Классическое определение вероятности

Задание 4 ЕГЭ по профильной математике — одно из самых предсказуемых во всём варианте. Формула одна, алгоритм один, типичных ошибок — пять. Разберём всё по порядку: что такое вероятность события, как считать исходы и когда переходить к дополнению.

Быстрая проверка готовности

Сколькими способами можно выбрать 2 карты из 5? Ответ:

C_{5}^{2} = \frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !} = 10

способов. Если ответил верно — тема не страшна.

Что такое случайное событие

Прежде чем считать вероятность, нужно понять, что именно мы считаем.

Опыт (испытание) — это действие с заранее неизвестным результатом. Бросить кубик. Вытащить шар из коробки. Купить лотерейный билет. У каждого опыта есть набор элементарных исходов — это все возможные результаты, которые могут случиться.

Возьмём обычный кубик: бросаем его один раз. Элементарных исходов шесть — грани с числами от 1 до 6. Каждый элементарный исход случается ровно один раз, никакой совмещённый исход (например, «выпало и 3, и 5 одновременно») в классике не рассматривается.

Событие — это подмножество элементарных исходов, то есть описание одного или нескольких результатов. Например, событие «выпало чётное число» — это не один исход, а сразу три: 2, 4 и 6.

Ответ

Элементарных исходов всего 6 (грани 1–6). В событие «больше 4» входят два исхода: 5 и 6.

Вот главная формула темы. Запомни её один раз — и задание 4 всегда будет твоим.

Пусть проводится опыт, у которого ровно $n$ равновозможных элементарных исходов. Событие $A$ наступает ровно при $m$ из этих исходов. Тогда вероятность события $A$ равна:

$P (A) = \frac{m}{n}$

Здесь:

$n$ — общее число элементарных исходов (все, что вообще могут случиться);
$m$ — число благоприятных исходов для события $A$ (те, при которых $A$ наступает);
$P (A)$ — вероятность события $A$ , число от 0 до 1.

Формула работает только тогда, когда все элементарные исходы равновозможны: у каждого нет физических причин выпадать чаще или реже другого. Правильный кубик — можно применять. Гнутая монета или мешок, в котором один шар крупнее другого, — уже нет.

Свойства вероятности

Из формулы $P (A) = m / n$ сразу вытекает несколько фактов.

Границы. Раз $0 \leq m \leq n$ , то $0 \leq P (A) \leq 1$ . Вероятность не может быть отрицательной или больше единицы. Если получилось иначе — ошибка в подсчёте.

Достоверное событие. Если событие наступает при любом исходе, то $m = n$ и $P (A) = 1$ . Пример: «выпало число от 1 до 6» при броске кубика.

Невозможное событие. Если событие не наступает ни при каком исходе, то $m = 0$ и $P (A) = 0$ . Пример: «выпало число 7» при броске кубика с гранями 1–6.

Противоположное событие. Событие $\overset{ˉ}{A}$ — это «A не произошло». Вместе $A$ и $\overset{ˉ}{A}$ покрывают все исходы, поэтому:

$P (\overset{ˉ}{A}) = 1 - P (A)$

Эта формула часто сокращает решение в два раза — особенно когда в условии написано «хотя бы один».

Алгоритм решения задач на классическую вероятность

Пять шагов, которые закрывают 90% задач задания 4:

Описать опыт. Что именно происходит: бросок кубика, извлечение шара, покупка билета.
Найти $n$ . Посчитать все равновозможные элементарные исходы.
Найти $m$ . Выделить только те исходы, при которых нужное событие $A$ происходит.
Вычислить $P (A) = m / n$ . Перевести в десятичную дробь.
Если условие содержит «хотя бы один» — рассмотреть дополнение. Найти $P (\overset{ˉ}{A})$ через дополнение, потом $P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})$ .

Монету бросают два раза. Сколько всего равновозможных исходов? Перечисли их.

Ответ

Четыре: ОО, ОР, РО, РР (О — орёл, Р — решка). Порядок важен: ОР и РО — разные исходы, потому что первый и второй бросок — разные события.

Типичная ошибка. Считать пару $(2; 6)$ и пару $(6; 2)$ за один исход. Это разные исходы: в первом случае на первом броске 2, на втором — 6, и наоборот. Пропустить один — потерять балл.

Пример 3 (уровень В, два шага свёрнуты). В лотерее 100 билетов, из которых 5 выигрышных. Покупают 3 билета. Найди вероятность того, что хотя бы один из них выигрышный.

Решение. Формулировка «хотя бы один» — сигнал идти через дополнение. Прямой путь (считать «ровно 1 выигрышный» + «ровно 2 выигрышных» + «ровно 3 выигрышных») даёт три слагаемых. Дополнение — один шаг.

Обозначим: событие $A$ — «хотя бы один выигрышный». Тогда $\overset{ˉ}{A}$ — «ни одного выигрышного», то есть все три билета из 95 невыигрышных.

Для подсчёта числа способов выбрать 3 билета из 100 (или 3 из 95) используем формулу сочетаний:

$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{n \cdot ( n - 1 ) \cdot ( n - 2 )}{3 \cdot 2 \cdot 1}$

(При $k = 3$ сокращение удобнее всего делать перемножением трёх последовательных чисел и делением на 6.)

Шаг 1. Найди общее число исходов $n_{всего} = C_{100}^{3}$ .

