Арксинус: определение, область значений, график

Арксинус — обратная функция для синуса на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Звучит сложно, а на деле всё просто: арксинус числа $a$ отвечает на вопрос «какой угол даёт синус, равный $a$?». Точное понимание области значений — ключ к правильному применению в уравнениях, поэтому с неё и начнём.

Определение

$\arcsin a = x \iff \begin{cases} \sin x = a \\ x \in \left[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right] \end{cases}$

Читается: «арксинус $a$» — это угол, чей синус равен $a$, причём угол берётся из промежутка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\,\dfrac{\pi}{2}\right]$. Приставка «арк» означает «дуга» по-латыни: арксинус возвращает дугу (угол) по значению синуса. По сути это операция, обратная к синусу: синус по углу даёт число, а арксинус по числу возвращает угол. Эта пара «прямая и обратная функция» работает как ключ и замок, только если договориться о едином отрезке для углов.

Почему ограничиваем промежуток? Уравнение $\sin x = a$ имеет бесконечно много решений. Чтобы ввести обратную функцию, нужно выбрать один «главный» промежуток, на котором синус строго монотонен и принимает все значения от $-1$ до $1$.

Подумай, в чём проблема. Если бы арксинус мог выдавать любой из бесконечного множества углов с синусом $a$, он не был бы функцией: функция обязана давать на каждый вход ровно один выход. Поэтому математики договорились брать угол из отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Этот отрезок выбран не случайно: именно на нём синус возрастает от $-1$ до $1$, проходя каждое значение ровно один раз. Так у каждого числа $a \in [-1;\ 1]$ есть единственный «главный» угол, и арксинус становится честной функцией.

Область определения и область значений

Важно: $\arcsin x$ не определён при $|x| > 1$. Выражение $\arcsin 2$ или $\arcsin(-3)$ не имеет смысла, потому что синус никогда не равен 2 или $-3$ — ему просто неоткуда взять такой угол. Заметь интересную симметрию таблицы: область определения синуса (все числа) и его область значений ($[-1;\ 1]$) у арксинуса меняются местами. Область определения арксинуса — это $[-1;\ 1]$, а область значений — отрезок углов. Так всегда бывает у взаимно обратных функций: вход одной становится выходом другой.

Таблица основных значений

Свойства арксинуса

У арксинуса пять свойств, которые стоит понимать, а не просто помнить.

1. Нечётность: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$. Поменял знак аргумента — поменялся знак ответа. Это следует из симметрии отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ относительно нуля. Свойство экономит время: достаточно знать арксинусы положительных чисел, а отрицательные получаются добавлением минуса.

2. Основное тождество:

$\sin(\arcsin a) = a \quad \text{для } a \in [-1;\,1]$

Синус «отменяет» арксинус. Это всегда верно при допустимом $a$, без оговорок: ведь по определению $\arcsin a$ — это угол, синус которого равен $a$.

3. Обратное тождество с ограничением:

$\arcsin(\sin x) = x \quad \text{только если } x \in \left[-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}\right]$

А вот здесь оговорка обязательна. Арксинус «отменяет» синус только если угол изначально был в нужном отрезке. Для других углов сначала приводят, как разобрано выше. Несимметрия двух тождеств — частый источник ошибок.

4. Монотонность: арксинус возрастает на всей области определения $[-1;\ 1]$. Чем больше аргумент, тем больше значение. Это позволяет сравнивать арксинусы без вычислений: раз $0{,}5 < 0{,}9$, то и $\arcsin 0{,}5 < \arcsin 0{,}9$.

5. Связь с арккосинусом:

$\arcsin a + \arccos a = \frac{\pi}{2} \quad \text{для всех } a \in [-1;\,1]$

Сумма арксинуса и арккосинуса одного и того же числа всегда равна $\dfrac{\pi}{2}$. Эта формула удобна, когда одно из значений табличное, а другое нет: нашёл арксинус, вычел из $\dfrac{\pi}{2}$ и получил арккосинус.

Формула общего решения через арксинус

Главное применение арксинуса — запись решения уравнения $\sin x = a$. При $|a| \leq 1$ общее решение записывается одной формулой:

$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Здесь арксинус даёт «опорный» угол, а множитель $(-1)^n$ и слагаемое $\pi n$ разворачивают его в обе серии корней. При чётном $n$ получается одна серия, при нечётном — вторая, отражённая через $\pi - \arcsin a$. Именно поэтому арксинус — фундамент решения уравнений с синусом: без него нельзя записать ответ в общем виде.

Для крайних значений формула упрощается. Эти частные случаи стоит знать наизусть, чтобы не гонять громоздкую формулу зря:

• $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$;
• $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$;
• $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$.

В этих случаях серия одна, а не две, потому что синус достигает крайнего значения ровно в одной точке за период.

