Формулы тригонометрии — все основные и редкие для ЕГЭ

Формулы тригонометрии на ЕГЭ встречаются не сами по себе — они нужны, чтобы преобразовать выражение в задании 7 или раскрутить уравнение в задании 13. Знаешь десяток ключевых формул и умеешь их применять — это уже реальный прирост баллов. В этой теме разберём все, которые нужны на профиле: от основного тождества до универсальной подстановки.

Координаты точек для 12 ключевых углов — то, что имеет смысл выучить наизусть:

Основное тригонометрическое тождество

Главная формула, из которой выводится половина остальных:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Здесь $\sin x$ — синус угла $x$, $\cos x$ — косинус того же угла. Тождество выполняется при любом $x$.

Из него напрямую следуют две рабочие формулы, которые часто нужны при преобразованиях:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

Также основное тождество порождает связи через тангенс и котангенс. Делим обе части на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$):

$\operatorname{tg}^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

Делим на $\sin^2 x$ (при $\sin x \neq 0$):

$1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

Эти формулы позволяют переходить между функциями — заменить $\cos^2 x$ через $\sin^2 x$ или выразить $\operatorname{tg}^2 x$ через $\cos^2 x$.

Таблица значений и знаки в четвертях

Прежде чем работать с формулами, нужно держать в голове табличные значения и знаки функций.

Табличные значения

Знаки в четвертях

Мнемоника «Всегда Синус Тангенс Косинус» (ВСТК) — в каждой четверти положительна одна (или все) функция:

• I четверть ($0$ до $\tfrac{\pi}{2}$): все функции положительны.
• II четверть ($\tfrac{\pi}{2}$ до $\pi$): положителен только $\sin$.
• III четверть ($\pi$ до $\tfrac{3\pi}{2}$): положителен только $\operatorname{tg}$.
• IV четверть ($\tfrac{3\pi}{2}$ до $2\pi$): положителен только $\cos$.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Это основа, из которой выводятся формулы двойного угла, половинного угла и суммы-произведения.

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$ $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — любые углы. Для тангенса:

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$ $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha - \operatorname{tg}\beta}{1 + \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}$

Формулу для $\operatorname{tg}$ применимо только при условии, что $\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta \neq 1$ (чтобы знаменатель не обнулился).

Формулы двойного угла

Подставляем $\beta = \alpha$ в формулы сложения:

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$

Три варианта для $\cos 2\alpha$ — это не три разные формулы, а одна, переписанная через основное тождество. Выбирай ту запись, которая удобна в конкретном примере.

$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}$

Полезные следствия

Из формул двойного угла для косинуса получаем формулы понижения степени:

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$ $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$

Они нужны, когда в выражении стоит $\sin^2$ или $\cos^2$ и нужно перейти к функции одной степени.

Формулы половинного угла

Из формул понижения степени, заменяя $\alpha$ на $\alpha/2$:

$\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}$ $\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}$

Знак «$\pm$» определяется четвертью, в которой лежит угол $\alpha/2$. На ЕГЭ знак чаще всего понятен из условия задачи или из ОДЗ.

Формулы приведения

Формулы приведения позволяют выразить тригонометрическую функцию от «неудобного» угла через функцию от острого угла. Общий принцип:

• Аргумент вида $\frac{\pi}{2} \pm \alpha$ или $\frac{3\pi}{2} \pm \alpha$: функция меняется ($\sin \leftrightarrow \cos$, $\operatorname{tg} \leftrightarrow \operatorname{ctg}$).
• Аргумент вида $\pi \pm \alpha$ или $2\pi \pm \alpha$: функция не меняется.

Знак определяется по знаку исходной функции в данной четверти — рассматриваем $\alpha$ как острый угол.

Примеры:

$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos\alpha$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$ $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$ $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(2\pi - \alpha) = \cos\alpha$

Формулы суммы и разности в произведение

Эти формулы нужны в задании 13, когда из уравнения вида $\sin A + \sin B = 0$ нужно получить произведение и решить отдельно каждый множитель.

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — любые углы. Формулы симметричны: с их помощью можно и раскладывать сумму в произведение, и обратно — произведение записать как сумму.

Обратные формулы (произведение в сумму)

$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$ $\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]$ $\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]$

Формула суммы синуса и косинуса

Когда встречается $a\sin x + b\cos x$, удобно перейти к одной функции:

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\cdot\sin(x + \varphi)$

где $a$ и $b$ — коэффициенты, $\varphi$ — вспомогательный угол, для которого $\cos\varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Это удобно при нахождении максимального значения выражения.

Универсальная подстановка

При решении уравнений вида $a\sin x + b\cos x + c = 0$ иногда используют замену через $t = \operatorname{tg}\dfrac{x}{2}$ (при условии $\cos\dfrac{x}{2} \neq 0$, то есть $x \neq \pi + 2\pi n$):

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \operatorname{tg} x = \frac{2t}{1-t^2}$

Уравнение превращается в рациональное относительно $t$. Обязательно нужно проверить пропущенный случай $x = \pi + 2\pi n$ отдельно.

