Арксинус, арккосинус, арктангенс — определения и таблица

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — это обратные тригонометрические функции. Их объединяет одна задача: найти угол по значению тригонометрической функции. Каждая из них появляется в задании 13 ЕГЭ, когда нужно записать ответ к уравнению. Эта страница даёт сводный обзор всех четырёх: определения, области значений, главные значения и ключевые тождества. Если нужна глубина по конкретной функции, переходи на отдельные страницы, ссылки на которые есть ниже. А здесь — карта, которая помогает не запутаться в четвёрке похожих функций.

Зачем нужны обратные функции

Когда ты решаешь уравнение $\sin x = a$, тебе нужно найти угол по значению синуса. Это и есть задача обратной функции: синус по углу даёт число, а арксинус по числу возвращает угол. Но тут возникает загвоздка. Синус не взаимно однозначен: у одного значения $a$ бесконечно много углов с таким синусом. Если бы арксинус выдавал любой из них, он не был бы функцией, ведь функция обязана давать на каждый вход ровно один выход.

Чтобы обойти это, ограничивают область определения и выбирают «главную ветвь» — один отрезок, на котором исходная функция монотонна и проходит каждое значение по разу. Для каждой из четырёх функций такой отрезок свой, и именно различия отрезков порождают все формулы и ошибки темы. Эта страница собирает все четыре обратные функции вместе, чтобы их было удобно сравнивать. Для углублённого разбора каждой есть отдельные страницы про арксинус, арккосинус и арктангенс с арккотангенсом.

Арксинус

Определение. $\arcsin a$ — это число $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ такое, что $\sin x = a$.

• Область определения: $a \in [-1;\ 1]$.
• Область значений: $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$.
• $\arcsin$ — нечётная функция: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.

Главное про арксинус: его значения симметричны относительно нуля, поэтому он бывает и положительным, и отрицательным. Отрезок $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ выбран потому, что именно там синус возрастает от $-1$ до $1$.

Арккосинус

Определение. $\arccos a$ — это число $x \in [0;\ \pi]$ такое, что $\cos x = a$.

• Область определения: $a \in [-1;\ 1]$.
• Область значений: $[0;\ \pi]$.
• $\arccos$ — не чётная и не нечётная, но: $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.

Главное отличие от арксинуса: значения арккосинуса всегда неотрицательны, лежат в $[0;\ \pi]$. Поэтому для отрицательного аргумента работает не нечётность, а формула отражения $\pi - \arccos a$. Отрезок $[0;\ \pi]$ выбран там, где косинус монотонно убывает.

Арктангенс

Определение. $\arctg a$ — это число $x \in \left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ такое, что $\tg x = a$.

• Область определения: $a \in \mathbb{R}$ (все вещественные числа).
• Область значений: $\left(-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right)$ (открытый интервал).
• $\arctg$ — нечётная функция: $\arctg(-a) = -\arctg a$.

Арктангенс по свойствам копирует арксинус: тоже нечётный, тоже возрастающий. Но его область определения шире — любое число, потому что тангенс пробегает всю ось. Интервал открытый: границы $\pm\dfrac{\pi}{2}$ не достигаются, ведь там тангенс не определён.

Арккотангенс

Определение. $\arcctg a$ — это число $x \in (0;\ \pi)$ такое, что $\ctg x = a$.

• Область определения: $a \in \mathbb{R}$.
• Область значений: $(0;\ \pi)$.
• $\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$ (формула отражения, как у арккосинуса).

Арккотангенс копирует арккосинус: формула отражения для отрицательного аргумента, убывание. Определён для любого числа, интервал открытый. На отдельной странице про арктангенс и арккотангенс эта пара разобрана подробнее, с графиками и предельными значениями.

Итак, у нас сложилась стройная картина. Две функции «синусного типа» (арксинус, арктангенс) нечётные и возрастающие. Две функции «косинусного типа» (арккосинус, арккотангенс) подчиняются формуле отражения и убывают. Различаются они областью определения: первая пара ограничена отрезком $[-1;\ 1]$, вторая определена везде. Эта система из четырёх функций кажется громоздкой, но если держать в голове аналогию с двумя парами, она укладывается легко.

