Формулы тригонометрии — все основные и редкие для ЕГЭ

Формулы тригонометрии на ЕГЭ встречаются не сами по себе — они нужны, чтобы преобразовать выражение в задании 7 или раскрутить уравнение в задании 13. Знаешь десяток ключевых формул и умеешь их применять — это уже реальный прирост баллов. В этой теме разберём все, которые нужны на профиле: от основного тождества до универсальной подстановки.

Координаты точек для 12 ключевых углов — то, что имеет смысл выучить наизусть:

Как пользоваться этим справочником

Страница устроена так, что каждую группу формул можно искать отдельно. Если пришёл за конкретной группой — смотри оглавление справа. Если хочешь разобраться с нуля — читай по порядку сверху вниз.

Для каждой группы указано, в каком задании ЕГЭ она работает: задание 7 — вычисления в части 1 (1 балл), задание 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней в части 2 (2 балла). Это поможет расставить приоритеты: если сейчас прокачиваешь только часть 1, фокусируйся на основном тождестве, формулах приведения и двойного угла. Если прорабатываешь задание 13 — добавляй сумму-произведение.

Основное тригонометрическое тождество

Применяется: задание 7 (прямое вычисление или замена ${\sin }^2+{\cos }^2$), задание 13 (упрощение после подстановки).

Главная формула, из которой выводится половина остальных:

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

Здесь $\sin x$ — синус угла $x$, $\cos x$ — косинус того же угла. Тождество выполняется при любом $x$.

Из него напрямую следуют две рабочие формулы, которые часто нужны при преобразованиях:

${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$ ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$

Также основное тождество порождает связи через тангенс и котангенс. Делим обе части на ${\cos }^{2}x$ (при $\cos x\ne 0$):

${\mathrm{tg}}^{2}x+1=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

Делим на ${\sin }^{2}x$ (при $\sin x\ne 0$):

$1+{\mathrm{ctg}}^{2}x=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

Эти формулы позволяют переходить между функциями — заменить ${\cos }^{2}x$ через ${\sin }^{2}x$ или выразить ${\mathrm{tg}}^{2}x$ через ${\cos }^{2}x$.

Таблица значений и знаки в четвертях

Прежде чем работать с формулами, нужно держать в голове табличные значения и знаки функций.

Табличные значения

Знаки в четвертях

Мнемоника «Всегда Синус Тангенс Косинус» (ВСТК) — в каждой четверти положительна одна (или все) функция:

• I четверть ($0$ до $\frac{\pi }{2}$): все функции положительны.
• II четверть ($\frac{\pi }{2}$ до $\pi$): положителен только $\sin$.
• III четверть ($\pi$ до $\frac{3\pi }{2}$): положителен только $\mathrm{tg}$.
• IV четверть ($\frac{3\pi }{2}$ до $2\pi$): положителен только $\cos$.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Применяется: задание 7 (упрощение сложных выражений), задание 13 (промежуточный шаг при преобразовании уравнений). Также из этой группы выводятся формулы двойного угла и сумма-произведение.

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — любые углы. Для тангенса:

$\mathrm{tg}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$ $\mathrm{tg}(\alpha -\beta )=\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$

Формулу для $\mathrm{tg}$ применимо только при условии, что $\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta \ne 1$ (чтобы знаменатель не обнулился).

Формулы двойного угла

Применяется: задание 7 (упрощение $\sin 2x$ и $\cos 2x$), задание 13 (основной инструмент для раскладки уравнения на множители).

Подставляем $\beta =\alpha$ в формулы сложения:

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

Три варианта для $\cos 2\alpha$ — это не три разные формулы, а одна, переписанная через основное тождество. Выбирай ту запись, которая удобна в конкретном примере.

$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$

Формулы понижения степени

Из формул двойного угла для косинуса получаем формулы понижения степени:

${\sin }^2\alpha =\frac{1-\cos 2\alpha }{2}$ ${\cos }^2\alpha =\frac{1+\cos 2\alpha }{2}$

Применяются: задание 7 (убрать квадраты из тригонометрического выражения) и задание 13 (привести уравнение к виду с одной степенью). Если в выражении стоит ${\sin }^2$ или ${\cos }^2$ и нужно перейти к функции одной степени — это твой инструмент.

