Формула Бернулли: вероятность k успехов из n испытаний

В простой задаче на вероятность ты бросаешь кубик один раз и считаешь шанс выпадения шестёрки. Это $1/6$. А что если кубик бросают пять раз, и нужно найти вероятность, что шестёрка выпадет ровно дважды? Перебирать все варианты долго. Здесь работает формула Бернулли — она сразу даёт ответ. Разберём, когда её применять и как.

Что такое схема Бернулли

Схема Бернулли — это серия из $n$ испытаний, в которых выполнены три условия:

1. Все испытания одинаковые: каждый раз делают одно и то же действие.
2. Все испытания независимые: результат одного не влияет на результат другого.
3. В каждом ровно два возможных исхода: «успех» (с вероятностью $p$) и «неуспех» (с вероятностью $q = 1 - p$).

Примеры:

• Пять раз подбрасываем монету. Успех — выпал орёл. $p = 0{,}5$.
• Десять раз стреляем по мишени. Успех — попадание. $p = 0{,}7$ (если стрелок 70-процентный).
• Из урны достают шар, возвращают, достают ещё раз. Успех — достали красный. Возврат шара важен: без него вероятность меняется от шага к шагу — это не Бернулли.

Если хотя бы одно из трёх условий нарушено — формула Бернулли не работает. Например, если стреляют без возврата патронов или вероятность зависит от предыдущего результата (стрелок устаёт).

Сама формула

Если в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ найти вероятность того, что успех произойдёт ровно $k$ раз, формула такая:

Запись $P_n(k)$ читается «вероятность $k$ успехов в $n$ испытаниях».

Разберём, что значит каждый множитель:

• $p^k$ — вероятность того, что в $k$ конкретных испытаниях случился успех (по умножению независимых событий).
• $(1-p)^{n-k}$ — вероятность того, что в оставшихся $n - k$ испытаниях случился неуспех.
• $C_n^k$ — число способов выбрать $k$ позиций из $n$, в которых произошёл успех. Без этого множителя ты бы посчитал вероятность только одной конкретной последовательности, а нас интересуют все последовательности с $k$ успехами.

Откуда берётся $C_n^k$ в формуле

Запишем все возможные исходы серии из 3 испытаний с двумя успехами (в обозначениях У/Н):

• УУН
• УНУ
• НУУ

Их три. И $C_3^2 = \dfrac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$. Это совпадение не случайно: количество способов расставить два успеха на три позиции = количество способов выбрать две позиции из трёх = $C_3^2$.

Каждая из трёх последовательностей имеет одну и ту же вероятность $p^2 \cdot (1-p)^1$ (по умножению независимых). А раз последовательностей три, общая вероятность ровно двух успехов — это $3 \cdot p^2 \cdot (1-p)$, что и есть формула Бернулли с $n = 3$, $k = 2$.

Пример 1: монета и орлы

Условие. Монету подбрасывают 5 раз. Найди вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение. Подбрасывания независимые, исходов два: орёл/решка, $p = 0{,}5$. Это схема Бернулли с $n = 5$, $k = 3$.

Считаем $C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = \dfrac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

$0{,}5^5 = 1/32 = 0{,}03125$.

Ответ: $0{,}3125$.

Пример 2: стрелок (типичная задача №4 ЕГЭ)

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}8$. Он делает 4 выстрела. Найди вероятность, что он попадёт ровно 3 раза.

Решение. $n = 4$, $k = 3$, $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$.

$C_4^3 = 4$.

$0{,}8^3 = 0{,}512$.

Ответ: $0{,}4096$.

Пример 3: «хотя бы один успех» через противоположное

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$. Сделает 5 выстрелов. Какова вероятность, что он попадёт хотя бы один раз?

Решение. «Хотя бы один» = «не ноль». Сначала найдём вероятность ноля попаданий и вычтем из единицы.

$0{,}3^5 = 0{,}00243$.

Ответ: $0{,}99757 \approx 0{,}998$.

Этот приём — «через противоположное» — экономит время, когда «хотя бы $k$» означает суммировать много слагаемых. Сравни: посчитать пять вероятностей $P_5(1) + P_5(2) + \ldots + P_5(5)$ или одну $1 - P_5(0)$. Выбор очевиден.