График арксинуса

График $y = \arcsin x$ — это отражение части графика синуса относительно прямой $y = x$. Берётся не весь синус, а только его кусок на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, тот, где синус возрастает. После отражения получается S-образная кривая, идущая от точки $\left(-1;\ -\dfrac{\pi}{2}\right)$ до точки $\left(1;\ \dfrac{\pi}{2}\right)$.

У этого графика два полезных свойства. Во-первых, он возрастает на всей области определения $[-1;\ 1]$: чем больше $a$, тем больше $\arcsin a$. Во-вторых, он симметричен относительно начала координат, что отражает нечётность арксинуса. Глядя на график, легко прикинуть значение: например, $\arcsin 0{,}5$ чуть больше нуля, а $\arcsin 0{,}9$ уже близко к $\dfrac{\pi}{2}$.

Заметь и форму кривой. У краёв, при $a$ близком к $\pm 1$, график идёт почти вертикально: маленькое изменение аргумента даёт большое изменение угла. А в середине, около нуля, кривая пологая. Эта особенность объясняет, почему в задачах с арксинусом крайние значения $\pm 1$ требуют особой аккуратности — там функция «крутая», и легко ошибиться.

Вычисление arcsin(sin(x)) для любых x

Тождество $\arcsin(\sin x) = x$ работает только когда $x$ уже лежит в $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Если же $x$ вне этого отрезка, нужно сначала привести угол. Порядок такой:

1. Используй формулу приведения, чтобы найти угол в $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ с тем же синусом.
2. Чаще всего помогает $\sin x = \sin(\pi - x)$.
3. Если приведённый угол попал в нужный отрезок — это и есть ответ.

Пример. Вычисли $\arcsin\!\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right)$.

Сам угол $\dfrac{2\pi}{3}$ вне отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, поэтому в лоб тождество не применить. Приводим: $\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\!\left(\pi - \dfrac{2\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3}$. Теперь $\dfrac{\pi}{3}$ уже в нужном отрезке, значит $\arcsin\!\left(\sin\dfrac{2\pi}{3}\right) = \dfrac{\pi}{3}$.

Обрати внимание: ответ не $\dfrac{2\pi}{3}$, а именно $\dfrac{\pi}{3}$. Это типичная ловушка задания 13: ученик механически «сокращает» арксинус с синусом, забыв про отрезок. Арксинус всегда возвращает значение из $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, и если исходный угол был вне него, ответ изменится.

Косинус и тангенс от арксинуса

В задачах часто встречаются составные выражения вроде $\cos(\arcsin a)$. Их вычисляют через основное тригонометрическое тождество. Пусть $\alpha = \arcsin a$, тогда $\sin\alpha = a$, и угол $\alpha$ лежит в $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, где косинус неотрицателен. Поэтому:

$\cos(\arcsin a) = \sqrt{1 - a^2}$

Знак корня всегда плюс, потому что косинус на этом отрезке не бывает отрицательным. Аналогично тангенс:

$\tg(\arcsin a) = \frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \quad a \neq \pm 1$

Эти две формулы — рабочая лошадка задач, где арксинус стоит внутри другой функции. Запоминать их необязательно: достаточно помнить, что косинус от арксинуса берётся со знаком плюс, и вывести остальное через тождество. Например, в Примере 4 выше именно эта логика позволила найти косинусы $\cos\alpha$ и $\cos\beta$: мы знали синусы, знали, что углы в нужном отрезке, и взяли корень со знаком плюс. Такой ход встречается в задачах постоянно, поэтому навык «достать косинус из арксинуса» стоит довести до автоматизма.

Разбор примеров

Примеры с нарастающей самостоятельностью: первые разбираем целиком, в последнем ты дописываешь ключевые шаги.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди $\arcsin\dfrac{1}{2}$.

Решение. Ищем угол $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $\dfrac{1}{2}$. Это $x = \dfrac{\pi}{6}$. Проверка: $\dfrac{\pi}{6}$ лежит в нужном отрезке.

Типичная ошибка. Дают ответ $\dfrac{5\pi}{6}$, ведь там тоже синус равен $\dfrac{1}{2}$. Но $\dfrac{5\pi}{6}$ вне отрезка $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, поэтому это не арксинус.

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}$ (30°).

Пример 2 (уровень А, один шаг свёрнут). Найди $\arcsin\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Решение. Аргумент отрицательный. Попробуй сам применить нечётность арксинуса: $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.

Раскрытие: $\arcsin\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{2} = -\dfrac{\pi}{4}$.

Типичная ошибка. Пишут $\pi - \dfrac{\pi}{4}$ по аналогии с арккосинусом. Арксинус нечётный, у него знак просто выносится.

