Арккосинус: определение, область значений, свойства

Арккосинус — обратная функция для косинуса на отрезке $[0;\pi ]$. Он отвечает на вопрос «какой угол даёт косинус, равный $a$?». Главное отличие от арксинуса — область значений: только от $0$ до $\pi$, без отрицательных углов. Из-за этого отличия отрицательные значения арккосинуса считаются по другой формуле, и именно здесь чаще всего ошибаются.

Определение

$\arccos a=x⟺\{\begin{array}{l}\cos x=a\\ x\in [0;\pi ]\end{array}$

Читается: «арккосинус $a$» — это угол из $[0;\pi ]$, косинус которого равен $a$. Как и у арксинуса, приставка «арк» означает дугу: арккосинус возвращает угол по значению косинуса. Это операция, обратная к косинусу: косинус по углу даёт число, арккосинус по числу возвращает угол. Чтобы такая обратная операция была однозначной, для углов выбирают единый отрезок — в случае косинуса это $[0;\pi ]$.

Почему $[0;\pi ]$? На этом промежутке косинус строго убывает от 1 до $-1$, принимая каждое значение ровно один раз. Это гарантирует однозначность обратной функции.

Заметь, что для арксинуса выбрали другой отрезок, $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$. Почему не тот же самый? Дело в том, что синус и косинус ведут себя по-разному. Синус возрастает именно на $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, а косинус на этом отрезке не монотонен: он сначала растёт, потом падает. Зато на $[0;\pi ]$ косинус честно убывает от $1$ до $-1$, проходя каждое значение по разу. Поэтому для каждой обратной функции выбирают свой «удобный» отрезок, где исходная функция монотонна. Это и есть причина, по которой области значений арксинуса и арккосинуса разные.

Область определения и область значений

Ключевое отличие от $\arcsin$: область значений $\arccos$ — неотрицательные числа $[0;\pi ]$. Выражение $\arccos (-0,5)=\frac{2\pi }{3}>0$ — положительное, хотя аргумент отрицательный. У арксинуса было бы наоборот: $\arcsin (-0,5)=-\frac{\pi }{6}<0$. Это различие лежит в основе всех формул и ошибок темы, поэтому держи его в голове с самого начала. Как и у арксинуса, область определения и область значений тут «обменялись» с исходной функцией: косинус определён на всех числах и даёт значения в $[-1;1]$, а арккосинус определён на $[-1;1]$ и возвращает углы.

Таблица основных значений

Свойства арккосинуса

У арккосинуса пять свойств, которые стоит понять, а не зубрить.

1. Формула отражения (главное отличие от арксинуса):

$\arccos (-a)=\pi -\arccos (a)\text{для }a\in [-1;1]$

Это не нечётность. Поменял знак аргумента — значение не просто меняет знак, а «отражается» от $\frac{\pi }{2}$ в верхнюю половину отрезка. Например, $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$, а $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$. Причина в области значений: арккосинус обязан остаться в $[0;\pi ]$, где отрицательных углов нет.

2. Основное тождество:

$\cos (\arccos a)=a\text{для }a\in [-1;1]$

Косинус «отменяет» арккосинус всегда, без оговорок: по определению $\arccos a$ — это угол, косинус которого равен $a$.

3. Обратное тождество с ограничением:

$\arccos (\cos x)=x\text{только если }x\in [0;\pi ]$

А тут оговорка обязательна. Арккосинус «отменяет» косинус, только если угол изначально был в отрезке $[0;\pi ]$. Для других углов сначала приводят, как разобрано ниже.

4. Монотонность: арккосинус убывает на $[-1;1]$. Это противоположно арксинусу, который возрастает. Чем больше аргумент, тем меньше арккосинус: $\arccos 1=0$, а $\arccos (-1)=\pi$.

5. Связь с арксинусом:

$\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}\text{для всех }a\in [-1;1]$

Сумма арксинуса и арккосинуса одного числа всегда $\frac{\pi }{2}$. Эта формула — мост между двумя функциями: зная одно значение, мгновенно находишь другое.

График арккосинуса

График $y=\arccos x$ — это убывающая кривая, идущая от точки $(-1;\pi )$ в левом верхнем углу до точки $(1;0)$ в правом нижнем. Он получается отражением куска косинусоиды (на отрезке $[0;\pi ]$) относительно прямой $y=x$.

Сравни с графиком арксинуса. Арксинус возрастает, арккосинус убывает — это видно сразу по направлению кривой. Проходит график арккосинуса через характерную точку $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$: при нулевом аргументе арккосинус равен $\frac{\pi }{2}$, а не нулю, как у арксинуса. Это ещё одно проявление сдвинутой области значений. Как и у арксинуса, у краёв кривая идёт круто, а в середине пологая. Поэтому крайние значения аргумента, близкие к $\pm 1$, требуют особой аккуратности: там функция «обрывистая», и легко промахнуться с углом.

