Арксинус, арккосинус, арктангенс — определения, таблица, свойства

Арксинус, арккосинус и арктангенс — это обратные тригонометрические функции. Они появляются в задании 13 ЕГЭ в ответах к тригонометрическим уравнениям. Разберём определения, область значений и главные значения — именно то, что нужно знать для уверенной записи ответов.

Зачем нужны обратные функции

Когда мы решаем уравнение $\sin x = a$, нам нужно найти угол по значению синуса. Функция $\sin$ не является взаимно однозначной (у одного значения $a$ — бесконечно много углов). Чтобы ввести обратную функцию, ограничивают область определения: выбирают главную ветвь.

Арксинус

Определение. $\arcsin a$ — это число $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$ такое, что $\sin x = a$.

• Область определения: $a \in [-1, 1]$.
• Область значений: $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$.
• $\arcsin$ — нечётная функция: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.

Арккосинус

Определение. $\arccos a$ — это число $x \in [0, \pi]$ такое, что $\cos x = a$.

• Область определения: $a \in [-1, 1]$.
• Область значений: $[0, \pi]$.
• $\arccos$ — не чётная и не нечётная, но: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.

Арктангенс

Определение. $\arctan a$ — это число $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ такое, что $\tan x = a$.

• Область определения: $a \in \mathbb{R}$ (все вещественные числа).
• Область значений: $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$ (открытый интервал).
• $\arctan$ — нечётная функция: $\arctan(-a) = -\arctan a$.

Арккотангенс

Определение. $\text{arccot}\, a$ — это число $x \in (0, \pi)$ такое, что $\cot x = a$.

• Область определения: $a \in \mathbb{R}$.
• Область значений: $(0, \pi)$.

Таблица главных значений

Значения $\arctan$ для стандартных углов:

Важные тождества

Связь arcsin и arccos

$\arcsin a + \arccos a = \frac{\pi}{2}, \quad a \in [-1, 1]$

Это удобно: знаешь один — мгновенно находишь другой.

Тождества «сложная функция»

$\sin(\arcsin a) = a, \quad a \in [-1, 1]$

$\cos(\arccos a) = a, \quad a \in [-1, 1]$

$\tan(\arctan a) = a, \quad a \in \mathbb{R}$

Обратные тождества (осторожно с областью!):

$\arcsin(\sin x) = x \quad \text{только при } x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$

$\arccos(\cos x) = x \quad \text{только при } x \in [0, \pi]$

Нечётность arcsin и arctan

$\arcsin(-a) = -\arcsin a$

$\arctan(-a) = -\arctan a$

Формула для arccos

$\arccos(-a) = \pi - \arccos a$

Применение в уравнениях

Тригонометрические уравнения с «некрасивым» правой частью:

$\sin x = a \implies x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = a \implies x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\tan x = a \implies x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Когда $a$ — табличное значение ($0$, $\pm\dfrac{1}{2}$, $\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\pm 1$), ответ записывают без $\arcsin$/$\arccos$/$\arctan$ — подставляют конкретный угол из таблицы.

Типичные ошибки

Путать область значений arcsin и arccos. $\arcsin$ — значения в $[-\pi/2, \pi/2]$. $\arccos$ — значения в $[0, \pi]$. Ошибка: $\arcsin(-1/2) = 5\pi/6$ — это неверно ($5\pi/6 \notin [-\pi/2, \pi/2]$). Правильно: $\arcsin(-1/2) = -\pi/6$.

Применять тождество $\arcsin(\sin x) = x$ без проверки области. Работает только при $x \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Путать $\arcsin x$ и $(\sin x)^{-1} = \dfrac{1}{\sin x}$. Это разные вещи.