Задачи с лампочками: последовательная и параллельная схемы

Задачи с лампочками, батарейками, реле — все про надёжность схем. Они регулярно встречаются в задании 5 ЕГЭ (повышенная вероятность) и иногда в задании 4. Идея у всех одна: схема собрана из элементов, каждый работает или отказывает с известной вероятностью, и нужно найти вероятность, что вся схема работает. Ключ к решению — различать последовательное и параллельное включение и применять правило умножения для независимых событий. Разберём по шагам, чтобы ты никогда не путал, где умножать вероятности работы, а где — вероятности отказа.

Независимые события: правило умножения

Если события $A$ и $B$ независимы (наступление одного не влияет на другое): $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

В задачах с элементами: отказ лампочки 1 и отказ лампочки 2 — независимые события (если в условии не сказано обратного). Поэтому вероятность того, что обе одновременно работают, — это произведение вероятностей работы каждой. А вероятность того, что обе одновременно откажут, — произведение вероятностей отказа. Именно независимость даёт нам право перемножать, а не складывать вероятности.

Запомни сразу две парные величины для каждого элемента: $p$ — вероятность работы, $q = 1 - p$ — вероятность отказа. Половина ошибок в таких задачах — это путаница между $p$ и $q$. Перед тем как считать, выпиши обе величины для каждого элемента отдельно: тогда не запутаешься, что именно перемножать на каждом шаге.

Последовательная схема

Определение: схема работает только если ВСЕ элементы работают.

Вероятность работы схемы: $P(\text{схема работает}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n$

Вероятность отказа: $P(\text{схема откажет}) = 1 - p_1 p_2 \cdots p_n$

Смысл: при последовательном включении цепь разрывается при первом же отказавшем элементе. Представь ёлочную гирлянду старого образца: перегорела одна лампочка — погасла вся гирлянда. Чем больше элементов в последовательной цепи, тем менее надёжной становится схема: каждый новый множитель меньше единицы, и произведение только уменьшается. Это важная интуиция — последовательность «копит» риск отказа.

Пример 1. Три лампочки включены последовательно. Вероятность работы каждой: 0,9; 0,8; 0,95. Вероятность работы схемы?

Все три должны работать одновременно, события независимы — значит перемножаем вероятности работы:

$P = 0{,}9 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}95 = 0{,}684$.

Ответ: $0{,}684$.

Обрати внимание: ответ $0{,}684$ меньше самого маленького из множителей $0{,}8$. Так и должно быть — добавление любого элемента в последовательную цепь только снижает общую надёжность.

Параллельная схема

Определение: схема работает если хотя бы один элемент работает. Откажет — только если ВСЕ откажут.

Вероятность работы: $P(\text{схема работает}) = 1 - (1-p_1)(1-p_2)\cdots(1-p_n)$

где $(1-p_i)$ — вероятность отказа элемента $i$.

Пример 2. Три лампочки параллельно. Вероятность работы каждой: 0,9; 0,8; 0,95. Вероятность работы схемы?

$P = 1 - (1-0{,}9)(1-0{,}8)(1-0{,}95) = 1 - 0{,}1 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}05 = 1 - 0{,}001 = 0{,}999$.

Ответ: $0{,}999$.

Параллельная схема значительно надёжнее ($0{,}999$ против $0{,}684$ в предыдущем примере). Логика обратная последовательной: чтобы параллельная схема отказала, должны выйти из строя сразу все элементы, а это маловероятное совпадение. Поэтому в технике дублируют важные узлы — ставят резервный насос, второй источник питания, запасной канал связи. Это и есть «параллельное резервирование».

Главный приём для параллельной схемы — считать через отказ. Прямой путь («хотя бы один работает») потребовал бы перебирать все варианты: один работает, два работают, три работают. А через противоположное событие («все отказали») получается одно произведение и одно вычитание. Всегда, когда видишь «хотя бы один», думай про дополнение.

Почему параллель надёжнее: идея резервирования

Сравни два числа из примеров выше: последовательная схема из трёх ламп дала $0{,}684$, а параллельная из тех же трёх — $0{,}999$. Разница огромная, хотя элементы одни и те же. Всё дело в том, как соединены элементы и что значит «схема работает».