Таблица главных значений

Значения $\arctg$ для стандартных углов (аргумент тут другой — не дробь от 1, а целое или $\sqrt{3}$):

Обрати внимание на симметрию первой таблицы: у арксинуса и арккосинуса в каждой строке сумма равна $\dfrac{\pi}{2}$. Например, $\arcsin\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{6}$ и $\arccos\dfrac{1}{2} = \dfrac{\pi}{3}$, а $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2}$. Это прямое следствие связи $\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}$, и таблицу можно использовать в обе стороны.

Сравнение четырёх функций

Все четыре обратные функции удобно держать в одной голове через простую систему. Они делятся на две пары. Первая пара — арксинус и арккосинус: область определения ограничена отрезком $[-1;\ 1]$, потому что синус и косинус не выходят за эти пределы. Вторая пара — арктангенс и арккотангенс: область определения все числа, ведь тангенс и котангенс пробегают всю ось.

Внутри каждой пары одна функция «синусного типа» (нечётная, возрастающая), другая «косинусного типа» (с отражением, убывающая). Арксинус и арктангенс — нечётные и возрастающие. Арккосинус и арккотангенс — с формулой отражения и убывающие. Эта аналогия снимает половину путаницы: запомнил поведение синусной пары, перенёс на арктангенс, и наоборот.

Есть и разница в типе скобок области значений. У арксинуса и арккосинуса отрезки замкнутые: крайние значения вроде $\pm\dfrac{\pi}{2}$, $0$, $\pi$ достигаются. У арктангенса и арккотангенса интервалы открытые: границы только в пределе, потому что тангенс и котангенс на этих границах не определены. На графиках это видно как горизонтальные асимптоты: арктангенс прижимается к $\pm\dfrac{\pi}{2}$, арккотангенс к $0$ и $\pi$, но никогда их не касается. Эта деталь важна при решении неравенств с обратными функциями.

Важные тождества

У обратных функций есть набор тождеств, которые постоянно используются при решении задач. Их удобно разбить на три группы: связи между парами функций, прямые и обратные тождества «сложной функции», формулы для отрицательного аргумента. Разберём по группам.

Связь arcsin и arccos

$\arcsin a + \arccos a = \frac{\pi}{2}, \quad a \in [-1, 1]$

Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа всегда равна $\dfrac{\pi}{2}$. Это удобно: знаешь один — мгновенно находишь другой простым вычитанием. Если на экзамене попался неудобный арккосинус, а арксинус того же числа табличный, считай через него.

Тождества «сложная функция»

Когда обратная функция стоит внутри прямой (или наоборот), их можно «сократить» — но с важной оговоркой про порядок. Прямая функция от обратной всегда даёт исходное число:

$\sin(\arcsin a) = a, \quad a \in [-1, 1]$

$\cos(\arccos a) = a, \quad a \in [-1, 1]$

$\tg(\arctg a) = a, \quad a \in \mathbb{R}$

Эти три тождества работают всегда: прямая функция «отменяет» обратную при любом допустимом аргументе. А вот обратные тождества требуют осторожности с областью.

$\arcsin(\sin x) = x \quad \text{только при } x \in \left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]$

$\arccos(\cos x) = x \quad \text{только при } x \in [0;\ \pi]$

Несимметрия двух наборов тождеств — главная ловушка темы. Прямое тождество вроде $\sin(\arcsin a) = a$ верно без оговорок, а обратное $\arcsin(\sin x) = x$ — только на отрезке значений. Причина в том, что обратная функция возвращает угол только из своего «главного» отрезка, и если исходный угол был вне него, результат изменится.

Нечётность arcsin и arctg

$\arcsin(-a) = -\arcsin a$

$\arctg(-a) = -\arctg a$

Эти две функции нечётные: знак аргумента просто выносится наружу.

Формулы отражения для arccos и arcctg

$\arccos(-a) = \pi - \arccos a$

$\arcctg(-a) = \pi - \arcctg a$

А эти две функции не нечётные: для отрицательного аргумента значение отражается от $\dfrac{\pi}{2}$, оставаясь в верхней половине своего отрезка. Не путай эти два механизма — именно на этом чаще всего теряют балл.

Связь arctg и arcctg

$\arctg a + \arcctg a = \frac{\pi}{2}, \quad a \in \mathbb{R}$

Полный аналог связи арксинуса и арккосинуса, только для тангенсной пары. Эти две формулы связи стоит запомнить как двойняшек: одна для синус-косинусной пары, другая для тангенс-котангенсной. Обе работают одинаково и обе экономят время на экзамене.