Формулы половинного угла

Применяется: задание 13 (часть 2) — при вычислении точных значений нестандартных углов и в задачах с отбором корней на конкретном промежутке.

Из формул понижения степени, заменяя $\alpha$ на $\alpha /2$:

$\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$ $\cos \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}$

Знак «$\pm$» определяется четвертью, в которой лежит угол $\alpha /2$. На ЕГЭ знак чаще всего понятен из условия задачи или из ОДЗ.

Формулы приведения

Применяется: задание 7 (убрать «лишний» угол из аргумента функции), задание 13 (промежуточные преобразования).

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрическую функцию от «неудобного» угла через функцию от острого угла. Общий принцип:

• Аргумент вида $\frac{\pi }{2}\pm \alpha$ или $\frac{3\pi }{2}\pm \alpha$: функция меняется ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\mathrm{tg}\leftrightarrow \mathrm{ctg}$).
• Аргумент вида $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$: функция не меняется.

Знак определяется по знаку исходной функции в данной четверти — рассматриваем $\alpha$ как острый угол.

Примеры:

$\sin \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \alpha$ $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$ $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$ $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ $\cos (2\pi -\alpha )=\cos \alpha$

Подробнее о механике определения знака и полная таблица всех случаев — в теме Формулы приведения.

Формулы суммы и разности в произведение

Применяется: задание 13 — главный инструмент для уравнений вида $\sin A+\sin B=0$ или $\cos A-\cos B=0$. Разложение на произведение позволяет приравнивать каждый множитель к нулю отдельно.

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$ $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — любые углы. Формулы симметричны: с их помощью можно и раскладывать сумму в произведение, и обратно — произведение записать как сумму.

Обратные формулы (произведение в сумму)

$\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$ $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$ $\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$

Формула суммы синуса и косинуса

Применяется: задание 13 (уравнения вида $a\sin x+b\cos x=c$) и отдельные задания 7 на нахождение экстремума.

Когда встречается $a\sin x+b\cos x$, удобно перейти к одной функции:

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cdot \sin (x+\phi )$

где $a$ и $b$ — коэффициенты, $\phi$ — вспомогательный угол, для которого $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Это удобно при нахождении максимального значения выражения.

Универсальная подстановка

Применяется: задание 13 (крайний случай — когда другие формулы не дают результата).

При решении уравнений вида $a\sin x+b\cos x+c=0$ иногда используют замену через $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$ (при условии $\cos \frac{x}{2}\ne 0$, то есть $x\ne \pi +2\pi n$):

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\mathrm{tg}x=\frac{2t}{1-t^2}$

Уравнение превращается в рациональное относительно $t$. Обязательно нужно проверить пропущенный случай $x=\pi +2\pi n$ отдельно.

Как решать: алгоритм преобразования выражений

Задание 7 ЕГЭ часто требует упростить выражение или вычислить его значение. Вот рабочий алгоритм.

1. Смотри на структуру выражения. Есть сумма вида $\sin A\pm \sin B$ — применяй формулу суммы/разности в произведение. Стоит квадрат — ищи формулу понижения степени.
2. Проверь, можно ли заменить аргумент. Аргумент вида $\frac{\pi }{2}-x$ или $\pi +x$ — применяй формулы приведения.
3. Ищи основное тождество. Если в выражении стоят ${\sin }^2$ и ${\cos }^2$ вместе — скорее всего сумма равна 1.
4. Раскладывай двойной угол через одинарный или наоборот. $\sin 2x=2\sin x\cos x$, $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.
5. Сводишь к одной функции и вычисляешь.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Вычисли значение выражения ${\sin }^{2}40°+{\cos }^{2}40°$.

Решение. Выражение — это левая часть основного тригонометрического тождества при $x=40°$. По тождеству ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ для любого $x$, значит:

${\sin }^{2}40°+{\cos }^{2}40°=1$

Типичная ошибка. Считать $\sin 40°$ и $\cos 40°$ по таблице или калькулятору, потом возводить в квадрат и складывать. Трата времени и риск ошибки. Тождество работает при любом угле — применяй сразу.

Пример 2 (уровень Б). Упрости выражение $\frac{\sin 2x}{2\cos x}$ при $\cos x\ne 0$.