В последовательной схеме надёжность определяется самым слабым звеном и только ухудшается с каждым новым элементом. В параллельной — наоборот: каждый дополнительный элемент добавляет «запасной путь», и схема ломается только при одновременном отказе всех путей сразу. Поэтому инженеры специально дублируют критичные узлы: два независимых тормозных контура в автомобиле, резервный генератор в больнице, несколько каналов связи у спутника. Это и есть резервирование — за него платят лишними деталями, но получают надёжность, близкую к единице.

В задачах ЕГЭ эта интуиция помогает быстро прикинуть, правдоподобен ли ответ. Если параллельная схема дала вероятность работы меньше, чем у одного элемента, — где-то ошибка. Если последовательная дала больше, чем у самого надёжного элемента, — тоже ошибка.

Смешанные схемы

Реальные задачи часто комбинируют параллельные и последовательные блоки. Такая схема похожа на матрёшку: внутри большой последовательной цепочки может стоять параллельный узел, и наоборот.

Метод: разбей схему на блоки, вычисли вероятность работы каждого блока как отдельной мини-схемы, затем комбинируй блоки по их типу соединения. Двигайся «изнутри наружу»: сначала самые маленькие узлы, потом всё более крупные. Каждый свёрнутый блок дальше работает как один «элемент» с уже посчитанной вероятностью.

Пример 3. Схема: блок A (два элемента параллельно, $p_1 = 0{,}9$, $p_2 = 0{,}8$) включён последовательно с блоком B ($p_3 = 0{,}95$).

$P_A = 1 - (1-0{,}9)(1-0{,}8) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$.

$P_{\text{схемы}} = P_A \cdot P_B = 0{,}98 \cdot 0{,}95 = 0{,}931$.

Ответ: $0{,}931$.

Разберём логику по шагам, чтобы метод был понятен. Сначала мы взяли внутренний параллельный блок A из двух элементов и свернули его в одно число $0{,}98$ — теперь блок A ведёт себя как один надёжный элемент. Затем этот свёрнутый блок стоит последовательно с элементом B, и для последовательного соединения мы перемножаем вероятности работы: $0{,}98 \cdot 0{,}95$. Итог $0{,}931$ логичен — он меньше надёжности блока A ($0{,}98$), потому что последовательное добавление элемента B снизило общую надёжность. Если бы мы по невнимательности перемножили сразу все три исходных элемента ($0{,}9 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}95$), получили бы $0{,}684$ — совсем другой и неверный ответ, потому что проигнорировали бы параллельность блока A.

Задачи с одинаковыми элементами

Когда все $n$ элементов с одинаковой вероятностью работы $p$:

• Последовательно: $P = p^n$.
• Параллельно: $P = 1 - (1-p)^n$.

Пример 4. 4 батарейки одинаково надёжны ($p = 0{,}9$ каждая), включены параллельно. Вероятность работы?

$P = 1 - (0{,}1)^4 = 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999$.

Пример 5. Те же 4 батарейки последовательно. Вероятность работы?

$P = (0{,}9)^4 = 0{,}6561$.

Задача с «хотя бы N рабочими»

Пример 6. Система из 3 лампочек (каждая $p = 0{,}8$). Система работает если хотя бы 2 лампочки работают. Вероятность?

Используем формулу Бернулли: $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$.

$P(X=2) = C_3^2 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 3 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}384$.

$P(X=3) = C_3^3 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}512$.

$P(X \geq 2) = 0{,}384 + 0{,}512 = 0{,}896$.

Ответ: $0{,}896$.

Три задачи с постепенным усложнением

Ниже три задачи: первая разобрана полностью, во второй один шаг ты делаешь сам, в третьей — два шага. Так ты проверишь, что действительно понял идею, а не просто прочитал готовое решение.

Задача А (уровень А, разобрана полностью). Прибор состоит из двух независимых блоков, включённых последовательно. Первый работает с вероятностью $0{,}95$, второй — $0{,}85$. Найди вероятность, что прибор работает.

Решение. Последовательно — значит работают оба. Перемножаем вероятности работы:

$P = 0{,}95 \cdot 0{,}85 = 0{,}8075$

Ответ: $0{,}8075$.

Задача Б (уровень Б, один шаг — сам). Три одинаковых элемента включены параллельно, каждый работает с вероятностью $0{,}8$. Найди вероятность, что схема работает.

Шаг 1: запиши вероятность отказа одного элемента и вероятность отказа всех трёх.

Шаг 2: найди вероятность работы схемы.

