Формулы двойного угла: sin 2α, cos 2α, tg 2α

Формулы двойного угла — частный случай формул сложения и один из самых используемых инструментов в задании 13. Без них не решить большинство тригонометрических уравнений с двойными аргументами.

Три формулы двойного угла

Синус двойного угла

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Вывод. Формула сложения $\sin(\alpha + \beta)$ при $\beta = \alpha$:

$\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = \sin\alpha\cos\alpha + \cos\alpha\sin\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

Косинус двойного угла — три формы

Базовая форма (из формулы сложения):

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$

Через синус (применяем $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$):

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$

Через косинус (применяем $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$):

$\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

Тангенс двойного угла

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}, \quad \alpha \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$

Вывод. Из $\tan(\alpha + \alpha) = \dfrac{\tan\alpha + \tan\alpha}{1 - \tan\alpha\tan\alpha} = \dfrac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$.

Применение в уравнениях

Тип 1: уравнение с sin 2x и sin x (или cos x)

Раскрываешь $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ и получаешь произведение:

$2\sin x\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 0 \text{ или } \cos x = 0$

Тип 2: уравнение с cos 2x и sin x

Используешь форму $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, чтобы перейти к уравнению только с $\sin x$.

Тип 3: уравнение с cos 2x и cos x

Используешь форму $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $\sin 2x = 0$.

Решение.

$2\sin x\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = 0$ или $\cos x = 0$.

$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

$\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем: $x = \dfrac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $\cos 2x + \sin x = 0$.

Решение.

Используем $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0 \Rightarrow 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

Замена $t = \sin x$: $2t^2 - t - 1 = 0$.

$D = 1 + 8 = 9$. Корни: $t_1 = 1$, $t_2 = -\dfrac{1}{2}$.

$\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$.

$\sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $\sin 2x = \sin x$ на $[0; \pi]$.

Решение.

$2\sin x\cos x - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x(2\cos x - 1) = 0$.

$\sin x = 0$ на $[0;\pi]$: $x = 0$ или $x = \pi$.

$2\cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{3}$ (на $[0;\pi]$).

Ответ: $x = 0$, $x = \dfrac{\pi}{3}$, $x = \pi$.

Пример 4 (уровень В). Реши уравнение $\cos 2x = 3\cos^2 x$.

Решение.

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Уравнение:

$2\cos^2 x - 1 = 3\cos^2 x \Rightarrow -\cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = -1$

Невозможно (квадрат ≥ 0). Решений нет.

Ответ: нет решений.

Обратные формулы (понижение степени)

Из формул двойного угла можно выразить квадраты функций:

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

$\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

Эти формулы используются при интегрировании (в задании 13 ЕГЭ пока не нужны, но пригодятся в вузе).

Частые ошибки

1. Перепутать формы cos 2α. Есть три формы — выбирай ту, которая даёт уравнение с одной функцией.
2. В уравнении sin 2x = f(x) не раскрыть sin 2x. Если оставить $\sin 2x$ нераскрытым, уравнение не упростится.
3. Потерять корень $\sin x = 0$ при вынесении за скобку. При делении на $\sin x$ — теряешь корни. Выноси за скобку, не делись.
4. Забыть форму $1 − 2\sin^2 x$. Именно она превращает смешанное уравнение ($\cos 2x + \sin x$) в квадратное по $\sin x$.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — формулы сложения, из которых выводятся формулы двойного угла.
• Основное тригонометрическое тождество — используется для получения трёх форм $\cos 2\alpha$.
• Тригонометрические уравнения — формулы двойного угла — ключевой инструмент решения уравнений задания 13.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения часть 2. Уравнения с $\sin 2x$, $\cos 2x$ — один из самых частых типов.