Применение в уравнениях

Главное, ради чего вообще нужны обратные функции, — записать решение тригонометрического уравнения в общем виде. Без них нельзя выразить угол по значению функции, а значит, нельзя записать ответ. Каждая из четырёх обратных функций отвечает за свой тип уравнения: арксинус за $\sin x = a$, арккосинус за $\cos x = a$, арктангенс за $\tg x = a$, арккотангенс за $\ctg x = a$. Вот общие формулы:

$\sin x = a \implies x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = a \implies x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\tg x = a \implies x = \arctg a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Обрати внимание на структуру трёх формул. У синуса серия с множителем $(-1)^n$, у косинуса со знаком $\pm$, у тангенса просто с периодом $\pi$. Это отражает разное поведение функций: косинус чётный (отсюда $\pm$), а тангенс повторяется через $\pi$ (отсюда одна серия). Понимать эти различия важнее, чем зубрить: тогда формулы не перепутаются.

Когда $a$ — табличное значение ($0$, $\pm\dfrac{1}{2}$, $\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\pm 1$), ответ записывают без обратных функций, подставляя конкретный угол из таблицы. Когда $a$ нетабличное, обратная функция так и остаётся в ответе — это законная форма записи, за неё на ЕГЭ не снимают баллов.

Разберём ещё один пример с нетабличным значением, чтобы увидеть, как обратная функция остаётся в ответе.

Пример. Реши уравнение $\tg x = 5$.

Значение $5$ нетабличное, поэтому $\arctg 5$ так и оставляем. Общее решение:

$x = \arctg 5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Это полноценный ответ, его не надо «досчитывать». На ЕГЭ такая запись принимается. А вот если бы справа стояло табличное $\sqrt{3}$, мы бы подставили конкретный угол: $\arctg\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$, и ответ стал бы $x = \dfrac{\pi}{3} + \pi n$. Умение различать табличные и нетабличные случаи — практический навык, который экономит время на экзамене. Запомни простое правило: сначала проверь, есть ли значение в таблице. Если есть — подставляй угол. Если нет — оставляй обратную функцию в ответе и не пытайся вычислить её «в десятичных дробях», на экзамене калькулятора нет, да он и не нужен.

Типичные ошибки

1. Путать область значений arcsin и arccos. Арксинус даёт значения в $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, арккосинус — в $[0;\ \pi]$. Ошибка: $\arcsin\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{5\pi}{6}$ неверно, ведь $\dfrac{5\pi}{6}$ вне отрезка арксинуса. Правильно: $\arcsin\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{\pi}{6}$.
2. Применять $\arcsin(\sin x) = x$ без проверки области. Тождество работает только при $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Для других углов сначала приводят.
3. Путать формулу отражения с нечётностью. У арксинуса и арктангенса $f(-a) = -f(a)$, а у арккосинуса и арккотангенса $f(-a) = \pi - f(a)$. Перепутаешь — получишь неверный знак.
4. Путать $\arcsin x$ с $\dfrac{1}{\sin x}$. Это совершенно разные вещи: первое — обратная функция (угол), второе — просто дробь.
5. Думать, что у arctg есть ограничение на аргумент. Арктангенс и арккотангенс определены для любого числа, в отличие от арксинуса и арккосинуса с их $[-1;\ 1]$.

Что запомнить

Четыре обратные функции делятся на две пары. Арксинус и арккосинус определены на $[-1;\ 1]$, арктангенс и арккотангенс — на всех числах. Внутри пары одна функция нечётная и возрастающая (синусного типа), другая с отражением и убывающая (косинусного типа). Прямые тождества работают всегда, обратные — только на главном отрезке. Для отрицательного аргумента: нечётные выносят минус, остальные используют формулу $\pi - f(a)$. Две связи: $\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}$ и $\arctg a + \arcctg a = \dfrac{\pi}{2}$. И главное — обратные функции дают общую формулу решения тригонометрических уравнений, а нетабличное значение остаётся в ответе как есть.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с отбором корней, где обратные функции дают общую формулу решения.

Эта тема — фундамент для всего блока тригонометрических уравнений. Каждый раз, когда ты записываешь ответ к уравнению с синусом, косинусом, тангенсом или котангенсом, ты используешь соответствующую обратную функцию. Поэтому уверенное знание их областей значений и свойств отрицательного аргумента напрямую конвертируется в баллы. Потрать время на эту страницу один раз, и дальше уравнения задания 13 будут решаться без заминок на «а как тут записать угол».