Ответ к шагу 1

C_{100}^{3} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{6} = \frac{970200}{6} = 161700

Шаг 2. Найди число исходов для $\overset{ˉ}{A}$ — все 3 билета невыигрышные (выбираем из 95 невыигрышных).

Ответ к шагу 2

C_{95}^{3} = \frac{95 \cdot 94 \cdot 93}{6} = \frac{830490}{6} = 138415

Шаг 3. Посчитай $P (\overset{ˉ}{A})$ , затем $P (A) = 1 - P (\overset{ˉ}{A})$ .

Полный ответ

P (\overset{ˉ}{A}) = \frac{138415}{161700} \approx 0, 856

P (A) = 1 - 0, 856 = 0, 144 \approx 0, 14

Типичная ошибка. Пытаться суммировать три случая напрямую: «ровно 1», «ровно 2», «ровно 3 выигрышных». Это три разных слагаемых с сочетаниями, и ошибиться в каком-то из них проще простого. Дополнение всегда быстрее.

Когда классическое определение не работает

Формула $P (A) = m / n$ применима только при равновозможных исходах. Три ситуации, когда этого нет:

Несимметричный объект. Гнутая монета, монета с двумя орлами, загруженный кубик. Стороны выпадают с разной частотой, и теоретически подсчитать $m$ и $n$ нельзя.

Непрерывные случайные величины. Вопрос «с какой вероятностью автобус придёт ровно через 3 минуты» не имеет смысла в классической вероятности — там нет конечного числа элементарных исходов.

Практически редкие события. «Вероятность землетрясения в этот день» оценивается статистически, а не через перебор равновозможных исходов.

На ЕГЭ задание 4 всегда формулируется так, чтобы классическое определение работало — условие явно подразумевает симметричные объекты или конечный набор одинаковых элементов.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, полный разбор). В коробке 8 шаров: 3 красных и 5 синих. Вынимают один шар наугад. Найди вероятность того, что он окажется красным.

Решение. Шаги по алгоритму:

Шаг 1. Опыт: вынимаем один шар из восьми.

Шаг 2. Общее число исходов: $n = 8$ (каждый шар — отдельный равновозможный исход).

Шаг 3. Благоприятных исходов для события «красный шар»: $m = 3$ .

Шаг 4. Вычисляем:

$P (A) = \frac{3}{8} = 0, 375$

Ответ: $0, 375$ .

Типичная ошибка. Оставить ответ в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{8}$ без перевода в десятичную. В задании 4 ЕГЭ часто требуется именно десятичная запись — читай условие внимательно.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Кубик бросают дважды. Найди вероятность того, что сумма выпавших чисел равна 8.

Решение.

Шаг 1. Опыт: два броска кубика, порядок важен.

Шаг 2. Общее число исходов: $n = 6 \times 6 = 36$ . При каждом из 6 исходов первого броска возможны 6 исходов второго — итого 36 пар.

Шаг 3. Перечислим все пары $(a; b)$ , у которых $a + b = 8$ :

$(2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)$

Всего $m = 5$ .

Шаг 4. Попробуй сам: подставь $m$ и $n$ в формулу и посчитай результат.

Ответ к шагу 4

P (A) = \frac{5}{36} \approx 0, 139 \approx 0, 14

Типичные ошибки

1. Не переводить дробь в десятичную. Ответ $\frac{3}{8}$ без дополнительной записи может не засчитаться. Переводи сразу: $3 \div 8 = 0, 375$ .

2. Считать упорядоченные пары как неупорядоченные. При двух бросках кубика пара $(2; 6)$ и пара $(6; 2)$ — это два разных исхода, а не один. Порядок имеет значение, когда выполняются последовательные действия.

3. Забывать про равновозможность. Фраза «наугад» в условии — это сигнал, что исходы равновозможны. Без неё нужно задуматься, применима ли формула.

4. При «хотя бы одном» идти прямым путём. Три отдельных слагаемых вместо одного через дополнение — втрое больше работы и втрое больше шансов ошибиться.

5. Ошибаться в $n$ при сложных опытах. Если вынимают 3 шара из 100 за раз, то $n = C_{100}^{3}$ , а не 100. Убедись, что $n$ соответствует реальному числу равновозможных исходов именно данного опыта.

Связь с другими темами

После классического определения следующий шаг — правила сложения и умножения вероятностей. Там используются те же понятия элементарного исхода и вероятности события, но добавляются ситуации, когда нас интересует «или», «и», «одновременно»:

Сложение и умножение вероятностей — как считать вероятность совместных и несовместных событий, зависимые и независимые события.

Без уверенного понимания формулы $P (A) = m / n$ и умения считать исходы эти темы не заходят.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 4 — единственное задание ЕГЭ по профильной математике, где напрямую применяется классическое определение вероятности. Это задание из части 1 (без подробного решения), оценивается в 1 балл.

Типичные формулировки задания 4: извлечение шара/карты из набора, бросок кубика или монеты, случайный выбор числа из диапазона, покупка лотерейного билета. Обязательно будет конечный набор равновозможных исходов.

Отработай задачи на вероятность

Адаптивный тренажёр подберёт задачи задания 4 под твой уровень

Начать бесплатно

Классическое определение вероятности — формула и разбор задач

Что такое случайное событие