Формула общего решения через арккосинус

Главное применение арккосинуса — запись решения уравнения $\cos x=a$. При $|a|\le 1$:

$x=\pm \arccos a+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Обрати внимание на знак $\pm$. У косинуса две симметричные серии корней, потому что косинус чётный: $\cos x=\cos (-x)$. Поэтому к арккосинусу добавляют и плюс, и минус. Этим формула косинуса отличается от формулы синуса, где вместо $\pm$ стоит множитель $(-1{)}^n$.

Для крайних значений формула упрощается, и эти случаи стоит знать наизусть:

• $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$;
• $\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n$;
• $\cos x=-1\Rightarrow x=\pi +2\pi n$.

В этих случаях серия одна: косинус достигает крайнего значения ровно в одной точке за период, и две симметричные серии сливаются в одну.

Вычисление arccos(cos(x)) для любых x

Тождество $\arccos (\cos x)=x$ работает только когда $x$ уже лежит в $[0;\pi ]$. Если $x$ вне этого отрезка, угол нужно сначала привести к нужному отрезку, сохранив значение косинуса. Помогают два свойства косинуса:

• $\cos (-x)=\cos x$ (чётность) — если $x<0$, берём $-x$;
• $\cos (2\pi -x)=\cos x$ — уменьшаем большой угол на $2\pi$.

Идея простая: косинус принимает одно и то же значение в нескольких точках, и среди них есть ровно одна в отрезке $[0;\pi ]$. Её и надо найти. После приведения берёшь арккосинус уже от приведённого угла, и тождество срабатывает.

Пример. Вычисли $\arccos \left(\cos \frac{4\pi }{3}\right)$.

Сам угол $\frac{4\pi }{3}$ вне отрезка $[0;\pi ]$, поэтому в лоб тождество не работает. Сначала находим косинус: $\cos \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}$. Теперь берём арккосинус от этого числа: $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi }{3}$.

Заметь: ответ не $\frac{4\pi }{3}$, а $\frac{2\pi }{3}$. Арккосинус вернул значение из своего отрезка $[0;\pi ]$, а исходный угол был вне него. Это типичная ловушка задания 13: нельзя механически «сокращать» арккосинус с косинусом, если угол не в $[0;\pi ]$.

Синус и тангенс от арккосинуса

Часто нужно найти $\sin (\arccos a)$ или $\mathrm{tg}(\arccos a)$.

Логика та же, что у косинуса от арксинуса. Пусть $\alpha =\arccos a$, тогда $\cos \alpha =a$, и угол $\alpha$ лежит в $[0;\pi ]$, где синус неотрицателен. Через основное тождество:

$\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$

Знак корня всегда плюс, потому что синус на $[0;\pi ]$ не бывает отрицательным. Отсюда тангенс:

$\mathrm{tg}(\arccos a)=\frac{\sqrt{1-a^2}}{a}(a\ne 0)$

Эти формулы нужны в задачах, где арккосинус стоит внутри другой функции. Запоминать их необязательно: помни, что синус от арккосинуса берётся со знаком плюс, а остальное выводится через тождество.

Частые ошибки

1. Применять $\arccos (\cos x)=x$ без проверки отрезка. Тождество верно только при $x\in [0;\pi ]$. Для других углов сначала вычисли косинус, потом возьми арккосинус.
2. Брать арккосинус отрицательным. Область значений — это $[0;\pi ]$, отрицательных углов там нет. Для отрицательного аргумента работает $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$.
3. Путать формулу отражения с нечётностью. У арккосинуса $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$, а не $-\arccos a$. Нечётность — это про арксинус и арктангенс.
4. Брать синус от арккосинуса со знаком минус. На $[0;\pi ]$ синус неотрицателен, поэтому $\sin (\arccos a)=+\sqrt{1-a^2}$.
5. Забывать знак $\pm$ в уравнении $\cos x=a$. Косинус чётный, поэтому серий две: $x=\pm \arccos a+2\pi n$.

Что запомнить

Арккосинус числа $a$ — это угол из $[0;\pi ]$, косинус которого равен $a$. Область определения $[-1;1]$, область значений $[0;\pi ]$. Функция убывающая (в отличие от возрастающего арксинуса). Отрицательные значения считаются через отражение: $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$. Синус от арккосинуса берётся со знаком плюс: $\sin (\arccos a)=\sqrt{1-a^2}$. В уравнении $\cos x=a$ ответ имеет знак $\pm$ из-за чётности косинуса. Связь с арксинусом: $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$.