Решение. Заменяем числитель по формуле двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x$:

$\frac{\sin 2x}{2\cos x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\cos x}$

Сокращаем $2\cos x$ (по условию $\cos x\ne 0$):

$=\sin x$

Типичная ошибка. Не применять формулу двойного угла и попытаться «раскрыть» $\sin 2x$ как $2\sin x$. $\sin 2x\ne 2\sin x$ — нельзя выносить константу из аргумента синуса.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $\sin x+\sin 3x=0$.

Решение. Применяем формулу суммы синусов:

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$

Здесь $\alpha =x$, $\beta =3x$:

$\sin x+\sin 3x=2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}=2\sin 2x\cdot \cos (-x)$

Так как $\cos (-x)=\cos x$:

$2\sin 2x\cos x=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль:

Случай 1: $\sin 2x=0$, значит $2x=\pi n$, то есть $x=\frac{\pi n}{2}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x=0$, значит $x=\frac{\pi }{2}+\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Заметим, что ответы из случая 2 уже входят в случай 1 при нечётных $n$. Объединяем: $x=\frac{\pi n}{2}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Типичная ошибка. Написать $x=\pi n$ вместо $x=\frac{\pi n}{2}$ при решении $\sin 2x=0$. Аргумент у синуса $2x$, поэтому делим $\pi n$ на 2.

Типичные ошибки

1. $\sin (x+y)\ne \sin x+\sin y$. Синус суммы — не сумма синусов. Чтобы раскрыть $\sin (x+y)$, нужна формула сложения: $\sin x\cos y+\cos x\sin y$.
2. Забывать про ОДЗ при формулах приведения. $\mathrm{tg}\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\mathrm{ctg}x$ — выражение не определено при $x=\pi n$. При преобразованиях в уравнении проверяй ОДЗ.
3. Путать знак в $\cos 2\alpha$. У косинуса двойного угла три записи — не путай $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ с $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$. Выбирай запись под задачу, но не смешивай.
4. Игнорировать случай при универсальной подстановке. Замена $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$ не покрывает $x=\pi +2\pi n$. Этот случай нужно проверить подстановкой в исходное уравнение отдельно.
5. Неправильно определять знак в формулах половинного угла. $\sin \frac{\alpha }{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos \alpha }{2}}$ — знак зависит от того, в какой четверти находится $\frac{\alpha }{2}$, а не $\alpha$.

Все темы раздела тригонометрии

Этот справочник — хаб раздела. Здесь собраны ссылки на темы, которые дают полную картину тригонометрии для ЕГЭ.

К базе:

• Основное тригонометрическое тождество — отправная точка всех преобразований. Без него формулы двойного угла и понижения степени невозможно вывести.
• Формулы двойного угла — $\sin 2x$ и три записи $\cos 2x$ в задании 13. Разбор каждого варианта с примерами уравнений.
• Формулы приведения — как убрать «лишний» угол из аргумента и не ошибиться со знаком. Полная таблица и алгоритм.
• Преобразование тригонометрических выражений — применение формул на практике: разбор типовых заданий 7 с цепочками преобразований.
• Тригонометрические уравнения — куда ведут формулы. Стандартные формы решений, запись серий корней.
• Отбор корней на окружности — второй пункт задания 13. Как отобрать из бесконечного ряда только те, что попадают на заданный промежуток.

К заданиям:

• Задание 13 — уравнения и отбор корней — где формулы тригонометрии дают 2 балла части 2. Разбор структуры задания, частые формы уравнений, разбор ошибок на реальных КИМ.
• Задание 7 — вычисления и преобразования — тригонометрические вычисления в части 1. Алгоритм распознавания типа и выбора формулы.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 (вычисления и преобразования) — основной номер для тригонометрических преобразований в части 1. Нужно упростить выражение или вычислить его точное значение. Чаще всего применяются основное тождество, формулы двойного угла и приведения.
• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — часть 2, 2 балла. Тригонометрические уравнения: нужно не просто найти корни, но и провести отбор на заданном промежутке. Формулы суммы-произведения и двойного угла позволяют разложить уравнение на множители и получить простые уравнения $\sin =0$, $\cos =0$.

Часто задаваемые вопросы