Задание 4 ЕГЭ профиль — вероятность сложных событий

Задание 4 ЕГЭ профиль — вероятность сложных событий. Здесь уже не «сколько шаров достали», а «какова вероятность, что в трёх испытаниях будет ровно два успеха». Это место, где нужно различать сложение и умножение, независимые и зависимые события.

Что проверяется в задании 4

Типичные темы:

• Сложение вероятностей несовместных событий.
• Умножение вероятностей независимых событий.
• Формула Бернулли (k успехов из n испытаний).
• Условная вероятность.
• Применение «противоположного события» для упрощения.

Ответ записывается десятичной дробью (обычно с округлением до сотых).

Базовые формулы

Сложение вероятностей (для несовместных событий):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Сложение (для совместных):

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Умножение вероятностей (для независимых событий):

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Умножение (для зависимых):

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

Формула Бернулли (k успехов в n испытаниях, $p$ — вероятность успеха):

$P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}$

где $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ — биномиальный коэффициент.

Противоположное событие:

$P(\bar A) = 1 - P(A)$

Типы задач

Тип 1: «Хотя бы одно» через противоположное

«Какова вероятность, что среди $n$ испытаний хотя бы одно успешное?»

Прямой подсчёт сложен (надо складывать вероятности «1 успех», «2 успеха», ..., «n успехов»). Проще:

$P(\text{хотя бы 1}) = 1 - P(\text{ни одного}) = 1 - (1 - p)^n$

Пример. Стрелок попадает с вероятностью $0{,}8$. Какова вероятность, что в 3 выстрелах он попадёт хотя бы раз?

$P = 1 - (1 - 0{,}8)^3 = 1 - 0{,}008 = 0{,}992$.

Тип 2: ровно k из n (формула Бернулли)

«Бросают монету 5 раз. Какова вероятность, что выпадет ровно 3 орла?»

$p = 1/2$, $n = 5$, $k = 3$.

$P(3) = C_5^3 \cdot (1/2)^3 \cdot (1/2)^2 = 10 \cdot 1/32 = 5/16 = 0{,}3125$

Тип 3: умножение независимых

«В двух коробках лежат шары: в первой 4 белых и 1 красный, во второй 3 белых и 2 красных. Из каждой коробки достают по шару. Какова вероятность, что оба белых?»

События независимы. $P(\text{белый из 1-й}) = 4/5$. $P(\text{белый из 2-й}) = 3/5$.

$P(\text{оба белых}) = 4/5 \cdot 3/5 = 12/25 = 0{,}48$.

Тип 4: условная вероятность

«В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Достают подряд два шара (без возврата). Какова вероятность, что оба белых?»

События зависимы. $P(\text{1-й белый}) = 5/8$. После первого взятия осталось 4 белых из 7. $P(\text{2-й белый} \mid \text{1-й белый}) = 4/7$.

$P = 5/8 \cdot 4/7 = 20/56 = 5/14 \approx 0{,}357$.

Типичные шаблоны задач ЕГЭ

Шаблон 1. Магазин получает товар от двух заводов. Завод A даёт 60% продукции с вероятностью брака $0{,}02$. Завод B — 40% с вероятностью брака $0{,}05$. Какова вероятность, что случайно купленный товар — бракованный?

Решение через формулу полной вероятности:

$P(\text{брак}) = P(A) \cdot P(\text{брак} \mid A) + P(B) \cdot P(\text{брак} \mid B) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032$

Шаблон 2. Игрок берёт штрафной с вероятностью попадания $0{,}7$. Бросает 4 штрафных. Какова вероятность ровно 3 попаданий?

Формула Бернулли:

$P(3) = C_4^3 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^1 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116$

Распространённые ошибки

1. Складывать вероятности когда события совместны. Если $A$ и $B$ могут произойти одновременно, нельзя просто $P(A) + P(B)$. Нужно вычесть пересечение.

2. Умножать вероятности когда события зависимы. В задачах «без возврата» события зависимы — нужна условная вероятность.

3. Не использовать «противоположное событие». Часто прямой подсчёт длинен, а через $1 - P(\bar A)$ короче.

4. Перепутать $C_n^k$ и $A_n^k$. Сочетания (порядок не важен) и размещения (порядок важен) — разные вещи. В формуле Бернулли — сочетания.

5. Округлять не до того знака. На ЕГЭ обычно требуется округление до сотых — внимательно читай условие.

Разобранный пример

Условие. Вероятность попадания в мишень с одного выстрела равна $0{,}6$. Какова вероятность того, что из 5 выстрелов будет ровно 4 попадания?

Решение. Формула Бернулли. $n = 5$, $k = 4$, $p = 0{,}6$, $1 - p = 0{,}4$.

$P(4) = C_5^4 \cdot 0{,}6^4 \cdot 0{,}4^1 = 5 \cdot 0{,}1296 \cdot 0{,}4 = 0{,}2592$

Округление до сотых: $0{,}26$.

Ответ. $0{,}26$.

Что запомнить

• Сложение для несовместных, умножение для независимых.
• Формула Бернулли: $C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$.
• «Хотя бы одно» — через противоположное: $1 - (1-p)^n$.
• Без возврата — условная вероятность.
• Округление обычно до сотых.

Связь с другими темами

• Задание 2: вероятность простая — базовый уровень.
• Задание 5: вероятность сложная — формулы и сложные комбинации.