Формула Бернулли: вероятность k успехов из n испытаний

В простой задаче на вероятность ты бросаешь кубик один раз и считаешь шанс выпадения шестёрки. Это $1/6$. А что если кубик бросают пять раз, и нужно найти вероятность, что шестёрка выпадет ровно дважды? Перебирать все варианты долго. Здесь работает формула Бернулли — она сразу даёт ответ. Разберём, когда её применять и как.

Что такое схема Бернулли

Схема Бернулли — это серия из $n$ испытаний, в которых выполнены три условия:

1. Все испытания одинаковые: каждый раз делают одно и то же действие.
2. Все испытания независимые: результат одного не влияет на результат другого.
3. В каждом ровно два возможных исхода: «успех» (с вероятностью $p$) и «неуспех» (с вероятностью $q=1-p$).

Примеры:

• Пять раз подбрасываем монету. Успех — выпал орёл. $p=0,5$.
• Десять раз стреляем по мишени. Успех — попадание. $p=0,7$ (если стрелок 70-процентный).
• Из урны достают шар, возвращают, достают ещё раз. Успех — достали красный. Возврат шара важен: без него вероятность меняется от шага к шагу — это не Бернулли.

Если хотя бы одно из трёх условий нарушено — формула Бернулли не работает. Например, если стреляют без возврата патронов или вероятность зависит от предыдущего результата (стрелок устаёт).

Сама формула

Если в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ найти вероятность того, что успех произойдёт ровно $k$ раз, формула такая:

Запись $P_n(k)$ читается «вероятность $k$ успехов в $n$ испытаниях».

Разберём, что значит каждый множитель:

• $p^k$ — вероятность того, что в $k$ конкретных испытаниях случился успех (по умножению независимых событий).
• $(1-p{)}^{n-k}$ — вероятность того, что в оставшихся $n-k$ испытаниях случился неуспех.
• $C_n^k$ — число способов выбрать $k$ позиций из $n$, в которых произошёл успех. Без этого множителя ты бы посчитал вероятность только одной конкретной последовательности, а нас интересуют все последовательности с $k$ успехами.

Откуда берётся $C_n^k$ в формуле

Запишем все возможные исходы серии из 3 испытаний с двумя успехами (в обозначениях У/Н):

• УУН
• УНУ
• НУУ

Их три. И $C_3^2=\frac{3!}{2!\cdot 1!}=3$. Это совпадение не случайно: количество способов расставить два успеха на три позиции = количество способов выбрать две позиции из трёх = $C_3^2$.

Каждая из трёх последовательностей имеет одну и ту же вероятность $p^2\cdot (1-p{)}^1$ (по умножению независимых). А раз последовательностей три, общая вероятность ровно двух успехов — это $3\cdot p^2\cdot (1-p)$, что и есть формула Бернулли с $n=3$, $k=2$.

Пример 1: монета и орлы

Условие. Монету подбрасывают 5 раз. Найди вероятность, что орёл выпадет ровно 3 раза.

Решение. Подбрасывания независимые, исходов два: орёл/решка, $p=0,5$. Это схема Бернулли с $n=5$, $k=3$.

Считаем $C_5^3=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{5\cdot 4}{2}=10$.

$0,5^5=1/32=0,03125$.

Ответ: $0,3125$.

Пример 2: стрелок

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0,8$. Он делает 4 выстрела. Найди вероятность, что он попадёт ровно 3 раза.

Решение. $n=4$, $k=3$, $p=0,8$, $q=0,2$.

$C_4^3=4$.

$0,8^3=0,512$.

Ответ: $0,4096$.

Пример 3: «хотя бы один успех» через противоположное

Условие. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0,7$. Сделает 5 выстрелов. Какова вероятность, что он попадёт хотя бы один раз?

Решение. «Хотя бы один» = «не ноль». Сначала найдём вероятность ноля попаданий и вычтем из единицы.

$0,3^5=0,00243$.

Ответ: $0,99757\approx 0,998$.

Этот приём — «через противоположное» — экономит время, когда «хотя бы $k$» означает суммировать много слагаемых. Сравни: посчитать пять вероятностей $P_5(1)+P_5(2)+\dots +P_5(5)$ или одну $1-P_5(0)$. Выбор очевиден.

Пример 4: «не более двух» — сумма нескольких

Условие. В очень большой партии 10% дефектных деталей. Случайно выбирают 6 деталей. Найди вероятность, что среди них не более двух дефектных.

Решение. Партия очень большая, поэтому выбор детали почти не меняет её состав, и вероятность дефекта при каждом выборе можно считать равной $0,1$. Для небольшой партии (например, 20 деталей) такой подход неверен: там выбор без возврата меняет вероятности. Итак, $n=6$, $p=0,1$, $q=0,9$. «Не более двух» = «$k=0$ или $k=1$ или $k=2$».