Пример 4: «не более двух» — сумма нескольких

Условие. В партии 10% дефектных деталей. Случайно выбирают 6 деталей. Найди вероятность, что среди них не более двух дефектных.

Решение. $n = 6$, $p = 0{,}1$, $q = 0{,}9$. «Не более двух» = «$k = 0$ или $k = 1$ или $k = 2$».

Считаем по очереди:

$P_6(0) = C_6^0 \cdot 0{,}1^0 \cdot 0{,}9^6 = 0{,}9^6 \approx 0{,}5314$.

$P_6(1) = C_6^1 \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^5 = 6 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}59049 \approx 0{,}3543$.

$P_6(2) = C_6^2 \cdot 0{,}1^2 \cdot 0{,}9^4 = 15 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}6561 \approx 0{,}0984$.

Суммируем:

Ответ: $\approx 0{,}9841$.

Пример 5: ловушка с зависимыми испытаниями

Условие. В коробке 4 белых и 6 чёрных шаров. Достают подряд 3 шара без возврата. Найди вероятность, что среди них ровно 2 белых.

Решение. Стоп. Тут нельзя применять формулу Бернулли напрямую: вероятность достать белый шар меняется от шага к шагу (после извлечения шара состав коробки другой). Условие «одинаковая $p$» нарушено.

Здесь работает формула классической вероятности через сочетания:

Числитель — сколько способов выбрать 2 белых из 4 и 1 чёрный из 6. Знаменатель — все способы выбрать 3 шара из 10.

Ответ: $0{,}3$.

Эта задача показывает: всегда проверяй три условия схемы Бернулли. Без этого формула не применима.

Когда применять формулу Бернулли в ЕГЭ

В заданиях 4 и 5 ЕГЭ профиль формула Бернулли работает в трёх типичных постановках:

1. «Стрелок сделал N выстрелов, найти вероятность ровно K попаданий» — прямое применение.
2. «Игроку даётся N попыток с одинаковой вероятностью успеха, найти вероятность хотя бы M успехов» — через противоположное или сумма.
3. «Из устройства с независимыми элементами, каждый работает с вероятностью p, найти вероятность что работают ровно K элементов» — прямое применение.

Если в задаче встречается «без возврата», или вероятность меняется со временем, или испытания зависимые — это не Бернулли. Тогда работаем через классическую формулу с сочетаниями или через дерево вероятностей.

Частые ошибки

Ошибка 1: забыли $C_n^k$. Считают $p^k \cdot (1-p)^{n-k}$ и забывают, что таких последовательностей много. Вероятность получается заниженная в разы.

Ошибка 2: путают $p$ и $q$. Если в условии «вероятность брака 0,1», а спрашивают про небракованные — нужно $p = 0{,}9$, а не $0{,}1$.

Ошибка 3: применяют формулу при зависимых испытаниях. «Без возврата», «второй элемент зависит от первого» — не Бернулли. Формула даст неверный ответ.

Ошибка 4: считают «хотя бы $k$» как $P_n(k)$. «Ровно $k$» и «хотя бы $k$» — разные вещи. «Хотя бы 1» = $1 - P_n(0)$, а не $P_n(1)$.

Как формула Бернулли связана с биномиальным распределением

Формула Бернулли — это, по сути, формула вероятности для биномиального распределения. Случайная величина «число успехов в $n$ испытаниях» распределена биномиально с параметрами $n$ и $p$. Её математическое ожидание равно $np$, дисперсия — $np(1-p)$. Эти формулы пригодятся в задачах, где нужно оценить «среднее количество успехов» без полного перебора.

В ЕГЭ профиль до явных формул математического ожидания биномиального распределения дело обычно не доходит, но если в задаче спрашивают «сколько в среднем», ответ для серии из $n$ испытаний с вероятностью $p$ — это $n \cdot p$.

Что запомнить

• Схема Бернулли — серия одинаковых независимых испытаний с двумя исходами и постоянной $p$.
• Формула: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$.
• $C_n^k$ — число способов выбрать $k$ позиций из $n$, без него ответ будет в разы меньше.
• «Хотя бы один» удобнее считать как $1 - P_n(0)$.
• «Без возврата», «зависимые испытания» — не Бернулли; работаем через классическую формулу.