Задача В (уровень В, два шага — сам). Цепочка из 5 одинаковых соединений включена последовательно, каждое соединение надёжно с вероятностью $0{,}99$. Найди вероятность, что вся цепочка проводит сигнал.

Шаг 1: реши, перемножать вероятности работы или отказа.

Шаг 2: посчитай результат.

Алгоритм решения задачи на схему

1. Прочитай схему и пойми, что значит «схема работает»: достаточно одного работающего элемента (параллельно) или нужны все (последовательно).
2. Для каждого элемента выпиши пару: $p$ — вероятность работы, $q = 1 - p$ — вероятность отказа.
3. Для последовательного блока перемножь вероятности работы. Для параллельного посчитай через отказ: $1 - \prod(1-p_i)$.
4. Если схема смешанная — сворачивай по блокам от внутренних к внешним, каждый свёрнутый блок дальше считай как один элемент.
5. Проверь правдоподобие: для последовательной схемы ответ меньше любого $p_i$, для параллельной — больше любого $p_i$.

Как распознать тип схемы по условию

В тексте задачи не всегда прямо написано «последовательно» или «параллельно». Иногда тип нужно понять по смыслу. Вот опорные формулировки.

• «Прибор работает, только если работают все элементы», «элементы соединены цепочкой», «отказ любого элемента выводит схему из строя» — это последовательная схема. Перемножаем вероятности работы.
• «Схема работает, если работает хотя бы один элемент», «дублирующие узлы», «резервный канал», «отказ только при выходе из строя всех» — параллельная. Считаем через отказ: $1 - \prod q_i$.
• Если в условии есть и то, и другое («два параллельных блока, соединённых последовательно») — это смешанная схема. Сначала сворачиваем каждый блок до одной вероятности, потом комбинируем блоки.

Полезный приём самопроверки: ответ для последовательной схемы всегда меньше любого отдельного $p_i$, а для параллельной — всегда больше любого отдельного $p_i$. Если получилось наоборот — где-то перепутаны $p$ и $q$.

Частые ошибки

1. Путать «хотя бы один» и «все». «Хотя бы один работает» = параллельная логика ($1-\prod(1-p_i)$). «Все работают» = последовательная ($\prod p_i$). Это самая частая ошибка, поэтому первым делом определяй тип схемы.

2. Использовать вероятность отказа вместо работы. Убедись: $p_i$ — это вероятность РАБОТЫ, а $q_i = (1-p_i)$ — вероятность ОТКАЗА. Если в условии дана «вероятность отказа $0{,}1$», то вероятность работы $0{,}9$ — не перепутай, что подставлять.

3. Не замечать смешанную схему. Если схема состоит из блоков, нельзя сразу перемножать все элементы — сначала сверни каждый блок, потом соединяй блоки по их типу.

4. Складывать вероятности вместо умножения. Для независимых событий «и обе работают» — это умножение, а не сложение. Сложение применяется к несовместным событиям, а здесь события совместны и независимы.

Связь с другими темами

• Сложение и умножение вероятностей — правило умножения для независимых событий.
• Противоположное событие — приём «считать через отказ» для параллельной схемы.
• Формула Бернулли — для задач «работает хотя бы $k$ из $n$ одинаковых элементов».
• Условная вероятность — когда элементы не независимы.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 4 — задачи на надёжность схем, независимые события.

Задачи на надёжность схем относятся к повышенной части (задание 5 профиля): в них почти всегда нужно сначала определить тип соединения, а затем аккуратно применить умножение независимых событий и приём «через противоположное». Если в задаче встречается «хотя бы $k$ исправных из $n$», подключается формула Бернулли — этот тип чуть сложнее и требует суммирования нескольких слагаемых.

Что запомнить

• Последовательная схема работает, только если работают все элементы: $P = p_1 p_2 \ldots p_n$. Ответ всегда меньше самого маленького множителя.
• Параллельная схема работает, если работает хотя бы один: $P = 1 - q_1 q_2 \ldots q_n$, где $q_i = 1 - p_i$. Ответ всегда больше самого большого $p_i$.
• Для каждого элемента сразу выписывай пару $p$ (работа) и $q$ (отказ) — это убирает половину ошибок.
• Параллельная схема надёжнее последовательной — это принцип резервирования.
• Смешанные схемы сворачивай по блокам, двигаясь изнутри наружу.
• «Хотя бы один работает» удобнее считать через отказ всех: $1 - \prod q_i$.