Арккосинус: определение, область значений, свойства

Арккосинус — обратная функция для косинуса на отрезке $[0;\,\pi]$. Главное отличие от арксинуса — область значений: только от 0 до $\pi$.

Определение

$\arccos a = x \iff \begin{cases} \cos x = a \\ x \in [0;\,\pi] \end{cases}$

Читается: «арккосинус $a$» — это угол из $[0;\,\pi]$, косинус которого равен $a$.

Почему $[0;\,\pi]$? На этом промежутке косинус строго убывает от 1 до $-1$, принимая каждое значение ровно один раз. Это гарантирует однозначность обратной функции.

Область определения и область значений

Ключевое отличие от $\arcsin$: область значений $\arccos$ — неотрицательные числа $[0;\,\pi]$. Выражение $\arccos(-0{,}5) = \dfrac{2\pi}{3} > 0$ (не отрицательное!).

Таблица основных значений

Свойства арккосинуса

1. Формула отражения (аналог нечётности): $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a) \quad \text{для } a \in [-1;\,1]$

2. Основное тождество: $\cos(\arccos a) = a \quad \text{для } a \in [-1;\,1]$

3. Обратное тождество (с ограничением): $\arccos(\cos x) = x \quad \text{только если } x \in [0;\,\pi]$

4. Монотонность: $\arccos$ — убывающая функция на $[-1;\,1]$.

5. Связь с арксинусом: $\arcsin a + \arccos a = \frac{\pi}{2} \quad \text{для всех } a \in [-1;\,1]$

Формула общего решения через арккосинус

Уравнение $\cos x = a$ (при $|a| \leq 1$): $x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Частный случай: $\cos x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$; $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$; $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$.

Вычисление arccos(cos(x)) для любых x

При $x \notin [0;\,\pi]$ нужно свести к углу из $[0;\,\pi]$ с тем же косинусом. Используй:

• $\cos(-x) = \cos x$ (чётность) → если $x < 0$, берём $-x$.
• $\cos(2\pi - x) = \cos x$ → уменьшаем на $2\pi$.

Пример: $\arccos\!\left(\cos\dfrac{4\pi}{3}\right)$.

$\dfrac{4\pi}{3} \notin [0;\,\pi]$. $\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$.

$\arccos\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\dfrac{2\pi}{3}$.

Синус и тангенс от арккосинуса

Часто нужно найти $\sin(\arccos a)$ или $\tg(\arccos a)$.

Из $\cos(\arccos a) = a$ и того, что $\arccos a \in [0;\,\pi]$ (синус неотрицателен):

$\sin(\arccos a) = \sqrt{1 - a^2}$

$\tg(\arccos a) = \frac{\sqrt{1-a^2}}{a} \quad (a \neq 0)$

Примеры задач

Пример 1 (уровень А). Найти $\arccos\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Ищем $x \in [0;\,\pi]$: $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6}$.

Ответ: $\dfrac{\pi}{6}$ (30°).

Пример 2 (уровень А). Найти $\arccos\!\left(-\dfrac{1}{2}\right)$.

По формуле: $\arccos\!\left(-\dfrac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\dfrac{1}{2} = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\dfrac{2\pi}{3}$ (120°).

Пример 3 (уровень Б). Найти $\sin(\arccos 0{,}6)$.

$\sin(\arccos 0{,}6) = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$.

Ответ: $0{,}8$.

Пример 4 (уровень Б). Реши уравнение $\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

$\arccos\!\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}$.

$x = \pm\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = -\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Сравнение arcsin и arccos

Связь с другими темами

• Арксинус — обратная функция для синуса.
• Арктангенс и арккотангенс — для тангенса и котангенса.
• Тригонометрические уравнения — применение arccos в общих формулах.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с применением арккосинуса.