Как вычислить условную вероятность?

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(B) > 0$. Числитель — вероятность совместного наступления обоих событий, знаменатель — вероятность условия.

Чем условная вероятность отличается от обычной?

Обычная вероятность рассматривает всё пространство исходов. Условная — только те исходы, в которых условие $B$ выполнено. Формально: $P(A|B) \neq P(A)$, если $A$ и $B$ зависимы.

Что такое дерево вероятностей?

Граф, где каждый путь от корня к листу — последовательность событий. Вероятность пути равна произведению вероятностей по рёбрам. Удобен для многоэтапных испытаний.

Что такое формула умножения вероятностей?

$P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B) = P(B|A) \cdot P(A)$. Это следствие из определения условной вероятности.

Когда события называются независимыми?

Когда $P(A|B) = P(A)$, то есть знание о $B$ не меняет вероятность $A$. Эквивалентно: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Что такое формула полной вероятности?

Если $B_1, B_2, \ldots, B_n$ — полная система событий, то $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A|B_i) \cdot P(B_i)$. Позволяет найти вероятность $A$ через разбивку на случаи.

Как связаны условная вероятность и теорема Байеса?

Теорема Байеса выражает «обратную» условную вероятность: $P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i) \cdot P(B_i)}{P(A)}$. В ЕГЭ эту формулу применяют в задачах типа «дефектная деталь выбрана из второй партии — какова вероятность?».

Условная вероятность: формула и примеры

Q: Что такое условная вероятность?

Вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло. Обозначается $P(A|B)$ (читается «вероятность $A$ при условии $B$»). Это вероятность из нового, суженного пространства — тех исходов, в которых $B$ реализовалось.

Задания 4 и 5 ЕГЭ профиля — это вероятности. Простые задачи (выбрать шар из урны) берутся напрямую. Сложные требуют условной вероятности: сначала произошло одно событие, потом — другое, и нужно учесть первое. Формула небольшая, но логика за ней — отдельная история. Разберём.

Заметь

Классическая вероятность: $P(A) = \frac{m}{n}$ , где $m$ — число благоприятных, $n$ — число всех равновозможных исходов
Операции над событиями: пересечение ( $A \cap B$ ), объединение ( $A \cup B$ ), дополнение ( $\bar{A}$ )
Сложение вероятностей: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Проверь готовность: В урне 5 красных и 3 синих шара. Вытащили один шар. Чему равна вероятность, что он красный?

Ответ

P(\text{красный}) = 5 / (5 + 3) = 5/8

Что такое условная вероятность

Представь: ты гадаешь, выпал ли на кубике чётный номер, зная, что он точно больше 3. Это уже не все шесть исходов — только те, где выпало больше 3: $\{4, 5, 6\}$ . Чётных среди них: $\{4, 6\}$ . Вероятность: $2/3$ .

Вот это и есть условная вероятность: вероятность события $A$ при условии, что уже известно о событии $B$ .

Формально:

$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$

Читается: «вероятность $A$ при условии $B$ ».

Здесь:

$P(A \cap B)$ — вероятность того, что оба события произошли одновременно,
$P(B)$ — вероятность условия (знаменатель всегда положителен).

Из этой формулы следует формула умножения вероятностей:

$P(A \cap B) = P(A \mid B) \cdot P(B)$

Она работает в обе стороны: $P(A \cap B) = P(B \mid A) \cdot P(A)$ тоже верно.

Независимые события

Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если знание о наступлении $B$ не меняет вероятности $A$ :

$P(A \mid B) = P(A)$

Это эквивалентно условию:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Пример независимых событий: подбрасываем монету дважды. Выпадение «орла» в первом броске не влияет на результат второго. $P(\text{орёл на втором} | \text{орёл на первом}) = P(\text{орёл на втором}) = 0.5$ .

Зависимые события: берём шар из урны без возврата. Результат второго извлечения зависит от первого — состав урны изменился.

Дерево вероятностей

Дерево вероятностей — наглядный способ вычислять вероятности последовательных испытаний.

Как строить:

Каждый «узел» — событие.
Рёбра из узла — возможные исходы; на ребре написана вероятность этого исхода.
Сумма вероятностей рёбер из одного узла = 1.
Вероятность любого «пути» (листа) = произведение вероятностей по рёбрам пути.

Пример. Завод выпускает детали: $60\%$ — с автоматической линии A, $40\%$ — с линии B. Среди деталей линии A брак составляет $2\%$ , линии B — $5\%$ . Найти вероятность того, что случайная деталь окажется бракованной.

Строим дерево:

Корень → Линия A (вероятность 0.6) → брак (0.02), не брак (0.98)
Корень → Линия B (вероятность 0.4) → брак (0.05), не брак (0.95)

Вероятность брака по каждому пути:

Путь «A + брак»: $0.6 \cdot 0.02 = 0.012$
Путь «B + брак»: $0.4 \cdot 0.05 = 0.020$

Итого (суммируем все пути с браком):

$P(\text{брак}) = 0.012 + 0.020 = 0.032$

Это и есть формула полной вероятности:

$P(A) = P(A \mid B_1) \cdot P(B_1) + P(A \mid B_2) \cdot P(B_2) + \ldots$

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). В ящике 6 белых и 4 чёрных шара. Вытаскивают два шара подряд без возврата. Найти вероятность того, что второй шар белый при условии, что первый тоже белый.

