g (- a) = π - arcct g a$ (формула отражения, как у арккосинуса).

Арккотангенс копирует арккосинус: формула отражения для отрицательного аргумента, убывание. Определён для любого числа, интервал открытый. На отдельной странице про арктангенс и арккотангенс эта пара разобрана подробнее, с графиками и предельными значениями.

Итак, у нас сложилась стройная картина. Две функции «синусного типа» (арксинус, арктангенс) нечётные и возрастающие. Две функции «косинусного типа» (арккосинус, арккотангенс) подчиняются формуле отражения и убывают. Различаются они областью определения: первая пара ограничена отрезком $[- 1; 1]$ , вторая определена везде. Эта система из четырёх функций кажется громоздкой, но если держать в голове аналогию с двумя парами, она укладывается легко.

Таблица главных значений

$a$	$arcsin a$	$arccos a$	$arct g a$
$- 1$	$- \frac{π}{2}$	$π$	—
$- \frac{3}{2}$	$- \frac{π}{3}$	$\frac{5 π}{6}$	—
$- \frac{2}{2}$	$- \frac{π}{4}$	$\frac{3 π}{4}$	—
$- \frac{1}{2}$	$- \frac{π}{6}$	$\frac{2 π}{3}$	—
$0$	$0$	$\frac{π}{2}$	$0$
$\frac{1}{2}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	—
$\frac{2}{2}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{4}$	—
$\frac{3}{2}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	—
$1$	$\frac{π}{2}$	$0$	—

Значения $arct g$ для стандартных углов (аргумент тут другой — не дробь от 1, а целое или $3$ ):

$a$	$arct g a$
$- 3$	$- \frac{π}{3}$
$- 1$	$- \frac{π}{4}$
$- \frac{1}{3}$	$- \frac{π}{6}$
$0$	$0$
$\frac{1}{3}$	$\frac{π}{6}$
$1$	$\frac{π}{4}$
$3$	$\frac{π}{3}$

Обрати внимание на симметрию первой таблицы: у арксинуса и арккосинуса в каждой строке сумма равна $\frac{π}{2}$ . Например, $arcsin \frac{1}{2} = \frac{π}{6}$ и $arccos \frac{1}{2} = \frac{π}{3}$ , а $\frac{π}{6} + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ . Это прямое следствие связи $arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}$ , и таблицу можно использовать в обе стороны.

Сравнение четырёх функций

Все четыре обратные функции удобно держать в одной голове через простую систему. Они делятся на две пары. Первая пара — арксинус и арккосинус: область определения ограничена отрезком $[- 1; 1]$ , потому что синус и косинус не выходят за эти пределы. Вторая пара — арктангенс и арккотангенс: область определения все числа, ведь тангенс и котангенс пробегают всю ось.

Внутри каждой пары одна функция «синусного типа» (нечётная, возрастающая), другая «косинусного типа» (с отражением, убывающая). Арксинус и арктангенс — нечётные и возрастающие. Арккосинус и арккотангенс — с формулой отражения и убывающие. Эта аналогия снимает половину путаницы: запомнил поведение синусной пары, перенёс на арктангенс, и наоборот.

Функция	Область определения	Область значений	Поведение
$arcsin$	$[- 1; 1]$	$[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$	нечётная, возрастает
$arccos$	$[- 1; 1]$	$[0; π]$	отражение, убывает
$arct g$	$R$	$(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})$	нечётная, возрастает
$arcct g$	$R$	$(0; π)$	отражение, убывает

Есть и разница в типе скобок области значений. У арксинуса и арккосинуса отрезки замкнутые: крайние значения вроде $\pm \frac{π}{2}$ , $0$ , $π$ достигаются. У арктангенса и арккотангенса интервалы открытые: границы только в пределе, потому что тангенс и котангенс на этих границах не определены. На графиках это видно как горизонтальные асимптоты: арктангенс прижимается к $\pm \frac{π}{2}$ , арккотангенс к $0$ и $π$ , но никогда их не касается. Эта деталь важна при решении неравенств с обратными функциями.

Важные тождества

У обратных функций есть набор тождеств, которые постоянно используются при решении задач. Их удобно разбить на три группы: связи между парами функций, прямые и обратные тождества «сложной функции», формулы для отрицательного аргумента. Разберём по группам.

Связь arcsin и arccos

$arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}, a \in [- 1, 1]$

Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа всегда равна $\frac{π}{2}$ . Это удобно: знаешь один — мгновенно находишь другой простым вычитанием. Если на экзамене попался неудобный арккосинус, а арксинус того же числа табличный, считай через него.

Тождества «сложная функция»

Когда обратная функция стоит внутри прямой (или наоборот), их можно «сократить» — но с важной оговоркой про порядок. Прямая функция от обратной всегда даёт исходное число:

$sin (arcsin a) = a, a \in [- 1, 1]$

$cos (arccos a) = a, a \in [- 1, 1]$

$t g (arct g a) = a, a \in R$

Эти три тождества работают всегда: прямая функция «отменяет» обратную при любом допустимом аргументе. А вот обратные тождества требуют осторожности с областью.

$arcsin (sin x) = x только при x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

$arccos (cos x) = x только при x \in [0; π]$

Несимметрия двух наборов тождеств — главная ловушка темы. Прямое тождество вроде $sin (arcsin a) = a$ верно без оговорок, а обратное $arcsin (sin x) = x$ — только на отрезке значений. Причина в том, что обратная функция возвращает угол только из своего «главного» отрезка, и если исходный угол был вне него, результат изменится.

Нечётность arcsin и arctg

$arcsin (- a) = - arcsin a$

$arct g (- a) = - arct g a$

Эти две функции нечётные: знак аргумента просто выносится наружу.

