Сколько баллов даёт задание 4 ЕГЭ профиль?

1 балл. Часть 1, ответ — число (обычно десятичная дробь от 0 до 1).

Чем задание 4 отличается от задания 2 по вероятности?

Задание 2 — простые случаи (классическое определение, благоприятные исходы / общее число). Задание 4 — сложные события — комбинации с применением сложения, умножения вероятностей и формулы Бернулли.

Когда применять сложение вероятностей?

Когда события несовместны (не могут произойти одновременно). P(A или B) = P(A) + P(B). Если совместны — P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B).

Когда применять умножение вероятностей?

Когда события независимы. P(A и B) = P(A) · P(B). Если зависимы — P(A и B) = P(A) · P(B|A), где P(B|A) — условная вероятность.

Что такое формула Бернулли?

Формула для вероятности «k успехов из n испытаний», где каждое испытание независимо и имеет вероятность успеха p. Формула — P(k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k).

Чему равна вероятность противоположного события?

P(не A) = 1 - P(A). Часто проще найти противоположное и вычесть из 1, чем считать само событие напрямую.

Задание 4 ЕГЭ профиль — вероятность сложных событий

Задание 4 ЕГЭ профиль — вероятность сложных событий. Здесь уже не «сколько шаров достали», а «какова вероятность, что в трёх испытаниях будет ровно два успеха». Это место, где нужно различать сложение и умножение, независимые и зависимые события.

Что проверяется в задании 4

Типичные темы:

Сложение вероятностей несовместных событий.
Умножение вероятностей независимых событий.
Формула Бернулли (k успехов из n испытаний).
Условная вероятность.
Применение «противоположного события» для упрощения.

Ответ записывается десятичной дробью (обычно с округлением до сотых).

Базовые формулы

Сложение вероятностей (для несовместных событий):

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Сложение (для совместных):

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Умножение вероятностей (для независимых событий):

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Умножение (для зависимых):

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

Формула Бернулли (k успехов в n испытаниях, $p$ — вероятность успеха):

$P (k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}$

где $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ — биномиальный коэффициент.

Противоположное событие:

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$

Типы задач

Тип 1: «Хотя бы одно» через противоположное

«Какова вероятность, что среди $n$ испытаний хотя бы одно успешное?»

Прямой подсчёт сложен (надо складывать вероятности «1 успех», «2 успеха», ..., «n успехов»). Проще:

$P (хотя бы 1) = 1 - P (ни одного) = 1 - (1 - p)^{n}$

Пример. Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ . Какова вероятность, что в 3 выстрелах он попадёт хотя бы раз?

$P = 1 - (1 - 0, 8)^{3} = 1 - 0, 008 = 0, 992$ .

Тип 2: ровно k из n (формула Бернулли)

«Бросают монету 5 раз. Какова вероятность, что выпадет ровно 3 орла?»

$p = 1/2$ , $n = 5$ , $k = 3$ .

$P (3) = C_{5}^{3} \cdot (1/2)^{3} \cdot (1/2)^{2} = 10 \cdot 1/32 = 5/16 = 0, 3125$

Тип 3: умножение независимых

«В двух коробках лежат шары: в первой 4 белых и 1 красный, во второй 3 белых и 2 красных. Из каждой коробки достают по шару. Какова вероятность, что оба белых?»

События независимы. $P (белый из 1- й) = 4/5$ . $P (белый из 2- й) = 3/5$ .

$P (оба белых) = 4/5 \cdot 3/5 = 12/25 = 0, 48$ .

Тип 4: условная вероятность

«В коробке 5 белых и 3 чёрных шара. Достают подряд два шара (без возврата). Какова вероятность, что оба белых?»

События зависимы. $P (1- й белый) = 5/8$ . После первого взятия осталось 4 белых из 7. $P (2- й белый ∣ 1- й белый) = 4/7$ .

$P = 5/8 \cdot 4/7 = 20/56 = 5/14 \approx 0, 357$ .

Типичные шаблоны задач ЕГЭ

Шаблон 1. Магазин получает товар от двух заводов. Завод A даёт 60% продукции с вероятностью брака $0, 02$ . Завод B — 40% с вероятностью брака $0, 05$ . Какова вероятность, что случайно купленный товар — бракованный?

Решение через формулу полной вероятности:

$P (брак) = P (A) \cdot P (брак ∣ A) + P (B) \cdot P (брак ∣ B) = 0, 6 \cdot 0, 02 + 0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 012 + 0, 02 = 0, 032$

Шаблон 2. Игрок берёт штрафной с вероятностью попадания $0, 7$ . Бросает 4 штрафных. Какова вероятность ровно 3 попаданий?

Формула Бернулли:

$P (3) = C_{4}^{3} \cdot 0, 7^{3} \cdot 0, 3^{1} = 4 \cdot 0, 343 \cdot 0, 3 = 0, 4116$

Распространённые ошибки

1. Складывать вероятности когда события совместны. Если $A$ и $B$ могут произойти одновременно, нельзя просто $P (A) + P (B)$ . Нужно вычесть пересечение.

2. Умножать вероятности когда события зависимы. В задачах «без возврата» события зависимы — нужна условная вероятность.

3. Не использовать «противоположное событие». Часто прямой подсчёт длинен, а через $1 - P (\overset{ˉ}{A})$ короче.

4. Перепутать $C_{n}^{k}$ и $A_{n}^{k}$ . Сочетания (порядок не важен) и размещения (порядок важен) — разные вещи. В формуле Бернулли — сочетания.

5. Округлять не до того знака. На ЕГЭ обычно требуется округление до сотых — внимательно читай условие.

Разобранный пример

Условие. Вероятность попадания в мишень с одного выстрела равна $0, 6$ . Какова вероятность того, что из 5 выстрелов будет ровно 4 попадания?

Решение. Формула Бернулли. $n = 5$ , $k = 4$ , $p = 0, 6$ , $1 - p = 0, 4$ .

$P (4) = C_{5}^{4} \cdot 0, 6^{4} \cdot 0, 4^{1} = 5 \cdot 0, 1296 \cdot 0, 4 = 0, 2592$

Округление до сотых: $0, 26$ .

Ответ. $0, 26$ .

Что запомнить

Сложение для несовместных, умножение для независимых.
Формула Бернулли: $C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}$ .
«Хотя бы одно» — через противоположное: $1 - (1 - p)^{n}$ .
Без возврата — условная вероятность.
Округление обычно до сотых.

Связь с другими темами

Задание 2: вероятность простая — базовый уровень.
Задание 5: вероятность сложная — формулы и сложные комбинации.

Прокачай задание 4

15 минут диагностики покажут пробелы в теории вероятностей. Дальше — точечная тренировка.

Попробовать бесплатно