Ответ: $-\dfrac{\pi}{4}$ ($-45°$).

Пример 3 (уровень Б, faded). Реши уравнение $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение. Главное значение: $\arcsin\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\pi}{3}$. Подставляем в общую формулу решения уравнения с синусом:

$x = (-1)^n\dfrac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Распишем по чётности. При чётном $n$: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$. При нечётном $n$: $x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$.

Типичная ошибка. Пишут только первую серию, забывая вторую с $\pi - \arcsin$.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Пример 4 (уровень В, skeleton с self-explanation). Вычисли $\sin(\arcsin 0{,}6 + \arcsin 0{,}8)$.

Решение.

Шаг 1. Введи обозначения. Пусть $\alpha = \arcsin 0{,}6$, $\beta = \arcsin 0{,}8$. Тогда $\sin\alpha = 0{,}6$, $\sin\beta = 0{,}8$.

Шаг 2. Найди косинусы. Спроси себя: какой знак у косинуса, если угол в $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$? Положительный. Поэтому $\cos\alpha = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$ и $\cos\beta = \sqrt{1 - 0{,}64} = 0{,}6$.

Шаг 3. Примени формулу синуса суммы:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = 0{,}6\cdot 0{,}6 + 0{,}8\cdot 0{,}8 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$

Типичная ошибка. Берут косинус со знаком минус. На отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ косинус всегда неотрицателен.

Ответ: $1$.

Частые ошибки

1. Применять $\arcsin(\sin x) = x$ без проверки промежутка. Тождество верно только при $x \in \left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Для других углов сначала приводи к этому отрезку.
2. Не замечать ограничение области определения. При $|a| > 1$ арксинус не существует, потому что синус не выходит за пределы $[-1;\ 1]$.
3. Путать $\arcsin a$ с $\dfrac{1}{\sin a}$. Это совершенно разные вещи: арксинус — обратная функция (угол по синусу), а $\dfrac{1}{\sin a}$ — просто дробь.
4. Брать косинус от арксинуса со знаком минус. На отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ косинус неотрицателен, поэтому $\cos(\arcsin a) = +\sqrt{1 - a^2}$.
5. Давать ответ вне области значений. Арксинус всегда возвращает угол из $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Если в ответе получился, например, $\dfrac{5\pi}{6}$, это не арксинус.

Что запомнить

Арксинус числа $a$ — это угол из $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$. Область определения $[-1;\ 1]$, область значений $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Функция нечётная и возрастающая. Тождество $\arcsin(\sin x) = x$ работает только внутри отрезка значений, иначе угол приводят. Косинус от арксинуса берётся со знаком плюс: $\cos(\arcsin a) = \sqrt{1 - a^2}$. Главное применение — общая формула решения уравнения $\sin x = a$. Связь с арккосинусом: $\arcsin a + \arccos a = \dfrac{\pi}{2}$.

Связь с другими темами

Арксинус — одна из четырёх обратных тригонометрических функций, и понимать его лучше в связке с остальными. Они устроены по одному принципу, но различаются отрезками главных значений, и именно эти различия чаще всего путают.

• Арккосинус — аналог для косинуса, с областью значений $[0;\ \pi]$ вместо $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{\pi}{2}\right]$.
• Арктангенс и арккотангенс — обратные функции для тангенса и котангенса, определённые для любого числа.
• Обзор арксинуса, арккосинуса, арктангенса — сводная страница со сравнительной таблицей всех функций.
• Тригонометрические уравнения — где арксинус даёт общую формулу решения уравнения с синусом.

Где арксинус встречается на ЕГЭ

В задании 13 арксинус работает на двух уровнях. Во-первых, через него записывается общее решение любого уравнения с синусом — без арксинуса ответ не записать в общем виде. Во-вторых, арксинус возникает в составных выражениях вроде $\arcsin(\sin x)$ или $\cos(\arcsin a)$, где важно помнить про область значений и знак косинуса.

Чаще всего на экзамене арксинус встречается «незаметно»: ты решаешь уравнение $\sin x = a$, и арксинус автоматически появляется в формуле решения, даже если ты не произносишь слово «арксинус» вслух. Если $a$ табличное (как $\dfrac{1}{2}$ или $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$), арксинус превращается в красивый угол, и ответ выходит аккуратным. Если $a$ нетабличное, арксинус так и остаётся в ответе — это нормально, его не надо «досчитывать». Уверенное владение арксинусом избавляет от двух типичных потерь балла: неверного приведения угла и забытой второй серии корней. Оба эти места — классические грабли задания 13, и оба закрываются крепким пониманием области значений арксинуса. Так что время, потраченное на эту тему, окупается прямыми баллами на экзамене.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с отбором корней, где арксинус даёт общую формулу решения.