Задачи с лампочками: последовательная и параллельная схемы

Задачи с лампочками, батарейками, реле — все про надёжность схем. Ключ: различай последовательное и параллельное включение и применяй правило умножения для независимых событий.

Независимые события: правило умножения

Если события $A$ и $B$ независимы: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

В задачах с элементами: отказ лампочки 1 и отказ лампочки 2 — независимые события (если не сказано обратного).

Последовательная схема

Определение: схема работает только если ВСЕ элементы работают.

Вероятность работы схемы: $P(\text{схема работает}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_n$

Вероятность отказа: $P(\text{схема откажет}) = 1 - p_1 p_2 \cdots p_n$

Смысл: при последовательном включении цепь разрывается при первом же отказавшем элементе.

Пример 1. Три лампочки включены последовательно. Вероятность работы каждой: 0,9; 0,8; 0,95. Вероятность работы схемы?

$P = 0{,}9 \cdot 0{,}8 \cdot 0{,}95 = 0{,}684$.

Ответ: $0{,}684$.

Параллельная схема

Определение: схема работает если хотя бы один элемент работает. Откажет — только если ВСЕ откажут.

Вероятность работы: $P(\text{схема работает}) = 1 - (1-p_1)(1-p_2)\cdots(1-p_n)$

где $(1-p_i)$ — вероятность отказа элемента $i$.

Пример 2. Три лампочки параллельно. Вероятность работы каждой: 0,9; 0,8; 0,95. Вероятность работы схемы?

$P = 1 - (1-0{,}9)(1-0{,}8)(1-0{,}95) = 1 - 0{,}1 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}05 = 1 - 0{,}001 = 0{,}999$.

Ответ: $0{,}999$.

Параллельная схема значительно надёжнее ($0{,}999$ против $0{,}684$ в предыдущем примере).

Смешанные схемы

Реальные задачи часто комбинируют параллельные и последовательные блоки.

Метод: разбей схему на блоки, вычисли вероятность работы каждого блока, затем комбинируй.

Пример 3. Схема: блок A (два элемента параллельно, $p_1 = 0{,}9$, $p_2 = 0{,}8$) включён последовательно с блоком B ($p_3 = 0{,}95$).

$P_A = 1 - (1-0{,}9)(1-0{,}8) = 1 - 0{,}02 = 0{,}98$.

$P_{\text{схемы}} = P_A \cdot P_B = 0{,}98 \cdot 0{,}95 = 0{,}931$.

Ответ: $0{,}931$.

Задачи с одинаковыми элементами

Когда все $n$ элементов с одинаковой вероятностью работы $p$:

• Последовательно: $P = p^n$.
• Параллельно: $P = 1 - (1-p)^n$.

Пример 4. 4 батарейки одинаково надёжны ($p = 0{,}9$ каждая), включены параллельно. Вероятность работы?

$P = 1 - (0{,}1)^4 = 1 - 0{,}0001 = 0{,}9999$.

Пример 5. Те же 4 батарейки последовательно. Вероятность работы?

$P = (0{,}9)^4 = 0{,}6561$.

Задача с «хотя бы N рабочими»

Пример 6. Система из 3 лампочек (каждая $p = 0{,}8$). Система работает если хотя бы 2 лампочки работают. Вероятность?

Используем формулу Бернулли: $P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$.

$P(X=2) = C_3^2 \cdot 0{,}8^2 \cdot 0{,}2 = 3 \cdot 0{,}64 \cdot 0{,}2 = 0{,}384$.

$P(X=3) = C_3^3 \cdot 0{,}8^3 = 0{,}512$.

$P(X \geq 2) = 0{,}384 + 0{,}512 = 0{,}896$.

Ответ: $0{,}896$.

Алгоритм решения задачи на схему

1. Прочитай схему: что значит «работает» (параллельно или последовательно).
2. Определи вероятности работы каждого элемента.
3. Для последовательного блока: перемножь. Для параллельного: $1 - \prod(1-p_i)$.
4. Комбинируй блоки.

Частые ошибки

1. Путать «хотя бы один» и «все». «Хотя бы один» = параллельная логика ($1-\prod(1-p_i)$). «Все» = последовательная ($\prod p_i$).

2. Использовать вероятность отказа вместо работы. Убедись: $p_i$ — это вероятность РАБОТЫ, а $(1-p_i)$ — вероятность ОТКАЗА.

3. Не замечать смешанную схему. Разбей на блоки и решай блочно.

Связь с другими темами

• Сложение и умножение вероятностей — правило умножения для независимых событий.
• Условная вероятность — когда элементы не независимы.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 4 — задачи на надёжность схем, независимые события.