Формулы отражения для arccos и arcctg

$arccos (- a) = π - arccos a$

$arcct g (- a) = π - arcct g a$

А эти две функции не нечётные: для отрицательного аргумента значение отражается от $\frac{π}{2}$ , оставаясь в верхней половине своего отрезка. Не путай эти два механизма — именно на этом чаще всего теряют балл.

Связь arctg и arcctg

$arct g a + arcct g a = \frac{π}{2}, a \in R$

Полный аналог связи арксинуса и арккосинуса, только для тангенсной пары. Эти две формулы связи стоит запомнить как двойняшек: одна для синус-косинусной пары, другая для тангенс-котангенсной. Обе работают одинаково и обе экономят время на экзамене.

Применение в уравнениях

Главное, ради чего вообще нужны обратные функции, — записать решение тригонометрического уравнения в общем виде. Без них нельзя выразить угол по значению функции, а значит, нельзя записать ответ. Каждая из четырёх обратных функций отвечает за свой тип уравнения: арксинус за $sin x = a$ , арккосинус за $cos x = a$ , арктангенс за $t g x = a$ , арккотангенс за $ct g x = a$ . Вот общие формулы:

$sin x = a ⟹ x = (- 1)^{n} arcsin a + π n, n \in Z$

$cos x = a ⟹ x = \pm arccos a + 2 π n, n \in Z$

$t g x = a ⟹ x = arct g a + π n, n \in Z$

Обрати внимание на структуру трёх формул. У синуса серия с множителем $(- 1)^{n}$ , у косинуса со знаком $\pm$ , у тангенса просто с периодом $π$ . Это отражает разное поведение функций: косинус чётный (отсюда $\pm$ ), а тангенс повторяется через $π$ (отсюда одна серия). Понимать эти различия важнее, чем зубрить: тогда формулы не перепутаются.

Когда $a$ — табличное значение ( $0$ , $\pm \frac{1}{2}$ , $\pm \frac{2}{2}$ , $\pm \frac{3}{2}$ , $\pm 1$ ), ответ записывают без обратных функций, подставляя конкретный угол из таблицы. Когда $a$ нетабличное, обратная функция так и остаётся в ответе — это законная форма записи, за неё на ЕГЭ не снимают баллов.

Разберём ещё один пример с нетабличным значением, чтобы увидеть, как обратная функция остаётся в ответе.

Пример. Реши уравнение $t g x = 5$ .

Значение $5$ нетабличное, поэтому $arct g 5$ так и оставляем. Общее решение:

$x = arct g 5 + π n, n \in Z$

Это полноценный ответ, его не надо «досчитывать». На ЕГЭ такая запись принимается. А вот если бы справа стояло табличное $3$ , мы бы подставили конкретный угол: $arct g 3 = \frac{π}{3}$ , и ответ стал бы $x = \frac{π}{3} + π n$ . Умение различать табличные и нетабличные случаи — практический навык, который экономит время на экзамене. Запомни простое правило: сначала проверь, есть ли значение в таблице. Если есть — подставляй угол. Если нет — оставляй обратную функцию в ответе и не пытайся вычислить её «в десятичных дробях», на экзамене калькулятора нет, да он и не нужен.

Типичные ошибки

Путать область значений arcsin и arccos. Арксинус даёт значения в $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ , арккосинус — в $[0; π]$ . Ошибка: $arcsin (- \frac{1}{2}) = \frac{5 π}{6}$ неверно, ведь $\frac{5 π}{6}$ вне отрезка арксинуса. Правильно: $arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}$ .
Применять $arcsin (sin x) = x$ без проверки области. Тождество работает только при $x \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ . Для других углов сначала приводят.
Путать формулу отражения с нечётностью. У арксинуса и арктангенса $f (- a) = - f (a)$ , а у арккосинуса и арккотангенса $f (- a) = π - f (a)$ . Перепутаешь — получишь неверный знак.
Путать $arcsin x$ с $\frac{1}{sin x}$ . Это совершенно разные вещи: первое — обратная функция (угол), второе — просто дробь.
Думать, что у arctg есть ограничение на аргумент. Арктангенс и арккотангенс определены для любого числа, в отличие от арксинуса и арккосинуса с их $[- 1; 1]$ .

Что запомнить

Четыре обратные функции делятся на две пары. Арксинус и арккосинус определены на $[- 1; 1]$ , арктангенс и арккотангенс — на всех числах. Внутри пары одна функция нечётная и возрастающая (синусного типа), другая с отражением и убывающая (косинусного типа). Прямые тождества работают всегда, обратные — только на главном отрезке. Для отрицательного аргумента: нечётные выносят минус, остальные используют формулу $π - f (a)$ . Две связи: $arcsin a + arccos a = \frac{π}{2}$ и $arct g a + arcct g a = \frac{π}{2}$ . И главное — обратные функции дают общую формулу решения тригонометрических уравнений, а нетабличное значение остаётся в ответе как есть.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 13 — тригонометрические уравнения с отбором корней, где обратные функции дают общую формулу решения.

Эта тема — фундамент для всего блока тригонометрических уравнений. Каждый раз, когда ты записываешь ответ к уравнению с синусом, косинусом, тангенсом или котангенсом, ты используешь соответствующую обратную функцию. Поэтому уверенное знание их областей значений и свойств отрицательного аргумента напрямую конвертируется в баллы. Потрать время на эту страницу один раз, и дальше уравнения задания 13 будут решаться без заминок на «а как тут записать угол».

Потренируйся решать уравнения

В системе Сот — задачи по тригонометрии с подстройкой под твой уровень

Попробовать бесплатно

Арксинус, арккосинус, арктангенс — определения и таблица