Считаем по очереди:

$P_6(0)=C_6^0\cdot 0,1^0\cdot 0,9^6=0,9^6\approx 0,5314$.

$P_6(1)=C_6^1\cdot 0,1^1\cdot 0,9^5=6\cdot 0,1\cdot 0,59049\approx 0,3543$.

$P_6(2)=C_6^2\cdot 0,1^2\cdot 0,9^4=15\cdot 0,01\cdot 0,6561\approx 0,0984$.

Суммируем:

Ответ: $\approx 0,9841$.

Пример 5: ловушка с зависимыми испытаниями

Условие. В коробке 7 красных и 3 зелёных шара. Достают подряд 3 шара без возврата. Найди вероятность, что среди них ровно 1 зелёный.

Решение. Стоп. Формулу Бернулли здесь применять нельзя: вероятность достать зелёный шар меняется от шага к шагу (после извлечения шара состав коробки другой). Условие «одинаковая $p$» нарушено. Если подставить $p=0,3$, получится $3\cdot 0,3\cdot 0,7^2=0,441$, и это неверный ответ.

Здесь работает классическая вероятность через сочетания:

Числитель — сколько способов выбрать 1 зелёный из 3 и 2 красных из 7. Знаменатель — все способы выбрать 3 шара из 10.

Ответ: $0,525$.

Всегда проверяй три условия схемы Бернулли. Без них формула не применима.

Где формула Бернулли в программе ЕГЭ

В кодификаторе ЕГЭ-2027 (проект документов ФИПИ) формула Бернулли названа среди проверяемых требований по теме «вероятность» вместе с формулами сложения и умножения, полной вероятности и комбинаторикой. Отдельному номеру задания в спецификации она не приписана: №4 и №5 — классическое определение вероятности и вероятности сложных событий, №6 — случайная величина и её числовые характеристики. Поэтому смотри не на номер, а на условия: одинаковые независимые испытания и два исхода.

Схема Бернулли подходит для постановок:

1. «Сделано $N$ выстрелов, найти вероятность ровно $K$ попаданий» — прямая подстановка.
2. «Даётся $N$ попыток с одинаковой вероятностью успеха, найти вероятность хотя бы $M$ успехов» — через противоположное событие или сумма.
3. «В устройстве $N$ независимых элементов, каждый работает с вероятностью $p$, найти вероятность, что работают ровно $K$» — прямая подстановка.

Если встречается «без возврата», или вероятность меняется со временем, или испытания зависимы, это не Бернулли. Тогда работаем через классическую формулу с сочетаниями или через дерево вероятностей.

Частые ошибки

Ошибка 1: забыли $C_n^k$. Считают $p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$ и забывают, что таких последовательностей много. Вероятность получается заниженная в разы.

Ошибка 2: путают $p$ и $q$. Если в условии «вероятность брака 0,1», а спрашивают про небракованные — нужно $p=0,9$, а не $0,1$.

Ошибка 3: применяют формулу при зависимых испытаниях. «Без возврата», «второй элемент зависит от первого» — не Бернулли. Формула даст неверный ответ.

Ошибка 4: считают «хотя бы $k$» как $P_n(k)$. «Ровно $k$» и «хотя бы $k$» — разные вещи. «Хотя бы 1» = $1-P_n(0)$, а не $P_n(1)$.

Как формула Бернулли связана с биномиальным распределением

Формула Бернулли — это формула вероятности биномиального распределения. Случайная величина «число успехов в $n$ испытаниях» распределена биномиально с параметрами $n$ и $p$. Её математическое ожидание равно $np$, дисперсия — $np(1-p)$.

В ЕГЭ-2027 (по проекту спецификации) в часть 1 добавлено задание 6 про случайную величину, распределение вероятностей, математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение. Для биномиального случая эти характеристики считаются по готовым формулам.

Пример. Стрелок попадает с вероятностью $0,3$ и делает 10 выстрелов. Найди математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.

Решение. $n=10$, $p=0,3$. Математическое ожидание $E=np=10\cdot 0,3=3$. Дисперсия $D=np(1-p)=10\cdot 0,3\cdot 0,7=2,1$. Стандартное отклонение $\sigma =\sqrt{2,1}$.

Ответ: $E=3$, $D=2,1$.

Что запомнить

• Схема Бернулли — серия одинаковых независимых испытаний с двумя исходами и постоянной $p$.
• Формула: $P_n(k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$.
• $C_n^k$ — число способов выбрать $k$ позиций из $n$, без него ответ будет в разы меньше.
• «Хотя бы один» удобнее считать как $1-P_n(0)$.
• «Без возврата», «зависимые испытания» — не Бернулли; работаем через классическую формулу.

Проверено: 2026-10-08. Номера и состав требований даны по проекту кодификатора и спецификации ЕГЭ-2027 (ФИПИ).