Арксинус: определение, область значений, график

Арксинус — обратная функция для синуса на отрезке $[-\pi/2;\,\pi/2]$. Точное понимание области значений — ключ к правильному применению в уравнениях.

Определение

$\arcsin a = x \iff \begin{cases} \sin x = a \\ x \in \left[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right] \end{cases}$

Читается: «арксинус $a$» — это угол, чей синус равен $a$, причём угол берётся из промежутка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Почему ограничиваем промежуток? Уравнение $\sin x = a$ имеет бесконечно много решений. Чтобы ввести обратную функцию, нужно выбрать один «главный» промежуток, на котором синус строго монотонен и принимает все значения от $-1$ до $1$.

Область определения и область значений

Важно: $\arcsin x$ не определён при $|x| > 1$. Выражение $\arcsin(2)$ или $\arcsin(-3)$ не имеет смысла.

Таблица основных значений

Свойства арксинуса

1. Нечётная функция: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.

2. Основное тождество: $\sin(\arcsin a) = a \quad \text{для } a \in [-1;\,1]$

3. Обратное тождество (с ограничением): $\arcsin(\sin x) = x \quad \text{только если } x \in \left[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right]$

4. Монотонность: $\arcsin$ — возрастающая функция на $[-1;\,1]$.

5. Связь с арккосинусом: $\arcsin a + \arccos a = \frac{\pi}{2} \quad \text{для всех } a \in [-1;\,1]$

Формула общего решения через арксинус

Уравнение $\sin x = a$ (при $|a| \leq 1$) имеет общее решение: $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Частный случай: $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$; $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Вычисление arcsin(sin(x)) для любых x

Когда $x \notin \left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$:

1. Приведи аргумент: выяви угол в $[-\pi/2; \pi/2]$ с тем же синусом.
2. $\sin(x) = \sin(\pi - x)$ — используй формулу приведения.
3. Если $\pi - x \in [-\pi/2;\,\pi/2]$ — берёшь его.

Пример: $\arcsin\!\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

$\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\!\left(\pi - \dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3}$.

$\dfrac{\pi}{3} \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, значит $\arcsin\!\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.

Примеры задач

Пример 1 (уровень А). Найти $\arcsin\dfrac{1}{2}$.

Ищем угол $x \in [-\pi/2;\,\pi/2]$: $\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6}$.

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}$ (30°).

Пример 2 (уровень А). Найти $\arcsin\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

По нечётности: $\arcsin\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{4}$ ($-45°$).

Пример 3 (уровень Б). Реши уравнение $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

$\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}$.

Общее решение: $x = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{3} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 4 (уровень Б). Вычисли $\sin(\arcsin 0{,}6 + \arcsin 0{,}8)$.

Пусть $\alpha = \arcsin 0{,}6$, $\beta = \arcsin 0{,}8$.

$\sin\alpha = 0{,}6$, $\cos\alpha = \sqrt{1-0{,}36} = 0{,}8$ (так как $\alpha \in [-\pi/2;\pi/2]$, косинус положителен).

$\sin\beta = 0{,}8$, $\cos\beta = \sqrt{1-0{,}64} = 0{,}6$.

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = 0{,}6\cdot0{,}6 + 0{,}8\cdot0{,}8 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$.

Ответ: $1$.

Частые ошибки

1. Применять $\arcsin(\sin x) = x$ без проверки промежутка. Только при $x \in [-\pi/2;\,\pi/2]$.
2. Не замечать ограничение области определения. При $|a| > 1$ арксинус не существует.
3. Путать $\arcsin a$ с $(\sin a)^{-1} = \frac{1}{\sin a}$. Это разные вещи: $\arcsin$ — обратная функция, $\sin^{-1}$ в смысле 1/sin — котангенс-подобное выражение.

Связь с другими темами

• Арккосинус — аналог для косинуса.
• Арктангенс и арккотангенс — обратные функции для тангенса и котангенса.
• Тригонометрические уравнения — применение арксинуса в общих формулах.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с отбором корней через арксинус.