Как решать: алгоритм преобразования выражений

Задание 7 ЕГЭ часто требует упростить выражение или вычислить его значение. Вот рабочий алгоритм.

1. Смотри на структуру выражения. Есть сумма вида $\sin A \pm \sin B$ — применяй формулу суммы/разности в произведение. Стоит квадрат — ищи формулу понижения степени.
2. Проверь, можно ли заменить аргумент. Аргумент вида $\dfrac{\pi}{2} - x$ или $\pi + x$ — применяй формулы приведения.
3. Ищи основное тождество. Если в выражении стоят $\sin^2$ и $\cos^2$ вместе — скорее всего сумма равна 1.
4. Раскладывай двойной угол через одинарный или наоборот. $\sin 2x = 2\sin x\cos x$, $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
5. Сводишь к одной функции и вычисляешь.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Вычисли значение выражения $\sin^2 40° + \cos^2 40°$.

Решение. Выражение — это левая часть основного тригонометрического тождества при $x = 40°$. По тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ для любого $x$, значит:

$\sin^2 40° + \cos^2 40° = 1$

Типичная ошибка. Считать $\sin 40°$ и $\cos 40°$ по таблице или калькулятору, потом возводить в квадрат и складывать. Трата времени и риск ошибки. Тождество работает при любом угле — применяй сразу.

Пример 2 (уровень Б). Упрости выражение $\dfrac{\sin 2x}{2\cos x}$ при $\cos x \neq 0$.

Решение. Заменяем числитель по формуле двойного угла $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

$\frac{\sin 2x}{2\cos x} = \frac{2\sin x\cos x}{2\cos x}$

Сокращаем $2\cos x$ (по условию $\cos x \neq 0$):

$= \sin x$

Типичная ошибка. Не применять формулу двойного угла и попытаться «раскрыть» $\sin 2x$ как $2\sin x$. $\sin 2x \neq 2\sin x$ — нельзя выносить константу из аргумента синуса.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $\sin x + \sin 3x = 0$.

Решение. Применяем формулу суммы синусов:

$\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$

Здесь $\alpha = x$, $\beta = 3x$:

$\sin x + \sin 3x = 2\sin\frac{x+3x}{2}\cos\frac{x-3x}{2} = 2\sin 2x \cdot \cos(-x)$

Так как $\cos(-x) = \cos x$:

$2\sin 2x\cos x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль:

Случай 1: $\sin 2x = 0$, значит $2x = \pi n$, то есть $x = \dfrac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: $\cos x = 0$, значит $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что ответы из случая 2 уже входят в случай 1 при нечётных $n$. Объединяем: $x = \dfrac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Типичная ошибка. Написать $x = \pi n$ вместо $x = \dfrac{\pi n}{2}$ при решении $\sin 2x = 0$. Аргумент у синуса $2x$, поэтому делим $\pi n$ на 2.

Типичные ошибки

1. $\sin(x + y) \neq \sin x + \sin y$. Синус суммы — не сумма синусов. Чтобы раскрыть $\sin(x + y)$, нужна формула сложения: $\sin x \cos y + \cos x \sin y$.
2. Забывать про ОДЗ при формулах приведения. $\operatorname{tg}\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{ctg} x$ — выражение не определено при $x = \pi n$. При преобразованиях в уравнении проверяй ОДЗ.
3. Путать знак в $\cos 2\alpha$. У косинуса двойного угла три записи — не путай $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ с $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. Выбирай запись под задачу, но не смешивай.
4. Игнорировать случай при универсальной подстановке. Замена $t = \operatorname{tg}\dfrac{x}{2}$ не покрывает $x = \pi + 2\pi n$. Этот случай нужно проверить подстановкой в исходное уравнение отдельно.
5. Неправильно определять знак в формулах половинного угла. $\sin\dfrac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}$ — знак зависит от того, в какой четверти находится $\dfrac{\alpha}{2}$, а не $\alpha$.

Связь с другими темами

Формулы тригонометрии не существуют сами по себе — они инструмент для трёх соседних тем:

• Тригонометрические уравнения — здесь формулы нужны на каждом шаге: привести уравнение к одной функции, разложить на множители, применить формулу суммы. Без формул уравнение не решить.
• Единичная окружность — геометрический смысл синуса и косинуса. Если понимаешь окружность, многие формулы приведения очевидны — видно, какой знак получается в каждой четверти.
• Функции sin, cos, tg — свойства и графики. Формулы двойного угла и приведения меняют период и фазу — это прямая связь с изучением графиков.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 (вычисления и преобразования) — основной номер для тригонометрических преобразований в части 1. Нужно упростить выражение или вычислить его точное значение. Чаще всего применяются основное тождество, формулы двойного угла и приведения.
• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — часть 2, 2 балла. Тригонометрические уравнения: нужно не просто найти корни, но и провести отбор на заданном промежутке. Формулы суммы-произведения и двойного угла позволяют разложить уравнение на множители и получить простые уравнения $\sin = 0$, $\cos = 0$.