Решение.

После того как первый шар оказался белым, в ящике осталось 5 белых и 4 чёрных, итого 9 шаров.

Вероятность того, что второй шар белый при условии, что первый белый:

$P(\text{2-й белый} \mid \text{1-й белый}) = \frac{5}{9}$

Можно записать через формулу: $P(\text{1-й бел.} \cap \text{2-й бел.}) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$ .

Тогда $P(\text{2-й бел.} | \text{1-й бел.}) = \frac{1/3}{6/10} = \frac{1/3}{3/5} = \frac{5}{9}$ .

Ответ: $5/9$ .

Типичная ошибка. Не обновлять состав ящика после первого извлечения и считать вероятность как $6/10$ . После извлечения без возврата состав меняется.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Два автомата производят детали. Автомат № 1 даёт $1\%$ брака, автомат № 2 — $2\%$ брака. Автомат № 1 производит $70\%$ деталей. Наугад взяли одну деталь и обнаружили брак. Какова вероятность, что деталь произвёл автомат № 1?

Решение.

Обозначим: $B_1$ — деталь с автомата 1, $B_2$ — с автомата 2, $A$ — брак.

Данные: $P(B_1) = 0.7$ , $P(B_2) = 0.3$ , $P(A|B_1) = 0.01$ , $P(A|B_2) = 0.02$ .

По формуле полной вероятности:

$P(A) = 0.7 \cdot 0.01 + 0.3 \cdot 0.02 = 0.007 + 0.006 = 0.013$

Теперь найди $P(B_1|A)$ по теореме Байеса самостоятельно. Подсказка: $P(B_1|A) = P(A \cap B_1) / P(A)$ .

Нахождение P(B₁|A)

P(A \cap B_1) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) = 0.01 \cdot 0.7 = 0.007

. Тогда

P(B_1|A) = 0.007 / 0.013 \approx 0.538

Типичная ошибка. Посчитать $P(B_1|A) = P(B_1) = 0.7$ (просто взять долю производства). Условная вероятность меняется — брак «увеличивает подозрение» на автомат с большим процентом брака.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Из колоды в 36 карт вытащили одну карту и не показали. Известно только, что карта червей. Найди вероятность того, что эта карта — туз.

Шаг 1: определи события $A$ = «туз» и $B$ = «черви», запиши $P(A \cap B)$ и $P(B)$ .

Шаг 1: ответ

В колоде 36 карт, из них 9 червей, 4 туза (по одному каждой масти).

P(A \cap B) = P(\text{туз червей}) = 1/36

P(B) = 9/36 = 1/4

Шаг 2: вычисли $P(A|B)$ и интерпретируй результат.

Шаг 2: ответ

P(A|B) = \frac{1/36}{9/36} = \frac{1}{9}

. Интерпретация: среди 9 червей один является тузом, поэтому вероятность 1/9. Условие «карта червей» сузило пространство исходов с 36 до 9.

Типичная ошибка. Посчитать вероятность туза как $4/36 = 1/9$ без учёта условия «черви». В данном конкретном случае ответ совпал! Но это случайность: вероятность туза в колоде $4/36 = 1/9$ и вероятность туза при условии «черви» $1/9$ — одинаковы, потому что в каждой масти ровно 1 туз. Это пример независимых событий.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Путать $P(A|B)$ и $P(B|A)$ . «Вероятность заболеть при наличии симптома» и «вероятность симптома при наличии болезни» — разные числа.

Ошибка 2. Применять формулу умножения для независимых событий ( $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ ) к зависимым событиям.

Ошибка 3. В задачах «без возврата» не обновлять состав (ящика, урны) после каждого шага.

Ошибка 4. В формуле полной вероятности брать не полную систему гипотез. Сумма $P(B_i)$ должна быть равна 1.

Ошибка 5. Делить на ноль: $P(B) = 0$ делает формулу неприменимой. Если событие-условие невозможно — задача некорректна.

Связь с другими темами

Условная вероятность — часть более широкой теории вероятностей. Понятие независимости событий напрямую связано с событиями в классической вероятности. Формула полной вероятности и теорема Байеса используются в задачах заданий 4 и 5, когда испытание проводится в несколько этапов.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задания 4 и 5 — вероятностные задачи профиля. Бывает двух типов: «найди вероятность события» (прямое применение формулы) и «дана условная вероятность, найди...» (обратная задача через формулу Байеса или полной вероятности).

Проверь, где у тебя пробелы

15-минутная диагностика покажет все слабые темы и построит персональный план подготовки

Начать диагностику

Условная вероятность: формула и примеры

Что такое условная вероятность

Независимые события

Дерево вероятностей

Разбор примеров

Типичные ошибки

Связь с другими темами

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Часто задаваемые вопросы

Частые вопросы

Смежные темы