Формулы двойного угла: sin 2α, cos 2α, tg 2α

Формулы двойного угла — частный случай формул сложения и один из самых используемых инструментов в задании 13. Без них не решить большинство тригонометрических уравнений с двойными аргументами. Хорошая новость в том, что выводятся они из формул сложения за одну строчку, поэтому зубрить их не обязательно — достаточно понять механизм.

Три формулы двойного угла

Синус двойного угла

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Вывод. Формула сложения $\sin(\alpha + \beta)$ при $\beta = \alpha$:

$\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Логика вывода прозрачна. Двойной угол это сумма угла с самим собой, поэтому мы берём формулу синуса суммы и подставляем в неё один и тот же угол вместо обоих слагаемых. Два одинаковых слагаемых складываются в удвоенное произведение. Эту формулу применяют в обе стороны: слева направо она раскрывает двойной угол в произведение, справа налево она сворачивает произведение синуса на косинус обратно в синус двойного угла. Второе направление часто выручает, когда в выражении встречается произведение синуса и косинуса одного угла.

Косинус двойного угла — три формы

У косинуса двойного угла есть особенность: его записывают в трёх равноправных формах. Все три верны и дают одинаковое значение, но в разных задачах удобна разная форма. Понимать, откуда берётся каждая, важнее, чем зубрить их по отдельности.

Базовая форма (из формулы сложения):

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Через синус (применяем $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$):

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Через косинус (применяем $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$):

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

Две дополнительные формы получаются из базовой подстановкой основного тождества. Если в базовой форме заменить квадрат косинуса через единицу минус квадрат синуса, получится форма с одним синусом. Если заменить квадрат синуса, получится форма с одним косинусом. Поэтому три формы косинуса двойного угла — это не три разные формулы, которые надо помнить, а одна базовая формула плюс умение подставлять основное тождество.

Эта свобода выбора формы — главное преимущество косинуса двойного угла в уравнениях. Синус двойного угла раскрывается единственным способом, через удвоенное произведение, а косинус даёт три варианта. Поэтому уравнения с косинусом двойного угла гибче: ты сам решаешь, к какой функции свести уравнение, и выбираешь самый удобный путь.

Тангенс двойного угла

$\tg 2\alpha = \frac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}, \quad \alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Вывод. Из $\tg(\alpha + \alpha) = \dfrac{\tg\alpha + \tg\alpha}{1 - \tg\alpha\tg\alpha} = \dfrac{2\tg\alpha}{1 - \tg^2\alpha}$.

Формула тангенса двойного угла встречается реже, чем синус и косинус двойного угла, но знать её полезно. Обрати внимание на ограничение справа: оно появляется из-за того, что знаменатель не должен обращаться в ноль, и из-за того, что тангенс не определён в некоторых точках. При решении уравнений с этой формулой не забывай про ОДЗ, иначе в ответ могут попасть лишние корни или, наоборот, потеряться нужные. Это типичная тонкость, на которую обращают внимание при отборе корней в задании 13.

Заметь общий принцип всех трёх формул двойного угла: каждая из них — это формула сложения, в которую вместо второго угла подставили тот же первый. Синус суммы превращается в синус двойного угла, косинус суммы — в косинус двойного, тангенс суммы — в тангенс двойного. Это значит, что если ты помнишь формулы сложения, формулы двойного угла выводятся автоматически за одну подстановку. Запоминать их отдельно не нужно, достаточно держать в голове механизм вывода.

Применение в уравнениях

Главная польза формул двойного угла — превращать уравнение со смешанными аргументами (где есть и $x$, и $2x$) в уравнение с одним аргументом. Есть три типичных сценария.

Тип 1: уравнение с sin 2x и sin x (или cos x)

Раскрываешь $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ и выносишь общий множитель, получая произведение:

$2\sin x\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \text{ или } \cos x = 0$

Этот приём с разложением на множители — самый частый. Как только увидел $\sin 2x$ рядом с обычным синусом или косинусом, первым делом раскрывай двойной угол и ищи общий множитель. После раскрытия в уравнении почти всегда появляется синус или косинус, который выносится за скобку, и уравнение распадается на два простых. Главное на этом шаге — выносить множитель, а не делить на него, иначе потеряешь часть корней.

Тип 2: уравнение с cos 2x и sin x

Используешь форму $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы перейти к уравнению только с $\sin x$. Выбор именно этой формы не случаен: она «убирает» косинус и оставляет один синус, превращая уравнение в квадратное относительно синуса.

Тип 3: уравнение с cos 2x и cos x

Используешь форму $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. По той же логике эта форма оставляет в уравнении только косинус, и снова получается квадратное уравнение, но уже относительно косинуса.

Правило выбора формы простое: смотри, какая функция уже есть в уравнении в первой степени, и бери ту форму $\cos 2x$, которая оставляет именно её. Так уравнение всегда сведётся к одной функции. Этот навык выбора формы приходит с практикой, но само правило короткое и его легко держать в голове. Если в уравнении первой степени стоит синус, выбираешь форму через синус, и наоборот. Когда уравнение сведено к одной функции, дальше всё стандартно: замена на новую переменную и решение квадратного уравнения через дискриминант или теорему Виета. Именно эта связка «раскрыл двойной угол, свёл к одной функции, решил квадратное» составляет костяк большинства задач задания 13 с двойными углами.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $\sin 2x = 0$.

Решение.

$2\sin x\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$ или $\cos x = 0$.

$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

$\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем: $x = \dfrac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\cos 2x + \sin x = 0$.