Где арккосинус встречается на ЕГЭ

В задании 13 арккосинус нужен для записи общего решения уравнения $\cos x=a$ — это его главная роль. Без арккосинуса нельзя записать ответ в общем виде. Кроме того, арккосинус возникает в составных выражениях вроде $\sin (\arccos a)$, где важно помнить про область значений и знак синуса. Чаще всего арккосинус появляется незаметно, как часть формулы решения уравнения с косинусом. Уверенное владение им снимает две частые потери балла: неверный знак при отрицательном аргументе и забытую вторую серию корней.

Разбор примеров

Примеры с нарастающей самостоятельностью: первые разбираем целиком, в последнем ты дописываешь ключевые шаги.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение. Ищем угол $x\in [0;\pi ]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это $x=\frac{\pi }{6}$. Проверка: $\frac{\pi }{6}$ лежит в отрезке $[0;\pi ]$.

Типичная ошибка. Дают ответ $-\frac{\pi }{6}$, ведь там тоже косинус равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Но арккосинус не бывает отрицательным, его значения только в $[0;\pi ]$.

Ответ: $\frac{\pi }{6}$ (30°).

Пример 2 (уровень А, один шаг свёрнут). Найди $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$.

Решение. Аргумент отрицательный. Попробуй сам применить формулу отражения: $\arccos (-a)=\pi -\arccos a$.

Раскрытие: $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{1}{2}=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$.

Типичная ошибка. Пишут $-\frac{\pi }{3}$ по аналогии с нечётным арксинусом. Арккосинус не нечётный: для отрицательного аргумента работает формула $\pi -\arccos a$.

Ответ: $\frac{2\pi }{3}$ (120°).

Пример 3 (уровень Б, faded). Найди $\sin (\arccos 0,6)$.

Решение. Пусть $\alpha =\arccos 0,6$, тогда $\cos \alpha =0,6$ и $\alpha \in [0;\pi ]$. На этом отрезке синус неотрицателен, поэтому берём корень со знаком плюс:

$\sin (\arccos 0,6)=\sqrt{1-0,6^2}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8$

Типичная ошибка. Берут синус со знаком минус. На $[0;\pi ]$ синус всегда неотрицателен.

Ответ: $0,8$.

Пример 4 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решение.

Шаг 1. Найди главное значение. Спроси себя: аргумент отрицательный, какую формулу применить? Через отражение: $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$.

Шаг 2. Подставь в общую формулу уравнения с косинусом. Спроси себя: какой знак стоит перед арккосинусом? Двойной, $\pm$:

$x=\pm \frac{3\pi }{4}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Пишут только одну серию. У косинуса всегда две симметричные серии из-за знака $\pm$ (косинус чётный).

Ответ: $x=\frac{3\pi }{4}+2\pi n$ или $x=-\frac{3\pi }{4}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Сравнение arcsin и arccos

Эту пару функций удобно держать рядом и сравнивать по пунктам. Область определения у них одинаковая, $[-1;1]$, а вот всё остальное различается. Арксинус возрастает, арккосинус убывает. Арксинус нечётный, арккосинус подчиняется формуле отражения. В нуле арксинус даёт ноль, а арккосинус — $\frac{\pi }{2}$. Эта сводка ловит почти все ошибки темы: если помнишь, чем функции отличаются, не перепутаешь их формулы.

Связь $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ стоит особняком: она превращает любое значение арксинуса в значение арккосинуса и наоборот. Если на экзамене попался неудобный арккосинус, посчитай через него арксинус, который может оказаться табличным, и вычти из $\frac{\pi }{2}$. Эта формула экономит время и страхует от ошибок: вместо того чтобы заново определять угол по косинусу, ты опираешься на уже найденное значение арксинуса. Маленький приём, который выручает на сложных уравнениях.

Связь с другими темами

Арккосинус — одна из четырёх обратных тригонометрических функций. Понимать его лучше в паре с арксинусом: они связаны формулой $\arcsin a+\arccos a=\frac{\pi }{2}$ и различаются отрезком главных значений, который и порождает все отличия в формулах.

• Арксинус — обратная функция для синуса, с областью значений $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$.
• Арктангенс и арккотангенс — обратные функции для тангенса и котангенса.
• Обзор арксинуса, арккосинуса, арктангенса — сводная страница со сравнительной таблицей.
• Тригонометрические уравнения — где арккосинус даёт общую формулу решения уравнения с косинусом.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрические уравнения с применением арккосинуса.