Решение. В уравнении есть $\cos 2x$ и $\sin x$. Попробуй сам выбрать форму косинуса двойного угла, которая оставит только синус. Подсказка: нужна форма, где косинус исчезает.

Раскрытие. Используем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Замена $t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0$.

$D = 1 + 8 = 9$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -\dfrac{1}{2}$.

$\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$.

$\sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\sin 2x = \sin x$ на $[0; \pi]$.

Решение.

Шаг 1. Раскрой двойной угол и перенеси всё влево. Спроси себя: что общего у слагаемых после раскрытия? Получаем $2\sin x\cos x - \sin x = 0$, общий множитель $\sin x$:

$\sin x(2\cos x - 1) = 0$

Шаг 2. Разбей на два простых уравнения. Спроси себя: когда произведение равно нулю? Когда хотя бы один множитель ноль.

$\sin x = 0$ на $[0;\pi]$ даёт $x = 0$ или $x = \pi$.

$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3}$ (на $[0;\pi]$).

Типичная ошибка. Делят уравнение на $\sin x$ вместо вынесения за скобку и теряют корни $x = 0$ и $x = \pi$.

Ответ: $x = 0$, $x = \dfrac{\pi}{3}$, $x = \pi$. Все три корня лежат на отрезке.

Пример 4 (уровень В). Реши уравнение $\cos 2x = 3\cos^2 x$.

Решение.

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Уравнение:

$2\cos^2 x - 1 = 3\cos^2 x \Rightarrow -\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = -1$

Невозможно, ведь квадрат любого числа неотрицателен. Значит уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Обратные формулы (понижение степени)

Из формул двойного угла можно выразить квадраты функций. Берём форму $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$, выражаем из неё квадрат синуса, и аналогично для косинуса:

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

Эти формулы называют формулами понижения степени, потому что они заменяют квадрат функции на функцию первой степени, но от двойного угла. Зачем это нужно? Квадрат тригонометрической функции часто неудобен в вычислениях и преобразованиях, а функция первой степени проще. Понижение степени убирает квадрат, перенося сложность в аргумент. В школьной программе эти формулы напрямую в задании 13 нужны редко, но они объясняют важный факт: квадрат синуса или косинуса имеет период вдвое меньше, чем сама функция. Именно поэтому период $\sin^2 x$ равен $\pi$, а не $2\pi$, и понимание этого спасает на задачах про период.

Частые ошибки

1. Перепутать формы cos 2α. Есть три формы, и выбирать нужно ту, которая оставляет в уравнении одну функцию. Взял не ту форму — уравнение не упростится, а запутается.
2. Не раскрыть sin 2x. Если в уравнении есть двойной угол и его оставить нераскрытым, ничего не сократится. Раскрытие $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ — обязательный первый шаг.
3. Потерять корень при делении на sin x. Когда можно вынести общий множитель, выноси за скобку, а не дели. Деление на синус съедает серию корней, где синус равен нулю. Это самая обидная потеря балла, потому что математика в остальном верна.
4. Забыть форму $1 - 2\sin^2 x$. Именно она превращает смешанное уравнение в квадратное по синусу. Без неё уравнение с $\cos 2x$ и $\sin x$ не свести к одной функции.
5. Применять формулу тангенса двойного угла без ОДЗ. Формула $\tg 2\alpha$ имеет ограничение на угол, и про него легко забыть при отборе корней.

Что запомнить

Формулы двойного угла выводятся из формул сложения подстановкой одинаковых углов: синус двойного угла равен удвоенному произведению синуса на косинус, а у косинуса двойного угла три равноправные формы. Главное применение — превращать уравнение со смешанными аргументами в уравнение с одним аргументом. Для этого раскрываешь двойной угол и либо выносишь общий множитель, либо выбираешь форму косинуса, оставляющую одну функцию. Правило выбора формы: сохраняй функцию, которая уже есть в первой степени. И всегда выноси за скобку, а не дели, чтобы не потерять корни. Формулы понижения степени — это те же соотношения, прочитанные в обратную сторону.

Место формул двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла стоят в центре сети тригонометрических соотношений. С одной стороны, они выводятся из формул сложения — это их родитель. С другой стороны, из них самих рождаются формулы понижения степени и многие приёмы решения уравнений. Понимать эту иерархию полезно: она показывает, что тригонометрия — не куча разрозненных формул, а связная система, где всё выводится из нескольких базовых соотношений.

На практике это даёт надёжность. Если на экзамене ты забыл точную формулу двойного угла, восстанови её из формулы сложения за одну подстановку. Если забыл формулу понижения степени, выведи её из формулы двойного угла, выразив квадрат. Такая способность восстанавливать формулы по ходу дела ценнее механического запоминания, потому что под стрессом память подводит, а логика вывода остаётся. Именно поэтому стоит потратить время не на зубрёжку, а на понимание, как одна формула переходит в другую.

В задании 13 формулы двойного угла — один из самых частых инструментов. Уравнения с $\sin 2x$ или $\cos 2x$ встречаются постоянно, и почти все они решаются по одной схеме: раскрыть двойной угол, свести к одной функции, решить как квадратное или разложить на множители. Освоив эту схему на нескольких примерах, ты будешь решать такие уравнения почти автоматически.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — формулы сложения, из которых выводятся формулы двойного угла.
• Основное тригонометрическое тождество — используется для получения трёх форм $\cos 2\alpha$.
• Период тригонометрической функции — формулы понижения степени объясняют, почему период квадрата функции вдвое меньше.
• Тригонометрические уравнения — формулы двойного угла как ключевой инструмент решения уравнений задания 13.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения часть 2. Уравнения с $\sin 2x$, $\cos 2x$ — один из самых частых типов.